Содержание к диссертации
Введение
1. Лиевские симметрии ОДУ 3-го порядка 18
1. ОДУ 3-го порядка, допускающие однопараметрическую группу Ли. 18
2. ОДУ 3-го порядка, допускающие двумерную алгебру Ли 22
2. Первые интегралы ОДУ 3-го порядка 39
3. Структура ОДУ 3-го порядка, обладающих первым интегралом 39
4. ОДУ 3-го порядка, обладающие первым интегралом и допускаю щие лиевские симметрии 51
5. ОДУ 3-го порядка, первые интегралы которых наследуют лиевские симметрии 70
3. Нелокальные симметрии 82
6. Нелокальные операторы: общие свойства 82
7. Нелокальные операторы, допускаемые ОДУ 3-го порядка 84
Заключение 93
- ОДУ 3-го порядка, допускающие двумерную алгебру Ли
- ОДУ 3-го порядка, обладающие первым интегралом и допускаю щие лиевские симметрии
- ОДУ 3-го порядка, первые интегралы которых наследуют лиевские симметрии
- Нелокальные операторы, допускаемые ОДУ 3-го порядка
Введение к работе
Работа посвящена исследованию симметрийных свойств гладких многообразий, заданных обыкновенными дифференциальными уравнениями 3-го порядка, и операторов, допускаемых ими.
Для современного этапа развития науки характерно стремление к всестороннему исследованию изучаемых объектов с целью получения о них наиболее полной информации. При этом особое значение имеют внутренние свойства, заложенные в самой природе объекта, и, следовательно, влияющие на его поведение. К. таким фундаментальным свойствам относится и симметрия, поскольку она в той или иной степени присуща практически всем объектам и явлениям.
В широком смысле слова симметрия означает инвариантность структуры математического (или физического) объекта относительно его преобразований. Определение совокупности преобразований, оставляющих без изменения все структурные соотношения объекта, т.е. определение группы G его автоморфизмов, стало руководящим принципом современной математики и физики.
Большинство современных моделей в прикладных науках описываются дифференциальными уравнениями, и одним из наиболее перспективных направлений для изучения симметрийных свойств дифференциальных уравнений, построения точных решений и получения нечисловой информации о дифференциальном уравнении является современный групповой анализ, включающий в себя как классический подход С. Ли, так и исследование законов сохранения, дискретных симметрии и (в последнее время) нелокальных аналогов классических симметрии.
Для целей группового анализа оказывается существенной и удобной трактовка дифференциального уравнения как многообразия в продолженном пространстве. Понятие многообразия (впервые предложенное Риманом) явля-
-4-ется многомерным обобщением понятия поверхности без особых точек. Его первоначальное появление было вызвано потребностями геометрии и топологии. В настоящее время фундаментальное значение (не только в геометрии, но и в анализе) приобрели гладкие многообразия — локально евклидовы пространства, наделённые дифференциальной структурой.
Следуя работам Овсянникова Л.В. [50] и Ибрагимова Н.Х. [3.9-40], приведем (в формулировках, достаточных для данного исследования) основные понятия, определения н алгоритм классического группового анализа, разработанного в XIX веке норвежским математиком Софусом Ли.
Определение 1 [48]. Топологическим многообразием размерности п называ
ется хаусдорфово (т.е. отделимое) топологическое пространство М, в
котором каждая точка хєМ обладает окрестностью U, гомеоморфной
открытому множеству пространства R".' :
Для использования на многообразии понятий математического анализа
на нём вводят дополнительную структуру. і
Определение 2 [9,481. Топологическое многообразие М вместе с; (конечным или счётным) набором подмножеств UaczM и взаимно однозначных функций фа: t/„—» cpa(Ly (называемых локальными координатами) называется дифференцируемым (или гладким) многообразием, если
1) совокупность всех Ua покрывает М: \Jl/a = М\
а,
2) для пересечения любой пары окрестностей 17аГ\Щ * 0 композиция
отображений
Фр фа"': фаС^аГВД -» Фр(^сЛ^р)
является гладкой функцией (принадлежит классу С0"3). Далее под многообразием будем понимать гладкое связное многообразие. Определение 3 [17]. Общим решением ОДУ п-то порядка
^(^,/,...,/^) = 0 (0.1)
будем называть и-параметрическое семейство функций класса О
Jfe^c, g = o, (0.2)
зависящих от n функционально независимых произвольных констант Сь ...,Сп и обращающих уравнение (0.1) в тождество по х. Пусть (0.2) — общее решение уравнения (0.1). Определение 4 f 171. Формальная кривая .^(^,^) = 0, получающаяся из (0.2) произвольной фиксацией констант СЪ...,СЮ называется частным решением ОДУ (0.1).
Пусть V с R — открытое множество, а А — интервал в R, симметричный относительно нуля, и пусть задана локальная однопараметрическая группа
Ли [50] точечных преобразований стя: Ух А —» R :
(х = g(x,y,a\ [У =Нх,у,а).
Она определяет касательное векторное поле (^; rj) с координатами
і ^ dh
о=0
Определение 5 [50]. Линейный дифференциальный оператор
Х = ^(х,у)8х + ф,у)ду, (0.4)
действующий на дифференцируемое отображение F: F—»R по формуле
X[F]=^)f+ Ф.^Э№ +ift, (0-5)
ox qy
называется инфинитезималъным оператором группы Ли (или,
кратко, оператором группы). Переход от группы Ли к ее касательному векторному полю (; Г|) (или, что то же самое, к ее оператору X) линеаризует многие задачи, что и создает возможности для эффективного применения группового анализа дифференциальных уравнений. Существует взаимно однозначное соответствие между группой Ли и ее оператором X: группа "восстанавливается" [41] но заданным координатам % и Т\ оператора X с помощью так называемых уравнений Ли:
Определение б [40]. Функция F: R —> R называется инвариантом группы Ли L точечных преобразований (0.3), если для любых (х,у;а)е
eR хД выполняется
F(x,y) = F(x,y), т.е. F постоянна вдоль траектории, описываемой преобразованными точками х, у . Известен (например, [50, 39]) следующий критерий инварианта: Функция F: R —> R класса С (R ) является инвариантом группы Ли Л с оператором X = Е,(х, у)дх + г\ (х>у)ду, если и только если для любых х и у выполняется равенство
X[F] = 0. (0.6)
Из (0.6) следует, что всякая однопараметрическая группа Ли. точечных преобразований плоскости имеет один независимый инвариант, в качестве которого можно взять левую часть первого интеграла J(x, у)~ С сопряженного с (0.6) ОДУ (уравнения характеристик)
dx _ dy Цх,у) тіОсх)'
Любой другой инвариант тогда является функцией от J.
Понятие инварианта естественным образом распространяется на дифференциальные выражения F(x,у,У), F(x,y,y',y") и т.д., если продолжить оператор X на новые переменные у', у",....
Используя оператор полного дифференцирования
Т)х=дх+у'ду+у»ду,+ ..., (0.7)
запишем формулы преобразования производных у, у, У",.-, иод действием точечных преобразований (0.3), рассматриваемых как формулы замены перемен-
ных:
Г=& = ^=>кЩ = ЛМа)і (0.8)
dx DJ.?] &+8уУ '
„„ dp' T>x[p] A + РУ + РУУ" , , „ л
^ =-^7 = =гт^ = =- r~ =
<& DJg] gj+ЯуУ'
„„; dy" Dx[q] qx+qyy'Jrqyy, + qy-y"> , , „ „
У = -~r = ^ffi = ———;—^^ = і<х,У,У,У'>У">а),
и так далее. Заметим, что в р, q„ г, ... входят нелинейные комбинации функций g, h и их производных. Добавление формулы (0.8) к группе преобразований (0.3) даёт продолженную группу X, действующую в продолэюенном
пространстве 3-х переменных х,у,у'; после добавления формулы ;(0.9) получим дважды продолженную группу L, действующую в продолэюенном пространстве 4-х переменных х, у% у', у", к так далее.
При этом координаты продолоюенного инфинитезимального опё'ратора
X = $дх + г\ду +i;xdy.+...+Qdyit)
k раз продолженной группы L могут быть найдены по известным [50, 40] ре-
куррентным формулам продолжения:
Zk=r>x[^]-yWT>x[Z]3 Со-Л- ' (0.10)
(Вместо (0.10) можно пользоваться явной формулой: С,к - D*[t) - ^у'] + &У^+1), в которой D* — к-я степень оператора (0.7)). В частности,
Сі = ^ + 0ь-^У-^Л (0.11)
С2 = Л« + (2^ - Ы/ + (г\уу - 2^у)у'2 - ^ууУ,ъ + {у\у - 2^ - 3^у>", (0.12)
Сз = Л«« + (3lW - ^У + 3(г|^ - ^)/2 + (г\ш ~ 3^)/3 - ^/4 +
+3[(ti^- 5») + ( - З^У 2^у2]у" - 3у2 + (TV- 3 -4^'У". (0.13)
Очевидно, что координаты продолженного оператора X выражаются линей-
н о через ,, ті и их частные производные.
-8-Определение 7 [50]. Инварианты продолженной группы X называются
дифференциальными инвариантами группы X.
Если обозначить через Z& пространство алгебраически независимых переменных х,у,у',...,у (оно называется к-м пррдолэюеныем пространства R (х,у)), то дифференциальные инварианты представляют собой отображения F:Zh-^P^'R. Определение 8 [50]. Инвариант группы X, фактически зависящий от у{, на-
зывается дифференциальным инвариантом к-го порядка группы X. (В этом смысле все инварианты группы X являются её дифференциальными инвариантами нулевого порядка).
В силу приведенного выше критерия (0.6) все дифференциальные инварианты F не выше k-ro порядка группы X являются решениями дифференциального уравнения в частных производных
X[F]=0.
Введенное понятие продолженного пространства позволяет рассматривать ОДУ к-го порядка
\y(x,y,y',...>yW) = Q (0.14)
как многообразие * в пространстве Zk (т.е. множество тех точек пространства Zfo для которых выполняется равенство (0.14). В этом случае равенство (0.14) называют уравнением многообразия Ч'1). Если ранг отображения.х|/: Zk -> RJ равен s во всех точках пространства Z^ то уравнение вида (0.14) называют регулярным, а задаваемое им многообразие —-регулярно заданным многообразием.
Справедлив [50] следующий критерий инвариантности: многообразие Ч* czZk, регулярно заданное уравнением (0.14), инвариантно относительно группы X, если и только если
Так называемый неявны й способ задания многообразия.
задк^о, (0-15)
где X — оператор группы , а знак | заменяет слова „на многообразии Т" и
означает, что равенство верно для точек (х, у, у',..., у ^є4?.
Определение 9 [50]. Говорят, что ОДУ п-го порядка (0.1) допускает группу точечных преобразований (0.3), если многообразие Ф aZ„, заданное этим уравнением, инвариантно относительно п раз продолженной группы , т.е. если
«
(при этом многообразие Ф называют дифференциальным инвариантным многообразием группы , а про саму группу и её оператор X говорят, что они допускаются уравнением (0.1)).
В связи с этим определением возникает одна из основных задач классического группового анализа: найти все группы точечных преобразований плоскости (все операторы X), допускаемые заданным ОДУ.
Решение этой задачи вытекает из определения 8 и критерия (0.15) инвариантности многообразия: ОДУ (0.1) допускает группу , если и только если
X[F]
= 0, (0.16)
F=0
причем условие инвариантности (0.16) рассматривается как уравнение относительно неизвестного векторного поля (, Т\). Структура этого уравнения полностью определена алгоритмом его построения и зависит только от заданного уравнения (0.1). Определение 10 [40]. Уравнение (0.16) называется определяющим уравнением.
Таким образом, процесс формирования определяющего уравнения (0.16) состоит из 3-х этапов: (а) вычисление (по формулам продолжения) координат продолженного оператора X; (Ь) действие полученным оператором на функ-
цию F; (с) переход на многообразие, заданное уравнением F=0 (для.ОДУ в явной форме:
Уя) =/:^,/,...,/^) (0.17)
достаточно заменить yfn) на правую часть уравнения — функцию Дх,у,у',...,У"_1))); после чего результат приравнивается к нулю.
Из-за своего происхождения определяющее уравнение обладает рядом свойств, делающих его самостоятельным объектом исследования.
Во-первых, в силу алгебраической независимости переменных У,..., Ул_1), оно (при п > 1) всегда "расщепляется" по одной из них, распадаясь на несколько независимых уравнений, становясь переопределенной системой дифференциальных уравнений (в частных производных) для ^ и т|.
Во-вторых, все уравнения этой системы линейны и однородны относительно Ь, и г\, что существенно облегчает её решение. .
В-третьих, из линейности и однородности этих уравнений вытекает, что множество решений определяющего уравнения образует линейное векторное пространство, причем оказывается, что это векторное пространство L обладает структурой конечномерной алгебры Ли [40], Нам потребуется определение разрешимой алгебры Ли.
Определение 11 [40]. Алгебра Ли Lr называется разрешимой, если существует ряд L гз,._, id ... ^>Ьг подалгебр размерностей г, г - 1, ..., 1 соответственно, в котором каждая подалгебра is_1 является идеалом в Ls
Поскольку знание оператора X, допускаемого ОДУ порядка п, позволяет понизить порядок этого уравнения на 1 (путем перехода к так называемым каноническим переменным t я и, для которых X.[t] = 1, Х[м] = 0, а допускаемая группа Ли X является группой переноса: 7=t + a, и = и), то для интегрируемости такого уравнения в квадратурах (методом понижения порядка) нужно, чтобы оно допускало разрешимую и-мерную алгебру Ли.
Таков (схематично) алгоритм решения прямой задачи группового анализа для ОДУ п-го порядка, позволяющий (при наличии и-мерной разрешимой ал-
*
гебры Ли) решить уравнение (0.1) в квадратурах, последовательно понижая порядок.
Другой путь изучения симметрии ОДУ предоставляют первые интегралы.
Определение 12 [48]. Первый интеграл ОДУ — отличная от постоянной непрерывно дифференцируемая функция, (полная) производная которой вдоль решений данного уравнения тождественно равна нулю. Для ОДУ 1-го порядка первый интеграл есть функция Ф(х, у), находящаяся в левой части общего решения Ф(х,у) = С, где С — произвольная постоянная.
Для ОДУ и-го порядка вида (0.17) первый интеграл есть функция Ф(х,у,у',...,у-п~ \С), удовлетворяющая уравнению
ОДФ]|у.,=/ = 0 (0.18)
с частными производными 1-го порядка.
Первый интеграл определяется не единственным образом (так как любая функция от первого интеграла есть снова первый интеграл) и может не существовать во всей области задания уравнения (0.17), однако в любой окрестности точки, в которой функцияJ[x,y,У,...,У"~^) непрерывно дифференцируема, он всегда существует [9, 48].
Порядок ОДУ может быть понижен на к единиц, если известны к независимых первых интегралов этого уравнения, путем исключения старших производных из системы
J = 1,к, к <п.
(Функции/р/г =>--:> А от п переменных каждая называются функционально неза-
д( f f f )
еисимыищ если матрица Якоби ' 2?" имеет ранг).
Расширение понятия точечных преобразований (0.3) приводит к каса-
-12-тельным (или контактным) преобразованиям:
* = Ф<*,У,.у';а), у = у(х,у,у';а), у' = %(х,у,у';а),
действующим в пространстве КхД (где VczZ^ и к преобразованиям Ли— Беклунда (порядка к):
z^g(x,y,y',:;y{k)), y=Kx>y,y',-,yw) (0-19)
с соответствующими условиями обратимости. В общем случае обращением локального преобразования (0,19) будет нелокальное преобразование, которое, наряду с переменными х,у,у',...,у^ продолженного пространстваZ*, будет содержать нелокальные переменные, возникающие при нелокальной операции — интегрировании.
Нелокальные переменные не представимы в виде конечной суммы натуральных степеней оператора полной производной D^jVj, но могут быть представлены бесконечными рядами по степеням Dx\y]. Более удобным, однако, часто оказывается интегральное представление нелокальных переменных, эквивалентное отрицательным степеням оператора полной производной Цг[у]:
Определение 13. Преобразование вида
%=ё(х,У,У',--;У{к\ \f[(x,y,y',.-->y(l))dx)>
(0.20)
\у = Кх,у,у,...,/к\\/2{х,у,у',...,у^)сЬс)
называется нелокальным преобразованием.
Частным случаем нелокального преобразования (0.20) является преобразование, характеризуемое экспоненциальным нелокальным оператором. Определение 14. Оператор вида
Х = е^(^х>у)дх +ц(х,у)ду\ (0.21)
где С, = Цх,у,у' ,...,у^), будем называть экспоненциальным нелокальным оператором (ЭНО) /с-го порядка.
Очевидно, что ЭНО является линейным дифференциальным оператором, действующим по формуле, аналогичной формуле (0.5) для точечного оператора (0.4). Отличие его от точечного состоит в том, что оператор (0.4) действует на плоскости (х,у), а оператор (0.21) — в продолженном пространстве Zk переменных, х, у, у',..., у{к\
С момента появления ЭНО в научной литературе эффективность их применения ставилась под большое сомнение. В известных работах Н.Х. Ибрагимова [40, 41] на примере поясняется один из путей возникновения ЭНО и кратко обсуждаются его свойства. При этом Ибрагимов называет неудачной попытку понижения порядка, приведшую к появлению ЭНО.
В монографии П. Олвера [51] имеются конструктивные идеи по использованию ЭНО для понижения порядка и интегрирования дифференциальных уравнений, но высказана опрометчивая мысль, что с ЭНО можно обращаться так же, как и с операторами точечных преобразований.
Своё дальнейшее развитие теория ЭНО получила в работах В.Ф. Зайцева [23, 24, 30, 31]. В частности, показано, что наличие ЭНО позволяет факторизо-вать ОДУ к системе специального вида, что позволяет классифицировать случаи интегрируемости, не прогнозируемые классическим алгоритмом Ли.
Известно [39-41], что теория Ли позволяет классифицировать классические случаи интегрируемости ОДУ. В то же время существуют [41] интегрируемые уравнения, не подпадающие под классификацию Ли, причём поиск первых интегралов и симметрии более высокого порядка также не приводит к интегрированию таких уравнений. В соответствии с общим симметрийным принципом [23, 24] они должны обладать некоторыми симметриями, отличными от классических (точечных, касательных, Ли-Беклунда). Поэтому вопрос о применимости неклассических симметрии можно начать с исследования ЭНО как (простейшего) нелокального аналога классических симметрии.
Актуальность темы. В работе изучаются свойства гладких многообразий, заданных ОДУ 3-го порядка, и операторов, допускаемых ими.
Давно замечено, что такие уравнения, имея нечетный порядок, по своим свойствам (в том числе и симметрийным) существенно отличаются от уравнений четного порядка. В частности, уравнения нечетных порядков не позволяют выделить гамильтоновые структуры [51] и, насколько известно, попытки расширения для них понятия гамильтоновости не привели к осязаемым резуяьта-. там.
Исследования последних лет еще более подтвердили эти особенности. Так, например, исследование первых интегралов для ОДУ 3-го порядка значительно более трудоемко, чем для уравнений четного порядка. И вообще, уравнения нечетных порядков заметно беднее симметриями, чем уравнения четных порядков. Например, Ланкеровичем М.Я. [46] показано, что существует един-
3 и"2
ственное (с точностью до эквивалентности) ОДУ 3-го порядка: и'" = , не
2 и'
эквивалентное уравнению и'" = 0 и допускающее 6-мерную алгебру Ли L6 (на 1 меньше максимально возможной размерности); 5-мерную же алгебру Ли L5 допускают лишь ОДУ 3-го порядка, эквивалентные линейному однородному уравнению с постоянными коэффициентами.
В то же время уравнения нечетных порядков весьма актуальны в приложениях (достаточно вспомнить, что именно к ним сводятся так называемые уравнения пограничного слоя [34]). Поэтому для симметрийного анализа необходимо использовать все возможные методы, которые доступны в современной математической практике.
К настоящему времени эффективность прямых методов классического группового анализа (теория Ли) оказывается недостаточной для решения ряда прикладных задач. Поэтому возникла потребность в алгоритмах 3-го поколения, которые позволяют найти все дифференциальные уравнения выбранного класса, априорно обладающие некоторой симметрией заданного вида (обратная задача группового анализа). При этом оказывается, что для довольно широких классов уравнений обратная задача решается в общем виде полностью,
-15-давая нам одновременно и решение прямой задачи (так как она в ней содержится) и обширные классы моделей, которые можно просто строить по наличию априорной симметрии.
Так как задача поиска первых интегралов, описывающих законы сохранения, для уравнения (0.17) сводится к решению уравнения (0.18) в частных-производных, то, как известно, не существует общих методов его решения и, соотвегственно, общих приёмов нахождения первых интегралов, в том числе и дяя уравнений нечётного порядка. Поэтому и здесь разработка регулярных методов описания классов уравнений, обладающих первыми интегралами заданной структуры, представляется весьма важной задачей. Существенным является также исследование взаимодействия инфинитезимальных операторов и законов сохранения, так как в тех случаях, когда первый интеграл "наследует" точечную симметрию, порядок ОДУ может быть понижен сразу на 2 единицы. (В этом случае мы имеем некоторый аналог вариационной симметрии).
Что касается уравнений 3-го порядка, то они (помимо всего прочего) могут быть хорошим модельным примером группового анализа уравнений нечетных порядков — в отличие от уравнений 1-го порядка, которые столь специфичны, что требуют особого подхода.
Цели и задачи работы. Целью исследования является современный групповой анализ ОДУ 3-го порядка. Поэтому в работе ставятся и решаются следующие задачи:
Разработка алгоритмов решения обратной задачи группового анализа для точечных операторов и ЭНО.
Поиск уравнений 3-го порядка, допускающих классические симметрии Ли (обратная задача группового анализа) и ЭНО.
Разработка алгоритмов поиска первых интегралов для ОДУ 3-го порядка определённой структуры (прямая задача) и поиска уравнений с первыми интегралами заданной структуры (обратная задача).
Поиск ОДУ 3-го порядка, обладающих первыми интегралами некоторой
заданной структуры. 5. Исследование взаимодействия лиевских симметрии и первых интегралов.
На защиту выносятся следующие результаты:
Доказательство необходимых и достаточных условий существования лиевских симметрии и ЭНО, допускаемых ОДУ 3-го порядка.
Полное решение обратной задачи группового анализа для уравнений 3-го порядка без предстаршей производной, допускающих 1- и 2-мерную алгебру Ли Ij и Х2. |
Полное решение обратной задачи группового анализа для уравнений 3-го порядка, обладающих линейными и квадратичными по у" первыми интегралами, і
Алгоритм поиска первых интегралов, квадратичных по у", для ОДУ 3-го порядка с правой частью, известным образом зависящей оту.
Доказательство необходимых и достаточных условий существования первого интеграла при наличии точечной симметрии для уравнений вида У" ~Ax?y)- В частности, доказано, что существует только 24 подкласса нелинейных уравнений (без промежуточных производных), одновременно обладающих квадратичными по у" первыми интегралами и допускающих точечную симметрию с оператором X — гдх + (г' + с)уду (г Ф 0). Среди нелинейных уравнений с указанным свойством выделены все уравнения, первые интегралы которых „наследуют'1 точечную симметрию, допускаемую самим уравнением.
Полное решение обратной задачи группового анализа уравнений вида
у'" =J{x, у, у'), допускающих ЭНО вида X = ц(х,у,у')е* ' '' д .
Апробация работы. Основные материалы данной работы докладывались и обсуждались на:
научных семинарах кафедры высшей математики ОрёлГТУ;
ежегодных конференциях "Герценовские чтения", С.-Петербург, 1994—99;
Международной конференции "Алгебраические и аналитические методы в
-17-теории дифференциальных уравнений", Орёл, 1996; - Международной конференции "Средства математического моделирования", С.-Петербург, 1997.
Публикации. По теме диссертации имеется 6 публикаций [1-6]. В публикациях [1, 4, 6], сделанных в соавторстве, научному руководителю (соавтору) принадлежит постановка задач.
ОДУ 3-го порядка, допускающие двумерную алгебру Ли
Рассмотрим в этом параграфе вопрос о структуре уравнений вида (1.2), допускающих двумерную алгебру Ли точечных преобразований. Интерес к таким уравнениям вызывается, прежде всего, тем, что, как отмечалось во введении, напичие 2-мерной алгебры Ли позволяет понизить порядок ОДУ на 2 единицы (саму же 2-мерную алгебру всегда можно выделить [40, 41] как подалгебру из алгебры более высокой размерности). В соответствии с теоремой 1.1 поставленный вопрос будем решать отдельно для каждого из трех существующих подклассов уравнений вида (1.2). А), Рассмотрим уравнение (1.2) с правой частью (1.14). Можно было бы непосредственно к нему применить алгоритм, использованный в 1. Однако значительно выгоднее сначала упростить исходное уравнение, представив его в автономном виде. Для этого возьмём в качестве одной из переменных инвариант и - Е r y VK заменим аргумент xnat= \r lcb. Тогда получим, что уравнение (1.2) с правой частью (1.14) имеет вид и заведомо допускает группу переноса с оператором Т{ = dt. Теорема 2.1 [4]. Уравнение (2.1) допускает 2-мерную алгебру Ли с операторами Tl - dt и если и только если функция Ф(цй) имеет одну из 9 форм, представленных в таблице 1. Доказательство. Определяющее уравнение (Ы) в случае уравнения (2.1) имеет вид: Щш)г? иийъу Первые два уравнения этой системы дают форму искомого оператора Т2 в виде (2.2), а третье — условие на функцию Ф: Замечание 1. Применяя преобразование Куммера-Лиувилля, обратное к преобразованию и-Е г у - V, t= JV ах, мы получим для каждого из 9 случаев более широкие классы уравнений вида (1.2) с правой частью (1.14) с дополнительным двухфункциональным произволом. Замечание 2. Последовательное понижение порядка найденных уравнений с помощью допускаемых операторов и с учетом структуры подалгебр [40] приводит уравнения (2.1) с правой частью (2.21) (№ 6 в таблице) к уравнению Рик-кати, а остальные 8 уравнений — к уравнениям Абеля 2-го рода. Б). Рассмотрим теперь уравнение (1.2) с правой частью (1.6): и допускаемым оператором X = [ay + Ъ(х)]ду. Очевидно, что ненулевая постоянная а и функция Ъ(х) являются здесь несущественными параметрами (так как замена ау(х) + b(x) = Y(x) приводит уравнение (2.25) к тому же виду, но с а = 1 и Ь(х) = О).
Поэтому вместо уравнения (2.25) рассмотрим уравнение Доказательство. Определяющее уравнение (1.1) в случае уравнения (2.30) имеет вид: Расщепляя это уравнение по степеням и, из коэффициентов при 1-й и 2-й степенях получим систему: из первого уравнения которой найдем: т) = ф(м); тогда второе уравнение расщепляется по степеням и в систему с общим решением t) = AQ) + ф (и) + p(w)e f, где произвольную постоянную AQ (в силу оператора Т( = dt) можно взять равной 0, что дает форму искомого оператора Т2 в виде (2.31). С учетом этого свободный от и член определяющего уравнения принимает вид: фйФм+[ср -ф м+(р-р м)е ]м2Фй = -(Зф +ре" )йФ+(ф(4)+рг"е )м+2ф" (2.36) и является условием на функцию Ф, причем, в силу того, что Фг = О, отношения коэффициентов этого уравнения в частных производных не должны зависеть ОТ Л Доказанные в 2 теоремы показывают, что .в классе уравнений 3-го порядка без предстаршеи производной, разрешимых относительно у ", существует 15 (и только 15) подклассов уравнений, допускающих понижение порядка на 2 единицы за счёт допускаемой 2-мерной алгебры Ли L2. В соответствии с целями, обозначенными во введении, для ОДУ 3-го порядка, разрешённых относительно старшей производной, рассмотрим обратную задачу поиска первых интегралов заданной структуры. Алгоритм решения поставленной задачи вытекает из определения 12 и формулы (0.18): если уравнение Уй) =/(x, у, у ,..., У"-1 ) обладает первым интегралом Р, то, во-1-х, Р = Р(х, у, у ,..., уіп 1)), а во-2-х, должно выполняться тождество где M=M{xiyiy\...,y( n l)) — некоторый интегрирующий множитель. Если структура функции Р задана, то левая часть этого тождества может быть вычислена, после чего тождество (3.0) расщепляется по той или иной переменной. А). Для ОДУ 3-го порядка простейшую структуру имеют первые интегралы, линейные по у.
ОДУ 3-го порядка, обладающие первым интегралом и допускаю щие лиевские симметрии
Замечание. Аналогично доказанным теоремам с помощью применённого алгоритма могут быть найдены структуры уравнений, обладающих первыми интегралами полиномиальной структуры более высоких степеней, однако трудоёмкость их поиска быстро растёт с ростом степени полинома. Теорема 3.11 даёт следующий алгоритм поиска уравнений вида у" =J[x, у), имеющих квадратичный по у" первый интеграл (3.7): 1). Задаём функции бис, определив тем самым функции Q и U; 2). Если известна структура функции/по переменной у, то из 2-го уравнения системы (3.18) находим если известна структура функции / по переменной хь то из 1-го уравнения системы (3.18) находим 3). Интегрируя полученное выражение по соответствующей переменной, находим функцию Щ 4). Подставляя найденную функцию в другое уравнение, расщепляем его по соответствующей переменной и получаем систему для определения функций ик{х) и конкретизации функции/ Более детально этот алгоритм будет проиллюстрирован в следующем параграфе. 4. ОДУ 3-го порядка, обладающие первым интегралом и допускающие лиевские симметрии Рассмотрим в этом параграфе вопрос о взаимодействии лиевских симметрии и первых интегралов, причем ограничимся уравнениями 3-го порядка без промежуточных производных и первыми интегралами, квадратичными по . Лемма 4.1 [6]. Уравнение вида допускает точечную симметрию Ли с оператором где г(х) Ф 0, если и только если 2гг" - г - const. Доказательство. Так как г(х) ф О, то, по теореме 1.1, уравнение (4.1) допускает оператор (4.2), если и только если функция/имеет вид: где Ф0(х) s г"2(г"Р - г Р + ГЮ + аг"3(гР - r p 4- ар), г(х) и р\х) — произвольные функции, а — произвольная постоянная, &{ubw) — произвольная функция своих аргументов, Е Е(х) = еа" , V =У(х) = \$r 2E ]dx, и = Е 1г гу - У, w = E xr \ryJ - r y - J3) - а К, а А = Д(х) = 2гг" - г 2.
Так как функция/не зависит оту, а инвариант w — зависит, то в (1.14) должно выполняться равенство: Ф + и Д = 0, откуда следует, что функция Ф линейно зависит от w, т.е. Ф ф + ад. Тогда формула (1.14) принимает вид: /э r , + A)w + г -2ЕЧ + Ег "и + (а3 + аД + r2r ")r 2EV+ Ф0і причем коэффициент перед w должен быть равен нулю: Из последнего уравнения системы (4.23) следует, что либо к\ = 0, либо s" = 0. Рассмотрим обе ситуации. а). Пусть /СІ = 0, тогда уравнение (4.22) принимает вид и имеет очевидный первый интеграл линейный по у". Продолжая алгоритм поиска квадратичных по у" первых интегралов, из 3-го уравнения системы (4.23) получим: щ(х) = 0 (так как к2 Ф 0 — иначе имеем тривиальный случай —у " 0, а д Ф 0 в силу определения-по формуле (4.21)); следовательно, из 4-го уравнения системы (4.23) находим функцию h0 (с точностью до посто-янного слагаемого): hQ(x) = k1{Ak2q - C3q), следовательно, тогда первый интеграл (3.7) приводится к виду: т.е. Р является квадратичной функцией от Рд : Р = А(РД)2.+ С3РЯ и фактически для уравнения (4.24) имеем только-линейный по У первый интеграл (4.25). Остаётся только учесть, что из определения q по формуле (4.21) следует, что Тогда 3 случая интегрируемости функции г 1 позволяют выписать 6 уравнений вида (4.24), имеющих первый интеграл (4.25) и допускающих точечный оператор вида (4.19). Рассмотрение особого решения — г(х) = 1 — добавляет ещё 2 уравнения с указанным свойством. Результаты собраны в таблице 2. б). Пусть теперь i O, a s" = 0, тогда из второго уравнения системы (4.23) следует, что щ = 0, а и из второго уравнения системы (4.18) следует, что к2 = 0, и уравнение (4.22) принимает вид При этом остальные уравнения системы (4.23) дают: щ = 0, h Q = 0, следовательно, Теорема 4.1 [6]. При г(х) 0 среди нетривиальных уравнений класса (4.1), допускающих группу Ли с оператором (4.19) и имеющих первый интеграл (3.7), в котором Q — Ау , существует 2 и только 2 подкласса — уравнения вида (4.24) и (4.27), причём первый из них содержит 8 типов уравнений, собранных в таблице 2, а второй —- 3 типа уравнений, собранные в таблице 3. II). Пусть теперь D(x) Ф 0- Не нарушая общности, можем считать, что А \. Тогда
ОДУ 3-го порядка, первые интегралы которых наследуют лиевские симметрии
Рассмотрим в этом параграфе вопрос об уравнениях, первые интегралы которых допускают те же точечные операторы, что и исходное уравнение, причем ограничимся нелинейными уравнениями 3-го порядка без промежуточных производных и первыми интегралами, квадратичными по у". Предварительно заметим, что из доказательства теорем 4.1-4.3 следует, что (с точностью до группы эквивалентности) нелинейные ОДУ вида у" —J[x,y), обладающие квадратичными по у" первыми интегралами (3.7), допускают точечную симметрию с оператором (0.4), если и только если этот оператор имеет вид причём функция г в допускаемых операторах либо имеет вид r(x) s С х + Ъх, либо г(х) ЕІИ, следовательно, удовлетворяет условию Лемма 5.1. Уравнение вида обладает квадратичным по У первым интегралом (3.7) допускающим тот же оператор (5.1) (где г(х) 0), что и исходное уравнение, если и только если отношение RIQ представимо в виде; а отношение SIQ представимо в виде: где Ф](и,м ) и 02(u,w) — произвольные функции своих аргументов, Е = Е(х) е } , а и К— произвольные постоянные, Доказательство. Пусть первый интеграл (3.7) уравнения (4.1) "наследует" точечный оператор (5.1), тогда выполняется равенство после перехода на многообразие, заданное уравнением у"2 = (Ry" + S)QX и учета условия (5.2), принимает вид: и расщепляется в систему После деления на Q Ф 0 система принимает вид Обозначив дробь — через Т, запишем сопряженную с первым уравнением сие- темы (5.6) систему ОДУ г (г + а)у ay + r"y (a -r )T - 2r"y Из первых двух уравнений этой системы находим инварианты и и w в указанном в лемме виде; тогда третье уравнение системы (5.7) — линейное ОДУ на Аналогично, обозначив дробь — через Th запишем сопряженную со вто- рым уравнением системы (5.6) систему ОДУ Из первых двух уравнений этой системы найдём те же инварианты и и w; тогда третье уравнение этой системы — линейное ОДУ на функцию 7 : rfr,_2Ca-r )„ r"R. после подстановки (5.3) даёт искомое решение в виде (5.4). Лемма доказана. Лемма 5.2. В условиях леммы 5.1 отношениеR/Q представимо в виде: — = r lE[%(u)w2 + а отношение S/Q представимо в виде: Доказательство.
Согласно лемме 3.1 в первом интеграле (3.7) уравнения (4.1) функция R квадратично зависит оту: R=U(x,y)-Qxy -iQyy 2, а функция S является полиномом 4-й степени по у : в то же время инвариант w зависит от У линейно. Следовательно, в (5.3) функция Ф щмІ) должна зависеть от w по квадратичному закону, т.е. Фі (H,W) = "2(u)w2 + ,(w)w + (,(«), а функция Ф2(ы/и0 в (5.4) является полиномом 4-й степени по w: Лемма доказана. Подставляя в (5.9) выражение для Фи получим, что отношение S/Q представимо в виде: Из теорем 4.1-4.3 также следует, что в первых интегралах нелинейных уравнений класса (4.1) функция Q (с точностью до постоянного множителя) имеет одну из трёх форм: либо Q =у2, либо Q y2 + D(x), либо Q = b(x)y. Теорема 5.1. При Q y2 среди уравнений класса У" = %г"лЕ у"1 существует 4 (и только 4) уравнения, первые интегралы которых наследуют допускаемую самим уравнением группу Ли с оператором (5.1), причём в этих операторах а Ф 0, а первый интеграл является полным квадратом линейного по у" первого интеграла. Доказательство. Согласно теореме 4.1, для уравнений класса у "- = Xr Е у в первом интеграле (3.7) функция R имеет вид где щ = С3-2Х \r 1E2dx . Тогда Т = - = иху 1 - у Ху г, или, в инвариантах и и = r-lE{u+Vyx\ulE 1-w2 2(u+Vyw {u + Vfr 2 . Сравнивая с формулой (5.8), приходим к системе уравнений а третье приводится к виду Последнее равенство возможно, если и только если При а = 0 отсюда следует: щ—\хь что противоречит условию щ --Хг х Ф 0. Следовательно, тогда щ = С3 -2% \r lE dx —С3 - Е2 и равенство (5.13) возможно, если и только если При этом функция С другой стороны, при Q=y для уравнений класса у = Xr Е _у в первом интеграле (3.7) функция S имеет вид где — в силу условия (5 Л4) — q = CQ + Е2. Записывая — с учетом (5.15) — отношение SJQ в инвариантах и и w: и сравнивая с (5.10), получим систему ПОДСТЕІВЛЯЯ сюда q и выражения (5.12) и (5.16) для функций ь убеждаемся, что система совместна при всех допустимых функциях г, если С - 0 (при этом Хз = = Xi = (" + Г2. Хі = . Хо = (" + VY2)- Тогда из таблицы 2 получаем 4 искомых уравнения:
Нелокальные операторы, допускаемые ОДУ 3-го порядка
Исследование нелокальных симметрии, таким образом, даёт нам ешё несколько (существенно отличных от найденных в главе 1) классов уравнений, обладающих непрерывными симметриями. В частности, если в уравнении вида у" = fix, у, у ) с правой частью (7.20) функция Ф(х,и) является алгебраической, то мы имеем принципиально новый вид уравнений 3-го порядка с рациональной правой частью, обладающих нетривиальной симметрией. В работе [31] показано, что наличие нелокальной симметрии позволяет нам факторизовать уравнения этого класса к системе 2-х уравнений специального вида. Если решается именно 1-е уравнение такой системы, то мы получаем понижение порядка исходного уравнения, принципиально не сводящееся к лиевскому понижению порядка с помощью точечного (и вообще локального) преобразования. Решение обратной задачи группового анализа уравнений вида у " = fix у, у ) позволило исчерпывающим образом описать все уравнения этого класса, допускающие 1- и 2-мерную алгебру Ли. В частности, показано, что существует только 15 подклассов уравнений 3-го порядка без предстаршей производной, допускающих понижение порядка на 2 единицы с помощью точечных преобразований. Решение обратной задачи поиска первых интегралов, полиномиально зависящих от у", выявило структуру всех уравнений 3-го порядка, обладающих линейными и квадратичными по у" первыми интегралами. С помощью разработанного алгоритма изучено взаимодействие квадратичных по у" первых интегралов и классических (лиевских) симметрии для \ уравнения вида у" =fix, у). Выявлены все подклассы уравнений без промежуточных производных (среди них 24 подкласса нелинейных уравнений), одновременно допускающих точечную симметрию (с . оператором X = = гдх + (г + &)уду, где г(х) ф. 0) и первый интеграл вида Р = Qy"2 + Ry" + S. Доказаны теоремы о необходимых и достаточных условиях, при которых нелинейные уравнения вида у " -fix, у) обладают квадратичными по у" первыми интегралами, „наследующими" точечную симметрию, допускаемую самим уравнением. Порядок таких уравнений (их оказалось 10 из 24) может быть понижен на 2 единицы с помощью точечного преобразования. Два из этих уравнений (у " = Ху ъ1А и У" = Ъс У2у т) имеют первые интегралы, наследующие обе точечные симметрии, допускаемые самими уравнениями, и, следовательно, интегрируются в квадратурах с помощью точечных преобразований. Получено полное решение обратной задачи симметрийного анализа уравнений вида у" = fix, у, у \ допускающих канонический ЭНО 1-го порядка.
Наличие нелокальной симметрии позволяет нам факторизовать уравнения этого класса к системе 2-х уравнений специального вида. Если решается именно 1-е уравнение такой системы, то мы получаем понижение порядка исходного уравнения, принципиально не сводящееся к лиевскому понижению порядка с помощью точечного (и вообще локального) преобразования. Таким образом, если В2 - 0, то уравнение у" - Ху Ы4 допускает уже найденный точечный оператор Х 3хдх + 4уду и имеет 2 первых интеграла (П. 14) с Ь(х) = ]Х + В0, а уравнение у " = Х(х + уУ"3 2/"3 4 допускает (также уже найденный) точечный оператор X = Зх(х + у)дх + (6х -ь 4у)уду и имеет первый интеграл (П. 14) с Ь(х) - В& + BQ = ,(х + у); если же В2 ф 0, то С\ 0 и для уравнения у" = Я,(х + у) У2у получаем два первых интеграла (П.14) с Ъ(х) = В2х + уВ х + у (Вх- В2), объединяющих ранее полученные первые интегралы. 26). Если a = 75/9, то из системы (П. 16) находим: С5 = Ц1-, В2 =j - Если if, =0, то В2 = 0 (т.е. Ь(х) — В0) и Сх = 0 (т.е. r(x) 5х)} тогда, с точностью до постоянного множителя, о(х) ==К V 3/4 = 5 шх, т.е. уравнение у " — Хху т допускает точечный оператор X = 9хдх + 16уду и имеет первый интеграл (П.14) cb(x)=B0; если же Вх Ф 0, то т.е. уравнение У = Хх(х + у) 5/2у D/4 допускает точечный оператор X - 9х(х + у)дх + 2(9х + 8y)_y3v и имеет первый интеграл (П. 14) с b(x) = (х + у)2. 3). Рассматривая при 5 = 0 особое решение: r(x) = 1, из первого уравнения системы (П. 12) получим, что к2 = 0; при этом у(х) = 1, и из первого уравнения системы (П,8) следует, что Ь" = 0. Тогда для уравнения у " = Ху"Ы4 получаем (очевидный) второй допускаемый оператор Х2 = дх и первый интеграл (П. 14), в котором b(x) = Вхх + В0. Результаты объединены в таблице 4.
