Введение к работе
Актуальность темы. Под обратными задачами спектрального анализа понимают задачу восстановления оператора по его спектральным характеристикам. В настоящее время для некоторых специальных классов обыкновенных дифференциальных операторов обратные задачи достаточно хорошо изучены. Среди этих операторов простейшим является оператор Штурма-Лиувилля
Ту = -у"+р(х)у О)
Первый результат в этом направлении принадлежит В.А Амбарцумяну, который исследовал частный случай восстановления потенциала р(х) по спектру. Он показал, что если собственные значения краевой задачи
-у"+р(х)у = Лу,У(0) = У(х) = 0 (2)
есть Я„=и ,ийО,тор = 0. Однако результат В.А Амбарцумяна является исключением, и одного спектра, вообще говоря, недостаточно для однозначного определения оператора.
Дальнейшее развитие теория обратных задач получила в работе Г. Борга1, который доказал следующую теорему.
Пусть Л о< Л i< Я 2<... — собственные значения уравнения (2) при граничныхусловиях
/(0)-й>. = 0, у'(л) + Ну(л) = 0,
где h и Н— действительные конечные числа, и /л(іі< fj,2< — —собственные значенияуравнения -y"(x) + q(x)y = 0 при граничныхусловиях
y40)-hy = 0, /(я)+Ну(ж) = 0,
где Н\.—действительноеконечноечисло, Н\*Н. Тогда последовательности {Л„ }" 0 и {fi„ )^, однозначно определяют функцию q(x) и числа ft, Н и Я,.
1 Borj G. Elno Umkehnmg det Shturni-Uouvillocheti Eigenweruufgatm II Acta Math. 78 (1946), 1-96
3 Г йос. национальная]
Аналогичный факт был установлен Н. Левинсоном, но для других спектральных характеристик. В работе А.Н. Тихонова получена теорема единственности обратной задачи Штурма - Лиувилля на полуоси по заданной функции Вейля.
Важную роль в спектральной теории дифференциального оператора Штурма — Лиувилля сыграл оператор преобразования, впервые примененный В.А Марченко2. Он доказал, что дифференциальный оператор Штурма — Лиувилля, заданный на полуоси или конечном отрезке, однозначно определяется заданием спектральной функции.
Более сложной задачей является построение конструктивной процедуры восстановления дифференциального оператора и описание необходимых и достаточных условий на спектральные данные. Эти вопросы исследовались в работах М.Г. Гасымова, И.М. Гельфанда, М.Г. Крейна, Б.М. Левитана, Л.Д. Фаддеева.
В диссертации при доказательстве теорем единственности восстановления потенциалов существенно используются асимптотики собственных функций самосопряженных операторов. Ранее, этой темой занимались В.А Винокуров, В.А. Садовничий3, ЯЛ. Султанаев4 и др., где построены явные асимптотические формулы для собственных значений цп и нормированных собственных функций U„, П->00.
Многие приложения теории обратных задач связаны с дифференциальными операторами высших порядков с интегрируемыми коэффициентами
y{nUniPj(x)yUK (3)
В сравнении с дифференциальным оператором Штурма - Лиувилля, обратная задача для операторов (3) более сложна для изучения; В различных
Марченко В А. Спектральная теория операторов Штурма-. Лиувилля. Киев: Навукова Думка, 1972.
3 Садовничий В.А. Замечание об одном методы вычисления собственных значений и собственных функций дискретного оператора
/Др.сем им.ИГ.Петровского.М, 1194 вып. 17
4 Султанаев Я Т. Асимптотическое поведение решений Сингулярного уравнения Штурма-Лиувилля //Доклады PAR 1994. Т. 335
постановках она исследовалась в работах А.Ф. Леонтьева, М.К. Фаге, А. П. Хромова5, где выяснено, что оператор преобразования при п > 2 имеет более сложную структуру, что затрудняет его использование для решения обратной задачи. М.Г. Гасымов и ИХ. Хачатрян исследовали обратную задачу восстановления самосопряженных дифференциальных операторов на полуоси по спектральной функции, а также обратную задачу рассеяния с помощью "треугольного" оператора преобразования.
ЗЛ. Лейбензон6 предложил эффективный метод решения обратной задачи (3), основанный на исследовании отображений пространств решений, связанных со спектральными свойствами операторов, и являющийся развитием идей Н. Левинсона. Полное решение обратной задачи для конечного отрезка, полуоси и оси получено в работах ВА Юрко, R. Beals, X. Zhou. Большое число работ посвящено обратным задачам для уравнений в частных производных, например работы Ю.М. Березанского, А.Л. Бухгей-ма, В.В. Дубровского, АИ. Прилепко, В.А Садовничего.
В 1992 году В.В. Дубровским7 была доказана теорема устойчивости восстановления потенциала для краевой задачи Дирихле по неточно заданным спектральным данным.
Важным классом обратных задач, часто встречающимся в приложениях, являются так называемые неполные обратные задачи восстановления оператора по неполной спектральной информации при наличии дополнительной априорной информации об операторе. Многие обратные задачи имеют неединственное решение. К этому же классу относятся рассмотренные в нашей работе обратные задачи спектрального анализа..
Теоремы, единственности восстановления потенциалов в неполных обратных задачах спектрального анализа известны лишь для обыкновен-
s Хромов А.П. Операторы преобразования дм дифференциальных уравнений произвольных порядков //Исслед. по дифф. уравн. и
теории функций- Саратов. 1971.Вып.З.С. 10-2 4.
* Лейбекэон ЗЛ. Единственность решети обратной задачи для обыкновенных дифференциальных операторов порядка 22 я пре-
образованиятакихоператоров//ДАНСССР. 1961Т. 142,№3. C534-S37.
7 Дубровский ВВ., Нагорный А. В. Устойчивость решения обратных задач спектрального анализа// Диференц. уравн. 1992. Т. 28,
№5. С. 839-843. 5
ных дифференциальных уравнений или для степеней возмущенного оператора Лапласа на прямоугольнике8.
Поэтому проблема единственности восстановления потенциала в неполных обратных задачах для сингулярных обыкновенных дифференциальных операторов второго порядка является актуальной задачей.
Целью диссертации является:
-
получение асимптотических формул собственных функций возмущенного самосопряженного оператора,
-
построение базисов Рисса для некоторых сингулярных обыкновенных дифференциальных операторов второго порядка,
-
нахождение достаточных условий для единственности восстановления возмущенного оператора,
-
доказательство теорем единственности восстановления финитного потенциала для сингулярных линейных дифференциальных операторов типаЯкоби, Гегенбауэра, Лежандра, Чебышеваи др.
Методы исследований. Для решения поставленных задач используются методы теории самосопряженных операторов в гильбертовых пространствах, теории возмущений, теории рядов Фурье. При доказательстве ряда теорем используется асимптотика по Стилтьесу классических полиномов и теорема возмущений для базисов Рисса.
Научная новизна, теоретическая и практическая значимость.
Для решения обратных задач спектрального анализа широко применяются 4 основных метода: метод операторов преобразования, метод спектральных отображений, метод эталонных моделей и метод Борга. Все эти методы требуют знания двух спектров двух краевых задач. Для операторов рассмотренных в нашей работе не задаются краевые условия. Это обстоятельство накладывает определенные трудности на получение результатов. Например, из-за отсутствия краевых условий, невозможно "эффективно"
* Дубровский В В. Теорема о единственности решения обратных задач спектрального анализа // Дифференциальные уравнения. -1997.-Т.ЗЗ.ЛЗ.-С. 421-422..
построить целую функцию класса К, корнями которой являются собственные числа, т.е. невозможно применить метод В.Б Лидского и В.А. Са-довничего. По этой же причине нельзя построить функцию Грина и применять связанные с ней результаты, используя ее в явном виде. В нашей работе также не использовались спектральные характеристики, такие как спектральная функция, функция Вейля, функция рассеяния, матрица Вей-ля, а также операторы преобразования, которые применялись в работах В.В. Дубровского, ВА Марченко, А.П. Хромова, ВА Юрко.
Полученные результаты являются новыми. Они носят теоретический характер и являются основой для разработки новых методов решения обратных задач.
Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на II межрегиональной научной конференции «Проблемы современного математического образования» (г. Киров, 2001 г.), на международной конференции «Дифференциальные и интегральные уравнения. Математические модели» (г. Челябинск, 2002 г.), на региональных научно-технических конференциях «Новые программные средства для предприятий Урала» (Магнитогорск, 2002-2003 г.), на научно-исследовательских семинарах по дифференциальным уравнениям под руководством доктора физико-математических наук, профессора В.В. Дубровского в Магнитогорском госуниверситете (2000 - 2002 гг.), на международной научной конференции "Спектральная теория дифференциальных операторов и родственные проблемы", посвященная юбилею академика РАН Ильина ВА (г. Стерлитамак, 2003 г.), а также на научно-исследовательских семинарах Стерлитамакского государственного педагогического института, Саратовского и Башкирского госуниверситетов.
Публикации автора. Основные результаты диссертации опубликованы в 10 печатных работах. В совместных работах [1] - [4] ВА Садовни-чему и В.В. Дубровскому принадлежит постановка задач. Получение конкретных результатов принадлежит диссертанту.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, состоящих из 10 параграфов, заключения и изложена на 95 страницах. Список литературы содержит 120 наименований, включая работы автора.
