Введение к работе
Актуальность темы. Обратными задачами для дифференциальных уравнений принято называть задачи определения коэффициентов/ правых частей и решений дифференциальных уравнений по информации о решениях этих уравнений. Многие важные прикладные вопросы, связанные с упругими смещениями, электромагнитными колебаниями, диффузионными процессами, переносом нейтронов, приводят к обратным задачам. Обратные задачи играют значительную роль при математическом моделировании физических явлений и при управлении рядом технологических процессов. Теория обратных задач является одной из бистро развивающихся областей современной математики.
Современная теория обратных задач создана и развита трудами советских математиков: А.Н.Тихонова, М.М.Лаврентьева, В.К.Иванова, А.И.Прилепко, В.Г.Романова, А.С.Алексеева, А.Д.Искендерова, Г.И.Марчука, а также ряда других авторов. ІЗ.последнее время для изучения обратных задач стал использоваться метод дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. Среди исследований, посвященных изучению обратных задач с точки зрения абстрактных дифференциальных уравнений, необходимо отмотать работы А.Д.Искендерова, У.Ранделла, А.И.Прилепко, Ю.С.ЭЙдельмана, А.Х.Амирова, А. Лоренцо. В настоящее время теория обратных задач для абстрактных дифференциальных уравнений становится одним из важнейших разделов теории обратных задач для дифференциальных уравнений в частных производных.
Цель работы. Исследование вопросов разрешимости, однозначной разрешимости и фредгольмовой разрешимости обратных задач для линейных и квазилинейных дифференциальных уравнений первого и второго порядков в банаховом пространстве.
Научная новизна. Исследованы вопросы разрешимости обратных' задач для полулинейных уравнений первого и второго порядков с эволюционным переопределением. В зависимости от свойств оператора, задающего дополнительную информацию, установлено существование и еданствешіость слабых или сильных решений. Получены условия дифїеренцируемости слабого решения.
Установлена локальная однозначная разрешимость обратной задачи с эволюционным переопределением для квазилинейного параболического уравнения.
Рассмотрены двухточечные обратные задачи для линейных уравнений первого и второго порядков. Получены достаточные условия фредгольмовой разрешимости обратных задач для уравнений параболического, гиперболического и эллиптического типов. Установлены условия однозначной разрешимости.
Для двухточечных обратных задач, .отвечающих уравнениям с самосопряженной главной частью и скалярным неизвестным козфімциен-тсм, получены необходимые и достаточные условия как существования решения, так и его единственности.
Рассмотрена двухточечная обратная задача для уравнения параболического типа в гильбертовой структуре. Указаны достаточные условия существования и единственности решения.
Даны приложения к обратным задачам для уравнений в частных производных. Рассмотрены симметрические гиперболические системы первого порядка, волновое уравнение, система уравнений теории упругости, уравнение теплопроводности, уравнение Больцмана и уравнение переноса нейтронов.
Общая методика исследования. В работе используются совре- > монные методы фуішционального анализа, теория сильно непрерывных полугрупп и косинус функций, методы нелинейного анализа.
Теоретическая и практическая .ценность. Результаты работы представляют теоретический интерес. Разработанные в диссертации методы позволяют исследовать широкий класс обратных задач для абстрактных дифференциальных' уравнений и уравнений в частных произг-водных. Они применимы к задачам теории упругости, распростране'-ния электромагнитных волн,процессам теплопереноса, динамике разреженного газа и процессам кинетики ядерных реакторов.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались в МГУ им. М.В.Ломоносова на семинаре, руководимом членом-корреспондентом АН СССР А.В.Бицадзе и академиком В.А.Ильиным, на семинаре ИМ СО АН СССР, руководимом профессором В.Г.Романовым, на семинаре МИФИ, руководимом профессором А.И.Прилепко, на международной конференции по некорректным и обратным задачам (Москва, август 1991 г.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-12].
Структура и объем диссертации. Диссертационная работа объемом 265 стр. машинописного текста состоит из введения и 3 глав. Библиография содержит 226 наименований.
