Содержание к диссертации
Введение
1. Дискретно-групповая задача для линейных дифференциальных уравнений 15
1.1. Постановка задачи 15
1.2. Уравнение сдвига спектрального параметра и уравнение связи 19
1.3. Прямая дискретно-групповая задача 20
1.3.1. Уравнение Бесселя 20
1.3.2. Уравнение Уиттекера 21
1.3.3. Уравнение Ломмеля 22
1.3.4. Уравнение Вебера (параболического цилиндра) . 23
1.3.5. Уравнение присоединенных функций Лежандра . 23
1.3.6. Уравнение гармонического осциллятора 26
1.4. Обратная задача 26
1.4.1. Линейное уравнение с постоянными коэффициентами 26
1.4.2. Уравнение Лежандра 29
1.4.3. Уравнение Эрмита 32
1.4.4. Уравнение Чебышева для полиномов 1-го и 2-го рода 35
1.4.5. Уравнение Лагерра 39
1.4.6. Уравнение Гегенбауэра 42
1.4.7. Уравнение Якоби 44
1.4.8. Уравнение Куммера 46
1.5. Заключение к первой главе 48
2. Аналитические свойства преобразования Мёбиуса и их приложения 53
2.1. Преобразование Л ОДУ 2-го порядка 53
2.2. Локальное поведение решений ЛОДУ 56
2.2.1. Основные понятия 56
2.2.2. Влияние дробно-рационального преобразования на локальное поведение решений 59
2.3. Дробно-квадратичное преобразование 68
2.4. Глобальное поведение решений 70
2.4.1. Основные понятия 70
2.4.2. Влияние дробно-рационального преобразования на глобальное поведение решений 71
2.5. Приложения преобразования Мёбиуса 77
2.5.1. Гипергеометрическое уравнение и уравнение Гойна 77
2.5.2. Конфлюэнтное гипергеометрическое уравнение и конфлюэнтное уравнение Гойна 81
2.5.3. Уравнение Гойна и уравнения класса Фукса с шестью и более особыми точками 84
2.5.4. Конфлюэнтное уравнение Гойна 84
2.5.5. Уравнение Эйри 85
2.5.6. Уравнение Вебера (параболического цилиндра) . 86
2.6. Заключение ко второй главе 87
Библиографический список 89
- Уравнение сдвига спектрального параметра и уравнение связи
- Уравнение присоединенных функций Лежандра
- Уравнение Лагерра
- Влияние дробно-рационального преобразования на локальное поведение решений
Введение к работе
С момента появления дифференциальных уравнений в математической практике проблема поиска их решений в замкнутом (аналитическом) виде остается актуальной, несмотря на появление мощного аппарата качественной, аналитической и численной теорий, а также электронных вычислительных средств. Причина этого кроется в первую очередь в потребности большинства прикладных наук в представлении решений модельных уравнений в виде точных аналитических формул с явно заданными зависимостями от параметров, имеющих ясный физический смысл.
На протяжении XX века интерес к точным методам решений то затухал, то снова возрастал, и к настоящему времени возникла ситуация, когда возможности классических методов уже явно исчерпаны, а количество сложных моделей (с большим числом параметров, имеющих неединственное решение и др.) резко растет. Методы классического группового анализа хорошо себя зарекомендовали в теории уравнений с частными производными, а применение их при интегрировании обыкновенных дифференциальных уравнений чаще всего дает предсказуемый результат и является не слишком продуктивным. В конце XX века появился дискретно-групповой анализ [14], который оперирует с конкретным классом уравнений. При этом любой элемент класса определяется набором существенных параметров, которые и изменяются под действием преобразования, в то время, как структура уравнения остается инвариантной. Таким образом, дискретная группа преобразований является группой эквивалентности. Она позволяет расширить множество разрешимых уравнений в случае, если известно хоть одно разрешимое уравнение при каком-то выбранном значении существенного параметра.
Множество преобразований, оставляющих неизменным структуру уравнения, но меняющим набор существенных параметров, образуют группу. Элемент группы преобразует уравнение исходного класса в уравнение того же класса, и решение исходного уравнения в решение конечного. Множество всех уравнений данного класса образуют орбиту, если все элементы связаны между собой элементами группы.
Рассмотрим задачу Штурма-Лиувилля с обычными краевыми условиями [v (x)p(x)]r + v(x)[q(x) + \r(x)) = 0. В качестве существенного параметра выберем спектральный параметр Л. Если при фиксированных краевых условиях удалось бы его изменять, то мы получили бы связь собственных функций оператора Штурма-Лиувилля, отвечающих различным значениям спектрального параметра. В работе строится преобразование Мёбиуса, которое в некоторых случаях позволяет реализовать решение поставленной задачи. При этом значения спектрального параметра образуют циклическую группу Соо, которая при наложении краевых условий ("правила отбора") может выродиться в псевдогруппу. Знание дискретной группы (псевдогруппы) позволяет восстановить весь спектр по одному известному значению (прямая задача дискретно-группового анализа).
Преобразование Мёбиуса основано на том, что Л ОДУ второго порядка связано с уравнением Риккати, которое инвариантно относительно дробно-линейного преобразования. При этом ключевым моментом является то, что существует "уравнение связи", которое связывает решения начального и преобразованного уравнения, соответствующие различным значениям параметра А.
Наличие 3-х независимых параметров преобразования позволяет при должном их подборе менять спектральный параметр А. Но в большинстве случаев это не реализуемо прямыми методами. Для этого в настоящей диссертации разработан дискретный аналог обратной задачи, заключающийся в следующем: пусть нам известны множество значений параметра А и решения уравнения при различных значениях параметра А. Реализуем преобразование Мёбиуса с тремя независимыми параметрами преобразования так, чтобы решение начального уравнения преобразовывалось в решение конечного уравнения. При этом значения параметров преобразования нам не известны, но известно условие, названное "уравнением сдвига спектрального параметра" (далее УССП), которому параметры преобразования должны удовлетворять, чтобы такая трансформаия была возможна. УССП является нелинейным уравнением третьего порядка относительно параметров преобразования. Если бы мы решили УССП относительно параметров, то получили бы желаемое изменение спектрального параметра. Это в большинстве случаев невозможно. Но, решения начального и ко нечного уравнения удовлетворяют "уравнению связи", которое зависит и от параметров преобразования. При этом относительно параметров преобразования это "уравнение связи" линейно, точнее сводится к линейному. Из него можем получить значения параметров преобразования, при которых возможна трансформация спектрального параметра. Очевидно, что найденные из уравнения связи параметры преобразования будут удовлетворять и УССП.
Таким образом, получаем алгоритм для решения нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений 3-го порядка. В некотором смысле он аналогичен обратной задаче теории рассеяния, в которой эволюция данных рассеяния представляется решением линейных дифференциальных уравнений. Заметим, что среди классов нелинейных уравнений, решаемых методом обратной задачи дискретно-группового анализа, имеются и "неприводимые", т.е. уравнения, порядок которых невозможно понизить известными к настоящему времени методами (напомним, что простейшим "неприводимым" уравнением является первое уравнение Пенлеве у" — 6у2 + х).
Впервые идея постановки обратной задачи дискретно-группового анализа балы выдвинута Кормилициной Т.В. и Зайцевым В.Ф. Были предприняты попытки построить общую теорию обратных дискретных задач. Но, в основном, были построены многочисленные примеры. Причинами относительных неудач явились: 1) выбор в качестве промежуточного уравнения 3-го порядка, что существенно осложнило алгоритм, и 2) отсутствие мощных систем аналитических вычислений на ЭВМ.
В настоящей работе выполнены общие исследования обратной задачи дискретно-группового анализа и результаты, полученные в ней, открывают путь к ее регулярному применению. Существенное видоизменение алгоритма, предложенные автором настоящей работы, позволило резко снизить трудоемкость вычислений. Применение теории обратных задач особенно перспективно для поиска решений нелинейных дифференциальных уравнений. В работе приведен широкий класс уравнений, найдено его решение.
Заметим, что еще в начале XIX столетия математики поняли, что зависимую переменную в дифференциальном уравнении (ДУ) далеко не всегда можно представить в виде конечной композиции известных к тому моменту функций. Тогда и были предприняты первые попытки увеличить количество математических функций за счет присоединения к ним новых, являющихся решениями дифференциальных уравнений. Это привело к мысли об исследования решения дифференци ального уравнения и его свойств по его виду, так как известно, что решение является линией в фазовом пространстве - интегральной кривой. Подобный подход характерен для качественной теории дифференциальных уравнений. О.Коши предложил рассматривать решения дифференциальных уравнений как функции комплексной переменной. При этом независимая и зависимая переменные в дифференциальном уравнении предполагаются комплексными переменными и при исследовании дифференциального уравнения используются все достижения теории функций комплексного переменного. В основном, изучаемые в аналитической теории уравнения являются многочленами относительно зависимой переменной и ее производных, а коэффициенты - аналитические функции. Поведение решения и область его существования определяется точками, где нарушается аналитичность функции - особыми точками. В точках регулярности же решение определяется внутри некоторой окружности и задается элемент аналитической функции, удовлетворяющий ДУ, и все аналитические продолжения этого элемента на всю область тоже удовлетворяют этому ДУ согласно теореме о монодромии [48]. Поэтому аналитическая функция в целом есть также решение того же дифференциального уравнения [60], [5]. Оказывается, что решения ДУ могут являться многозначными функциями, поэтому приведем классификацию особых точек аналитических функций -решений ДУ, которая впервые была предложена Пенлеве [4]. Эта классификация основана на числе значений, которые принимает функция при обходе вокруг особой точки.
Определение. Особая точка z = ZQ функции w(z) называется критической особой точкой, если при обходе этой точки значение функции w(z) меняется. В противном случае особая точка z = ZQ функции w(z) называется некритической.
Пусть п - наименьшее целое число (п 1), такое, что после п-кратного обхода точки z = ZQ значение функции w(z) возвращается к первоначальному значению. Тогда w(z) выражается через z в виде
1 2
w(z) = а0 + a\(z - z0)» + a2(z - zo)« + ...
и точка ZQ называется критической алгебраической точкой. В случае если w(z) представима в виде
w(z) a-m(z - zo) + ...+ a-i(z - z0) » + a0 + ...,
то точка z = ZQ называется критическим полюсом.
Если после однократного обхода значение функции совпадает с начальным, то такая особая точка называется особой точкой однознач ного характера, a w(z) представима рядом Лорана W(Z) = ]L ak{z Z0)k. k=—oo
В случае, если w(z) содержит логарифмические слагаемые, то особая точка является трансцендентной.
Каждый раз обход совершается по контуру (или ему гомотопному), не охватывающий других особых точек.
Рассмотренная классификация типов особых точек была дана без учета их расположения на комплексной плоскости. Немецкий ученый Л. Фукс разделил особые точки по их отношению к начальным условиям [26], поскольку одни особые точки решений могут зависеть от начальных данных, другие - нет.
Определение. Особые точки решений дифференциальных уравнений на комплексной плоскости, положение которых не зависит от начальных данных, определяющих решение, называются неподвижными особыми точками.
Определение. Особые точки решений дифференциальных уравнений, зависящие от начальных данных, называются подвижными особыми точками.
Важные результаты были получены Пенлеве и его учениками Гам-бье, Гарнье, Шази, касающиеся классификации уравнений 2-го порядка в зависимости от наличия подвижных особых точек. Он доказал, что отсутствие критических подвижных особых точек является признаком наличия решения ДУ.
Аналитическая теория дифференциальных уравнений развивалась параллельно с общей теорией. Начало ее развитию было положено в работах Коши, который для широкого класса уравнений доказал существование интегралов, которые не приводятся к вычислению интегралов от известных функций, а сами интегралы не выражаются конечными комбинациями известных функций, т.е. представляют собой некоторые аналитические функции комплексного переменного. Результаты Коши носили локальный характер. Поведение интегральных кривых изучалось лишь в области, определяемой начальными данными. Но этот метод не давал возможности изучить поведение интеграла как аналитической функции во всей области его существования.
Для линейного дифференциального уравнения показано, что его особыми точками могут быть только особые точки его коэффициентов. В окрестности регулярных особых точек решения ДУ второго порядка можно представить в виде Wl = (z-zk)Kl[ci0 + cn(z-zk) + ...], , . W2 = (z-Zk)K [c20 + C2l(z-Zk) + ...], l J где zk - особые точки коэффициентов, а К{, і = 1, 2 - характеристические показатели (показатели ветвления) решений. Правда, одно из решений может содержать логарифмическую особенность. Разность показателей ветвления \к\ — К2І является инвариантным показателем решений, определяет их поведение в окрестности особой точки. При этом особыми точками ЛОДУ могут быть только особые точки коэффициентов самого уравнения. Автором данной работы разработан алгоритм изменения главного показателя особой точки - разности показателей ветвления решений - на целое число. При разработанном алгоритме появляется возможность менять и набор особых точек: преобразование Мёбиуса, изученное в данной работе, позволяет получать новые уравнения, отличающиеся от исходного наличием дополнительных произвольно расположенных ложных1) особых точек. Следовательно, конечное уравнение, отличающееся набором особых точек, может быть проинтегрировано в терминах известных специальных функций, гипергеометрических, к примеру. На основе хорошо изученных уравнений, таких как гипергеометрическое уравнение и его конфлюэнтной версии, уравнениях Эйри и Вебера, были построены более сложные, такие как уравнения Гойна2) и его конфлюэнтная модификация, и, следовательно их решения могут быть выражены в терминах известных специальных функция. Кроме этого, как само уравнение Гойна, так и все его конфлюэнтные версии, имеют широкие приложения в задачах теоретической и математической физики.
Так как преобразование Мёбиуса обладает групповыми свойствами, то обращая преобразование появляется возможность "стирать" ложные точки, упростить тем самым структуру римановой поверхности, задаваемой решениями ДУ.
Согласно аналитической теории, если взять произвольную систему интегралов Wi, то после обхода вокруг особой точки z\ получим интегралы Щ: которые будут выражаться через Wi при помощи соотношений Щ = anwi + CL12W2, Щ = a2\W\ + «22 2, что означает, что над фундаментальной системой начальных интегралов было произведено линейное преобразование с матрицей А = \o-ijYiZ\2- Аналогично, при обходе вокруг иной особой точки Z2 фундаментальная система решений претерпевает преобразование с матрицей В = [bij]\Zi2. Набор этих матриц образуют группу монодромии: при одновременном обходе вокруг двух особых точек z\ и Z2 линейное преобразование решений задается матрицей В А, при этом произведение матриц не коммутативно, но ассоциативно, а обход в обратном направлении задается линейным преобразованием с матрицей Л-1 (рис. 1).
Эти факты позволяют изучать поведения интегралов при обходе ими особых точек, т.е. во всей комплексной плоскости. А определение группы монодромии есть основная задача интегрирования линейного дифференциального уравнения, поставленная в самом общем случае, так как по матрице монодромии можно определить поведение решения в окрестности особой точки.
Некоторые многозначные функции, имеющие заданные особенности, определяются в основном при помощи задания соответствующей группы монодромии. Поэтому к уравнению класса Фукса можно подойти и с других позиций. К примеру, приведем задачу: найти все многозначные функции с тремя особыми точками 0, 1 и оо и заданной группой монодромии. Такая постановка приведет нас к построению гипергеометрического уравнения Гаусса, так как функции, удовлетворяющие поставленным выше условиям являются интегралами уравнения Гаусса, и, следовательно, могут быть выражены через гипергеометрические функции. Поставленную задачу можно обобщить, взяв большее число особых точек. Однако, когда в уравнении число особых точек больше 3-х, то в уравнении появляются акцессорные параметры, т.е. параметры, от которых не зависят характеристические показатели решений уравнения, но зависит группа монодромии. Пока нет методов, позволяющих по группе монодромии определить акцессорные параметры, а, следовательно, и само уравнение. В общем случае задача об определении функций, удовлетворяющих ЛОДУ и с заданным набором особых точек и группой монодромии была поставлена Гильбертом - эта проблема существования ЛОДУ, имеющих заданный набор особенностей и группу монодромии. Проблема получила название 21 проблемы Гильберта. Первые попытки в решении данной проблемы осуществил сам Гильберт, Племель.
В настоящий момент матрицы монодромии в полной мере известны только для гипергеометрического уравнения Гаусса и его конфлю-энтных версий, и являются "сердцевиной теории гипергеометрических рядов", они следуют из пяти формул Больца1). Свойства решений в окрестности каждой особой точки описываются Р-функцией Римана, но они не описывают полностью дифференциального уравнения на всей комплексной плоскости (при числе особых точек большим трех), так как решения полностью не определяются только лишь характеристическими показателями, но и акцессорными параметрами, входящими в коэффициенты уравнения. Этот недостаток могло бы устранить знание закона аналитического продолжения вдоль контура, не проходящего через особые точки уравнения, так как этому обходу соответствует линейное преобразование фундаментальной системы решений. Автором данной работы получены подобные формулы для уравнений класса Фукса с любыми 3 особыми точками и при произвольно расположенных на комплексной плоскости ложных особых точках. Следовательно, знание группы монодромии позволило бы описать полностью всю локальную теорию уравнений класса Фукса, но и глобальную теорию, поскольку стали известны законы аналитического продолжения на всю плоскость.
В случае уравнений класса Фукса с числом особых точек большим 3-х можно ставить сингулярные задачи Штурма-Лиувилля, в которых роль спектрального параметра играет акцессорный параметр. К примеру, в уравнении Гойна
X - спектральный параметр. На концах промежутка строго фиксировано поведение решений. Осуществляется поиск Х{ для параметра Л, при котором решения ведут себя предписанным образом, к примеру, убывают, как показано но графике ниже (рис. 2.) (предположили, что особые точки находятся на вещественной оси, в противном случае этого всегда можно добиться заменой независимой переменной).
Тогда на интервале [zi, 22], где z\ и z% - особые точки, которые могут находиться и на бесконечности, выделяем решения с подходящим локальным поведением в конечных точках рассматриваемого интервала. Вообще говоря, для уравнения сп + 1 особыми точками можно ставить п + 1 таких задач Штурма-Лиувилля, но они эквивалентны в том смысле, что любой интервал может быть переведен в [0, 1] заменой независимой переменной. К сожалению, задача Штурма-Лиувилля для уравнения класса Фукса решена лишь в нескольких частных случаях. Одним из важных результатов данной работы является то, что с помощью построенного преобразования Мёбиуса появляется возможность контролируемым образом менять значение спектрального параметра при увеличении числа особых точек, и это значение будет зависеть от скейлингова параметра новых ложных особых точек, т.е. от из расположения. С учетом этого обстоятельства появляются возможности для решенныя сингулярных задач Штурма-Лиувилля.
Однако, более общей, чем сингулярная задача Штурма-Лиувилля, является центральная двухточечная задача связи. Приведем формулировку этой задачи: пусть в окрестности регулярной особой точки найдены решения v\{z\,z) и V2(z\,z), а два других решения vi(z\,z), V2{z\,z) найдены в окрестности особой точки Z2- Эти решения связаны друг с другом матрицей перехода (связи)Л: V = AV. Построить эту матрицу л, значит решить двухточечную задачу связи. Пока она решена только для уравнения гипергеометрического класса и выражается в терминах гамма-функций. Частным случаем является боковая задача связи, заключающаяся в нахождении матрицы, связывающей решения уравнения до и после обхода особой точки.
Для уравнения класса Фукса задача аналитического продолжения из окрестности одной особой точки в другую при фиксированном поведении в обеих точках сводится к определению матрицы связи. Матрицы связи, получаемые при этом и при обходе вокруг особой точки и составляют данные монодромии. Автором работы получены данные монодромии для уравнений с любыми 3 особыми точками и любым количеством произвольно расположенных ложных особых точек. Более того, в работе показан алгоритм, позволяющий менять данные монодромии при переходе от уравнений с разным набором особых точек.
Цели и задачи работы.
1. Разработка алгоритмов решения обратной задачи дискретно-группового анализа.
2. Поиск некоторых классов нелинейных дифференциальных уравнений 3-го порядка, имеющих явное решение и нахождение этих решений.
3. Поиск наиболее общих преобразований ЛОДУ 2-го порядка.
4. Изменение локального поведения решений уравнений класса Фукса и получение информации об их глобальном поведении.
На защиту выносятся следующие результаты:
1. Построение общего алгоритма решения обратной задачи дискретно-группового анализа.
2. Получение решения класса нелинейного дифференциального уравнения 3-го порядка.
3. Решение прямых задач Штурма-Лиувилля, разработка алгоритма изменения некоторых параметров в уравнениях гипергеометрического класса и его конфлюэнтных и биконфлюэнтных версиях.
4. Разработка алгоритма изменения показателей ветвления решений Фробениуса уравнения в окрестности особой точки.
5. Изменение набора особых точек уравнения за счет присоединения ("стирания") ложных особых точек.
6. Интегрирование уравнений в окрестности особых точек в терминах известных специальных функций.
7. Получение информации о глобальном поведении (данных моно-дромии) для уравнений с двумя или тремя особыми точками любого типа и любым количеством произвольно расположенных на комплексной плоскости ложных особых точек.
8. Возможность контролируемым образом менять значение спектрального параметра уравнений класса Фукса с числом особых точек, большим трех.
Апробация работы. Основные материалы данной работы докладывались и обсуждались на:
• на научном семинаре ПОМИ им. Стеклова в марте 2003г.,
• научных конференциях "Герценовские чтения", проводившихся в апреле 2003 г. и в апреле 2004 г.
• на региональной международной конференции "Региональная информатика - 2004" в Санкт-Петербурге в июне 2004 г.,
• на "Чеботаревских чтениях" в Казани в июне 2004г.
• на международной конференции "Дни дифракции" в Санкт-Петербур в июле 2004г.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в семи работах [23], [49]-[54]. Результаты, полученные в совместной работе [23], принадлежат авторам в равной мере.
Уравнение сдвига спектрального параметра и уравнение связи
Из приведенных УССП можно находить коэффициенты уравнения, при которых происходит изменение параметра. Для этого надо решить (1.13) или (1.14) или (1.15), учитывая соотношение между Y(x) и М(х) и значение М{х). Приведем несколько примеров восстановления множества значений параметра. Запишем уравнение Бесселя [33] в самосопряженной форме параметры преобразования следующим образом: а(х) = х, /3(х) = х, у(х) = х, 6(х) = А. При таком выборе параметров ноль N(z) совпадает в особой точкой уравнения Бесселя, что согласно теореме 2.6, доказанной во второй главе, влечет изменение характеристических показателей в точке х — 0. Уравнение (1.8) примет вид Появилась новая особая точка (как результат вырождения дробно-линейного преобразования (теорема 2.5), но ее можно устранить заменой и = ух1 х(Х — х) хе х. В конечном уравнении Бесселя значение параметра Л отличается на 1 от начального, а разность характеристических показателей изменилась на 2. Теми же преобразованиями можно изменить на 1 значение параметра Л и у модифицированного уравнения Бесселя: Уравнением Уиттекера [27] называют уравнение: Его нормальная форма имеет вид (здесь использована нормальная форма по причине того, что изменение параметров становится более наглядным). Напишем коэффициенты самосопряженной формы: р(х) = x1+2lJ,e x, q(x) = 0, r(x) = х2 е х, А — к — и — \. Будем восстанавливать множество параметров кии. Для этого в преобразовании Мёбиуса используем следующие параметры преобразования: а(х) = а + а\х, /3(х) = / + /3\х} у(х) — 7іж+7о й(х) — l + o- Конечное уравнение (1.8) приведем к нормальному виду. Зависимость параметров преобразования и параметров &, и представлены в таблице: Параметры преобразования (, Как можно видеть, преобразование Мёбиуса меняет на целые и полуцелые значения параметр к и /І. ЕСЛИ фиксировать параметр к, то можно менять на целые значения параметры //, т.е. \х выступит в роли существенного параметра [16]. В приложениях встречается уравнение Ломмеля [36]: форме его коэффициенты имеют вид: параметры преобразования: а(х) = х, /3(х) = 1, 70 0 = х- 6(х) = Jo- Этот выбор обусловлен необходимостью совместить особую точку х = 0 уравнения Ломмеля с нулем N(x) (теорема 2.6). Поло жив 6о = тп — к в уравнении (1.8) и домножив на х к+п тпе тп-к- , уменьшим значение параметра на 1, а положив 6Q = — к — тп и до 2 2п множив (1.8) на х к+п+тпе 2(ran+ +1 , увеличим значение параметра m на 1. Таким образом, с помощью преобразования Мёбиуса появляется возможность менять значение параметра га в уравнении Ломмеля на целое число. Уравнением параболического цилиндра [36] называют уравнение вида
Оно принадлежит к классу уравнений Штурма-Лиувилля, так как Подберем параметры преобразования следующим образом: а(х) = 1, /3(х) = х, 7( ) — 2, 5(х) = х. Приводя полученное уравнение (1.8) к нормальному виду, обнаружим, что спектральный параметр увеличится на единицу: Л —У А +1, но если 7( ) = —2, то А — А — 1. Принципиально эти два случая не отличаются, так как второе можно рассматривать как обращение первого преобразования. Дифференциальным уравнением присоединенных функций Лежандра [35] называют уравнение вида где к Є N U {0}, а п Є Е. Известно [35], что полином, называемый присоединенной функцией Лежандра, и определяемый формулой удовлетворяет уравнению (1.18). Это уравнение играет большую роль при решении уравнения Лапласа в сферических, полярных и сфероидальных координатах [44]. Подстановкой у = (1 — x2) v уравнение (1.18) сводится к которое принадлежит к классу уравнений Штурма-Лиувилля: Применим преобразование Мёбиуса. Опишем пространство параметров к и п в зависимости от параметров преобразования. Параметры преобразования: а — 1, /3 = 1, 7 = х, & — -иГ " Полученное уравнение (1.8) после подстановки, уничтожающей новую устранимую особую точку х = — , возник шую в результате вырождения дробно-линейного преобразования (теорема 2.5) примет канонический вид (1.19), но параметр к изменится так: к —У — (к + 2) . В этом случаем преобразование Мёбиуса порождает циклическую группу, а пространство параметров к образует множество из двух элементов {к, —(к + 2)}. Так как к по условию целое неотрицательное, то если после каждой итерации будем снова возвращаться к исходной форме записи (1.18) подстановкой и = гс(1 — х2) 2 } то параметр будет увеличиваться на 2: (—к — 2)2 = (к + 2)2. И снова, повторяя данное преобразование, можем менять параметр к на четное число. 2. Параметры преобразования: 8(х) = "yik — jin, j(x) = jix, а(х) = 1, /3(х) = 1. Далее приводим полученное уравнение (1.8) к каноническому виду подстановкой, уничтожающей устранимую особую точку, где Пространство параметров изменится так: к — к +1, — — гс В этом случае множество параметров п состоит из двух элемен тов {п, — п}, а пространство параметра /г совпадает с Z. Повторяя данное преобразование четное число раз, знак п не изменится. Обращая же данное преобразование можем свести значение к к нулю, т.е. получить уравнение Лежандра. Но если к каноническому виду будем приводить подстановкой
Уравнение присоединенных функций Лежандра
В приложениях встречается уравнение Ломмеля [36]: форме его коэффициенты имеют вид: параметры преобразования: а(х) = х, /3(х) = 1, 70 0 = х- 6(х) = Jo- Этот выбор обусловлен необходимостью совместить особую точку х = 0 уравнения Ломмеля с нулем N(x) (теорема 2.6). Поло жив 6о = тп — к в уравнении (1.8) и домножив на х к+п тпе тп-к- , уменьшим значение параметра на 1, а положив 6Q = — к — тп и до 2 2п множив (1.8) на х к+п+тпе 2(ran+ +1 , увеличим значение параметра m на 1. Таким образом, с помощью преобразования Мёбиуса появляется возможность менять значение параметра га в уравнении Ломмеля на целое число. Уравнением параболического цилиндра [36] называют уравнение вида Оно принадлежит к классу уравнений Штурма-Лиувилля, так как Подберем параметры преобразования следующим образом: а(х) = 1, /3(х) = х, 7( ) — 2, 5(х) = х. Приводя полученное уравнение (1.8) к нормальному виду, обнаружим, что спектральный параметр увеличится на единицу: Л —У А +1, но если 7( ) = —2, то А А — 1. Принципиально эти два случая не отличаются, так как второе можно рассматривать как обращение первого преобразования. Дифференциальным уравнением присоединенных функций Лежандра [35] называют уравнение вида где к Є N U {0}, а п Є Е. Известно [35], что полином, называемый присоединенной функцией Лежандра, и определяемый формулой удовлетворяет уравнению (1.18). Это уравнение играет большую роль при решении уравнения Лапласа в сферических, полярных и сфероидальных координатах [44]. Подстановкой у = (1 — x2) v уравнение (1.18) сводится к которое принадлежит к классу уравнений Штурма-Лиувилля: Применим преобразование Мёбиуса. Опишем пространство параметров к и п в зависимости от параметров преобразования. Параметры преобразования: а — 1, /3 = 1, 7 = х, & — -иГ " Полученное уравнение (1.8) после подстановки, уничтожающей новую устранимую особую точку х = — , возник шую в результате вырождения дробно-линейного преобразования (теорема 2.5) примет канонический вид (1.19), но параметр к изменится так: к —У — (к + 2) . В этом случаем преобразование Мёбиуса порождает циклическую группу, а пространство параметров к образует множество из двух элементов {к, —(к + 2)}. Так как к по условию целое неотрицательное, то если после каждой итерации будем снова возвращаться к исходной форме записи (1.18) подстановкой и = гс(1 — х2) 2 } то параметр будет увеличиваться на 2: (—к — 2)2 = (к + 2)2. И снова, повторяя данное преобразование, можем менять параметр к на четное число. 2. Параметры преобразования: 8(х) = "yik — jin, j(x) = jix, а(х) = 1, /3(х) = 1. Далее приводим полученное уравнение (1.8) к каноническому виду подстановкой, уничтожающей устранимую особую точку, где Пространство параметров изменится так: к — к +1, —— гс В этом случае множество параметров п состоит из двух элемен тов {п, — п}, а пространство параметра /г совпадает с Z. Повторяя данное преобразование четное число раз, знак п не изменится. Обращая же данное преобразование можем свести значение к к нулю, т.е. получить уравнение Лежандра. Но если к каноническому виду будем приводить подстановкой (последний множитель уничтожает устранимую особую точку) где то параметры претерпят следующие изменения: к — — (к + 1), п — п — 1 . Пространство параметров & состоит из двух значений {к, —к — 1}, но произведение &(& + 1) от этого не изменится, а п при каждой итерации будет меняться на единицу. 3. Параметры преобразования: j(x) = j\x, а(х) = х, /3(ж) = х, 6(х) = п+к+1. Приводя (1.8) к каноническому виду подстановкой где пространство параметров изменится следующим образом: к — к + 1, п — п + 1 . Это означает, что множеством значе ний параметра к := 1,2,..., а параметр п каждый раз будет меняться на единицу. Но если приводить к каноническому виду подстановкой и(х) = w(x)(x + iyi0(x - iyil(-n -k-l + x) І12 ГДЄ tio- -3( + 1+ nj, tn- ЩЩ , 12- , параметры изменятся следующим образом: к — —(к-\-1), п — п+1 . Так как произведение к(к + 1) не изменится, то будет меняться лишь произведение п(п + 1). Итак, преобразованием Мёбиуса можно менять на целые значения параметр к или п, при этом каждый раз в конечном уравнении появляется устранимая точка, которая ликвидируется элементарным множителем. Аналогичным образом восстанавливается множество значений некоторых параметров и других уравнений для присоединенных функций, таких как присоединенных функций Якоби, Чебышева, Лагерра, Эр-мита. Изменим значение спектрального параметра в уравнении гармонического осциллятора параметры преобразования а(х) — 0, j3(x) = #, у(х) = —1) 5(s) = # Конечное уравнение, приведенное к нормальному виду, у"{х)+у{х){—х2— А + 2) = 0, отличается от исходного спектральным параметром. Цель исследования состоит в следующем: для заданного уравнения получить сдвиг спектрального параметра. Для этого надо решить уравнение сдвига спектрального параметра относительно параметров преобразования j(x), что далеко не всегда возможно. Но известно, что решения начального и конечного уравнения связаны формулой (1.17). Если известны решения начального и конечного уравнения, соответствующие разным (или одинаковым) значениям спектрального параметра, то можно подобрать параметры преобразования, удовлетворяющие уравнению (1.17); очевидно, что эти параметры преобразования будут удовлетворять и уравнению сдвига спектра.
Таким образом, устанавливается соответствие между уравнениями (1.17) и (1.13), что позволяет получать решения некоторых классов дифференциальных нелинейных уравнений. Можно искать нетривиальные решения уравнения связи (1.17), решая УССП, но можно поступить и наоборот. Зная решение УССП, будем знать и решение уравнения связи. Как покажут дальнейшие примеры, уравнение связи, как правило разрешимо, так как сводится к линейному, если решение начального уравнения v(x) = 1 и q(x) = 0. В этом смысле данная постановка задачи эквивалентна обратной задаче рассеяния [1], где данные рассеяния восстанавливаются решением линейных уравнений [28]. Линейное уравнение с постоянными коэффициентами: 0, а параметр равен А2. Теорема 1.1 Преобразование Мёбиуса связывает решения уравнения (1.20), соответствующие разным значениям параметра А. Доказательство. В ходе доказательства этой теоремы будет показано, что отрицательный параметр —Л2 можно трансформировать в произвольный отрицательный — ь 2, то же самое и для положительных параметров Л2 — г/2, а также возможность менять знак параметра Л = 0. а) Частные решения начального уравнения v(x) = еХх и конечного уравнения и(х) = еих (можно брать в данном случае любые частные решения) подставим в уравнение связи (1.17) и решим его Следовательно, найдено решение соответствующего УССП: построен непрерывный сдвиг параметра —Л2 — —и2. б) Покажем теперь, что можно менять знак параметра. Пусть част ное решение начального уравнения v(x) = cos Ах соответствует параметру А2, а решение конечного и(х) = еих соответствует — и2. Решение уравнение связи является и решением соответствующего УССП: которое получается из (1.21) заменой А2 на —А2. в) Трансформируем теперь нулевое значение параметра в произволь ное значение, к примеру отрицательное, т.е. преобразуем v"{x) = 0 в и"{х) — v2u{x) = 0. Решение начального уравнения v(x) = х)можно использовать любое частное решение, к примеру sin Ах ax + b, а частное решение конечного u(x) = evx. Тогда уравнение связи имеет решение которое будет удовлетворять уравнению связи менее, уравнение связи и само разрешимо: что означает, что можно решать и прямую задачу только на осно ве УССП, преобразуя значение параметра в нулевое, а из нулевого в требуемое.
Уравнение Лагерра
Уравнение Куммера [27] (конфлюэнтное гипергеометрическое уравнение) можно записать в виде: или в самосопряженной форме: Оно. очевидно, принадлежит к классу уравнений Штурма Лиувилля, так как Теорема 1.9 Преобразование Мёбиуса связывает решения уравнения, Куммера, соответствующие разным значениям, параметра ц. Доказательство. Как и ранее, будем преобразовывать уравнение с начальным значением параметра А = 0 и соответствующее ему частное решение v(x) = 1 в уравнение со значением параметра Л = т ф О и частным решением и(х) — Кт. Однородную часть полученного уравнения связи приведем к нормальной форме Оно совпадает с нормальной формой уравнения (1.52), поэтому известно его фундаментальное решение. Следовательно, можно построить общее решение неоднородного уравнения связи: Пример 1.9. Пусть в уравнении (1-52) // = 3. Преобразуем значение параметра Л = 0 в Л = 3. Выберем начальное решение v(x) = KQ — 1, конечное решение и(х) — К\ = х 2. Общее решение уравнения связи (1.53) в этом случае где Ei(l, х) экспоненциальный интеграл, будет решением (1.54) при т — 2 и ц = 3. Само же уравнение (1-52) трансформируется следующим образом: С помощью преобразования Мёбиуса для тех уравнений, для которых необязательно VQ(X) ф 1 или q(x) ф О, подбором параметров преобразования и приведению к каноническому виду удавалось решить прямую дискретно-групповую задачу, т.е. задачу восстановления параметра (не обязательно спектрального). Рассмотренные выше уравнения относятся к классу уравнений гипергеометрического типа а(х)у" + т(х)у + \у = 0, где сг(х), т(х) - произвольные полиномы не выше второй и первой степени соответственно, а Л произвольное комплексное число, а его решения функция гипергеометрического типа [36]. Для многих уравнений гипергеометрического типа удается изменить параметр, решая обратную задачу, так как для них соответствующее уравнение связи сводилось к линейному неоднородному уравнению в случае v(x) = PQ(X) = 1 и q(x) = О, т.е. когда решение начального уравнения равнялось единице (по этой причине не удалось использовать уравнение Бесселя, параболического цилиндра, присоединенных функций, уравнение Ломмеля и т.д.). При этом решение конечного ур Однородную часть полученного уравнения связи приведем к нормальной форме Оно совпадает с нормальной формой уравнения (1.52), поэтому известно его фундаментальное решение. Следовательно, можно построить общее решение неоднородного уравнения связи: Пример 1.9. Пусть в уравнении (1-52) // = 3. Преобразуем значение параметра Л = 0 в Л = 3. Выберем начальное решение v(x) = KQ — 1, конечное решение и(х) — К\ = х 2. Общее решение уравнения связи (1.53) в этом случае где Ei(l, х) экспоненциальный интеграл, будет решением (1.54) при т — 2 и ц = 3. Само же уравнение (1-52) трансформируется следующим образом: С помощью преобразования Мёбиуса для тех уравнений, для которых необязательно VQ(X) ф 1 или q(x) ф
О, подбором параметров преобразования и приведению к каноническому виду удавалось решить прямую дискретно-групповую задачу, т.е. задачу восстановления параметра (не обязательно спектрального). Рассмотренные выше уравнения относятся к классу уравнений гипергеометрического типа а(х)у" + т(х)у + \у = 0, где сг(х), т(х) - произвольные полиномы не выше второй и первой степени соответственно, а Л произвольное комплексное число, а его решения функция гипергеометрического типа [36]. Для многих уравнений гипергеометрического типа удается изменить параметр, решая обратную задачу, так как для них соответствующее уравнение связи сводилось к линейному неоднородному уравнению в случае v(x) = PQ(X) = 1 и q(x) = О, т.е. когда решение начального уравнения равнялось единице (по этой причине не удалось использовать уравнение Бесселя, параболического цилиндра, присоединенных функций, уравнение Ломмеля и т.д.). При этом решение конечного уравнения и(х) = Рт(х) могло быть произвольным. Разумеется, на практике использовались решения, выражаемые в виде полинома по целым степеням. Уравнение связи является линейным неоднородным уравнением второго порядка. Его однородная часть после приведения к нормальной форме и учета рекуррентных соотнопіепий, домножеиия решения на определенный множитель, сводилось авнения и(х) = Рт(х) могло быть произвольным. Разумеется, на практике использовались решения, выражаемые в виде полинома по целым степеням. Уравнение связи является линейным неоднородным уравнением второго порядка. Его однородная часть после приведения к нормальной форме и учета рекуррентных соотнопіепий, домножеиия решения на определенный множитель, сводилось к базовому уравнению относительно параметра преобразования 7( ) со значением спектрального параметра, соответствующему индексу выбранного нами решения конечного уравнения: [у р] + [q + f{m)r)j = 0. Было установлено соответствие уравнения связи и УССП, так что общее решение неоднородного уравнения связи удовлетворяло уравнению сдвига спектрального параметра, и это решение имело две произвольных постоянных, в то время, как само уравнение сдвига спектрального параметра является нелинейным уравнением третьего порядка:
Влияние дробно-рационального преобразования на локальное поведение решений
В данном пункте изучается влияние дробно-рационального преобразования на характер регулярной особой точки. Напомним, что параметры дробно-рационалыюго преобразования считаем полиномами от z. Согласно нашим результатам, характер особой точки конечного уравнения (2.11) можно исследовать двумя способами: или на основе самого уравнения с привлечением соотношений (2.7) (2.10), или с помощью соотношения (2.12). Ниже будем опускать для краткости индекс z . Из анализа соотношений (2.7)-(2.10) следует, что изменение характера особых точек (в том числе, их появление и исчезновение при переходе от начального ЛОДУ к конечному) может происходить но следующим причинам. Как уже упоминалось выше, особыми точками конечного уравнения могут быть особые точки исходного уравнения, пули функции M(z) и точки вырождения дробно-рационального преобразования. Далее, характер особых точек может измениться (при переходе от начального уравнения к конечному), если особые точки исходного уравнения совпадут с нулями M(z) или точками вырождения дробно-рационального преобразования. Разбор этих ситуаций ближайшая задача. Замечание 2.1. На первый взгляд знаменатель дроби в правой части (2.12) также может приводить к особенности в любой обыкновенной точке ZQ исходного уравнения: при любых значениях ,J(ZQ),6(ZO) можно найти такое решение исходного уравнения, что этот знаменатель обратится в ноль в точке ZQ. Однако старший член локального разложения правой части (2.12) имеет вид: 1/(г — ZQ). Это поведение соответствует обыкновенной точке конечного уравнения. Замечание 2.2. Непосредственно из способа построения дробно-рационального преобразования следует, что оно переводит линейно независимые решения исходного уравнения в линейно независимые решения конечного уравнения. Теорема 2.2 Пусть z -регулярная особая точка исходного уравнения (2.1), причем эта точка не является ни точкой вырождения, дробно-рационального преобразования, ни нулем функции M(z). Тогда z регулярная, особая точка конечного уравнения (2.11), преобразование (2.12) переводит решения Фробениуса уравнения (2.1) в решения Фробениуса уравнения (2.11), причем разность соответствующих характеристических показателей равна р_\. Доказательство. Доказательство проведем на основе соотношения (2.12). Для того чтобы определить показатели ветвления решений Фробениуса, достаточно записать с помощью (2.12) старший член локального разложения функции u (z)/u(z). Согласно этому соглашению, следует подставить в правую часть (2.12) локальное разложение решений Фробениуса исходного уравнения: где многоточие отмечает степени (z — z+) более высокого порядка. Запишем старший член локального разложения функции N(z) в окрестности особой точки: знаменатель первой дроби не равен нулю ввиду невырожденности точки z для дробно-рационального преобразования. Возьмем сначала голоморфное в окрестности точки z решение Фробениуса исходного уравнения (2.1), и запишем на основе (2.12), (2.13) и (2.15) локальное поведение его образа (относительно дробно-рационального преобразования): Из этой формулы следует, что u\{z) - решение уравнения (2.11), будет ветвящейся в точке z функцией, причем характеристический показатель будет (Если a(z ) 7_i = /3(г„,)р_і,і?і = 0). Возьмем теперь второе решение Фробениуса уравнения (2.1), соответствующее точке z , и подставим в правую часть соотношения (2.12), учитывая (2.14).
При этом получим Таким образом, функция u i{z) представляет собой решение Фробениуса (2.11), ветвящееся в точке z , причем характеристический показатель этого решения будет Таким образом, соотношение (2.12) сохраняет важнейшее локальное свойство решения - оно переводит решения Фробениуса исходного уравнения (2.1) в решения Фробениуса конечного уравнения (2.11). Отметим при этом, что голоморфное решение Фробениуса преобразование переводит в ветвящееся решение Фробениуса конечного уравнения, так что соответствующий характеристический показатель не равен нулю. Теорема 2.2 позволит в дальнейшем связать также и глобальное поведение решений исходного и конечного уравнений. Чтобы определить, является ли данная точка обыкновенной или ложной особой точкой конечного уравнения, потребуется следующий результат. Теорема 2.3 Пусть выполняются следующие условия: а) исходное уравнение имеет в окрестности точки z — z только голоморфные в этой точке решения; б) параметры дробно-рационального преобразования голоморфны в окрест ности этой точки; в) разность характеристических показателей конечного уравнения в точке z — z является целым числом. Тогда решения Фробениуса конечного уравнения не содержат слагаемого с логарифмическим поведением в окрестности точки z и, соответственно, точка z либо обыкновенная, либо ложмая особая точка конечного уравнения. Доказательство. Положим для краткости z — 0. Пусть щ(г) решение конечного уравнения, не содержащее логарифмического слагаемого, U2(z) решение конечного уравнения, содержащее логарифмическое слагаемое [58]: причем g(z) не имеет логарифмического поведения в окрестности точки z = 0. Запишем соотношение (2.12): где i;(z) некоторое решение исходного уравнения. Как следует и:? наших предположений о решениях исходного уравнения и последнего равенства, функция m(z) мероморфна в окрестности точки z — 0. Перепишем это соотношение: Откуда непосредственно следует Несложные выкладки приводят к следующему результату: g(z) = —U\{z) In LQZ, где LQ - некоторая константа. Возвращаясь к исходному выражению для U2(z), приходим к противоречию. Теорема 2.4 Если точка z — z является нулем кратности к функции M(z), не совпадает с особыми точками исходного уравнения и с точками вырождения дробно-рационального преобразования, ню конечное уравнение имеет в точке z = z лоэюную регулярную особую точку порядка k + 1.
Доказательство. Как следует из условий теоремы, явного вы ражения конечного уравнения (2.11) и соотношений для его коэффи циентов (2.7)(2.10), только коэффициент при первой производной ис комой функции содержит полюс кратности к в точке z = z , (—k)/(z — z ), который содержится в логарифмической производной функции N(z). Тогда характеристические показатели в этой особой точке для уравнения (2.11) равны 0 и (fc + І). Учитывая результаты теоремы 2.3. завершаем доказательство. Прокомментируем результаты. Приведенное доказательство теоремы 2.2 пригодно и в том случае, когда z = z является ложной особой точкой. При этом разность характеристических показателей изменяется на единицу, либо увеличивается, либо уменьшается (выбором формы начального уравнения можно выбрать тот или иной вариант) и, согласно теореме 2.3, пара решений Фробениуса не имеет логарифмического поведения, так что эта особая точка является ложной регулярной для преобразованного уравнения (после приведения его к канонической форме). Напомним, что, согласно теореме 2.1, ложная регулярная особая точка порядка 1 - обыкновенная точка уравнения. Таким образом, если у исходного уравнения была ложная особая точка порядка 2, с помощью дробно-рационального преобразования можно ее сделать обыкновенной точкой конечного уравнения, записанного в канонической форме. Приходим к выводу, что преобразование позволяет "стирать" ложные особые точки. Разумеется, обращая рассуждения (дробно-рациональные преобразования образуют группу преобразований!), можно, согласно теореме 2.4, обыкновенную точку исходного уравнения превратить в ложную регулярную особую точку. Следующее предложение фиксирует дальнейший результат. Желательно, учитывая возможные приложения, чтобы при переходе от исходного уравнения к конечному уравнению число особых точек не слишком сильно увеличивалось. В ином случае конечное уравнение может выйти из класса интересных. Поэтому важным является тот факт, что точки вырождения дробно-рационального преобразования не приводят к появлению регулярных особых точек. Теорема 2.5 Если точка z = z является (простой) точкой вырождения дробно-рационального преобразования, не совпадает с нулями функции M(z) и с особыми точками исходного уравнения, то конечное уравнение имеет в точке z = z устранимую регулярную особую точку. Доказательство. Доказательство проведем на основе соотношения (2.12), полагая без ограничения общности z = 0. Эти предположения означают, что
