Содержание к диссертации
ВВЕДЕНИЕ 3
ГЛАВА I. ИССЛЕДОВАНИЕ СПЕКТРА ОПЕРАТОРОВ ОДНОГО
КЛАССА В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ . IG
I. Достаточные условия дискретности спектра. Асимптотические формулы для собственных
значений . ^
2. Примеры 2о
ГЛАВА П. ВОССТАНОВЛЕНИЕ НЕИЗВЕСТНОЙ ЧАСТИ ОПЕРАТОРА СПЕ
ЦИАЛЬНОГО ВВДА ПО ОДНОМУ И ДВУМ СПЕКТРАМ 44
I. Определение одного из коэффициентов обыкновенного дифференциального уравнения высшего порядка по одному и двум спектрам ... ^4 2. Определение комплекснозначного потенциала (І(х)Є 1^(.0,50 по одному и двум спектрам операторов, являющихся обобщением диффе-
ренциальных
ДОБАВЛЕНИЕ К ГЛАВЕ П %
ЛИТЕРАТУРА 107
-о-
Введение к работе
Обратными задачами спектрального анализа в самом общем смысле называются задачи восстановления оператора (или его неизвестной части) по известным спектральным характеристикам. В зависимости от типа оператора, структуры его спектра и характера исходных спектральных данных обратные задачи спектрального анализа различаются своими постановками. Наибольший интерес представляют обратные задачи, которые допускают единственное решение. В связи с этим особое значение приобретают теоремы единственности.
В настоящей диссертации рассматриваются обратные задачи двух видов: I) определение неизвестной части оператора (обыкновенного дифференциального порядка %VCl ( Щ7/Д, ) или более общего типа) по одному спектру; 2) определение неизвестной общей части двух разных операторов (указанных выше) по их спектрам. В задачах такого вида используется относительно небольшой набор спектральных данных (один или два спектра), наиболее естественных с физической точки зрения, поэтому они могут представлять интерес для решения прикладных задач математической физики.
4.. Остановимся более подробно на некоторых результатах, полученных ранее в теории обратных задач для обыкновенных дифференциальных операторов.
Один из первых результатов в этой области для дифференциальных уравнений 2-ого порядка был получен В.А.Амбарцумяном в 1929г. в работе \l~\ , в которой он показал, что если собственные значения \Atv\Q краевой задачи -u"^+o(x)UCx)^Aucx) (о^х^дг) (o.i), иЧониЧя-З-о (0.2) с непрерывным вещественным потенциалом Л(х) равны {яЛ/о , го С},(х)==0,
Следующий шаг в теории обратных задач для операторов Штурма-
Лиувилля на конечном отрезке был сделан Боргом в 1946 г. в [2] . Основной результат этой работы может быть сформулирован следующим образом: собственные числа ^АцЛо и \H-fr\0 уравнения (0.1) при граничных условиях U^oVjvUlO^O , u4tf") + HuOr)-0 и ^^-^1^(0)=0 , у '(ЭТННуОЮ^О (І4(іі ЛДі, Н^о ), соответственно, однозначно определяют функцию СИх) ПРИ. даняш- ft , пі, п . (Отметим, что Борг накладывал некоторые ограничения на ft. , li , п . В вышеприведенной формулировке теорема была доказана Л.А.Чудовым [,зЗ ). Борг также показал, что потенциал (Мх) , удовлетворяющей условию Cl(x) = Or(^r-x> , определяется однозначно спектром уравнения (0.1) при граничных условиях (0.2) ip= tp)«0 (0.3) и что в общем случае один спектр не определяет функцию 0/(х) однозначно. В работе [_2 3 был предложен также метод построения уравнения (0.1) по двум спектрам. Однако при этом предполагалось, что существует уравнение вида (0.1) такое, что данные последовательности t-Wjo » iRh^o - его спектры.
Обратная задача для синуулярного дифференциального уравнения 2-ого порядка впервые была изучена А.Н.Тихоновым в 1949 г. в работе [43 в связи с некоторыми математическими проблемами электроразведки (см. также [бЗ ) В работе 43 было доказано, что если функция 'и(хД) является при А<0 решением задачи. \Ьп(х) + \*іхШхУ*Оу Х>0 у (Доо>0 (где Jp(x) - кусочно-аналитическая функция, Jp(x»j3o>0 ) , то t>(x> однозначно определяется значениями функции ЖД)- = U,*(o,\y U(OiM при A^0 . Теорема единственности аналогичного типа была доказана также в бЗ
В 1950 г. В.А.Марченко показал, что спектральная функция оператора Штурма-Лиувилля определяет этот оператор однозначно \б]»
Почти одновременно с работой В.А.Марченко Крейн М.Г. опубликовал серию статей Ц7,83 и др., в которых, в частности, изучалась задача построения регулярного оператора Штурма-Лиувилля по двум спектрам.
В 1951 г. И.М.Гельфанд и Б.М.Левитан в работе [ 9"} указали способ построения оператора 2-го порядка по его спектральной функции, а также получили необходимые и достаточные условия для того, чтобы монотонная функция Jp(x> могла быть спектральной функцией такого оператора.
Вопросы о построении дифференциального оператора 2-ого порядка по одному и двум спектрам (регулярный и сингулярный случай) рассматривались также в работах Б.М.Левитана и М.Г.Гасымова [10- ібЦ .
Отметим также ряд статей по обратным задачам спектрального аанализа для уравнений 2-го порядка, в которых доказаны теоремы единственности решения обратных задач в различных постановках (см. [17-22Л ).
Работы советских математиков А.Н.Тихонова, В.А.Марченко, И.М.Гельфанда, М.Г.Гасымова, Б.М.Левитана, М.Г.Крейна, Л.Д.Фадде-ева (см. [4-16], [25-303 ), а также зарубежных ученых Борга [2*\ , Левинсона [22, 31} , Хохштадта [241 ,'Холда [231 и др. позволили создать достаточно полную теорию обратныых задач спектрального анализа для оператора Штурма-Лиувилля как в регулярном, так и в нерегулярном случаях. Однако распространить эту теорию на случай дифференциальных уравнений более высоких порядков не. всегда.... .-. .удается.': ... Например, операторы преобразования вольтеррового вида, используемые при решении обратных задач для дифференциальных уравнений 2-го порядка в методе Гельфанда-Левитана, не всегда существуют для операторов более высокого порядка, как было показано в работах [32-361 . Однако в случае уравнений специального вида, полиномиально зависящих от спектрального параметра, такие операторы существуют C^Vj .
Одна из первых работ по теории обратных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений порядка больше двух на конечном отрезке была опубликована в 1925 г. [383. В этой работе показано, что для самосопряженного выражения. 4-ого порядка один и тот же спектр может соответствовать целому семейству граничных условий, и, следовательно, в общем случае один спектр не определяет однозначно такой оператор. В работах [ 39-433 для обыкновенных дифференциальных операторов порядка больше двух, найдены различные наборы спектральных данных, которые однозначно определяют соответствующий оператор. Так, например, в [423 показано, что для однозначного восстановления оператора \Ь -ого порядка достаточно задать ^|1г- спектров (1Гя ).
И.Г.Хачатрян в [44І (см. также [453 ) рассмотрел вопрос о восстановлении комплекснозначного симметричного потенциала (Ш-)55 -fy(fl"-x), (Ъ(Д) L^(o,$r), по спектру (МпЛі краевой задачи: (-d)ttl^m-)(x)4-^(x)UCx)-j4i^(x>, (0.4) o)*uc^Varj=o,!ro,i,...,m-i; «17/5,. (0.5)
В этой работе найдены достаточные условия на заданную последовательность комплексных чисел { jin\± и такой класс функций, в котором при этих условиях существует только один потенциал (Цх} , порождающий собственные значения i|4.h.\i . Кроме того, показано, что даже при выполнении условия симметрии (Цх) s sCU.fr-x^ потенциал fy(ot) в общем случае спектром задачи (0.4), (0.5) не определяется однозначно.
В работе Садовничего В.А, и Дубровского В.В. [463 рассматривался случай абстрактных самосопряженных операторов, определенных в гильбертовом пространстве H~U,(X,}0 функций, заданных на множестве X и квадратично интегрируемых на X по мереМ..
Предполагалось, что самосопряженный оператор '"f с простым дискретным спектром возмущается ограниченным самосопряженным оператором J? , который реализуется как оператор умножения на функцию Кзс) и не меняет дискретности и простоты спектра. В [46] рассматривался вопрос об определении |р(х) по спектру оператора Т* F . Авторы [46] нашли такой класс функций, в котором решение этой обратной задачи (в предположении, что оно существует), единственно.
В [47] доказан ряд теорем единственности для операторов, порожденных обыкновенным несамосопряженным дифференциальным выражением произвольного порядка на конечном отрезке и неразделенными граничными условиями общего вида. В [48] показано, что коэффициенты самосопряженного дифференциального выражения четвертого порядка, удовлетворяющие некоторым условиям симметрии, однозначно определяются по спектрам двух краевых задач, порожденных этим выражением на конечном отрезке, и разными наборами краевых условий (теорема единственности).
Из работ зарубежных математиков, посвященных обратным задачам для уравнения четвертого порядка с дискретным спектром, отметим работы [49-553 , в которых в качестве исходной информации использованы различные наборы спектральных данных (спектр и нормировочные числа, три спектра и т.д.).
2, Перейдем теперь к более точной постановке задач, которые рассматриваются в диссертации, и формулировке результатов.
Диссертация состоит из введения, глав І, П и дополнения к главе П. Основные результаты диссертации изложены в главе П и дополнении к ней.Глава I носит вспомогательный характер.
В п.1 I главы П рассматриваются две краевые задачи, порожденные уравнением M . (0.6) (-1)^(^(^0 + Z^Lcx)^u)Cx)-J4U(3c) и одним из наборов граничных условий, (0.5) или (0.7): uat)(o)= l|.ut+1Wi=o, t-o,i,...,m-i, (о-?) где Иг>/ , 0^^- П1-А. , ^(х>вЬ^(о,гтг) - комплекснозначные функции ( 1=0,1,..., |\| ). в этом пункте ставится вопрос об определении одного из коэффициентов уравнения (0.6), fyjAx) » по спектру {JM. tv)l задачи (0.6), (0.5) или (0.6), (0.7), в предположении, что остальные коэффициенты &(,(*) С 1=0,1,... ,N> ^i) известны. Сформулированная выше задача конкретизируется следующим образом:
1) Каким условиям должны удовлетворять заданные последова тельность чисел іМа^Г и функции CLiW^- Цт/азг) (1=0,1,... ,МД=Ки? чтобы нашлась задача вида (0.6), (0.5) (или (0.6), (0.7) (т.е. коэффициент fyj,tx) ), имеющая собственные числа i^-tUi ?
Если такая задача существует, то как найти неизвестную функцию Оа(эО ?
Выяснить, одна ли функция Ч/і^ порождает собственные числа чКпЛі или нет?
Относительно 9/І^х) дополнительно предполагается, что: ( (-D* QM-x.) %ш Условий (0.5); d,-(xH u± Ч (0~ '
Ц I L-Vfi ty;(3r-*> для условий (0.7);
В теореме 2.1 описан класс функций (шар в ЬдДО.Я") , центр и радиус которого зависят от исходных данных { Mtv\i >fli,(0» u=0,iv..,N, i+j.) ) и указаны достаточные условия на „исход- ные данные, при которых в этом классе существует единственная функция Ол(х) , порождающая собственные значения {Rjjji Б за~ даче (0.6), (0.5) (или (0.6), (0.7). Эта функция может быть найдена методом последовательных приближений из уравнения, состав- ленного по заданным функциям (hiW (C=o,i,...,/\/, t*p и числам ІН-tJji* Кроме того, вышеуказанное решение fyiC*> обратной задачи устойчиво к малому изменению ^исходных данных.
Отметим, что в теореме 2.1 фактически содержатся два отдельных результата о восстановлении коэффициента Qri&) уравнения (0.6): это уравнение можно рассматривать совместно как с условиями (0.5), так и (0.7).
В п. 2 I главы 2 показано, что от условия (0.8) можно осво-бодиться, определяя коэффициент Q/jOO по двум спектрам ІКїьИ и ІД^)^ » отвечающим задачам (0.6), (0.5) и (0.6), (0.7), соответственно.
В теореме 2.2 описан класс функций и указаны достаточные условия на исходные данные, при которых в этом классе существует единственная функция (Х[(эО , порождающая собственные значения lW too .12) 10о Ч \fi^)A и \р*к)± в задачах (0.6), (0.5) и (0.6), (0.7), соответственно.
Кш функции ty(« получено нелинейное лишение, которое может быть решено методом последовательных приближений. Найденное решение 4/1^ обратной задачи устойчиво к малому изменению -исходных данных.
Перейдем к изложению результатов 2 главы П.
В п. I 2 главы П рассматривается вопрос о восстановлении комплекснозначного потенциала П (х)Є |j,(o,1D по спектру оператора вида Т+(Мх) в Ьд(о,я-) , где оператор Т определяется как некоторая вещественная функция і(х) от самосопряженного дифференциального оператора 2-го порядка, порожденного в L»&(o»fr) выражением ^Ы)" -W"(x; и одним из наборов краевых условий, (0.3) или (0.9): у(0)=иЧ^-0 (0.9)
Такая постановка обратной задачи включает в себя следующие моменты: нахождение условий на данную последовательность комплексных чисел {|Un.\4_ » ПРИ К0Т0РЫХ существует единственный оператор вышеуказанного вида, имеющий собственные числа \ (Чц.^ » указание способа построения функции (Нх) , порождающей собственные числа ір>и\
Относительно потенциала СЦх) дополнительно предпола- гается, что ,№s 1
О(ОГ-х) для условий (0.3) , (0.10) для условий (0.9);
В теореме 2.3 приведены достаточные условия на данную последовательность комплексных чисел \ M-Uli и определен такой класс функций, в котором при указанных условиях существует единственный потенциал 0/(х)Є b&C&JW , порождающий собственные значения
Отметим, что в этой теореме содержатся два отдельных результата о восстановлении (Их) : оператор ПГ может быть определен посредством как краевых условий (0.3), так и (0.9).
Далее, з п. 2 2 главы П показано, что от ограничения (0.10) і "1 можно освободиться, определяя 0(х) по двум спектрам iM-ytli и xKltH » отвечающим операторам вида Т+(Цх) , построенным при помощи граничных условий (0.3) и (0.9), соответственно, зави- % сящим от одного и того же потенциала
В теореме 2.4 приведены достаточные условия на данные после-довательности комплексных чисел iRytj,, и \ Mvum и определен такой класс функций, в котором существует единственный потенциал
,(/»,00 .(О . оо (Их) , порождающий собственные значения ^.М^и и 1Н*из1* Заметим, что в частном случае, когда |C?-VSXW', ftp» А, , Wl -целое число, оператор Т , определенный ранее, допускает описание при помощи дифференциального выражения {(U^-iV*1 U&nt\x) и Краевых условий (0.5) (или (0.7)). В этом случае задача на собственные числа оператора T+fyCx) эквивалентна краевой задаче (0.6), (0.5) (или (0.6), (0.7)) при N=0 и Qfo(X)=Q(T) . Таким образом, оператор, сконструированный выше, является обобщением дифференциального.
В дополнении к главе П показано, что справедливы теоремы Д.І и Д.2, аналогичные теоремам 2.1 и 2.3 главы П, если краевые условия (0.5), (0.7) из I главы П заменить на условия (O.II), (0.12), где ^+^0,.^1^.0 | (0Л1)
I^W^WO Г0'1'-^1'' (0.12) а условия (0.3), (0.9) из 2 главы П - на условия (0.2) и 11(0)= =(Д$ї")=0 » соответственно.
Результаты главы П и дополнения к ней диссертации являются обобщением и дальнейшим развитием упомянутых выше результатов работы [44"] . Во -первых, уравнение (0.4), рассматриваемое в [44 Д , усложняется: в него добавляются промежуточные члены вида fcty№fl)№
Во-вторых, сама постановка обратной задачи обобщается: требуется определить любой коэффициент уравнения (0.6) с наперед заданным индексом і (не обязательно 0,о№), в предположении, что остальные коэффициенты этого уравнения известны. Ограничение (0.8) при этом является обобщением условия симметрии, накладываемого на потенциал ПАХ.) в [4^Д. В-третьих, оказывается возможным рассматривать уравнение (0.6) не только совместно с краевыми условиями (0.5), но также и с условиями (0.7), (O.II), (0.12). Далее, краевой задаче (0.4), (0.5) при условии, что П(х)=0 , соот-вествует самосопряженный оператор Т1 , порожденный дифферен- циальным выражением *^(ц)*С"^1п'^1*) и граничными условиями (0.5), являющейся функцией ^(х^о.^ от самосопряженного дифференциального оператора, порожденного в L&(o,3r.) выражением -{у.)=-у"(х) и условиями (0.3). В п. I 2 главы П результаты работы 443 распространены на случай, когда Т1 является произвольной вещественной функцией -f(x) (не обязательно степенной) от оператора второго порядка, определенного . выше, и также как и в [44] , "возмущается" оператором умножения на функцию fy(x) .
Перейдем к изложению содержания главы I.
Прежде всего отметим, что в упомянутой выше работе [44^ показано, что для собственных чисел {Ш\,\л задачи (0.4), (0.5) с потенциалом CU.x)L^(o,tt) ; занумерованнных в порядке возрастания модулей с учетом алгебраической кратности каждого собственного значения при ft-^o0 верна асимптотическая формула вида: 0 ! оТ ^ (0.13)
Эта формула имеет важное значение для определения потенциала (Их)по спектру \М.ц.\Г задачи (0.4), (0.5). Она позволяет, во-первых, сформулировать необходимое условие, которому должны удовлетворять собственные числа \J4k.VT задачи (0.4), (0.5) при Vt-*o ,и, кроме того, помогает "угадать" метод решения обратной задачи: из (0.13) видна определенная связь между коэффициентами Фурье { І0№Ш>Ьіх&х\ для функции Шх) и собственными значе- ниями {М.^і
В случае обратных задач, поставленных в главе Z и дополнении к ней настоящей диссертации, при решении их методом, близким к тому, что был использован в Ц44] ,также возникает необходимость в асимптотических формулах такой же структуры, связывающих собственные числа М к. и коэффициенты Фурье от неизвестной <|ун- кции. Однако, непосредственное перенесение методики, использованной в |~44j при выводе формулы (0.13), на более общие случаи, рассматриваемые в диссертаций, наталкивается на ряд трудностей: в частности, усложняется аналитический аппарат. Кроме того, при выводе асимптотики (0.13) используются некоторые специфические свойства дифференциальных операторов, порожденных усиленно регулярными краевыни условиями (дискретность и простота спектра при достаточно больших модулях собственных значений, базисность (по Риссу) системы собственных и присоедиенных функций). В нашем случае рпе-ратор вида і + (Мх) , построенный в 2 главы 2, вообще говоря, не является дифференциальным, и здесь, прежде всего, необходимо выяснить вопрос о характере спектра такого оператора. Заметим, также, что заранее не ясно, как должны выглядеть асимптотические формулы, обобщающие (0.13) на тот или иной случай. Однако, характер обобщения можно определить, введя некоторые новые обозначения. А именно, обозначая через Т самосопряженный оператор в Y\- Lix(o>fr) , порожденный дифференциальным выражением ^(у)=С-^)Игу ^W и краевыми условиями (0.5), а через V -оператор умножения на (Ь(х) , заданный на максимальной области определения, мы сведем граничную задачу (0.4), (0.5) к задаче на собственные значения оператора H^+V , определенного на области заданияПГ SB(TF) . Очевидно, что спектр оператора состоит из бесконечной последовательности простых собственных чисел An,- И-гпг » которым отвечают собственные функции
В новых обозначениях формула (0.13) примет вид: JMn= Ak+(V4k,4U-^Cft , (0.14)
На основании сделанного выше замечания возникает следующая прямая задача спектрального анализа: распространить асимптотику (0.14) на случай абстрактного гильбертова пространства п и операторов Т и v , действующих в п .А именно, пусть в гиль бертовом пространстве Н заданы линейные операторы Т (само сопряженный) и V (вообще говоря, неограниченный) с областями определения , соответственно; спектр т со- стоит из бесконечной последовательности простых собственных чисел {AftAl » O^A>i<. Ад^... ) Ац.-*оо , Ц-*с*э t КОТОРЫМ ОТВеЧЭЮТ СОб- ственные функции . Требуется найти доста- точные условия на I и V , при которых a) S(V)aCT)> бЭТ + У , определенный на , замкнут; в) спектр ПГ+ V дискретен и прост при достаточно боль ших модулях собственных чисел; г) для собственных чисел ІМ-цЛі оператора Т+ V , за нумерованных в порядке возрастания модулей с учетом кратности (то тальной) каждого собственного значения при У1 -* верна асимп тотика вида (0.14), где величина Суі допускает явную оценку в терминах 0 - символики при И-^о<= .
Решению сформулированной выше прямой задачи спектрального анализа и посвящена глава I диссертации. В I главы I указаны два набора достаточных условий на I и V , при которых верны свойства а) - г). В 2 главы I приведен ряд примеров, когда операторы і и V определены в одном из гильбертовых пространств L 2 (0,1)-), 1ц, (-с0»»0), і Я и выполнены условия на указанные в I этой главы. В частности, результаты, полученные в I главы I, используются для нахождения асимптотических формул в случае операторов, обсуждаемых в главе П.
Отметим, что в большинстве работ, посвященных исследований асимптотики спектра, изучается главный член асимптотики для функции распределения собственных значений М(Д) (см., например, [56 - 59j ). Однако из этих результатов нельзя получить формулу для собственных чисел J4tt при ft-»« вышеуказанного вида. Отметим также, что в работах 60 - 62] рассматривается вопрос об асимптотике собственных значений JU^, при \і-+о три довольно общих условиях на операторы Т и V , заданные в абстрактном гильбертовом пространстве, но указаны только главные члены асимптотики fiyv . В случае ограниченного оператора V формула вида (0.14) легко следует из результатов работы [63] .
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [72-76].
В диссертации используются следующие обозначения: Т* - оператор, сопряженный к оператору Т .,* Ш , (R~ , С - множества натуральных, вещественных и комплексных чисел, соответственно; - пространство N раз непрерывно дифференцируемых функций на отрезке [0|Я\\ с нормой элемента U(x) '
Сц - число сочетаний из И- элементов по К ; [лф,Щ- гильбертово пространство квадратично-суммируемых на отрезке lc,Jtl функций ULx) с нормой 11^11ж( ^&иЧ.х\ Е - единичный оператор.
Автор выражает искреннюю благодарность научному руководителю профессору Виктору Антоновичу Садовничему за постановку задач и внимание к работе.
