Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Линеаризация задачи сопряжения для бесконечномерных эволюционных уравнений в банаховых пространствах с абсолютным базисом 6
1. Аналитические операторы 10
2. Нормализующие преобразования Пуанкаре 16
3. Метод ускоренной сходимости 21
4. Особенности бесконечномерного случая 23
5. Функциональное пространство ЬС 24
6. Линейные нормализующие преобразования для одного класса нелинейных операторов в пространстве - 29
7. Эволюционные уравнения в пространствах с базисом. 65
Глава II.О приводимости бесконечномерных нелинейных уравнений к линейной нормальной форме в пространствах И^ и W. 76
8. Линейные нормализующие преобразования в пространствах Соболева Wm *?8
9. Интегрируемость нелинейных эволюционных уравнений в пространстве Vv 88
Глава III. О нормальной форме нелинейных эволюционных уравнений в алгебре J& комплексиозначных функций на вещественной оси 95
10. Функциональное пространство 96
11. Нормальные формы нелинейных операторов в пространстве & 102
12. Интегрируемость бесконечномерных эволюционных уравнений в частных производных на вещественной
оси - 112
Литература 123
- Аналитические операторы
- Линейные нормализующие преобразования в пространствах Соболева Wm
- Функциональное пространство
Аналитические операторы
В настоящей работе условия линеаризации уравнения /I/ даются при менее жестких условиях на нелинейную составляющую (р в дополнительном ограничении, что оператор J7 - унитарный, при этом доказывается, что обобщенные решения исходного уравнения /I/ с начальными данными из окрестности нуля в Ц, переходят в обобщенные решения соответствующего линейного уравнения. Заметим, однако, что более жёсткие ограничения на нелинейную часть уравнения у Н.В.Николенко дают дополнительную информацию о том,что классические решения уравнения /I/ с начальными данными из окрестности нуля в ttn переводятся заменой переменных в классические решения соответствующего линейного уравнения,где иСл - снабжённая структурой банахова пространства область определения линейного оператора J-.
Задачи линеаризации некоторых эволюционных уравнений с непрерывным спектром рассмотрены В.И.Седенко Ґ30І и М.Ю.Денисовым Зі]. П.И.Плотников использовал метод нормальных форм Пуанкаре в задачах интегрируемости бесконечномерных эволюционных уравнений с не-линейностями вида U U .
Доказательство основного результата данной работы основано на применении метода ускоренной сходимости Колмогорова-Арнольда--Мозера [3-6 . Вместо обычных для многих схем теории возмущений разложений в ряды по степеням возмущения мы используем быет-росходящийся метод итераций Колмогорова-Арнольда-Мозера,который при начальной погрешности даёт после tu приближений ошибкупорядка 5 , что позволяет избавиться от влияния малых знаменателей, появляющихся в каждом приближении, и в результате удаётся не только провести бесконечное число приближений,но и доказать сходимость всей процедуры.
Линейные нормализующие преобразования в пространствах Соболева Wm
В настоящей работе при помощи метода нормальных форм Пуанкаре исследуются задачи линеаризации нелинейных операторов в банаховых пространствах в окрестности неподвижной точки,а также задачи линеаризации нелинейных эволюционных уравнений в окрестности стационарного решения.Основной результат данной работы составляет бесконечномерный аналог известной теоремы К.Л.Зигеля о линеаризации конформного отображения в окрестности неподвижной точки J б . Доказанная теорема применяется затем к задаче линеаризации оператора сдвига по траекториям эволюционных уравнений в окрестности положения равновесия в банаховых пространствах.
Теория нормальных форм Пуанкаре является основным методом локальной теории дифференциальных уравнений,позволяющим исследовать поведение фазовых кривых в окрестности особой точки при помощи приведения дифференциальных уравнений к канонической нормальной форме.Теорию нормальных форм дифференциальных уравнений можно вывести из теории нормальных форм диффеоморфизмов в окрестности неподвижной точки.Метод нормальных форм Пуанкаре позволяет при помощи подходящего выбора системы координат в окрестности особой точки дифференциального уравнения / неподвижной точки отображения / уничтожать нерезонансные составляющие нелинейной части дифференциального уравнения / отображения /.В частном случае,в отсутствие резонансов,для дифференциального уравнения / отображения / удаётся выписать формальную замену переменных,приводящую дифференциальное уравнение / отображение / к своей линейной част
Функциональное пространство
Работы Е.Хопфа Г 14J и Дж.Коула [ibj , в которых при отыскании линеаризующей подстановки для уравнения Бюргерса использовался метод замен переменных, лежащий в основе теории нормальных форм, стимулировали поиски аналогичной линеаризующей подстановки для произвольного эволюционного уравнения. Задачи интегрируемости бесконечномерных эволюционных уравнений с точки зрения теории нормальных форм Пуанкаре впервые были рассмотрены Н.В.Николенко I8-23J .Н.В.Николенко рассмотрел уравнение j = Ju ч- Ф(и) т где 11 -элемент гильбертова пространства Ц, , dr , вообще говоря, неограниченный линейный оператор с плотной областью определения &)л , Р - нелинейный оператор, аналитический по Фре-ше в окрестности нуля в (J, , удовлетворяющий некоторым условиям согласованности с оператором J7 , и дал достаточные условия линеаризации уравнения /І/ і окрестности нулевого стационарного решения, а также доказал существование нормализующего преобразования для нелинейного уравнения Шрёдингера и для уравнения теплопроводности с нелинейными источниками тепла.
