Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Задача коши для параболических дифференциальных уравнений с растущими коэффициентами в пространстве LA ( R")
I. Основные обозначения и вспомогательные утверждения 18.
2. Формула параметрикса и основные утверждения для случая уравнения высокого порядка 26.
3. Оценка норм некоторых оператор-функций 28.
4. Некоторые свойства оператор-функций У(і,ї) и доказа тельство теорем ІД.-І.З . 41.
ГЛАВА II. Задача коши для сильно параболических систем в классах растущих функций .
5. Задача Коши для параболических систем в пространстве MR) 53.
6. Задача Коши для сильно параболических систем в пространстве L.JR ) с весом 59.
ГЛАВА III. Начальная задача для некоторых классов сильно вырождающихся параболических уравнений .
7. Разбиение единицы и определение класса
8. Оценка нормы оператор-функции Rd
9.Доказательство теоремы 3.2. 88.
Список литературы
- Формула параметрикса и основные утверждения для случая уравнения высокого порядка
- Некоторые свойства оператор-функций У(і,ї) и доказа тельство теорем ІД.-І.З
- Задача Коши для сильно параболических систем в пространстве L.JR ) с весом
- Оценка нормы оператор-функции Rd
Введение к работе
В последнее время наряду с общими краевыми задачами для равномерно параболических систем, интенсивно изучаются параболические системы с растущими коэффициентами в неограниченных областях, вырождающиеся параболические системы, а также уравнения, коэффициенты которых могут иметь сингулярности на некоторых многообразиях, в частности, на границе области. Интерес к таким классам уравнений возрастает, так как уравнения, описывающие некоторые диффузионные процессы, и некоторые процессы тепло-массообмена принадлежат к ним.
В основополагающей работе И.Г. Петровского [ I ] введен широкий класс параболических систем дифференциальных уравнений и для них установлена корректная разрешимость задачи Коши в классе ограниченных функций. Коэффициенты системы предполагались зависящими только от времени t
Результаты работы [і] были обобщены С.З.Бруком [2-3J для параболических систем, коэффициенты которых являются ограниченными функциями пространственных переменных X.
Из анализа работ становится ясно, что исследовались параболические уравнения и системы высокого порядка в основном с растущими младшими коэффициентами. До настоящего времени, также не рассматривался класс параболических уравнений высокого порядка в цилиндрической области с произвольным ( ограниченным или неограниченным )основанием, эллиптическая часть которых является сильно вырождающимися дифференциальными выражениями класса Трибеля, т.е. такого д.-в. , который имеет сильное вырождение около границы области и на бесконечности ( если область бесконечна)г специального вида.
Формула параметрикса и основные утверждения для случая уравнения высокого порядка
В этой главе рассматривается случай задачи Коши для одного уравнения высокого порядка (2.1) ILtX, О) - Uv fx), где III =Я.т (2.2) с коэффициентами ( (х, і) , определенными в Пт = Пг (Яп) у с обычными условиями гладкости.
Предположим, что коэффициенты удовлетворяют следующим условиям: для всех (х,-Ь} 6гПг j S 6- R ,где постоянная о о ,а (2) 0 непрерывная ФУБКЦИЯ такая, что В. Для всех d., IM-Zm для всех (х,4)в- Пг , где 17-№ъ .. ) ) -оператор градиента ,числа 1, таки что а tf t0- ) будет выбрано ниже. С, Для всех о!, О - /oiU -i для всех C J 6 /7Т , где 0 J- . Д. Для о - О для всех Приведем формулу "парамєтрикса" задачи Коши, которая нужна для формулировки результатов. гр Пусть dR[h)} LPt .(x)J 4 к. [х) такие же,как в I, И о хЛсЧ Определим оператор"парамєтрикса" по формуле оо где j H/t} псевдодифференщальный оператор с символом
Напомним, что здесь Xkj = Э. 2-. [оск. еЛ срр . ) / (Lg. . Имеют место следующие утверждения; Теорема IЛ Пусть для дифференциального выражения f(x/X)) выполнены условия А - Д. Тогда существует число Т0 о такое, что в области П 0 существует сильное решение задачи Коши (2Д) , которое можно представить в виде : М-Л) - tyii, OJUjC ), (2.5) где отф. (6,%) определяется следующим образом: - 28 і У Us) = У(4,г) + J У(іп)щт)с%, (2.6) T а о:ф. tfnfl) принадлежит oJpTh некоторым s»e (e?4je ±). Теорема 1.2. Пусть выполнены условия А - Д и для каждого фиксированного -і ( о -Ь Т) дифференциальное выражение Р± (xf ) симметрическое , т.е. Р (xfti) - Е (Ху) .Тогда сильное решение задачи Коши (2.1) единственно в классе ТеоремаІ.З. Пусть выполнены условия теоремыТ,2. Тогда для кавдого Т (о Тй%) существует Crj У О такое, что для любого сильного решения задачи Коши (2.1), справедлива оценка IIU0A)/lUdn т// -)//4гГГ (2.7) Из теоремі.І -ІЗ следует корректность задачи Коши в пространстве UCR") . Замечание I. Из доказательства теоремы 1.1 следует, что для Т, справедлива оценка где О 9t ij Co /IK/l a о:ф. \Ш,%) & Rn (of/7) будет определена ниже 3. Оценка норм некоторых оператор - функций. Пусть Р(х, 1-Ъ) = Р.Ъ-Ь.Ъ) + Rfr Ы + a, (x,4r)t где yl, ( Су ту А. - 29 -Так как при фиксированных г, Г і о ? г і Т ),. то можно определить о;ф. R(-,T) : Ы,х)и =-[ + Р(х,І,Щ Ч/ал)J и.GСГСРС) (зл) Используя свойство ; + R(x JiV) -hcutx h)] %, Ц,Х)и о, (3.) о.-ф. И(/Т) преобразуем следующим образом : -Kat) U= ( li) % [P.frh Я) - Р.ІХь і; V)] % №) чм + + 2_ «а--о . [ а.(х,і)- aAxxhk)} %ию%иt - % w., где для операторов . A , В . через [ А, В] обозначен их коммутатор, т.е. A, I3J - А В " В А-Введем следующие операторы - зо ЗДЦ-ЄЛЛ P( ,i;t l%.] %(ІХ) «fK. ; (3.3) Kj J J Преобразуем Xi6S) используя тождества
Таким образом, нами доказана следующая Лемма I.J. При o T d/z оператор-функций KU,%) LOzZtbtT) можно представить в виде 6-1 где Ср = 1 , а 0;ф. -(Й (-!/ ) определяются - ЗІ формулами. (3.3) - (3.4),
Основой для доказательства теоремы является Лемма 1.2 , Опера тор -функции Je it?, О (о Т&7, f-іГї). можно по непрерывности продолжить из С0 СРК) на все пространство LiCR ") и существует число п (о эе± х) такое, что % /О (- 4"7? ) пРинаДлежит классу В (0/ О
Доказательство. Отметим, что далее, если не оговорено особо, через знак / J будем обозначать норму в одном из следующих про-. странств С, R } b±C9-JjXtk№}\a через С — различные положи-, тельные постоянные, значения которых нас не будут интересовать. Оценим отдельно норму каждой о;ф.
Оценка нормы о.-ф. Так как норма оператора ум ножения вН ЬДОна функцию Р(х равна Ъоор / tp(sc) I , то в силу (I.I) и леммы I D ІИМЄЄМ + оо где J лежит между я: и OCKJ на прямой, соединяющей их,а (АЛ ї К: , Т - п.д.о. с символом S QH.{%iz) В силу условия В.. / V C CT .O/ M JK.), а в силу А KJ 4up S W/xp[-f ISI - OJ / -XKJ j Л-uplSft) "! Jtoupl-Ь lsU-її I ])U-u так как (Х Щ Щ ІЩ \X- J \ s I . Далее, в силу эле ментарного неравенства г госр(-с-гСх) СЄ/іі , ВерНОГО ДЛЯ ЛЮбыХ t-,t,t}, 7 0 j цри z r о t имея в виду то, ЧТО I Х- Хц с MU I) ПРИ Хб Р ; , І-1 &Ли-рр9«, получим По построёниюпри фиксированных " ,Т .в разложении к участвуют не более чем два отличных от нуля слагаемых.Следовательно, (3.6) где - і + &і - Из оценки (3.6) следует, что о.-ф. Д) для фиксированных t/i (о ї і Т) является ограниченным оператором в /-/ , и в силу плотности C0(R") в И _, допускает единственное непрерывное продолжение на все пространство Н иіЯ). Оценка нормы отф. J tlS ) . Используя условия А, С.в силу леммы 1-0 г аналогично как при получении оценки Cft U, f ) , имеем
Некоторые свойства оператор-функций У(і,ї) и доказа тельство теорем ІД.-І.З
Для доказательства теоремы -2 заметим, что если выполнены условия А - Д для коэффициентов д.в. I ; W; кроме то го, если для кавдого является сим метрическим, то нетрудно проверить, что выполняются все условия работы [ 42 ] , при v(X) -о , где о - постоянная пара бо личности. Следовательно, для кавдого фиксированного t (о$ & 1Т) замыкание оператора - 51 9bU = P(xJ; Ю) U, с областью определения , является са мосопряженным и полуограниченным снизу оператором. Тогда неравенство по непрерывности можно продолжить на всю область определения самосопряженного оператора hi . При доказательстве единствен - . кости, не ограничивая общности, можно полагать А- 0 , так как замена U ? U .не изменяет единственности и сводит неравенство (4.17 ) к случаю Д = О ,
Для любого фиксированного X (о Т Т), принимая во внимание условие \Л і)0)-0 и (4.18), полуним X 0-=- Re \ ( Р.ш-Л) + ety j Ш-А)) Отсюда следует, что \\U (;Т)ИИ +0 . Это равносильно тому,что U(/)-#» О t с_ Т в силу произвольности f
Для доказательства теоремы /.3 4 достаточно доказать ограни ченность о.-ф. аlt,l J при 0 4 X t - і .Тогда из представ - 52 ления решения (2.5) получим неравенство (2,7). Сначала докааем, что о.-ф. 4//f) является ограниченным в Н - имл)щш О Т - t Т и где С " О не зависит от 7 , f . Из явного вида о.-ф. 4J&T) (2.3), принимая во внимание оценку из леммы L С находим Далее из оценки / f(/t) МЦ-Т) .где # с яг Отсюда, как в п.1 Заполучим оценку (4.19). Далее из оценки [ ср(-.д-) и формулы (2.6) непосредственно имеем что довершает доказательство теоремыХЗ.
В области рассмотрим задачу Коши для систе мы линейных дифференциальных уравнений: 1)11() = - Р(ЭС, ; ) UCOCjX (2Д) и(зс,сО = U,fx3 , (2.2) где Р ;5Е)) = 21 а+ІхЛ) - (2 3) Здесь (Xj.(X,v) являются квадратными матрицами порядка Л/ .с элементами 0Cd (Х,тг) Ci -=.iJA J\el\ r2y )i определенными в области l lrf Г R j с обычными условиями гладкости ( т.е.
Предположим, что существует число (Р о и непрерыв -ная положительная функция РО , удовлетворяющая условию такие, что для любых (x,i) & Др , S6 Н БЫПОЛНЯЕОТСЯ следующие условия : А . для любого набора чисел» -3- --./7 /) в- С . д: I v a0Vx j/ нм ло , = Прежде чем сформулировать основную теорему, приведвм конструкцию "параметрикса" задачи Коши для уравнения (2.1). Пусть у. е R"— произвольная фиксированная точка.Рассмотрим систему / 5 =.-П Си[ и(ХЛ)-ао[ )\ЛЦд. (2.4)
Формально применяя преобразование Фурье по переменным X , получим двойственную систему { 3=-[Е- т ь+тлр л), (2.5) Ліг L fctl=. »i J где jibti)=(Fu)(s,i) = (tXPJ ї Ulx,Uc/x.
Обозначим через нормальную фундаментальную мат рицу решений системы (Х.5), т.е. матрицу, каждый столбец является решением системы (12.5),, и удовлетворяет условию - 55 где Е- - единичная матрица порядка А/ . Пусть 6К№\ к.(ос\ Ч -faO —такие же функции, как в I главы I, а СР . , і// . - операторы умножения в Н= - LJtt) на функции LP.(X1J Я7 (Х) соответственно.Тогда для фиксированных tfi (. t? f Т ) введем оператор -функцию в /-/ , по следующей формуле : где %j L t) - матричный псевдодифференциальный оператор, с символом -QCS yXye i,T) ( x«j = 2 Zj j ч&" і ) Имеет место следующее утверждение.
Теорема 2Д Пусть выполенены условия А - ДІТогда существует число fv 0 : такое что в области Пп (№ ) существует сильное решение задачи Коши для системы (2.1); которое можно представить в виде и с-Л) = $и,о) uj-) j (2.8) где Ь (2.9) а оператор - функция t/Y//T) принадлежит классу В іо,І0) с некоторым W lot ж г. L ) .
Для доказательства теоремы нам необходимо сначала получить оценку нормальной фундаментальной матрщы решений C/fS) (/, fr, TJ .
Лемма %1 . Пусть выполнена условие А . Тогда для нормы матрицы Q(S;ti {,%) справедлива оценка - 56 в(Ъ; уДО Ceocpi \S\"i-r)- )(i-ril (2.10) где постоянные С, о не зависят ОТ j ,r)t Доказательство. Пусть $ S , t/y 4t) - столбец с номером 6 матрицы $ / (jt Ь) Г) .Тогда имеет место следущее равенство : я СІХ Отсюда, в силу условия А , получим
Используя условие из неравенства (2.II) непосредственно получим оценку (2.10). Лемма доказана. - 57 Оценка (2.10) дает возможность получить оценки нормы матричного п.д.о. 3 -(і, ) аналогичную в склярном случае. о Далее, теорема 2Д-доказывается по схеме 3 - 4 гл. I.
Переходим теперь к исследованию некоторых достаточных условий единственности решения задачи Копій (2.1) - (2.2.). Предположим, что гладкая положительная в R функция ((oz)} удовлетворяет следующим условиям
Задача Коши для сильно параболических систем в пространстве L.JR ) с весом
Теоремаз.1. Пусть дифференциальное выражение Р« (я. Ю) принадлежит классу U jn dll J Cxl) } \? j;+ Z n .Тогда существует число /„ "70 такое, что в области су ществует сильное решение начальной задачи для уравнения (7), которое можно представить в виде Кроме того,существует число ( жи такое, что Щф&ЦеШь) ТеоремаЗ.2. Пусть выполнены условия теоремыЗ.1. Тогда, если для каждого Ь (о Ь Т) дифференциальное выражение Р fcV) является формально самосопряженным ( т.е. И, fXj Ю) - Н( )) )t то сильное решение начальной задачи из класса п/fa/ kJJZj единственно. Теорема 3.3. Пусть выполнены условия теоремЗДД2. Тогда для любого существует число Мгг 0 такое, что для сильного решения начальной задачи для уравнения (7) справедлива оценка Положив по определению Pit -{ ,1 0(2w-2Z) і .$/ } , получим (J2l%l) = , [ V(lW- U) Л-dfL +іпї -yAitf-X) +ZYn)JVZ+ + ))M-%)] l (Zvn+J )Z ZtotiTZ -№] =%(%).
Отсюда видно, что группы слагаемых в (35).при -4,- , имеют одинаковый вид, следовательно ( см. (26) 5 : Легко убедиться, что если выполнено условие V? yyU+ЛМ (37) то, при достаточно малом U70 ; будет справедлива оценка - 80 В самом деле, из условия следует, что цуп]/-І а ЇМ) r -z t -fr LWV или (2m/S)X -h Zhn VTfz W Прийшлая во внимание 2-/ / 1, получим Теперь ясно, что если ТГ удовлетворяет условию то ОкШ у г=4- -, . Окончательно получим, что Ч- -п" . (38) где 5?z - - - г (о ж2 + і) . Далее, так как для каждого фиксированного J не более двух функций &j (і-ь) отличны от нуля, то из определения j:lh,T) и оценки (38) получим №hn..,n iCtt T) , ЯШ)) 6 - -U (39) где О &L 4 1. 3. Оценка о;ф. %С&Л ): - 81 0 /У іт ї- $№%% Ч%№% , (40) где г - jfiZxyy, fi () & » а коэффициенты Ciploc ) удовлетворяют следующему условию/равномерно по / (v i T)J П \ЩъЩ ±СьР [х\ 41 где Jp7 0 постоянная. Введем для фиксированного
Оценим, используя неравенства (41), норму о.-ф. %; ИпХ) Диссертационная работа посвящена исследованию систем диф -ференциальных уравнений с частными производными параболического типа где P(xJ;)) = H o (X.t)tf дифференциальное выражение (д.-з.) , с коэффициентами являющимися квадратными матрицами порядка А/ , определенными в цилиндрической области
Здесь J 2 С К _ произвольная (ограниченная или неограниченная) область. В последнее время наряду с общими краевыми задачами для равномерно параболических систем, интенсивно изучаются параболические системы с растущими коэффициентами в неограниченных об -ластях, вырождающиеся параболические системы, а также уравнения, коэффициенты которых могут иметь сингулярности на некоторых многообразиях, в частности, на границе области.Интерес к таким классам уравнений возрастает, так как уравнения, описывающие некоторые диффузионные процессы, и некоторые процессы тепло-мас-сообмена принадлежат к ним.
В основополагающей работе И.Г. Петровского [ I ] введен широкий класс параболических систем дифференциальных уравнений и для них установлена корректная разрешимость задачи Коши в классе ограниченных функций.Коэффициенты системы предполагались зависящими только от времениРезультаты работы [і] были обобщены С.З.Бруком [2-3J для параболических систем, коэффициенты которых являются ограниченными функциями пространственных переменных
Корректность задачи Коши для уравнения теплопроводности в классе растущих функции вида I utocJ)\ с гс эс , с,с уо, (2) была установлена А.Н.Тихоновым [4 J . Кроме того, им построен . пример ненулевого решения задачи Коши с нулевыми начальными данными, удовлетворяющий неравенству т.е. принадлежность классу вида (2) является достаточным для единственности решения задачи Коши.Хольмгрен [5] расширил класс единственности до класса
Затем Тэклинд [6] нашел точный класс единственности-решения задачи Коши для уравнения теплопроводности единственно в классе тогда и только тогда, когда положительная неубывающая на ї.0,+ &[ функция У\{%) удовлетворяет условию
О.А. Ладыженская [ 7 ] доказала корректную разрешимость задачи Коши для одного параболического уравнения (I) \А/-1) с коэффициентами; не зависящими от X , в классе быстро расту щих функций вида
Далее С.Д.Эйдельман [8-9] обобщил этот результат,,сначала на случай параболических систем, коэффициенты которых являются ограниченными функциями X ,затем и на случай диссипативных систем t10—II3 с растущими младшими коэффициентами, такими,что іа,(х,і)і І са а + юсі) «"-1 t ШіЯ Получены также точные оценки фундаментальной матрицы решений системы (I).
Я.И. Житомирский [12] исследовал задачу Коши для стационарной параболической системы (3), в которой старшие коэффициенты ограничены вместе с производными до порядка SLrr\ + і включительно, а младшие коэффициенты Oi iXjl) ( i k\ . am ) удовлетворяют неравенствам
Оценка нормы оператор-функции Rd^J
Затем B.C. Рыжий для параболических систем с растущими коэффициентами типа (3 ) доказал (14 J единственность решения задачи Коши в классе функций (7) - (? ).
Классы единственности решений краевых задач и задачи Коши для общих параболических систем получены О.А.Олейник [15 - 1б] , О.А. Олейник , Е.В. Радкевич f17 ] .
Смешанные задачи методами теории потенциала были исследова ны Е работах В.П.Михайлова [18] ,Т.Я. Загорского [1э] и др. Смешенные задачи для систем более общей конструкции с помощью метода регуляризатора детально изучил В.А. Солонников [20] . Матрица Грина однородной параболической граничной задачи в произвольной цилиндрической области, полностью описаны С.Д.Эидсльмаыом и С.Д. Ивасшпеным [2l] , а общей неоднородной граничной зада-чи-в работе С.Д.Ивасишена [22J .
Краевые задачи для параболических уравнений второго порядка с растущими коэффициентами ( ЕКЛЮЧЭЯ старшие), изучены Аронсоном Д., Бесала П. [23 J , А.Г.Гагнидзе [24] и др.
Общие краевые задачи для параболических по И.Г. Петровскому систем с растущими младшими коэффициентами в неограниченных. цилин. -дрических областях ..исследовали С.Д.Ивасишен и В.П. Лавренчук [25-27] .
Исследованию вырождающихся параболических уравнений 2 -го порядка посвящены работы Г.Фижеры [28] ,0.А.0лейнкк L29] ,Бре-зис , Розенкрац, Зингер [ 30 ] , Глушак А.В. [зі] и др. Различным . классам вырождающихся параболических систем, а также системам, тлеющим сингулярные коэффициенты , посвящены работы М.И. Матийчука [32] , С.Д. Шмулевича[33] , В.И. Шевченко 34j , А.П.Малицкой [35 - 36] , Л.Г. Купцова [37] , И.Д. Лукальского [38] и др.
Отметим, что в связи с изучением спектральных СЕОЙСТЕ эллиптических операторов, некоторые классы граничных задач для стационарных параболических уравнений и систем с растущими коэффициентами, изучены в работах А.Г. Костюченко [39 J ,С.Д. Шмулевича [40 J , Ш.К. Баямова [4l] , К.Х. Бойматова и А.Г. Костюченко С42 J и др. С.Д.Эйдельман, Ф.О. Порпер [ 43 ] изучили оценки L, -норм сильно диссипативных систем.Общий случай граничной задачи исследовали С.Д. Ивасишен, В.П. Лавренчук [27] , которые установили оценки матрицы Грина 3 аналогичные оценкам в С39, 43] .
Из анализа работ становится ясно, что исследовались параболические уравнения и системы высокого порядка в основном с растущими младшими коэффицентами.До настоящего времени, также не рассматривался класс параболических уравнений высокого порядка в цилиндрической области с произвольным ( ограниченным или неограниченным )основанием, эллиптическая часть которых является сильно вырождающимися дифференциальными выражениями класса Трибеля, т.е. такого д.-в. , который имеет сильное вырождение около границы области и на бесконечности ( если область бесконечна)г специального вида.
В настоящей работе изучается задача Коши для параболического уравнения и сильно параболической системы высокого порядка с растущими коэффициентами включая старшие ) при JXM ,. в пространстве ил С К ) f а. также в пространстве растущих функций ( Li - с весом).Устанавливается корректность начальной задачи для некоторого класса сильно вырождающихся параболических уравнений в цилиндрических областях / (.Н) с ограниченным или неог- , раниченным основанием J 2 .. имеющим негладкую границу JI . Получено также интегральное представление решения задачи Коши и начальной задачи через специально построенный "параметрикс". Основным методом исследования является метод параметрикса Э.Э.Леви
.Только формула параметрикса строится из "локальных пара-метриксов".применением разбиения единицы области.В стационарном случае такие формулы параметрикса црименены для исследования асимптотики спект ра широкого класса дифференциальных операторов в работах К.X. Бойматова , А.Г. Костюченко [42] и К.Х.Бойматова [45-47] Д Отелбаева [48] .
