Содержание к диссертации
Введение
1. Замена переменных дифференциальных уравнений 10
2. Колеблемость решений линейных дифференциальных уравнений - 19
3. Факторизация линейных дифференциальных уравнений 23
4. Эквивалентность факторизованных уравнений ... 32
5. Классификация факторизованных линейных дифференциальных уравнений 52
6. Эквивалентность различных факторизации линейных дифференциальных уравнений 73
7. Асимптотическая эквивалентность линейных уравнений второго порядка 90
Литература
- Замена переменных дифференциальных уравнений
- Колеблемость решений линейных дифференциальных уравнений
- Эквивалентность факторизованных уравнений
- Эквивалентность различных факторизации линейных дифференциальных уравнений
Замена переменных дифференциальных уравнений
Всякое линейное преобразование переводит данную систему снова в линейную, матрица которой связана с исходной соотношением: ВМ) = [ (-О А(+) L (4) Ґ (4) L (4) (1.4) Соотношение (1.4) иногда называется кинематическим подобием матриц А и В. Если матрица L (4) постоянна, кинематическое подобие превращается в обычное подобие, т.е. В(+)«Ґ А (і) L
Замечание І.І. Переход к системе (1.3) можно трактовать не как следствие замены искомого вектора, а как результат перехода к новому базису.
Замечание 1.2. Для того, чтобы преобразование (І.І) не меняло таких свойств системы как устойчивость решений, величины показателей и т.д., обычно пользуются в качестве достаточного условия ограниченностью норм матриц L(-fc) и L" (4) Это равносильно требованию об ограниченности элементов -fu (4) матрицы L (4) и величины (de L"1 (4) ) , т.е. из L (4) II К и и L ( " к (1-5) - 12 следует, что IdetU-Ol SK, , lde+ L" f) К, (1.6) По аналогии со свойством I.I. можно доказать:
Свойство 1.2. Преобразование Ляпунова не меняет особых и центральных функций и показателей. Кроме того оно переводит малые возмущения в малые (хотя возможно и с некоторым увеличением нормы).
Замечание 1.3. Если известна ограниченность A(i) , В(-0 » L(-fc) и Г Н) , то из (1.4) следует ограниченность (+) .
Замечание 1.4. Все предыдущие утверждения можно обобщить, если считать матрицы А (-о , В(-0 и ! (+) ограниченными не в обычном смысле, а лишь интегрально.
Определение 1.2. Преобразование (I.I) называем интегральным преобразованием Ляпунова, если матрицы А(-И , ограниченны не в обычном смысле, а лишь интегрально .
Замечание 1.5. Чтобы обобщенное преобразование сохраняло совпадение показателей и общность поведения решений х (+") и у(-ь) , нужно по-прежнему считать L (-0 и Г1 () ограничен-ными в обычном смысле и интегрально-ограниченными для L (+) .
Кроме преобразований Ляпунова, существуют специальные преобразования, сохраняющие основные свойства систем при некоторых условиях, и которые даже могут быть преобразованиями Ляпунова. Например, 5 -преобразование, преобразование диагонали, Re -преобразование и Н -преобразование (см. [22] ).
Преобразование времени Пусть дана система - взаимно обратные функции, дифференцируемые и строго возрастающие, причем і- +оо при - + оо Будем говорить, что ими задается преобразование времени или замена времени.
Допустим, что при При таком усло вии сохраняются всевозможные оценки роста решений на бесконечности, в частности, показатели.
Предположим, что A () ограничена и непрерывна на полуоси R+ = [0,+ o[ , и пусть Ц) (-fc) , заданная на R+ , " строго возрастающая дифференцируемая функция. Преобразование (1.7) дает
Определение 1.3. Преобразование і - 4- (О с заданной на R+ строго возрастающей дифференцируемой функцией (г) называется допустимым для системы (1.6) по отношению к свойству А, если из того, что система (1.6) обладает этим свойством, следует, что этим же свойством обладает и система (1.8).
Отметим, что в [41] указаны некоторые условия допустимости преобразования -Ь y(t) по отношению к ряду асимптотических характеристик системы (1.6). Теорема I.I. Для допустимости преобразования време ни "t= (t) по отношению к свойству правильности достаточно существование Ci m - В случае, когда система (1.6) 1-»+ оо 7- имеет хотя бы один ненулевой характеристический показатель, это - 14 условие необходимо.
Теорема 1.2. Если все характеристические показатели системы (1.6) равны нулю, то любое преобразование времени будет допустимым по отношению к свойству правильности, если только
Теорема 1.3. Если система (1.6) приводима к системе с нулевой матрицей, то любое преобразование времени является допустимым по отношению к свойству приводимости. В остальных случаях, для допустимости преобразования (1.6) по отношению к свойству приводимости необходимо и достаточно, чтобы существовал
Из последнего соотношения следует, что функции С0(х,-і) вдоль любого решения X(, ) сохраняет постоянное значение и, поэтому, ее составляющие cO (X,) являются интегралами уравнения (1.9). Кроме того, эти интегралы образуют базис множества всех интегралов уравнения (1.9) (см.Богданов Ю.С., Сыро-ид Ю.Б. [16 ] , с.143).
Возьмем непрерывную скалярную функцию vp (х,4) , не обращающуюся в О на Е По теореме о промежуточных значениях функция Ц? () сохраняет знак на Е Произведем в уравнении (1.9) замену аргумента "Ь на аргумент -fc, по формуле dЕсли с уравнением (1.9) связано некоторое понятие А , то ана-лог этого понятия для уравнения (I.II) обозначаем А Напри-мер, -ЬОП - максимальный промежуток существования решения x(-fc ) уравнения (I.II).
Колеблемость решений линейных дифференциальных уравнений
Определение 2.1. Решение x() уравнения (2.1) называется неколеблющимся на I , если оно имеет на I не более ( п- 1) нулей с учетом их кратности.
Известно много достаточных условий, при которых уравнение (2.1) имеет колеблющиеся (неколеблющиеся) решения (см. [16] , [42] ). Сформулируем основные утверждения о колеблемости решений для уравнений второго порядка. Рассмотрим линейное скалярное уравнение 2-го порядка D2x+ a,()Doc+a0C)oc = 0 , -fcel=a,6, (2.2) с непрерывными коэффициентами CX,(-fc) , Q0 (-fc)
По теореме об однозначной разрешимости, всякая задача Коїли для уравнения (2.2) имеет единственное решение, определенное на промежутке I . В частности, если решение обращается в.нуль вместе со своей производной в некоторой точке промежутка I , то это решение нулевое. Поэтому в дальнейшем под решением будем понимать лишь ненулевое решение. Тогда, если решение ОС (-к) обращается в нуль в точке "t0el , то Dx(i0) т-0 и, следовательно, для внутренней точки 4:0 промежутка I решение x() меняет знак при переходе через \. 0 .
Лемма о нулях решений. Никакое решение уравнения (2.2) не может иметь бесконечного числа нулей на любом отрезке IjCl . Другими словами, нули всякого решения изолированные.
Определение 2.2. Решение уравнения (2.2) называют неколеблющимися на промежутке I CI , если оно имеет на 1 не более одного нуля. В противном случае решение называют колеблющимся на I( . Признак неколеблемости решения. Всякое решение уравнения (2.2) является неколеблющимся на промежутке I,Cl , если на этом промежутке Q0 () $ 0 .
При исследовании колеблемости решений уравнения (2.2) часто бывает полезным привести его к более простому виду. Сделаем в уравнении (2.2) замену переменных Х= Щ-ОУ , где U.(і) - дважды дифференцируемая функция. Получим D u()y + 2Du(-b)I)y- -u(t)])2y + a,(t)(Du(-fc)y+u()Dy) + a0a)u()y = o U()D27 + C2Du(i) + al(t)aH))Dy+(D2u() al()Du()+ + a0Ci)a())y = o Выберем функцию (і(і) такой, чтобы 2Du(-o + а, (-о u(-fc) = о .
Если предположить коэффициент OL, () непрерывно дифференцируемым, то в качестве U (-Ь) можно взять положительную функцию U(-i) = eocpOj j a, (x)dz) s J n Тогда D4l[)+a, c)Du() + a0Wu() = u(+)(- i - 21 Так как li(-k) 0 , то окончательно получаем уравнение ify +Q()y = 0 , (2.3) ГДЄ 1, ч эю = - —— - —2—+ а0(-ь).. Таким образом, если функция &,() непрерывна дифференцируема, a Go ("О непрерывна, то равносильная замена + ос(Ч) = ехр(-1 {a,(x)dx) cit) (2Л) преобразует уравнение (2.2) к уравнению (2.3) с непрерывным коэффициентом Q() . Уравнение (2.2) назовем канонической формой уравнения (2.2).
Отметим, что преобразование (2.4) сохраняет нули соответствующих решений уравнений (2.2) и (2.3). Поэтому в дальнейшем достаточно ограничиться рассмотрением канонической формы (2.3). Теорема Штурма. Пусть заданы два уравнения в канонической форме D2oc-vQ() х=о (2-5 D2y +Q,(i) V -О (2.6)
Если точки , и "t, t2. - 1 некоторого решения 0С(Ч) уравнения (2.5), и Qtt)$Q,.to Vie [і,, ±2 ] &-Ъ то всякое решение V() уравнения (2.6) на отрезке [і і ,-Ц] имеет по крайней мере один нуль. Более того, если Ь, и { не являются одновременно нулями решения у () і то у (Ч) имеет нули на интервале Следствие 2.1. Всякое решение уравнения (2.5) является неколеблющимся на промежутке 1 , если Q (-Ь) - 0 на I . Это есть частный случай признака неколеблемости решений.
Следствие 2.2. Нули линейно-независимых решений уравнения (2.5) взаимно разделяют друг друга, т.е. строго между двумя последовательными нулями одного решения лежит ровно один нуль другого решения. Замечание 2.1. Если промежуток I бесконечный и Q0Os-m o Vtel, (2.8) то все решения уравнения (2.5) имеют бесконечное число нулей. Условие (2.8), обеспечивающее существование бесконечного числа нулей у решений уравнения (2.5), можно несколько ослабить, а именно: если промежуток + 00 1=[а7 + оо[ и Q(i)0, jQft)dt- + то все решения уравнения (2.5) имеют бесконечное число нулей.
Итак теорема Штурма устанавливает, что все решения одного и того же уравнения, вообще говоря, имеют одинаковый характер колебаний. Замечание 2.2. Теорему сравнения Штурма большей частью применяют, используя в качестве одного из уравнений, например, (2.6 ) ? уравнение с постоянными коэффициентами. 3. Факторизация линейных дифференциальных уравнений
Пусть задано линейное дифференциальное уравнение Вих + а,(і)і)"г,ос + ... + ап-іС-і)Бзс + ап(+)х= О (ЗЛ) и соответствующий дифференциальный оператор (многочлен) -n =Df1 + a1(i)Pn44... an-,U)D4 a D0 (3 2) СІ где D= —rT-;D0=id , коэффициенты Otb() определены в не котором промежутке I и имеют в нем производные достаточно высоких порядков. Обозначим множество всех дифференциальных многочленов порядка не выше П через Рп Рассмотрим множество Р -дифференциальных многочленов произвольного порядка. Введем в этом множестве операцию умножения согласно формуле
Эквивалентность факторизованных уравнений
Преобразование вида (2) и, тем самым, метод факторизации являются удобными средствами не только для редукций заданного уравнения (I) к наперед заданному виду (3), но и для точной линеаризации нелинейных автономных уравнений второго порядка. Кроме того, этот метод указывает путь, который следует продолжить, чтобы достичь ту или иную цель. Этот путь состоит в разработке методов интегрирования уравнения Риккати? уравнений Куммера-Шварца, Куммера-Лиувилля и уравнений, связанных с пре-образо.ванием Куммера-Шварца.
Используя результаты исследований [ і] , [іб] , [іб] , [17] , [28] , [29] , [ЗО] , [ЗІ] , [ 34 ] , [43] , [44] , [ 46 ] , в настоящей работе рассматриваются линейные дифференциальные уравнения, обладающие рядом свойств, значительно облегчающих построение и исследование решения. Большое внимание уделено преобразованиям Ляпунова и треугольным системам. Это оправдывается тем, что, с одной стороны, треугольные системы принадлежат к числу интегрируемых в квадратурах и поэтому допускают полное исследование, а с другой стороны, как оказывается, к ним принципиально сводятся любые линейные системы и притом сводятся с помощью унитарных преобразований, сохраняющих важнейшие свойства систем, т.е. линейность, ограниченность коэффициентов, устойчивость и т.п. (см., например, [ 15] - [22] , [24] , [26] - [30] , [34] , [39] , [40 ] , [ 42 ] , [ 45 ] , [ 4б] ).
Цель настоящей работы состоит в исследовании асимптотического поведения линейных дифференциальных уравнений, допускающих факторизацию в предположении, что эти уравнения с помощью некоторого преобразования, могут быть приведены к уравнениям наперед заданного вида.
Диссертация состоит из введения, семи параграфов и списка цитируемой литературы. В первые трех параграфах излагаются известные результаты из теории преобразований и метода факторизации (см., например, [2] - [14] ; [18] - [34J ; [40] , [41] , [48] - [58] ).
В параграфе 4 проведено полное исследование эквивалентности линейных дифференциальных уравнений второго порядка, заданных в факторизованном виде. Получены необходимые и достаточные условия эквивалентности таких уравнений. Для этого строится преобразование, приводящее одно уравнение к другому, и в терминах коэффициентов уравнений выводятся условия, при которых такие преобразования принадлежат классу преобразований Ляпунова.
В параграфе 5, используя результаты параграфа 4, проводится классификация линейных дифференциальных уравнений, заданных в факторизованном виде.
Кроме того, построены модельные примеры, показывающие непустоту каждого из классов, за исключением одного единственного.
В параграфе 6, в отличие от предыдущих, рассматриваются разные факторизации одного и того же уравнения.
Как показано в [4] , [ 7] , С2] , если известно хотя бы одно базисное решение линейного дифференциального уравнения второго порядка, то это уравнение можно факторизовать и при - 7 -том бесконечным множеством способов, а именно, уравнение (I), имеющее базис ЭС,(Ч) , ОС. 2 ( ) » допускает = факторизации вида:
В этом параграфе проведено полное исследование эквивалентности таких факторизации. Исследование проведено сначала для общих случаев, т.е. для уравнений с переменными коэффициентами, а затем сформулированы результаты для частных случаев. Эти результаты, как и в 4, сформулированы в терминах коэффициентов уравнений и в зависимости от Р[; .
Эквивалентность различных факторизации линейных дифференциальных уравнений
По аналогии со свойством I.I. можно доказать: Свойство 1.2. Преобразование Ляпунова не меняет особых и центральных функций и показателей. Кроме того оно переводит малые возмущения в малые (хотя возможно и с некоторым увеличением нормы).
Замечание 1.3. Если известна ограниченность A(i) , В(-0 » L(-fc) и Г Н) , то из (1.4) следует ограниченность
Определение 1.2. Преобразование (I.I) называем интегральным преобразованием Ляпунова, если матрицы ограниченны не в обычном смысле, а лишь интегрально .
Замечание 1.5. Чтобы обобщенное преобразование сохраняло совпадение показателей и общность поведения решений х (+") и у(-ь) , нужно по-прежнему считать L (-0 и Г1 () ограничен-ными в обычном смысле и интегрально-ограниченными для L (+) .
Кроме преобразований Ляпунова, существуют специальные преобразования, сохраняющие основные свойства систем при некоторых условиях, и которые даже могут быть преобразованиями Ляпунова. Например, 5 -преобразование, преобразование диагонали, Re -преобразование и Н -преобразование (см. [22] ).
Преобразование времени Пусть дана система взаимно обратные функции, дифференцируемые и строго возрастающие, причем . Будем говорить, что ими задается преобразование времени или замена времени.
Допустим, что . При таком усло вии сохраняются всевозможные оценки роста решений на бесконечности, в частности, показатели.
Предположим, что A () ограничена и непрерывна на полуоси R+ = [0,+ o[ , и пусть Ц) (-fc) , заданная на R+ , " строго возрастающая дифференцируемая функция. Преобразование (1.7) дает
Определение 1.3. Преобразование і - 4- (О с заданной на R+ строго возрастающей дифференцируемой функцией (г) называется допустимым для системы (1.6) по отношению к свойству А, если из того, что система (1.6) обладает этим свойством, следует, что этим же свойством обладает и система (1.8).
Отметим, что в [41] указаны некоторые условия допустимости преобразования -Ь y(t) по отношению к ряду асимптотических характеристик системы (1.6).
Теорема I.I. Для допустимости преобразования време ни "t= (t) по отношению к свойству правильности достаточно существование Ci m - . В случае, когда система (1.6) 1-»+ оо 7- имеет хотя бы один ненулевой характеристический показатель, это - 14 условие необходимо. Теорема 1.2. Если все характеристические показатели системы (1.6) равны нулю, то любое преобразование времени будет допустимым по отношению к свойству правильности, если только
Теорема 1.3. Если система (1.6) приводима к системе с нулевой матрицей, то любое преобразование времени является допустимым по отношению к свойству приводимости. В остальных случаях, для допустимости преобразования (1.6) по отношению к свойству приводимости необходимо и достаточно, чтобы существовал
Пусть существует t\m и су г-оо Ъ ществует постоянная IX О такая, что Тогда преобразование времени (1.6) будет допустимым по отношению к свойству устойчивости показателей.
В. Замена времени в общем случае Рассмотрим векторное уравнение -5Т- - 4( .х) (1.9) заданное на множестве Е= I Rn , I- промежуток иа R . Предполагаем, что все его решения с начальными значениями из Е. продолжимы до плоскости і= СєЛ . Обозначим через ХН,4!) решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям 3 = t (при этом предполагаем, конечно, что существующая начальная задача однозначно разрешима), а через і ( ) - максимальный промежуток существования решения X (+,"!) . Отметим, что бє-Ь(") при любом "eRn
В силу однозначной разрешимости задачи Из последнего соотношения следует, что функции С0(х,-і) вдоль любого решения X(, ) сохраняет постоянное значение и, поэтому, ее составляющие cO (X,) являются интегралами уравнения (1.9). Кроме того, эти интегралы образуют базис множества всех интегралов уравнения (1.9) (см.Богданов Ю.С., Сыро-ид Ю.Б. [16 ] , с.143).
Возьмем непрерывную скалярную функцию vp (, не обращающуюся в О на Е . По теореме о промежуточных значениях функция сохраняет знак на Е . Произведем в уравнении (1.9) замену аргумента на аргумент по формуле
Если с уравнением (1.9) связано некоторое понятие А , то ана-лог этого понятия для уравнения (I.II) обозначаем А . Напри-мер, -ЬОП - максимальный промежуток существования решения x(-fc ) уравнения (I.II).
