Классификация интегрируемых эволюционных векторных дифференциальных уравнений третьего порядка Балахнёв Максим Юрьевич

Содержание к диссертации

Введение

1 Анизотропные уравнения на сфере п 16

1.1 Основная теорема 16

1.2 Авто-преобразования Беклунда 31

2 Уравнения специального вида в R" 36

2.1 Уравнения не содержащие и2 36

2.1.1 Основная теорема 36

2.1.2 Авто-преобразования Беклунда 43

2.2 Изотропные уравнения при условии ord/о ^ 1 49

2.2.1 Основная теорема 49

2.2.2 Авто-преобразования Беклунда 54

2.3 Другие интегрируемые случаи 57

3 Дифференциальные подстановки первого порядка 61

3.1 Основные теоремы 64

3.2 Точечные преобразования

3.3 Дифференциальные подстановки в Sn 72

4 Формулы суперпозиции 80

4.1 Обобщения мКдФ 80

4.2 Уравнения типа мКдФ 84

4.3 Изотропные уравнения на сфере п 89

4.4 Анизотропное обобщение уравнения Щварц-КдФ 98

4.5 Обобщение уравнения Ландау-Лифшица 104

Заключение 115

Список используемых источников 116

• Авто-преобразования Беклунда
• Авто-преобразования Беклунда
• Точечные преобразования
• Уравнения типа мКдФ

Введение к работе

Классификация интегрируемых эволюционных уравнений и систем, а также изучение различных их свойств, входит в число приоритетных направлений научных исследований РАН и является известной тематикой в исследованиях большого числа современных математиков и физиков как в нашей стране, так и за рубежом. Интерес к этому направлению объясняется тем, что интегрируемые эволюционные уравнения и системы имеют приложения в математике и физике. Именно, наблюдение физического явления способствовало открытию первого интегрируемого эволюционного уравнения - уравнения Кортевега-де Фриза (КдФ).

В августе 1834г. Скотт Расселл, изучая пропускную способность канала Юнион, который начинается у Эдинбурга, соединяется с каналом Форз-Клайд и тем самым соединяет оба побережья Шотландии, стал свидетелем необычайного и красивого явления и назвал его «большая уединенная волна». Расселл затем классифицировал волновые движения жидкости и проводил эксперименты с водой, чтобы их наблюдать [1]. Позже Буссинеском была получена более точная модель волн на воде, так называемое уравнение Буссинеска [2]. Уединенная волна привлекла внимание многих физиков, пытавшихся найти ее аналитическое описание вплоть до 1895 года, когда появилась работа Кортевега и де Фриза [3].

Открытие Гарднером, Грином, Краскалом и Миурой в 1968 году замечательного факта, что для уравнения КдФ существует аналитический метод решения задачи Коши [4], и сделанное впоследствии открытие, показавшее, что аналогичные методы применимы к уравнению синус-Гордой и другим нелинейным уравнениям, вызвали революцию в математической физике 1970-80-х годов. Новый фундаментальный метод интегрирования дифференциальных уравнений получил название метода обратной задачи рассеяния.

Появившись впервые в теории волн на мелкой воде уравнение КдФ, встречается сегодня в теории решеток, физике плазмы и магнитной гидродинамике [5]. Приложения другого известного уравнения синус-Гордон охватывают такие разлршные области, как дислокации в кристаллах, джозефсоновские сверхпроводящие контакты, волны зарядовой плотности в одномерных органических проводниках и модели теории поля.

Именно приложения во многих областях физики объясняет повышенный интерес к различным интегрируемым эволюционным уравнениям и системам. Естественным образом возникает вопрос: существуют ли еще уравнения, кроме, например, КдФ или синус-Гордон, обладающие такими лее свойствами? Анализ свойств известных уравнений позволяет развивать методы их классификации - получения новых ин-тегрируемых случаев.

На первой Киевской международной конференции в 1979 г. А. Б. Шабат сформулировал основные принципы симметрийного подхода к классификации интегрируемых уравнений, базирующегося на явных условиях интегрируемости. В этом же году, довольно близкий по духу подход был предложен в работе [6], но идеи этой работы не скоро получили должное развитие.

Первыми публикациями на тему явных условий интегрируемости для эволюционных уравнений являются работы [7, 8], в которых были введены понятия формальной симметрии и канонических плотностей. В работе [9] показано, что существование пары высших законов сохранения влечет за собой существование формальной симметрии. Кроме того, в этой работе представлен полный список уравнении вида Щ = Щхх + f(^ui^ux,Uxx), обладающих высшими законами сохранения.

Симметрийный подход был расширен Р. И. Ямиловым на бесконечные системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений типа цепочки Тоды [10]. Эффективность методов А. Б. Шабата бы-

ла продемонстрирована и при классификации нелинейных уравнений типа уравнения Клейна - Гордона [11]. В [12] получен полный сппсок интегрируемых цепочек вида (u_n)_t = f{u_n-_Uu_mu_n+1).

Классическая теория контактных преобразований совмещена с сим-метрийным подходом С. И. Свинолуповым в работе [13], посвященной проблеме классификации уравнений типа Бюргерса. Интегрируемые уравнения 5-го порядка были проклассифицированы в [14]. Схема классификации интегрируемых уравнений в векторном случае была обобщена в [15]. После этого в [16] и [17] был получен полный список интегрируемых уравнений типа нелинейного уравнения Шредингера, а в [18] описаны контактные преобразования для них.

Симметрийный подход обсуждался и в статье А.С. Фокаса [19], где перечислены все уравнения вида щ = и_ххх + f(u,v_x), обладающие хотя бы одной высшей симметрией пятого порядка. Уточнение понятия формальной симметрии, алгоритмический способ вычисления явных условий интегрируемости, развитие классической теории преобразований и ряд других оригинальных результатов содержатся в обзорных статьях [20, 21, 22]. Многочисленные работы по классификации и изучению симметрийных свойств интегрируемых уравнений [23] - [48] говорят о неугасающем интересе исследователей к данной тематике.

Для того чтобы пояснить основные понятия и методы исследования

используемые в диссертации, рассмотрим уже упомянутое уравнение

КдФ:

du(x,t) d³u(x,t) du{x,t)

-дГ~^^^ ^{+ %и}^^ь)~Ъх— ⁽¹⁾

В классической теории Софуса Ли определение симметрии связывается с однопараметрическими группами преобразований типа группы Лоренца, группы Галилея, масштабной группы и т.д. Если уравнение в частных производных допускает такую группу, то исходя из данного решения при помощи действия группы можно получить однопарамет-

рическое семейство решений. Например, преобразования Галилея

х' = x~6rt, t' = t, и' = и + т (2)

не меняют вида уравнения КдФ и действие группы (2) дает однопара-метрическое семейство решений (1)

u(x,t, г) = и(х + 6 ті, t) +т. (3)

Из (3) следует щ = l-\-Qtu_x и, так как, (1) выполняется тождественно относительно г, то частная производная и_т удовлетворяет линейному уравнению

^{(1-Шв-бий-б^)^>=- (4)}

то есть функция f = 1 + 6tv_х удовлетворяет (4). Любая функция / от переменных

удовлетворяющая (4), называется симметрией уравнения КдФ. При этом подразумевается, что после подстановки f(x,t,u,u_x:...) вместо и_т в (4) все производные u_t, u_xt} щи выражены через переменные (5) с помощью уравнения (1). После этого соотношение (4) должно превратиться в тождество относительно независимых переменных (5). Симметрии

К = f?u% + /₂Х + Я, /Г = fi (*, х, и) (6)

называют классическими, так как в этом случае симметрия порождает однопарамстрическую группу преобразований. Симметрии, не имеющие вида (б), обычно называют высшими. Простейшим примером такой симметрии для (1) является функция

/ = и_ххххх -\-10и и_ххх + 20 и_х и_хх + 30 и² и_х.

Определение симметрии легко обобщить на произвольную систему дифференциальных уравнений в частных производных

Н-(хЛиЬ) = 0,<, = д-^, (7)

где a ==1,...,р.

Определение 1. Векторное поле а^а называется симметрией (7), если оно удовлетворяет системе уравнений

= 0, (8)

г,з

где многообразие М определено дифференциальными следствиями (7):

Dⁿ_x D*H^a(x, t,u^) = 0, n, fc = 0,1,....

Здесь операторы D_x и D_t введены следующим образом:
ъ д ₀ д д ₀ д

Одним из главных объектов в симметрийном подходе к классификации интегрируемых методом обратной задачи рассеяния уравнений является бесконечное множество канонических сохраняющихся плотностей. Связи между симметриями и законами сохранения описываются известной теоремой Э. Нетер. Например, инвариантность нелинейного уравнений Шредингера

гфі = Фхх + \Ф?Ф

относительно фазового преобразования ф —> е^гтф приводит к закону сохранения

(\Ф\% = (ІФІФ - гф*ф_х)_х

с сохраняющейся плотностью \ф\².

Определение 2. Если существуют функции рив зависящие от конечного числа переменных (, х, v%J) и удовлетворяющие равенству

D_tp = D_x9,

выполненному на любом решении (7), то говорят, что (7) имеет дифференциальный закон сохранения. Функция р называется сохраняющейся плотностью, а функция в - плотностью тока.

Общие свойства законов сохранения эволюционных систем изучались, например, в работах [49] - [58], а в работах [59]- [65] исследованы законы сохранения для конкретных эволюционных систем. Работа [6] (см. также [66] и [67]) дала толчок развитию нового метода вывода канонических плотностей при исследовании интегрируемости нелинейных уравнений. Метод сформулированный на уровне гипотезы затем был проверен на большом числе примеров [68]. Мотивировка использования так называемого "китайского"метода и некоторые его приложения даны в работе А. Г. Мешкова [69].

Интегрируемую методом обратной задачи рассеяния систему дифференциальных уравнений (7) часто ассоциируют с линейной системой

ф_х = иф, ф_ь = Уф, (9)

где 0(ж,) — столбец неизвестных функций, а матрицы U, V зависят от (x,t,ufj). Условие совместности (9) записывается следующим образом

D_tU-D_xV+[U,V}=0,

где [,]- коммутатор матриц, и называется представлением нулевой кривизны для (7).

Известно, что (1) имеет представление нулевой кривизны с матри
цами ,

тт _ ( /J? -и\ у _ { и_х — Ац^ъ -и_хх + 2 (и + 2fi²)(fi² - v)
\1 0 )' ^V ~\2{и + 2/а²) ~и_х - 4/z³

где и есть решение уравнения КдФ и \х - параметр.

Важным свойством интегрируемых методом обратной задачи рассеяния уравнений является то, что они допускают бесконечную последовательность законов сохранения. Рассмотрим способ построения сохра-

няющихся плотностей на примере уравнения КдФ. Подставив вышеуказанные матрицы U и V в (9) можно получить систему уравнений:

Фхх + иф- р?ф = 0, (10)

ф_ь = 4ф_ххх + 6иф_х + 3и_хф-4р³ф, (11)

которую называют представлением Лакса для уравнения КдФ.

Для того, чтобы привести (10) к уравнению типа Риккати, выполним подстановку

ф = ехр ( pdx) , -

тогда'(10) и (11) примут вид

р_х + р² + и - /х² = 0. (12)

d_t pdx = 4(. + р)²р + 6ир + Зи_х-4 /А (13)

Дифференцируя уравнение (13) по х мы можем записать его, используя (12), в следующей форме

p_t = d_x[(2u + Ap²)p-u_x]. (14)

Если искать решение (12) в виде ВКБ-разложений

Р = М + 2>п(-2мГ^п, (15)

п=0

то мы получим известную рекурсионную формулу [70]

га-1

р_п+1 = D_xp_n + ^2pip_n-i, п = 1,2,... ро = 0, pi=u, (16)

а (14) приводит к бесконечной серии законов сохранения:

D_tpn = D_x(2up_n - Рп+2), п > 0. (17)

Поскольку и - есть решение КдФ, мы заменили частные производные в (17) на оператор эволюционной производной D_t и оператор полной

производной по a;- D_x. Полученные законы сохранения называют каноническими, несколько первых из них имеют вид:

Р2 = Щ, рз = и²-\-и_2: pa = D_x(2u² + и₂),...

Таким образом, имея представление Лакса, мы построили рекуррентную формулу для сохраняющихся плотностей уравнения (1).

Замечателен тот факт, что канонические плотности уравнения КдФ могут быть построены и при использовании только временного уравнения (13). Так, положив d_tfpdx = 9 находим из (13)

4(<9_С + Р?Р + вир + Зи_х - Ар³ = 9 (18)

Используя ВКБ-разложения

оо со

р = _м+;/>_п(-2//)-л 0 = 5^(-2//)-,

п=0 п=0

мы получаем из (18) следующую рекурсионную формулу:

П+1 , П 1 л

^ V^ ⁴V^ * л ⁴ ~

р_п+2 = 2up_n + 2 2_^ PiPn-i+l - о 2-^ PiPjPn-i-j - g#n - o^DxPn

+ 2D_X I p_n+i - 5^ PiPn-i I - ^4i ,-i + щ5_п,₀, n = -2, -l, 0,...

где <5i,fc - символ Кронекера. В полученном выражении р₀ = 0, / = и, Р2 = п\ — во/3 и так далее. Так как D_tpo = D_x9₀ и р₀ — 0, то 6>₀ = 0. Следующие канонические плотности р„,п > 2 зависят от <9_П_2, при этом члены в_п определяются из уравнений D_tp_n = D_x0_n. Например, Q\ = и₂ + 3².

Рассмотрим указанный метод построения канонических плотностей для эволюционных систем

щ = К (и, и_х,..., и_п), u(t, х) Gl^m,m^ l, и% = д*гі^а. (19)

Основная идея - использование вместо (19) линеаризованного уравнения

(А - К*)ф = 0 (20)

или сопряженного к нему

(A + К+)<р = 0, (21)

как временного уравнения Лакса. Здесь

дь ^ ^ХУ 'диГ дх ^ ^п+іди:

Этот способ часто называют "китайским", поскольку он был впервые применен как эвристический в [6], суть его заключается в следующем [69]: уравнение (18) получают из (13) с помощью подстановки

ф = ехр1 ш),

где ш = pdx + в dt гладкая замкнутая 1-форма, такая что D_tp — D_x9. Очевидно, что e~^ulDte^UJ = D_t + 6, е~^шВ_хе^ш — D_x-\- р откуда следует (18). С другой стороны, уравнение (18) можно рассматривать как результат формального продолжения операторов D_t —» d_t + 9, D_x —* д_х + р в (13) и принятия затем ф = 1. Для систем можно считать ф_а = 1 только при фиксированном а.

В. В. Соколов в работах [71] и [72] предложил бескомпонентную версию симмстрпйного подхода для классификации векторных уравненпіі. Используя эти идеи, мы провели классификацию интегрируемых векторных эволюционных уравнений вида:

* u_t = и_ххх -Ь f₂u_xx + fiu_x + f₀u, (22)

где и(х, t) - неизвестный вектор, принадлежащий некоторому iV-мерному векторному пространству V со скалярным произведением (-,-)> щ = du/dt, и_х — ди/дх, и_хх — д²и/дх² и т.д.

Переменные гі, гх_ж, и_хх,... считают независимыми и используют обозначения:

и_х = и_ъ и_хх = и₂, и_ххх = us, (23)

На функции /_г можно накладывать различные ограничения, будем считать, что они зависят только от скалярных произведений

Щи) = Ы, Uj), 0 < і < j < п. (24)

Предложенная модификация симметрийного подхода обобщается в [72] и на случай, когда в пространстве V определено два различных скалярных произведения. В этом случае расширяют множество динамических переменных (24) путем добавления дополнительных переменных

Щг,Я = {^UU Uj), 0 ^ І ^ j < п, (25)

построенных по второму скалярному произведению.

, Целое число j называют порядком переменных (24) и (25). Порядком функции от переменных U[i,j], u[_hJ] называют наивысший из порядков переменных, от которых она зависит. Мы далее считаем, что функции fi в (22) имеют порядок не выше 2.

Важно подчеркнуть, что мы исследуем уравнения, которые являются интегрируемыми при любой размерности N вектора и. При этом мы предполагаем, что коэффициенты fi в (22) не зависят от Л⁷". Ввиду произвольности N, переменные (24) и (25) можно считать независимыми. Функциональная независимость переменных щ^, Щ,а, і ^ j' -это решающее требование в пашем исследовании. Если N фиксировано, то этого нельзя утверждать. Например, если N — 3, то определитель с элементами щ^ i,j = 1,2,3,4 тождественно равен нулю. Отметим также, что для нас несущественна реализация метрик в V, так как мы используем в данном исследовании только самые общие свойства скалярного произведения - билинейность, симметричность и непрерывность.' Ясно, что конечномерность или вещественность пространства V также не важны.

Примерами интегрируемых изотропных уравнений, зависящих только от переменных (24), являются векторные обобщения модифицированного КдФ:

щ = и₃-\-(и,и)и₁, (26)

щ = из + (и,и)иі + (и,иі)и, (27)

Эти и другие примеры интегрируемых векторных уравнений можно найти в статьях [73, 74]. Некоторые из них тесно связаны с такими алгебраическими и геометрическими объектами, как йордановы тройные системы и симметрические пространства [75] - [78].

Примером интегрируемого анизотропного уравнения, зависящего от переменных (24) и (25), является векторное обобщение высшей симметрии уравнения Ландау-Лифшица приведенное в [79]:

u_t = D_x[u₂ + \{u_llui)u)-\-\(u,Ru)ui, и² = (и,и) = 1, (28)

где R - постоянная симметричная матрица. В цитируемой работе было показано, что это уравнение интегрируемо методом обратной задачи рассеяния при любых N к R. В этом случае второе скалярное произведение задается формулой (х,у) = (x,Ry).

Необходимые условия интегрируемости для векторных уравнений (22) были определены в [72] и имеют вид законов сохранения

D_tp_i = D_xe_il г = 0,1,2,... (29)

где pi, 9{- функции переменных (24) и (25), которые рекурсивно выражаются через коэффициенты fi уравнения (22).

Локальным законом сохранения для эволюционного векторного уравнения (22) называют всякое соотношение вида (29), где оператор полной производной по х - D_x и оператор эволюционной производной D_t определяются следующим образом:

Правила дифференцирования скалярных произведении Щі^ = (ui,Uj) и u[ij] = (ui,Uj) вытекают из равенства D_XU{ = и_і+г и билинейности скалярного произведения. Эволюционная производная Д вычисляется по правилу дифференцирования сложной функции.

Для построении бесконечной серии законов сохранения запишем (22) в виде (—A + D_x + /2- + /1 Де + /0)** = 0. Теперь, считая скалярное уравнение (—A + 1 + /2. 4- /1 Дс + /о)^ = 0 временным уравнение Лакса для (22), выполним в нем стандартную подстановку

В результате мы получим уравнение типа Риккати:

(A + RfR + h{D_x + R)R + j\R + /о = F, AF = D_tR. (30)

Это уравнение имеет формальные решения в виде

оо оо

i? = A-¹ + ^/?_nA"_J F = A-³ + ^M" (31)

п=0 п=0

Подставив (31) в первое уравнение (30) мы приходим к следующей реккурентной формуле:

_ 1

Рп+2 — о

#?7 — /о ^п,0 — 2 /₂ Рп+1 — /2 D_xp_n — /х р_г

~ 3

-д

71+1

s=0

s=0

І2 ^2 Ps Pn-s + ^2 PsPk Pn-s-k + З ]P p_s 0

n> 0.

If l_n

Pn+1 + -Z 2_^ Ps Pn-s + ^D_xp_n

s=0

Здесь 5i,j символ Кронекера и

Po = -g /2, Pi = q /₂² - 2 /1 + о A; /2-

(32)

Теперь, используя (31), мы получаем из второго уравнения (30) бесконечную серию законов сохранения D_tp_n = D_x9_n, п — 0,1, 2,..., где р_п и в_п функции переменных (24) и (25).

Рекурсионная формула позволяет находить функции 9_п из D_tp_n = D_x9_ni поскольку выражения для р_п содержат 9_І1 і ^ п — 2. Например,

1.1 2 ,. 1 (\ 2 1

92 = - о /о + о ^о - оТ /I + g h h - D_x f - /f + -1)^ f₂ — - h

и так далее.

Таким образом, условия Dtp_n = Ас#п позволяют найти явный вид функций /j, так как р_п определяются через коэффициенты fi уравнения (22). Другими словами, условия D_tp_n = D_x9_n являются уравнениями для определения fi. В частности, как показано В.В. Соколовым и А.Г. Мешковым, четные канонические плотности тривиальны, то есть ро_п — D_xXn, п = 0,1,..., что влечет, согласно (32), /2 Є ImD. Таким образом, не теряя общности, можно считать /₂ — 3/2 Дс(In/), где ordf = 1.

В первой главе диссертации представлена классификация анизотропных уравнений в ^п. Вторая глава посвящена классификации уравнений вида (22) вГс некоторыми ограничениями на fi. Эти ограничения возникли по техничеким причинам: в этих случаях удается получить полный список интегрируемых векторных уравнений. В качестве доказательства точной интегрируемости всех полученных уравнений найдены авто-преобразования Беклунда для них. Дифференциальные подстановки первого порядка изучены в третьей главе. В четвертой главе получепы формулы суперпозиции и решения для наиболее известных векторных уравнений.

Авто-преобразования Беклунда

Классификация интегрируемых эволюционных уравнений и систем, а также изучение различных их свойств, входит в число приоритетных направлений научных исследований РАН и является известной тематикой в исследованиях большого числа современных математиков и физиков как в нашей стране, так и за рубежом. Интерес к этому направлению объясняется тем, что интегрируемые эволюционные уравнения и системы имеют приложения в математике и физике. Именно, наблюдение физического явления способствовало открытию первого интегрируемого эволюционного уравнения - уравнения Кортевега-де Фриза (КдФ).

В августе 1834г. Скотт Расселл, изучая пропускную способность канала Юнион, который начинается у Эдинбурга, соединяется с каналом Форз-Клайд и тем самым соединяет оба побережья Шотландии, стал свидетелем необычайного и красивого явления и назвал его «большая уединенная волна». Расселл затем классифицировал волновые движения жидкости и проводил эксперименты с водой, чтобы их наблюдать [1]. Позже Буссинеском была получена более точная модель волн на воде, так называемое уравнение Буссинеска [2]. Уединенная волна привлекла внимание многих физиков, пытавшихся найти ее аналитическое описание вплоть до 1895 года, когда появилась работа Кортевега и де Фриза [3].

Открытие Гарднером, Грином, Краскалом и Миурой в 1968 году замечательного факта, что для уравнения КдФ существует аналитический метод решения задачи Коши [4], и сделанное впоследствии открытие, показавшее, что аналогичные методы применимы к уравнению синус-Гордой и другим нелинейным уравнениям, вызвали революцию в математической физике 1970-80-х годов. Новый фундаментальный метод интегрирования дифференциальных уравнений получил название метода обратной задачи рассеяния. Появившись впервые в теории волн на мелкой воде уравнение КдФ, встречается сегодня в теории решеток, физике плазмы и магнитной гидродинамике [5]. Приложения другого известного уравнения синус-Гордон охватывают такие разлршные области, как дислокации в кристаллах, джозефсоновские сверхпроводящие контакты, волны зарядовой плотности в одномерных органических проводниках и модели теории поля.

Именно приложения во многих областях физики объясняет повышенный интерес к различным интегрируемым эволюционным уравнениям и системам. Естественным образом возникает вопрос: существуют ли еще уравнения, кроме, например, КдФ или синус-Гордон, обладающие такими лее свойствами? Анализ свойств известных уравнений позволяет развивать методы их классификации - получения новых ин-тегрируемых случаев.

На первой Киевской международной конференции в 1979 г. А. Б. Шабат сформулировал основные принципы симметрийного подхода к классификации интегрируемых уравнений, базирующегося на явных условиях интегрируемости. В этом же году, довольно близкий по духу подход был предложен в работе [6], но идеи этой работы не скоро получили должное развитие.

Первыми публикациями на тему явных условий интегрируемости для эволюционных уравнений являются работы [7, 8], в которых были введены понятия формальной симметрии и канонических плотностей. В работе [9] показано, что существование пары высших законов сохранения влечет за собой существование формальной симметрии. Кроме того, в этой работе представлен полный список уравнении вида Щ = Щхх + f(uiux,Uxx), обладающих высшими законами сохранения.

Симметрийный подход был расширен Р. И. Ямиловым на бесконечные системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений типа цепочки Тоды [10]. Эффективность методов А. Б. Шабата бы ла продемонстрирована и при классификации нелинейных уравнений типа уравнения Клейна - Гордона [11]. В [12] получен полный сппсок интегрируемых цепочек вида (un)t = f{un-Uumun+1).

Авто-преобразования Беклунда

Классическая теория контактных преобразований совмещена с сим-метрийным подходом С. И. Свинолуповым в работе [13], посвященной проблеме классификации уравнений типа Бюргерса. Интегрируемые уравнения 5-го порядка были проклассифицированы в [14]. Схема классификации интегрируемых уравнений в векторном случае была обобщена в [15]. После этого в [16] и [17] был получен полный список интегрируемых уравнений типа нелинейного уравнения Шредингера, а в [18] описаны контактные преобразования для них.

Симметрийный подход обсуждался и в статье А.С. Фокаса [19], где перечислены все уравнения вида щ = иххх + f(u,vx), обладающие хотя бы одной высшей симметрией пятого порядка. Уточнение понятия формальной симметрии, алгоритмический способ вычисления явных условий интегрируемости, развитие классической теории преобразований и ряд других оригинальных результатов содержатся в обзорных статьях [20, 21, 22]. Многочисленные работы по классификации и изучению симметрийных свойств интегрируемых уравнений [23] - [48] говорят о неугасающем интересе исследователей к данной тематике.

Для того чтобы пояснить основные понятия и методы исследования

используемые в диссертации, рассмотрим уже упомянутое уравнение КдФ: du(x,t) d3u(x,t) du{x,t) -дГ + %и ь) Ъх— (1) В классической теории Софуса Ли определение симметрии связывается с однопараметрическими группами преобразований типа группы Лоренца, группы Галилея, масштабной группы и т.д. Если уравнение в частных производных допускает такую группу, то исходя из данного решения при помощи действия группы можно получить однопарамет рическое семейство решений. Например, преобразования Галилея х = x 6rt, t = t, и = и + т (2) не меняют вида уравнения КдФ и действие группы (2) дает однопара-метрическое семейство решений (1) u(x,t, г) = и(х + 6 ті, t) +т. (3)

Из (3) следует щ = l-\-Qtux и, так как, (1) выполняется тождественно относительно г, то частная производная ит удовлетворяет линейному уравнению (1-Шв-бий-б ) =- (4) то есть функция f = 1 + 6tvх удовлетворяет (4). Любая функция / от переменных удовлетворяющая (4), называется симметрией уравнения КдФ. При этом подразумевается, что после подстановки f(x,t,u,ux:...) вместо ит в (4) все производные ut, uxt} щи выражены через переменные (5) с помощью уравнения (1). После этого соотношение (4) должно превратиться в тождество относительно независимых переменных (5). Симметрии К = f?u% + /2Х + Я, /Г = fi ( , х, и) (6) называют классическими, так как в этом случае симметрия порождает однопарамстрическую группу преобразований.

Симметрии, не имеющие вида (б), обычно называют высшими. Простейшим примером такой симметрии для (1) является функция / = иххххх -\-10и иххх + 20 их ихх + 30 и2 их. б Определение симметрии легко обобщить на произвольную систему дифференциальных уравнений в частных производных Н-(хЛиЬ) = 0, , = д- , (7) где a ==1,...,р. Определение 1. Векторное поле аа называется симметрией (7), если оно удовлетворяет системе уравнений дНа dvg = 0, (8) г,з где многообразие М определено дифференциальными следствиями (7): Dnx D Ha(x, t,u ) = 0, n, fc = 0,1,.... Здесь операторы Dx и Dt введены следующим образом: ъ д 0 д д 0 д Одним из главных объектов в симметрийном подходе к классификации интегрируемых методом обратной задачи рассеяния уравнений является бесконечное множество канонических сохраняющихся плотностей. Связи между симметриями и законами сохранения описываются известной теоремой Э. Нетер. Например, инвариантность нелинейного уравнений Шредингера гфі = Фхх + \Ф?Ф относительно фазового преобразования ф — егтф приводит к закону сохранения (\Ф\% = (ІФІФ - гф фх)х с сохраняющейся плотностью \ф\2. Определение 2. Если существуют функции рив зависящие от конечного числа переменных (, х, v%J) и удовлетворяющие равенству Dtp = Dx9, выполненному на любом решении (7), то говорят, что (7) имеет дифференциальный закон сохранения. Функция р называется сохраняющейся плотностью, а функция в - плотностью тока.

Точечные преобразования

Общие свойства законов сохранения эволюционных систем изучались, например, в работах [49] - [58], а в работах [59]- [65] исследованы законы сохранения для конкретных эволюционных систем. Работа [6] (см. также [66] и [67]) дала толчок развитию нового метода вывода канонических плотностей при исследовании интегрируемости нелинейных уравнений. Метод сформулированный на уровне гипотезы затем был проверен на большом числе примеров [68]. Мотивировка использования так называемого "китайского"метода и некоторые его приложения даны в работе А. Г. Мешкова [69]. Интегрируемую методом обратной задачи рассеяния систему дифференциальных уравнений (7) часто ассоциируют с линейной системой фх = иф, фь = Уф, (9) где 0(ж,) — столбец неизвестных функций, а матрицы U, V зависят от (x,t,ufj). Условие совместности (9) записывается следующим образом DtU-DxV+[U,V}=0, где [,]- коммутатор матриц, и называется представлением нулевой кривизны для (7). Известно, что (1) имеет представление нулевой кривизны с матри цами , тт _ ( /J? -и\ у _ { их — Ацъ -ихх + 2 (и + 2fi2)(fi2 - v) \1 0 ) V \2{и + 2/а2) их - 4/z3 где и есть решение уравнения КдФ и \х - параметр. Важным свойством интегрируемых методом обратной задачи рассеяния уравнений является то, что они допускают бесконечную последовательность законов сохранения. Рассмотрим способ построения сохра няющихся плотностей на примере уравнения КдФ. Подставив вышеуказанные матрицы U и V в (9) можно получить систему уравнений: Фхх + иф- р?ф = 0, (10) фь = 4фххх + 6ифх + 3ихф-4р3ф, (11) которую называют представлением Лакса для уравнения КдФ. Для того, чтобы привести (10) к уравнению типа Риккати, выполним подстановку ф = ехр ( pdx) , тогда (10) и (11) примут вид рх + р2 + и - /х2 = 0. (12) dt pdx = 4(. + р)2р + 6ир + Зих-4 /А (13) Дифференцируя уравнение (13) по х мы можем записать его, используя (12), в следующей форме pt = dx[(2u + Ap2)p-ux]. (14) Если искать решение (12) в виде ВКБ-разложений оо Р = М + 2 п(-2мГп, (15) п=0 то мы получим известную рекурсионную формулу [70] га-1 рп+1 = Dxpn + 2pipn-i, п = 1,2,... ро = 0, pi=u, (16) а (14) приводит к бесконечной серии законов сохранения: Dtpn = Dx(2upn - Рп+2), п 0. (17)

Поскольку и - есть решение КдФ, мы заменили частные производные в (17) на оператор эволюционной производной Dt и оператор полной производной по a;- Dx. Полученные законы сохранения называют каноническими, несколько первых из них имеют вид: Р2 = Щ, рз = и2-\-и2: PA = Dx(2u2 + и2),... Таким образом, имея представление Лакса, мы построили рекуррентную формулу для сохраняющихся плотностей уравнения (1). Замечателен тот факт, что канонические плотности уравнения КдФ могут быть построены и при использовании только временного уравнения (13). Так, положив dtfpdx = 9 находим из (13) 4( 9С + Р?Р + вир + Зих - Ар3 = 9 (18) Используя ВКБ-разложения оо со Р = М+;/ П(-2//)-Л 0 = 5 (-2//)-, п=0 п=0 мы получаем из (18) следующую рекурсионную формулу: П+1 , П 1 л V 4V л 4 рп+2 = 2upn + 2 2_ PiPn-i+l - о 2- PiPjPn-i-j - g#n - oDxPn + 2DX I pn+i - 5 PiPn-i I - 4i ,-i + щ5п,0, n = -2, -l, 0,... где 5i,fc - символ Кронекера. В полученном выражении р0 = 0, / = и, Р2 = п\ — во/3 и так далее. Так как Dtpo = Dx90 и р0 — 0, то 6 0 = 0. Следующие канонические плотности р„,п 2 зависят от 9П_2, при этом члены вп определяются из уравнений Dtpn = Dx0n. Например, Q\ = и2 + 32. Рассмотрим указанный метод построения канонических плотностей для эволюционных систем щ = К (и, их,..., ип), u(t, х) Glm,m l, и% = д гіа. (19) Основная идея - использование вместо (19) линеаризованного уравнения (А - К )ф = 0 (20) или сопряженного к нему (A + К+) р = 0, (21) как временного уравнения Лакса. Здесь а дь ХУ диГ дх п+іди: Этот способ часто называют "китайским", поскольку он был впервые применен как эвристический в [6], суть его заключается в следующем [69]: уравнение (18) получают из (13) с помощью подстановки ф = ехр1 ш), где ш = pdx + в dt гладкая замкнутая 1-форма, такая что Dtp — Dx9. Очевидно, что e ulDteUJ = Dt + 6, е шВхеш — Dx-\- р откуда следует (18). С другой стороны, уравнение (18) можно рассматривать как результат формального продолжения операторов Dt —» dt + 9, Dx — дх + р в (13) и принятия затем ф = 1. Для систем можно считать фа = 1 только при фиксированном а. В. В. Соколов в работах [71] и [72] предложил бескомпонентную версию симмстрпйного подхода для классификации векторных уравненпіі. Используя эти идеи, мы провели классификацию интегрируемых векторных эволюционных уравнений вида: ut = иххх -Ь f2uxx + fiux + f0u, (22) где и(х, t) - неизвестный вектор, принадлежащий некоторому iV-мерному векторному пространству V со скалярным произведением (-,-) щ = du/dt, их — ди/дх, ихх — д2и/дх2 и т.д. Переменные гі, гхж, ихх,... считают независимыми и используют обозначения: их = иъ ихх = и2, иххх = us, (23) На функции /г можно накладывать различные ограничения, будем считать, что они зависят только от скалярных произведений Щи) = Ы, Uj), 0 і j п. (24) Предложенная модификация симметрийного подхода обобщается в [72] и на случай, когда в пространстве V определено два различных скалярных произведения. В этом случае расширяют множество динамических переменных (24) путем добавления дополнительных переменных

Щг,Я = {UU Uj), 0 І j п, (25) построенных по второму скалярному произведению. , Целое число j называют порядком переменных (24) и (25). Порядком функции от переменных U[i,j], u[hJ] называют наивысший из порядков переменных, от которых она зависит. Мы далее считаем, что функции fi в (22) имеют порядок не выше 2.

Уравнения типа мКдФ

Важно подчеркнуть, что мы исследуем уравнения, которые являются интегрируемыми при любой размерности N вектора и. При этом мы предполагаем, что коэффициенты fi в (22) не зависят от Л7". Ввиду произвольности N, переменные (24) и (25) можно считать независимыми. Функциональная независимость переменных щ , Щ,А, і j -это решающее требование в пашем исследовании. Если N фиксировано, то этого нельзя утверждать. Например, если N — 3, то определитель с элементами щ i,j = 1,2,3,4 тождественно равен нулю. Отметим также, что для нас несущественна реализация метрик в V, так как мы используем в данном исследовании только самые общие свойства скалярного произведения - билинейность, симметричность и непрерывность. Ясно, что конечномерность или вещественность пространства V также не важны. Примерами интегрируемых изотропных уравнений, зависящих только от переменных (24), являются векторные обобщения модифицированного КдФ: щ = и3-\-(и,и)и1, (26) щ = из + (и,и)иі + (и,иі)и, (27) Эти и другие примеры интегрируемых векторных уравнений можно найти в статьях [73, 74]. Некоторые из них тесно связаны с такими алгебраическими и геометрическими объектами, как йордановы тройные системы и симметрические пространства [75] - [78]. Примером интегрируемого анизотропного уравнения, зависящего от переменных (24) и (25), является векторное обобщение высшей симметрии уравнения Ландау-Лифшица приведенное в [79]: ut = Dx[u2 + \{ullui)u)-\-\(u,Ru)ui, и2 = (и,и) = 1, (28) где R - постоянная симметричная матрица. В цитируемой работе было показано, что это уравнение интегрируемо методом обратной задачи рассеяния при любых N к R. В этом случае второе скалярное произведение задается формулой (х,у) = (x,Ry).

Необходимые условия интегрируемости для векторных уравнений (22) были определены в [72] и имеют вид законов сохранения Dtpi = Dxeil г = 0,1,2,... (29) где pi, 9{- функции переменных (24) и (25), которые рекурсивно выражаются через коэффициенты fi уравнения (22). Локальным законом сохранения для эволюционного векторного уравнения (22) называют всякое соотношение вида (29), где оператор полной производной по х - Dx и оператор эволюционной производной Dt определяются следующим образом: д

Правила дифференцирования скалярных произведении ЩІ = (ui,Uj) и u[ij] = (ui,Uj) вытекают из равенства DXU{ = иі+г и билинейности скалярного произведения. Эволюционная производная Д вычисляется по правилу дифференцирования сложной функции. Для построении бесконечной серии законов сохранения запишем (22) в виде (—A + Dx + /2- + /1 ДЕ + /0) = 0. Теперь, считая скалярное уравнение (—A + 1 + /2. 4- /1 Дс + /о) = 0 временным уравнение Лакса для (22), выполним в нем стандартную подстановку В результате мы получим уравнение типа Риккати: (A + RfR + h{Dx + R)R + j\R + /о = F, AF = DtR. (30) Это уравнение имеет формальные решения в виде оо оо i? = A-1 + /?nA"J F = A-3 + M" (31) п=0 п=0 Подставив (31) в первое уравнение (30) мы приходим к следующей реккурентной формуле: _ 1 Рп+2 — о #?7 — /о п,0 — 2 /2 Рп+1 — /2 Dxpn — /х рг 3 -д 71+1 s=0 s=0 І2 2 Ps Pn-s + 2 PsPk Pn-s-k + З ]P ps 0 s+fc n n 0. If ln Pn+1 + -Z 2_ Ps Pn-s + Dxpn s=0 Здесь 5i,j символ Кронекера и Po = -g /2, Pi = Q /22 - 2 /1 + о A; /2 (32) Теперь, используя (31), мы получаем из второго уравнения (30) бесконечную серию законов сохранения Dtpn = Dx9n, п — 0,1, 2,..., где рп и вп функции переменных (24) и (25). Рекурсионная формула позволяет находить функции 9п из Dtpn = Dx9ni поскольку выражения для рп содержат 9І1 і п — 2. Например, 1.1 2 ,. 1 (\ 2 1 92 = - о /о + о о - оТ /I + g h h - Dx f - /f + -1) f2 — - h и так далее. Таким образом, условия Dtpn = Ас#п позволяют найти явный вид функций /j, так как рп определяются через коэффициенты fi уравнения (22). Другими словами, условия Dtpn = Dx9n являются уравнениями для определения fi. В частности, как показано В.В. Соколовым и А.Г. Мешковым, четные канонические плотности тривиальны, то есть роп — DxXn, п = 0,1,..., что влечет, согласно (32), /2 Є ImD. Таким образом, не теряя общности, можно считать /2 — 3/2 Дс(In/), где ordf = 1.

В первой главе диссертации представлена классификация анизотропных уравнений в п. Вторая глава посвящена классификации уравнений вида (22) вГс некоторыми ограничениями на fi. Эти ограничения возникли по техничеким причинам: в этих случаях удается получить полный список интегрируемых векторных уравнений. В качестве доказательства точной интегрируемости всех полученных уравнений найдены авто-преобразования Беклунда для них. Дифференциальные подстановки первого порядка изучены в третьей главе. В четвертой главе получепы формулы суперпозиции и решения для наиболее известных векторных уравнений.

Похожие диссертации на Классификация интегрируемых эволюционных векторных дифференциальных уравнений третьего порядка

Алгоритмы симметрийного анализа обыкновенных дифференциальных уравнений третьего порядкаАврашков, Павел Петрович

Аналитическая характеристика решений нелинейных дифференциальных уравнений третьего порядка специального видаБелясова, Вера Герасимовна

Краевые задачи для некоторых гиперболических уравнений третьего порядка в трехмерном евклидовом пространствеДорофеев, Андрей Викторович

Краевые задачи для уравнения третьего порядка с кратными характеристиками в криволинейных областяхХашимов, Абдукомил Рисбекович

Некоторые краевые задачи для вырождающихся гиперболических уравнений третьего порядка в трехмерных областях Энбом Екатерина Александровна

О спектрах частот нулей решений линейных дифференциальных уравнений третьего порядкаСмоленцев, Михаил Викторович

Алгоритмы симметрийного анализа обыкновенных дифференциальных уравнений третьего порядка Аврашков Павел Петрович

Краевые задачи для уравнения третьего порядка, содержащего параболо-гиперболический операторТалипов, Атамет

О суммируемости с весом решений разностных схем для дифференциальных уравнений четвертого и третьего порядкаСаханов, Нурлан Наурызбаевич

Выделение классов систем дифференциальных уравнений второго и третьего порядков, допускающих лишь алгебраические подвижные особенностиШалик, Элла Владимировна