Введение к работе
Актуальность темы. Асимптотические методы давно заняли прочные позиции в задачах механики, описывающих быстроос-циллирующие процессы. Наибольшую актуальность для практических целей представляют методы, дающие высокую и равномерную точность на всей числовой полуоси, так как вибродинамика имеет практический интерес именно к длительным устойчивым процессам. Физическая природа таких процессов, как, например, синхронизация, подразумевает именно длительное наблюдение за исследуемыми объектами.
Многие практические задачи механики, электродинамики, оптики и другие приводят к необходимости исследования колебательных систем. Вначале такие исследования проводились в рамках небесной механики. Важнейшие результаты этого периода - локальная теория периодических решений Пуанкаре-Ляпунова, теория устойчивости Ляпунова, качественная теория динамических систем на плоскости Пуанкаре-Бендиксона, теория динамических систем Биркгофа.
Бурное развитие радио и электротехники повлекло создание новых методов исследования нелинейных колебаний. Математические основы метода усреднения были заложены в работах Н.Н.Боголюбова, Н.М.Крылова, Ю.А.Митропольского и многих других исследованиях киевской научной школы. Значительный прогресс при анализе многомерных систем с медленными и быстрыми фазами был достигнут В.М.Болотовым. Он проанализировал приближения второго порядка. П.П.Забрейко, Л.Б. Ледовская показали, как найти п-е приближения на конечном отрезке [0, -] В дальнейшем этот подход был развит в
работах Л.М.Перко. Д.Кеворкян и Д.Морисон, используя идеи метода многих масштабов, нашли новые приближения п порядка. М.Г. Матвеев использовал многомасштабные разложения для моделирования и управления периодическими процессами. В.В.Стрыгин предложил для построения п-х приближений использовать понятия, тесно связанные с задачами механики гироскопических систем.
Большинство задач, с которыми сталкиваются инженеры, физики и специалисты в области прикладной математики, обнаруживают ряд существенных особенностей, которые не позволяют получать точные аналитические решения. Такими особенностями являются, например, нелинейности, переменные коэффициенты, границы сложной формы и т.д. Мало того, если даже точное решение задачи явно найдено, оно может оказаться бесполезным для математической и физической интерпретаций или численных расчетов. Примерами таких решений являются функции Бесселя большого порядка при больших значениях аргумента, двоякопериодические функции и другие. Таким образом, для получения информации о решениях уравнений исследователи вынуждены обратиться к аппроксимациям, численным решениям или к сочетанию этих двух методов.
В 1665 году Х.Гюйгенс открыл явление синхронизации двух маятниковых часов, закреплённых на общей балке. Позже многие авторы обнаружили подобные явления в оптике, квантовой механике и т.д. Возникновение радиосвязи и электроники стимулировало бурное развитие в изучении синхронизации. Важные прикладные результаты изложены в книгах И.И.Блехмана, который применял метод малого параметра Пуанкаре-Ляпунова для анализа динамических систем.
В этой диссертации приводится новый подход к изучению явления синхронизации, опирающийся на теорию автоколеба-
ний. Предложенным методом можно исследовать синхронизацию двух колебательных систем произвольных размерностей и природы (механической, оптической, электрической и др.). Цель работы.
Обобщение асимптотических методов на бесконечную полуось,
Применение этих обобщённых асимптотических методов к построению асимптотики приближённого решения для одной механической задачи, описывающей колебания системы при высокочастотном внешнем возмущении большой амплитуды,
Использование этих обобщённых асимптотических методов для получения достаточных условий бифуркации малых устойчивых синхронных автоколебаний у двух систем произвольных размерностей с близкими частотами.
Методика исследования. В диссертационной работе в интересах математического моделирования использовались и совершенствовались следующие известные результаты: метод малого параметра Пуанкаре-Ляпунова, метод усреднения Боголюбова-Крылова, метод погранфункций А.Б. Васильевой, метод усреднения В.В. Стрыгина отыскания высших приближений решений нелинейных систем с быстроосциллирующими коэффициентами на большом отрезке [0, Т/є], гибридный метод усреднения и погранфункций В.В. Стрыгина для отыскания высших приближений решений нелинейных сингулярно-возмущённых систем с быстроосциллирующими коэффициентами на большом отрезке [0,Т/є], обобщённый принцип сжимающих отображений А.И. Перова для банаховых пространств с векторной нормой, теорема В.А.Плисса о существовании гладкого устойчивого инвариантного многообразия у некоторых систем с разделяющимся спектром.
Научная новизна. Приводимые ниже научные результаты
диссертации являются новыми.
Предложен легко реализуемый алгоритм построения приближённого решения на полуоси [0, оо) для одной нелинейной задачи Коши с периодическими коэффициентами.
Доказана равномерная на полуоси [0, оо) сходимость этих приближений.
Предложен алгоритм построения приближённого решения на полуоси [0, оо) для одной нелинейной задачи Коши с условно-периодическими коэффициентами.
Предложен гибридный алгоритм построения приближённого решений на полуоси [0, оо) для сингулярно-возмущённой задачи Коши с быстроосциллирующими коэффициентами.
Доказана равномерная на полуоси [0, оо) сходимость этих приближений.
Предложен конкретный вид асимптотики приближённого решения на полуоси [0, оо) для нелинейной задачи Коши, описывающей колебания механической системы при высокочастотных внешних возмущениях большой амплитуды.
Доказана равномерная на полуоси [0, оо) сходимость этих приближений.
Получен универсальный алгоритм выявления бифуркации устойчивых синхронных автоколебаний у двух систем произвольной природы и размерности.
Теоретическая и практическая ценность. Разработанные в данной работе асимптотические методы могут быть применены для конструирования приближений высших порядков для нелинейных задач Коши с быстроосциллирующими коэффициентами, дающих равномерную точность на всей полуоси. Описанный в данной работе алгоритм выявления бифуркации устойчивых синхронных автоколебаний у двух систем произвольных размерностей можно использовать для анализа син-
хронизационных свойств у двух систем произвольной физической природы.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на
VII международной научно-технической конференции "Ки
бернетика и высокие технологии XXI века", Россия, Воронеж,
май 2006.
IX Всероссийской конференции по качественной теории
дифференциальных уравнений и её приложениям, Россия, Ря
зань, октябрь 2006.
Научном семинаре по сингулярно-возмущённым системам профессора Г.А. Куриной, 20 марта 2008.
Научном семинаре профессора Б.Н. Садовского, 7 апреля 2008.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 статей, из них две ([2] и [6]) в журналах, рекомендованных ВАК для публикации результатов диссертационных работ. Объём и структура диссертационной работы. Диссертация состоит из введения и двух глав, изложенных на 98 страницах машинописного текста, включая 3 рисунка и список цитируемой литературы из 54 наименований на 6 страницах. Общий объём диссертации составляет 104 страницы.
