Введение к работе
Актуальность темы. В области О С Rn х (0,Т), 0 < Т < +оо,
рассматриваем линейное равномерно-параболическое уравнение произвольного порядка 2т (т — натуральное)
Lu = dtu + (-i)m Е щ(Р)д1и+ Е bl(P)dlu = f(P), (і)
|/|=2га |/|<2га-1
где Р = (ж,) = (жі,...,жп,) ( = d/dt, д = (<9i,...,<9n), ( = <9/<9жг-, / = (/і, ...,/„) — мультииндекс.
В диссертации изучаются краевые задачи для уравнения (1) в нецилиндрических областях с негладкими (по t), вообще говоря, "боковыми" границами. Эти области могут быть неограниченными (как по ж, так и по t), а их "боковые" границы — некомпактными. Кроме того, рассматривается задача Копій для уравнения (1) в полупространстве. Целью работы является исследование разрешимости (в классическом смысле) этих задач в весовых пространствах Гёльдера при условии, что младшие коэффициенты и правая часть уравнения могут расти определенным образом при приближении к параболической границе области (плоскости-носителю начальных данных в случае задачи Коши), а старшие коэффициенты удовлетворяют условию Гёльдера в каждой замкнутой подобласти рассматриваемой нецилиндрической области, причем соответствующие коэффициенты Гёльдера растут, вообще говоря, определенным образом при приближении к параболической границе области (плоскости-носителю начальных данных). В частности, старшие коэффициенты могут не удовлетворять условию Дини вблизи этой параболической границы (плоскости).
Разрешимость первой краевой задачи в пространстве Гёльдера С2'а(0), 0 < а < 1, получена С. Чилиберто1 при п = 1 и А. Фридманом2 при п > 2. Аналогичный результат для задачи с косой производной установлен Л.И. Камыниными В.Н Масленниковой3'4. В. А. Солонников5
1 Ciliberto С. Formule di maggiorazione е teoremi di esistenza per le soluzioni delle equazioni
paraboliche in due variabli. // Ricerche Mat., 1954, v. 3, p. 40-75.
2 Friedman A. Boundary estimates for second order parabolic equations and their applications.
II J. Math. Mech., 1958, v. 7, p. 771-792.
3 Камынин Л.И., Масленникова В.Н. Граничные оценки шаудеровского типа решения за
дачи с косой производной для параболического уравнения в нецилиндрической области. //
Сиб. мат. ж., 1966, т. 7, №1, с. 83-128.
4 Камынин Л.И. О гладкости тепловых потенциалов. III. // Дифференц. уравн., 1966, т.
2, №10, с. 1333-1357.
5 Солонников В.А. О краевых задачах для линейных параболических систем дифференци
альных уравнений общего вида. // Тр. Мат. ин-та АН СССР им. В.А. Стеклова, 1965, т. 83,
ч. 3.
доказал разрешимость краевых задач общего вида, удовлетворяющих условию Лопатинского, для параболических систем произвольного порядка в пространствах Ck'a(U), где число к не меньше, чем порядок системы. Затем B.C. Белоносов6, В.А. Солонников и А.Г. Хачатрян7 рассмотрели краевые задачи для параболических систем произвольного порядка 2т в цилиндрических областях с гладкой границей класса Ск'а, к > 2т, при условии, что начальные функции принадлежат классу С1"'13, где число г < к (в том числе г < 2т), и правые части уравнений растут определенным образом при приближении к плоскости начальных данных, доказали разрешимость таких задач в весовых пространствах Гёльдера функций, старшие производные которых (порядка больше, чем г) не ограничены вблизи плоскости t = 0.
Исследование разрешимости краевых задач в пространствах Гёльдера в областях с негладкими "боковыми" границами при п = 1 было начато М. Жевре8 для уравнения теплопроводности. Л.И. Камынин в серии работ (см., например, 9) построил систематическую теорию гладкости параболических потенциалов для одномерного уравнения 2-го порядка Как следствие, он получил разрешимость краевых задач для этого уравнения в плоских областях с криволинейными "боковыми" границами. Е.А. Бадерко ввела обобщенный параболический потенциал простого слоя для одномерного уравнения порядка 2т и использовала его в 10 для решения краевых задач в областях с негладкими, вообще говоря, "боковыми" границами.
В многомерном случае Е.А. Бадерко11 построила интегро-диффе-ренциальный оператор, с помощью которого доказала разрешимость первой краевой задачи в пространстве С1'"(О) для уравнения 2-го порядка в полуограниченной области с некомпактной и негладкой (по t)
6 Белоносов B.C. Оценки решений параболических систем в весовых классах Гёльдера и
некоторые их приложения. // Матем. сб., 1979, т. 110 (152), №2 (10), с. 163-188.
7 Солонников В.А., Хачатрян А.Г. Оценки решений параболических начально-краевых
задач в весовых гёльдеровских нормах. // Тр. Мат. ин-та АН СССР им. В.А. Стеклова,
1980, т. 147, с. 147-155.
8 Gevrey М. Sur les equations aux derivees partielles du type parabolique. // J. Math. Pur.
Appl., 1913. Ser. 6, v. 9, №7, p. 305-471.
9 Камынин Л.И. К теории Жевре для параболических потенциалов. VI. // Дифференц.
уравн., 1972, т. 8, №6, с. 1015-1025.
10 Бадерко Е.А. О разрешимости граничных задач для параболических уравнений высокого
порядка в областях с криволинейными боковыми границами. // Дифференц. уравн., 1976, т.
12, №10, с. 1781-1792.
11 Бадерко Е.А. О решении первой краевой задачи для параболических уравнений с помо
щью потенциала простого слоя. // ДАН СССР, 1985, т. 283, №1, с. 11-13.
"боковой" границей. Этот результат в общем случае нецилиндрической области с компактной границей класса С1,а получен в работе автора12. Разрешимость задачи с косой производной в пространстве С1'"(О) установлена Е.А. Бадерко13, Л.И. Камыниным14.
Е.А. Бадерко в работах 1987-1992 гг. (см., например, 15>16) рассмотрела краевые задачи для 2т-параболического уравнения с граничными операторами порядка не выше 2т — 1, удовлетворяющими условию Лопатинского, и установила их однозначную разрешимость в пространстве С2т_1'"(0) П С2"2'1 (О) в нецилиндрических областях с, возможно, негладкой (по t) и некомпактной "боковой" границей с помощью построенных ею векторного потенциала простого слоя для представления решения и интегро-дифференциального оператора, позволяющего установить разрешимость системы граничных интегральных уравнений, индуцированной поставленной краевой задачей. Заметим, что в указанных работах поведение старших производных решения не исследовалось.
Подчеркнем, что во всех цитированных работах от правой части уравнения требовалось, чтобы она была ограничена в О. Кроме того, предполагалось, что коэффициенты уравнения — из класса Гёльдера С0'"(О), то есть они должны быть ограничены и равномерно гёльдеровы в О. Это условие (вместе с условием равномерной параболичности уравнения) обеспечивает существование фундаментального решения задачи Коши для уравнения, что существенно использовалось в 9~16.
В 1980 г. Д. Гилбарг и Л. Хёрмандер17 доказали разрешимость задачи Дирихле в весовом пространстве Гёльдера для эллиптического уравнения 2-го порядка в ограниченной области класса С1,а при условии, что правая часть и младшие коэффициенты могут расти определенным образом вблизи границы области и все коэффициенты лишь
12 Черепова М.Ф. Решение задачи Бицадзе-Самарского для параболического уравнения в
нецилиндрической области. Дисс. канд. физ.-мат. н. М., МГУ, 1987.
13 Бадерко Е.А. Решение задачи с косой производной для параболического уравнения ме
тодом граничных интегральных уравнений. // Дифференц. уравн., 1989, т. 25, №1, с. 14-20.
14 Камынин Л.И. Приложения параболических потенциалов Паньи к краевым задачам ма
тематической физики. // Дифференц. уравн., 1990, т. 26, №3, с. 487-496.
15 Бадерко Е.А. О решении методом граничных интегральных уравнений краевых задач для
линейных параболических уравнений произвольного порядка в нецилиндрических областях.
Дисс. докт. физ.-мат. н. М., МГУ, 1992.
16 Бадерко Е.А. Краевые задачи для параболического уравнения и граничные интегральные
уравнения. // Дифференц. уравн., 1992, т. 28, №1, с. 17-23.
17 Gilbarg D., Hormander L. Intermediate Schauder estimates. // Arch. Rational Mech. Anal.,
1980, v. 74, p. 297-318.
локально гёльдеровы с точным указанием характера гельдеровости. Затем Г.М. Либерман18 получил аналогичный результат в случае параболического 2-го порядка для первой краевой задачи и задачи с косой производной в ограниченной области. Отметим, что в 17'18 существенно использовалось условие ограниченности области, а также принцип максимума для уравнения 2-го порядка в ограниченной области.
В диссертации рассматриваются краевые задачи и задача Копій для параболического уравнения произвольного порядка с аналогичными 17'18 условиями на коэффициенты и правую часть уравнения в неограниченной, вообще говоря, области (как по ж, так и по t) с "боковой" границей, которая может быть некомпактной. Заметим также, что существенное ослабление условий на старшие коэффициенты не позволяет строить фундаментальное решение задачи Коши для уравнения (1)(см. 19) и, следовательно, пользоваться методом работ 9~16.
Цели и задачи работы. 1) Установление существования и единственности в весовых пространствах Гёльдера решений краевых задач и задачи Коши для уравнения (1) с описанными выше условиями на коэффициенты и правую часть уравнения. Для достижения этой цели были поставлены следующие задачи:
исследование гладкости в весовых пространствах Гёльдера 2т-параболических потенциалов для "модельного" уравнения, в том числе, доказательство оценок для старших производных этих потенциалов;
установление разрешимости в весовом пространстве Гёльдера краевых задач для "модельного" уравнения с неограниченной правой частью; в частности, получение оценки в бесконечной по "времени" области для решений систем граничных интегральных уравнений, к которым редуцируются эти задачи;
получение априорных оценок в нормах весовых пространств Гёльдера решений краевых задач и задачи Коши для уравнения (1).
2) Построение шкалы гладкости в весовых пространствах Гёльдера решений краевых задач и задачи Коши для уравнения (1).
Общая методика исследования. В диссертации используются методы теории потенциала; метод решения систем интегральных урав-
18 Lieberman G.M. Second Order Parabolic Differential Equations. Singapore. World Scientific,
1996 (2005).
19 Ильин A.M. О фундаментальном решении параболического уравнения. // ДАН СССР,
1962, т. 147, №4, с. 768-771.
нений, разработанный Е.А. Бадерко, и метод сжимающих отображений; методы априорных оценок и продолжения по параметру. Для вывода априорных оценок автором разработан метод, который позволяет получать априорные оценки решений краевых задач сразу во всей области (как ограниченной, так и неограниченной) для уравнений произвольного порядка. Этот метод можно применять и для систем произвольного порядка.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:
-
Исследована гладкость 2т-параболических потенциалов в весовых пространствах Гёльдера для "модельного" уравнения, содержащего только старшие производные с постоянными коэффициентами. А именно, рассмотрены объемный потенциал, плотность которого может расти определенным образом вблизи параболической границы области, обобщенный 2т-параболический потенциал простого слоя, введенный Е.А. Бадерко, и потенциал Пуассона. С их помощью получены достаточные условия принадлежности решений краевых задач и задачи Коши для "модельного" уравнения с неограниченной правой частью весовым пространствам Гёльдера и доказаны оценки для этих решений. Полученные оценки характеризуют, в частности, поведение старших производных решений краевых задач и задачи Коши при приближении к параболической границе области (плоскости-носителю начальных данных в случае задачи Коши).
-
В бесконечной по "времени" области рассмотрены системы граничных интегральных уравнений, к которым редуцируются линейные краевые задачи для "модельного" уравнения с порядком граничных операторов < 2т — 1. Показано (с помощью интегро-дифференциального оператора, построенного Е.А. Бадерко), что в случае неограниченной по t области решения этих систем принадлежат классу функций, растущих экспоненциально по t, а также доказана оценка для этих решений. Как следствие, установлена разрешимость в весовом пространстве Гёльдера краевых задач для "модельного" уравнения с растущей (вблизи параболической границы области и при t —> +оо) правой частью уравнения в неограниченных (как по ж, так и t) областях с, возможно, негладкой (по t) и некомпактной "боковой" границей.
3. Доказаны априорные оценки в нормах весовых пространств
Гёльдера решений краевых задач и задачи Копій для общего 2т-параболического уравнения с переменными коэффициентами. Область, в которой рассматриваются задачи, может быть неограниченной (как по ж, так и по t), "боковая" граница — негладкой (по t) и некомпактной. Предполагается, что младшие коэффициенты и правая часть уравнения могут расти определенным образом при приближении к параболической границе области (плоскости-носителю начальных данных в случае задачи Коши) и все коэффициенты уравнения локально гёльдеровы с точным указанием характера гёльдеровости; в частности, коэффициент Гёльдера может расти определенным образом к бесконечности вблизи параболической границы области (плоскости-носителя начальных данных).
-
Установлена однозначная разрешимость в весовых пространствах Гёльдера краевых задач и задачи Коши для общего 2т-параболического уравнения с переменными коэффициентами при условии, что младшие коэффициенты и правая часть уравнения растут, вообще говоря, определенным образом при приближении к параболической границе области (плоскости-носителю начальных данных в случае задачи Коши) и все коэффициенты уравнения локально гёльдеровы с точным указанием характера гёльдеровости, причем коэффициент Гёльдера может расти определенным образом вблизи параболической границы области (плоскости-носителя начальных данных). При этом область, в которой рассматриваются краевые задачи, может быть неограниченной, а ее "боковая" граница — негладкой по f и некомпактной.
-
Построена шкала гладкости решений краевых задач и задачи Коши для общего 2т-параболического уравнения в весовых пространствах Гёльдера.
Приложения. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут найти применение в дальнейших исследованиях различных задач для параболических уравнений и систем произвольного порядка, линейных и нелинейных. Она может служить теоретической основой для исследований задач, описывающих диффузионные процессы при химико-термической обработке металлов, а также при распаде перенасыщенных твердых растворов.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинаре под руководством акад. В.А. Ильина, акад. Е.И. Моисеева, чл.-корр. РАН И.А. Шишмарева (ф-т ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова); на семинаре под руководством акад. Е.И. Моисеева и проф. И.С. Ломова (ф-т ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова); на семинаре под руководством проф. Ю.А. Дубпнского и проф. А.А. Амосова (Московский энергетический институт); на семинаре под руководством проф. Е.А. Бадерко (мех.-мат. ф-т МГУ им. М.В. Ломоносова); на семинаре под руководством акад. В.А. Са-довничего и проф. А.И. Прилепко (мех.-мат. ф-т МГУ им. М.В. Ломоносова); на семинаре под руководством проф. А.Л. Скубачевского (Российский университет дружбы народов); на международных конференциях "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы" им. И.Г. Петровского (Москва, 2001, 2004 гг.); на международной конференции "Тихонов и современная математика", посвященной 100-летию со дня рождения А.И. Тихонова (Москва, 2006 г.); на международных конференциях "Информационные средства и технологии" (Москва, 2008, 2009, 2010 гг.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 14 работах автора, список которых приведен в конце автореферата. Среди них работ, написанных в соавторстве, нет.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения и четырех глав, разделенных на 24 параграфа и 32 пункта. Общий объем диссертации — 195 страниц. Список литературы содержит 107 названий.
Похожие диссертации на Краевые задачи для параболических уравнений произвольного порядка в весовых пространствах Гёльдера
