Введение к работе
Актуальность темы. Работа посвящена исследованию нелинейных задач, возникающих в теории полуэмпирических моделей турбулентности и нелинейной фильтрации. Разработка методов исследования изучаемого класса задач является важным этапом их анализа, что позволяет, в частности, ответить на вопрос о корректности модели, изучить условия формирования фазовой структуры решения, проследить выход решений на асимптотический режим, описать классы частных решений и изучить другие качественные свойства решений.
Характерной особенностью рассматриваемых моделей является их существенная нелинейность, где наличие диффузионных, и конвективных членов в уравнениях вносит дополнительную сложность в их исследование.
Теория нелинейных диффузионных уравнений представляет собой-одну из активно разрабатываемых в настоящее время областей. Вместе с: тем, опыт ее применения при изучении рассматриваемого класса задач потребовал дополнительных усилий, связанных как с наличием вырождения уравнений на заранее неизвестных множествах, так и со сложной структурой самих моделей, что приводит к необходимости дальнейшего развития методов исследования нелинейных диффузионных уравнений и систем.
Применение топологических методов часто оказывается весьма эффективным инструментом при исследовании специфических свойств, присущих рассматриваемым моделям - геометрии множества вырождения уравнений, формы профиля решений, существования совокупностей решений (инвариантных многообразий) и некоторых других свойств.
В настоящей работе дается изложение применения метода эквипотен-циалей (линий и поверхностей уровня) при изучения такого рода особенностей в исследуемых задачах. Прежде всего в диссертации излагается:
применение метода линий уровня для исследования геометрии свободной границы, формы профиля решения, перемен знака производной и некоторых других свойств решений уравнений типа нелинейной фильтрации, уравнений с переменным направлением параболичности, нелинейных параболических уравнений и систем вырождающихся параболических уравнений, возникающих в задачах теории полуэмпирических моделей турбулентности;
применение метода дифференциальных связей (построение инвариантных многообразий) для нахождения различных классов решений
РОС НАЦИОНАЛЬНА?
1 БИБЛИОТЕКА
задач о развитии бессдвигового турбулентного слоя смешения и динамики дальнего плоского турбулентного следа и, кроме того, его использование для получения и обоснования алгебраических параметризаций высших моментов гидродинамических полей.
Метод линий уровня получил достаточно широкое расспростране-ние при качественном исследовании моделей механики жидкости и газа. В. И. Арнольд и Б. А. Хесин в своей известной монографии "Topological methods in hydrodynamicd отмечали успех применения данного метода. В задачах газовой динамики это работы А. А. Никольского, Г. И. Тага-нова, А. И. Рылова, Э. Г. Шифрина и других. АС. Калашников, В. Кпегт для изучения свободных границ в задаче о фильтрации жидкости в пористой среде использовали линии уровня для аппроксимации границы области, заполненной жидкостью.
Существенный прогресс в изучении свойств решений нелинейных параболических уравнений связан с применением теоремы Штурма (S. Angenent//J. Reine Angew. Math. - 1988. - Vol.390. - P.79-96) о нулях решения однородного параболического уравнения. Данная теорема позволила исследовать динамику "свертывания"локально выпуклых плоских кривых (S. Angenent//J. ІЖ Geomet. - 1991. - Vol.33. - Р.601-633), где, в частности, изучалось поведение функции числа вершин рассматриваемых кривых. S. Angenent, М. Gurtin (Arch. Rat. Mech. Anal. - 1989. - Vol.108. - P.323-391) на основе теоремы Штурма изучали геометрию свободных границ в задаче о фазовых переходах, анизотропные движения линий раздела фаз в задаче о плавлении твердого тела, эволюцию изотермальных линий раздела фаз в задачах многофазной термомеханики.
Форму профиля решений (аналитичных по переменной t) для линейных параболических уравнений изучали К. Kunisch, G. Peichl (J. ІЖ Eq. - 1988. - Vol.75. - P.329-353.), которые существенно использовали аналитичность решения u(x,t) для изучения числа нулей производной ux(.,t). Для уравнения нелинейной фильтрации (Ph. Benialan, J. Vazquez// Trans. Amer. Math. Soc. -1987. - Vol.299. - P.81-99) свойство сохранения формы профиля функции давления при изменении времени доказывалось на основе формулы Троттера-Като для полугрупп, порожденных операторами, полученными в результате расщепления правой части уравнения нелинейной фильтрации на диффузионный оператор и оператор типа Гамильтонна-Якоби. При этом существенно использовался конкретный вид уравнения.
Форму профиля функции давления газа с других позиций изучали V Galaktionov, J. Vazquez (Math. Ann. - 1995. - Vol.303. - P.741-769),
которые применяли метод сравнения по пересечениям с классом точных решений с заведомо известными свойствами. Следует отметить, что эти подходы имеют ограниченные области применения. В методе линий уровня для параболических уравнений не используются указанные выше специфические особенности рассматриваемого класса уравнений, не требуется нахождение точных решений уравнений, исследование их свойств и применение теорем сравнения, так как лежащая в основании метода теорема Штурма, позволяющая находить линии уровня решения, не накладывает дополнительных ограничений на класс уравнений, а представляет фундаментальное свойство решений параболических уравнений.
Для уравнений переменного типа с "прямой"и "обратной" параболичностыо, также изучаемых в настоящей работе, применение метода линий уровня оказалось эффективным при исследовании множеств (интерфейсов), разделяющих области изменения типа уравнений. Уравнения данного вида возникают при описании динамики образования двухфазной смеси (J.W. Calm, J.E. Hiiliard// Л. Chem. Physics. - 1958. - Vol.28. - P.258-2G7), исследовании эффекта термоклипа в океане (А.С. Монин, А.В. Яглом. Статистическая гидромеханика Т.1. - С-Пб: Гидрометеоиздат, 1992), в моделях тепло- и массопереноса в стратифицированных турбулентных сдвиговых потоках (G.I. Barenblatt, М. Bertsch, R. Dal Passo, М. Ughi // SIAM Л. Math. Anal. -1993. Vol.6. - P. 1414-1439); при моделировании сложных турбулентных потоков (Н.Н. Япенко. Избранные труды. — М.: Наука, 1991; Н.Н. Дненко, В.А Новиков, Т.Н. Зеленяк // Числен, мет. механ. сплош.среды. - 1974. - Т.5. - С.35-46). При численном исследовании системы уравнений газовой динамики первое дифференциальное приближение в методе частиц в ячейках для уравнений газовой динамики дает пример такого рода уравнений (Ю.И. Шокин, Н.Н. Яненко. Метод дифференциального приближения. Применение к газовой динамике. Новосибирск: Наука, 1985); в исследовании вязко-упругих неныотоновских жидкостей (J. Hunter, М. Slemrod // Phys. Fluids. - 1983. - Vol.25. - P.2345-2351; П.И. Плотников І/ ДАН. - 1993. - Т.330- №6. - С.691-693); при изучении неравновесных фазовых переходов (АА Lacey, М. Shillor // IMA Л. Appl. Math. - 1983. - Vol.30. - P.215-230); в процессах образования встречных потоков в пограничном слое (В.Н. Монахов, О.Б. Бочаров // Динамика сплошной среды. - 1998. - Вып.ПЗ. -С.107-113; Динамика сплошной среды. - 1978. - Вып.37. - С.27-39) и др. физических явлениях также возникают уравнения указанного типа.
Принцип максимума для данного класса уравнений в различной фор-
ме получали K.Hollig, J.A Nohel, B.A Новиков, M.M. Лаврентьев (мл.) и др. Априорным оценкам решений были посвящены работы Н.Н. Яненко ВА. Новикова, Т.Н. Зеленяка, M.M. Лаврентьева(мл.), В.Н. Монахова, АГ. Подгаева, О.Б. Бочарова, С.Г. Пяткова, K.Hollig, J.A. Nohel, J. Bona и др. Стационарные, автомодельные и некоторые другие частные решения были получены P.P. Ахмеровым, В.Н. Гребеневым, В.А Новиковым, М. Slemrod, М. Gurtin, J. Carr. Вопросы существования и единственности решений освещались в работах В.А Новикова, И.В. Шваб, С.Г. Пяткова, В.Н. Монахова, АГ. Подгаева, О.Б. Бочарова, K.Hollig, J.A. Nohel и др. Мерозначные решения исследовались П.И. Плотниковым, М. Slemrod, DiPierna, L. Tartar, С. Elliott, R. Pego, A. Tzavaras. Численный анализ решений проводился Н.Н. Масловой, В.А Новиковым, В.Ф. Кимом, Г.И. Зелинской, G. Streng, М. Abdel-Naby, K.Hollig, J.A. Nohel и др.
Список публикаций по параболическим уравнениям с переменным направлением эволюционности является весьма обширным. Мы не касаемся анализа работ посвященным различным регуляризациям для данного класса уравнений и вопросам связанных с предельным переходом в регуляризаторах.
Разработка методов исследований данного класса уравнений обусловлена их важными приложениями при изучении математических моделей, описывающих различные физические процессы. Особенностью данного раздела работы является развитие метода линий уровня в направлении исследования фазовой структуры решения уравнения, т.е. выделение областей, на которых не происходит изменения типа уравнения.
Современное исследование математических моделей, основанных на дифференциальных уравнениях с частными производными, включает изучение их инвариантных многообразий (поверхностей уровня в пространстве fc-струй), позволяющих получать инвариантные решения эволюционных уравнений. Инвариантные свойства ряда полуэмпирических моделей турбулентности (включая (е, с) — ) с применением методов символьной алгебры для стратифицированных жидкостей изучались В.Г. Байдуловым, Ю.Д. Чашечкиным (ДАН. - 2002. - Т. 387. - №6), В.Г. Байдуловым, Д.В. Хангунян, Ю.Д. Чашечкиным (Препр. №695, ИПМ РАН. - 2001). Важным приложением к исследованию алгебраических параметризаций для высших моментов гидродинамических полей в полуэмпирической теории турбулентности является использование метода дифференциальных связей. Метод дифференциальных связей для выделения классов решений систем дифференциаль-
ных уравнений, позволяющий получать соотношения градиентного типа на искомые функции, совместные с исходной системой был предложен Н.Н. Яненко (Теория совместности и методы интегрирования систем нелинейных уравнений в частных производных. Тр.4 Всесоюзного мат. съезда. Т.2. - Л.: Наука, 1964), который указал на принципиальную возможность применения этого подхода для обоснования процедуры замыкания моментных уравнений в теории турбулентности. Приложение этой теории к уравнениям газовой динамики дано А.Ф. Сидоровым, В.П.Шапеевым и Н.Н.Яненко (Метод дифференциальных связей и его приложение в газовой динамике. - Новосибирск: Наука, 1984). Напомним, что в методе дифференциальных связей выделение частных решений системы дифференциальных уравнений осуществляется присоединением к ней дополнительных дифференциальных соотношений. Помимо нахождения конкретных классов решений метод дифференциальных связей открывает возможности для аналитических исследований, основанные на понятии инвариантного многообразия (O.V.Kaptsov//Nonlin. Anal. - 1992. - Vol.19. - Р.753-761). Наличие инвариантного многообразия приводит к исследованию систем дифференциальных уравнений на поверхностях уровня, определяемых соответствующими уравнениями. Дифференциальные связи, задающие инвариантное многообразие позволяют сократить число уравнений и заменить операцию дифференцирования некоторой алгебраической процедурой. Применение этого подхода к исследованию параметрических моделей турбулентпости позволило сформулировать концепцию для обоснования процедуры замыкания мохменгных уравнений в рамках метода дифференциальных связей: алгебраические параметризации высших моментов модели интерпретируются, как уравнения инвариантных многообразий, порожденные соответствующими дифференциальными уравнениями модели. Последнее дало возможность обосновать известные алгебраические модели (К. Hanjalic, В. Launder // .Т. Fluid Mcch. - 1972. - Vol.52. - 609-638; О. Zeman, J. Lumley//J. Athmos. Sci. - 1976. - Vol.33. - P.1974-1988; W. Lewellen//In: Handbook of turbulence. Fundamentals and applications. V.I. - Plenum Press, 1977), дать инструмент для получения алгебраических параметризаций высших моментов, проанализировать некоторые известные алгебраические модели и предложить более простые схемы численной реализации моделей.
Основные цели диссертации сформировались в результате исследования ряда задач и состоят:
— исследовании бессдвигового турбулентного слоя смешения в однородном и стратифицированном потоке;
анализе и обосновании локально-равновесных приближений в алгебраических моделях турбулентности Ханьялика-Лаундера, Земана-Ламли, Прандтля;
в изучении эволюции вспышки турбулентности в жидкости;
исследовании динамики дальнего плоского турбулентного следа;
изучении распространения примеси (тепла) в плоском безымпульсном турбулентном следе.
Рассматриваемые задачи решались в рамках полуэмпирической теории турбулентности колмогоровского типа (А.Н. Колмогоров// Изв. АН СССР. Сер. физ. - 1942. - Т.6. - №1-2. - С.56-58; А.С. Монин, А.В. Яглом. Статистическая гидромеханика. Т.1. - С-Пб.: Гидрометео-издат, 1992), и моделей турбулентности высокого порядка замыкания (К. Hanjalic, В. Launder//J. Fluid Mech. - 1972. - Vol.51. - P. 301-335.; О. Zeman, J. Lumley// J. Athmos. Asci. - 1976. - Vol.33. - P. 1974-1988; Kraichnan R.// Proc. Symps. Appl. Math. - 1962. -Vol.19. - P. 199-225); B.B. Dyushin. Higher-moment difiusion in stable stratification. In: Closure strategies for turbulent and transition flows /Eds: Launder B.E. and Sandham N.D. - Cambridge University Press, 2002).
При изучении класса уравнений типа нелинейной фильтрации, описывающих нестационарную фильтрацию жидкости или газа в пористой среде, ставились следующие цели:
исследовать структуру линий уровня решений данного класса уравнений и на этой основе изучить их геометрические свойства (сохранение формы профиля решения и формирование вогнутого профиля за конечное время);
распространить полученные результаты на наиболее широкий класс нелинейных параболических уравнений.
Для уравнения переменного типа с так называемой "прямой"и "об-ратной"параболичностью ставились следующие задачи:
— изучить условия разрешимости задачи Коши, описать возможные
типы интерфейсов и дать анализ структуры решения.
Основные результаты и их научная новизна. В работе получены следующие новые результаты:
1. На основе метода дифференциальных связей впервые обоснованы тензорно-инвариантные модели Ханьялика-Лаундера (для нестратифи-цированного потока) и Земана-Ламли (в случае стратифицированного потока) на примере задачи о бессдвиговом турбулентном слое смешения с использованием модели третьего порядка замыкания. Основным результатом является теорема о существовании инвариантного многообразия модели, что позволило получить решение задачи (найти частные
решения), как в случае устойчивой, так и неустойчивой стратификации потока ([1|- [4]), построить аптомодельные решения ([5]-[9|). Показано, что алгебраические параметризации для третьих моментов совпадают с уравнениями инвариантных многообразий, порождаемых рассматриваемыми моделями, а частота Брента-Вяйсяля является бифуркационным параметром при исследовании решений уравнения для временного масштаба турбулентности ([1], [2], [6]-(9]).
Выполнен анализ локально-равновесного приближения в задаче о дальнем плоском турбулентном следе (классическая трехпараметри-ческая модель Ханьялика-Лаундера). Установлено, что существование инвариантного многобразия рассматриваемой модели второго порядка связано с обращением в ноль скобки Пуассона для функций дефекта скорости и энергии турбулентности, указаны случаи реализации данного критерия. Численно-аналитическое исследование модели позволило дать обоснование правомерности используемого замыкающего соотношения в локально-равновесном приближении на основе метода дифференциальных связей. Представлена редукция изучаемой дифференциальной модели к более простому дифференциально-алгебраическому виду, что дает основу для нахождения класса точных решений [10]- [12]. Показано, что метод дифференциальных связей является эффективным инструментом при анализе используемых на практике полуэмпирических моделей турбулентности, в частности, при изучении дальнего плоского безымпульсного турбулентного следа. Важным приложением предложенного подхода является получение алгебраических соотношений для характеристик турбулентного потока. Оказывается, что некоторые эмпирические константы могут быть найдены исходя из полученных формул, вычисленные значения которых близки к экспериментальным 111].
В задаче об эволюции вспышки турбулентности изучаемой с привлечением однопараметрических (e:,L), (е,5) - моделей турбулентности (Г.И.' Баренблатт. Н.Е.Кочин и развитие механики. М.:Наука. 1984; О.Ф. Васильев, Б.Г. Кузнецов, Ю.М. Лыткин, Г.Г. Черных//Известия АН СССР. Серия МЖГ. - 1974. - №3. - С.45-52.) доказана разрешимость задачи с начальными данными в классе обобщенных функций ([13], [14]). Для (e,L) - модели установлено, что при гладких начальных данных задача Коши порождает динамическую систему в некотором функциональном пространстве, исследованы качественные свойства свободной границы, отделяющей турбулизованную область жидкости от области, незахваченной турбулентными возмущениями; даны оценки на энергию турбулентности и толщину турбулентного слоя; построен итс-
рационный процесс для нахождения свободной границы [15]. В задаче с сингулярно возмущенной начальной энергией турбулентности доказано существование обобщенного решения и установленно, что на асимптотической стадии процесса расплывания турбулетного пятна становится существенным слагаемое в уравнении, отвечающее за диссипацию энергии турбулентности [16].
При использовании упрощенной (е,є) -модели турбулентности в задаче об эволюции вспышки турбулентности доказано существование слабого решения решения задачи Коши и непрерывного решения с ограниченными обобщенными производными. Установлено, что граница тур-булизованной области является непрерывной кривой [17]- [19]. В задаче о бессдвиговом турбулентном слое смешения для (є, є)-модели доказана сходимость решения задачи Коши к автомодельному решению, полученному на основе модели третьего порядка замыкания [6] (см. п.1).
С использованием математической модели, включающей в себя уравнения баланса количества движений и кинетической энергии турбулентности, исследована динамика дальнего плоского безымпульсного турбулентного следа. Для течения жидкости в дальнем следе доказана теорема о корректной разрешимости задачи с начальными данными, найдено автомодельное решение и исследовано асимптотическое поведение решения задачи [20].
На основе (е,Ь)-модели для энергии турбулентности совместно с диффузионным уравнением для переноса пассивной примеси (тепла) турбулентным спутным потоком с нулевым суммарным избыточным импульсом изучена задача о распространении тепла от симметричного плоского нагретого тела. Доказаны теоремы о разрешимости задачи Коши, как в случае непрерывных начальных данных, так и для распеде-ления температуры, заданной в виде мгновенного источника [21].
Для уравнения типа нелинейной фильтрации изучены геометрические свойства функции давления. Доказано, что при определенных предположениях на начальные данные задачи решение сохраняет вогнутый профиль относительно пространственной переменной, а в случае, когда не предполагается вогнутость начального значения для давления получено, что за конечный промежуток времени формируется вогнутый профиль функции давления [22], [23]. Доказательство проведено с помощью метода линий уровня. Данной подход позволил распространить полученные результаты на достаточно широкий класс нелинейных вырождающихся уравнений ([24], [25]).
8. Для уравнения переменного типа с "прямой"и "обрат
ной "параболичностью исследовано возникновение интерфейсов.
Описаны некоторые возможные типы интерфейсов, в частности, построены примеры, показывающие, что интерфейсы для таких уравнений могут быть как линиями, так и множествами ненулевой меры. Полученная информация о поведении интерфейсов позволила доказать теорему о локальной разрешимости задачи Коши в классе непрерывных функций |27], [28].
Теоретическая и практическая ценность работы.
Дано применив и развитие метода эквипотенциален, как одного из инструментов математических методов исследования моделей механики сплошных сред, к различным задачам гидродинамики; разработан новый подход к анализу полуэмпирических моделей турбулентности; обоснованы используемые в параметрических моделях турбулентности алгебраические замыкающие соотношения для высших моментов (модели Ханьялика-Лаундера и Земана-Ламли); впервые получены редукции в моделях о бессдвиговом турбулентном слое смешения и дальнем турбулентном следе (модель Ханьялика-Лаундера), что является важным для численного моделирования турбулентных потоков. Метод дает возможность выделять различные классы решений и формулировать условия, гарантирующие корректность постановок рассматриваемых задач. Кроме того, изучение качественных свойств решений задач возникающих при исследовании динамики нелинейных диссипативных процессов, описываемых вырождающимися параболическими уравнениями, является дальнейшим вкладом в развитие теории нелинейных параболических уравнений и систем.
Представленные в диссертации исследования проводились в рамках различных программ и грантов поддержанных Целевыми программами СО РАН, Министерством образования РФ и грантовым центром при Новосибирском государственном университете, Российским фондом фун-даметальных исследований (коды проектов 97-014)0768 (руководитель), 05 01-00910 (исполнитель), 98-01-00736 (исполнитель), 014)1-00783 (исполнитель), Сибирским отделением РАН (интеграционный проект 2000-1 (ответственный исполнитель темы)) и INTAS (код проекта 97-2022).
Апробация работы. Основные научные результаты диссертации докладывались и обсуждались: на совместных заседаниях семинара им. И.Г. Петровского и Московского математического об-ства (Москва 1987, 1995), 7 международном совещании "Laboratory modeling of dynamics processes in ocean" (Москва, 1993), Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск, 1994, 1996, 1998), Сибирской школе "Алгебра, геометрия, анализ и математическая физика"(Новосибирск, 1997), 2 Европей-
ской конференции "Elliptic and parabolic problems"(Pount-a-Mausson, France, 1994), 2 Азиатской математической конференции (Bangkok, Thailand, 1995), Международной конференции AMCA'95 "Advanced Mathematics, Computational and АррГісаиопз'ХНовосибирск, 1995), 15 IMACS World Congress on Scientific Computational, Modeling and Applied Mathematics (Berlin, Germany, 1997), семинаре по дифференциальным уравнениям (Sao Paolo Universidade, Brazil, 1997), Международной конференции "EquidifF99"(Berfin, Germany, 1999), Международной конференции посвященной 70-летию ак. С.К. Годунову "Mathematics in applications" (Новосибирск, 1999), 8 Европейской конференции по турбулентности "Advances in Turbulence VIII" (Barcelona, Spain, 2000), 16 IMACS World Congress on Scientific Computational, Applied Mathematics and Simulation (Lausanne, Switzerland, 2000), 17 Российско-Японском симпозиуме по вычислительной гидродинамике (Москва, 2000), 15 Международной конференции "Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике", посвященной 100-летию ак. М.А. Лаврентьева (Новосибирск, 2000), GAMM'2001 Annual Scientific Conference (Zurich, Switzerland, 2001), Международной конференции "Recent developments in applied mathematics and mechanics "посвященной 80-летию ак. H.H. Яненко (Новосибирск, 2001), International Congress of Mathematicians 2002 (Beijing, China), Международной конференции "Fluxes and structures in fluids"(С-Петербург, 2003), Международной конференции "Kolmogorov and contemprary mathematics" (Москва, 2003) и на ряде других. На различных стадиях выполнения работа обсуждалась на семинарах в Институте вычислительных технологий СО РАН, Институте теоретической и прикладной механики СО РАН, Институте математики им. Соболева СО РАН, Институте гидродинимики им. Лаврентьева СО РАН, Институте теплофизики им. Кутателадзе СО РАН, Институте проблем механики РАН.
Участие в работе конференций было бы невозможным без финансовой поддержки Интеграционной программы СО РАН, International Science Foundation, Travel grant of ICT Trieste and IMU-CDE, Российского фонда фундаментальных исследований, Грантового центра при Новосибирском государственного университета, Факультета прикладной математики университета Сан Паоло, Европейской программы INTAS, Grant of Seminar Angewandte Matematik of Swiss Federal Institute of Technologies, ICM2002 Grants Committee.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 28 работах, список которых приведен в конце автореферата. Из совместных публикаций в диссертационную работу включены результаты, получен
ные непосредственно автором.
Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, 17 разделов, которые по тематике собраны в пять глав и списка литературы из 180 наименования. Полный объем диссертации составляет 203 страницы.'
