О параболических уравнениях высокого порядка в неограниченных областях Нуцубидзе Давид Вахтангович

Предпологается, что коэффициенты &«*(&) аналитичны

Доказаны следующие теоремы.

Теорема 4.1. Пусть U(0C; t) -классическое решение уравнения U_t+Jiu~0 в области IRⁿxjt^Oi . Пусть множество такое, что п -мерная мера Лебега meo(F) множества^"" больше

-12-нуля. Тогда если /bt(Xst)/*/1 _в JRⁿ*ft>Ol и u(x_;t)*0 при t-* , когда эсб, то U(OC;t)-*0 при t-* для всех ЭСб/?^п, причем на каждом компакте сходимость будет равномерной.

Теорема 4.2. Пусть в области IR *іС^ьОі задано классическое решение U (X; t) уравнения U± + Lu=0 .

Пусть -ограниченное множество в IR . Пусть множество fl^c
<-К содержится во множестве . Пусть -пересечение

множестваУб с П -мерной гиперплоскостью t⁼c _{t таК) чт0} Л =
= и fit . Пусть о г' Л-мерный шар с центром в точке 'Vw
и с радиусом равным Z , лежащий в гиперплоскости t ⁼ <- , Пусть
1-(3/4) Si , где Si постоянная, зависящая от уравнения. Пусть
/А^О. Пусть VUOi ) 3 ЭСе такое, что П -мерная мера Лебе
га множества не меньше

Тогда, если 1и(хЛ)1*П в !Rⁿ*ft*Of _и Шх-.Ъ)^-О при ~» равномерно no fit , то есть v^>0 ЭЬ^^О такое,

^{что V>i /ucxjt)/ /<6 , то б/сх;^;-*<9 при ^-*}

Voce^?^п, причём на каждом компакте сходимость будет равномерной.

Теорема 4.3. Пусть в области задано классичес-

кое решение Ц(Х; t) уравнения U± + Lu = 0 . Пусть t ^cSz * х it*Zi, где %*(г/Ч)Л, 5г c-IR* , а сА><9 -постоянная, зависящая от уравнения.

Пусть /9 -мерная мера Лебега me-i(t) множества /І стремится к нулю при t"* .

Тогда, если /ц(Х;0/<ҐІ в /Rⁿ*it*Oi ъ/оНЭС;*)/* <ШЬ)]^ШШ на _t , где at)- (1/₂)^с/Сгпе**^г+¹ , eU^O при с-> ,С -постоянная, зависящая от уравнения и размерности пространства, то и(X; t)-*0 при t^ Vx^//?ⁿ , причем на каждом компакте сходимость будет равномерной.

Определения

Будем обозначать через X -точку П -мерного евклидова пространства IR , а через (X; Ь) -точку (п+I) -мерного евклидова пространства /R

Через 0?г будем обозначать шар в IR с центром в точке ос и радиусом равным Z , а через0 будем обозначать п -мерный шар в /RnH , а именно Q? x йг ft tf. Через 2) будем обозначать область в , а через -се чение области JJ гиперплоскостью Пусть & -область в /R . Будем обозначать через -.и цилиндр в /Rn+i , а именно ІЛьиЬ ( № і; з ) . 2. Определения. І. В области 2) будем рассматривать линейный дифференциальный оператор: где оператор L- 2 C(«(X;t)$) таков, что_7/\ 9 такое, WW что\/(!х;І) 2) m\/J/Rn имеет место: -14 Здесь 2) =Э /о ХІ ... о п Хп, где о(= (Ы±,..т, о(п) -муль-тииндекс, a /o(/=o(i ..." "O n . Мы будем предпологать, что коэффициенты оператора равномерно ограничены в области /J вместе со своими производными, по переменной X, до порядка Я , включительно.

2. Введём некоторые классы функций, которые нам понадобятся ниже. -гильбертово пространство со скалярным произведением (и,и) .,, //И d U-2) (/o/xc/i. w 2) мч ,ы -гильбертово пространство со скалярным произведением -банахово пространство, состоящее из всех элементов W I Ць±; Ьл -Для которых конечна норма {/и1 СІХ J " + I//TL (д "иҐе/х eft І ". v taut, G tiG Mtt tt.tz J -банахово пространство, состоящее из всех элементов U V /Z/ЙІ; /, для которых у U (X; t) о/ос непре G -15 рывен по Ь на с нормой I UI .о .-m«х // UЧх } Ш+ f//H(d U fc/x cli }Ш. v int.t, G ti G MM Заметим, что пространство получается из пространства пополнением в норме

Через обозначаются пространства состоящие из элементов U(ОС; t) соответствующих пространств без нулика, таких, что для почти всех t щ(Х;Ь)6 И I Gtj . 3. Понятие обобщенного решения. Пусть 6 ограниченная область в IR . Пусть ив и i/fW іЦ tutzt . Определим выражение У У ІҐ& Uotxo/t t, G следующим образом. Произведем в / / ОLu ofxc/t формальное t. G интегрирование по частьям так, чтобы получить //В(и If) о/ос oft, t, G \— где B(U,V) = 2___ в л(х-,Ь)3) и2) и , а коэффициенты & являются линейными комбинациами коэффициентов исходного уравнения и их производных, по переменной ЭС t порядка не выше 8 . Положим по определению: JУvLuofocoft JJB(U; if) of ОС oft. t, G tt G -16 Определение. Обобщенным решением уравнения Ut+Lu= jP , где flelz І Ці ЬгІ будем называть функцию Ы такую, что для любой функции і/ 6 , равной нулю при t-bi ntz , справедливо равенство: Ь t tj J JUlSt ofxoft +/ /(/luofocoft = / //(/o/xo/t. UG tt G tiG Определение. Скажем, что обобщенное решение u(X;t) уравнения Ut + Lu-f , где г/у21U, tn t J удовлетворяет нулевым условиям Дирихле на aGx(t/;ti) и начальному условию /., г = S?(oc), где Ц(Х)Є/,2Ї}, если U V JUt.stJvi для любой функции i/ W /LitnU /, равной нулю при t- С , справедливо равенство: -У/и /Jul U cfcC o/t = t, G t,C btG G

Если & -неограниченная область, то под обобщенным решением уравнения Ut+lu-jP , где е Ь е с 1 L/ьч ь I будем понимать функцию U Vеьс 1 Lltr.tzU являющимся обобщенным решением данного уравнения в любом цилиндре /G/)G/X(tn ti) , где G -произвольная ограниченная область в IR .

Аналогично определяется обобщенное решение для задачи с ну левыми граничными условиями Дирихле и с начальной функцшй А?;й с /Gi і где G -неограниченная область. Определение. Пусть /) произвольная область в /R , Тогда под обобщенным решением уравнения Ut+Lu=f будем понимать -17 такую, что для любой функции справедливо равенство: // Ut IS deceit +/j tfiuo/xo/t - J/fVc/xo/t Ъ ъ я Здесь под выражением U с/ос о/t понимается выраже Ъ ние , которое определяется аналогичным об 2) разом, как это сделано выше. Определение. Пусть -область, не обязательно огра ниченная и /z -часть границы о Gt , границы области Gz. Скажем, что обобщенное решение ц(ОС; t) уравнения Ut + Lu-f в 2) удовлетворяет нулевым условиям Дирихле на It , если для любой ограниченной области Gz СА}П /o=Zj, такой, что граница пере сечения Gz П Gz содержится в и для любой функции V Co / Gti справедливо

Теоремы единственности

Теорема 2.1. Пусть и(ОС; t) обобщенное решение уравнения Ut+Lu = 0 в цилиндре Цо,т = 6 (0; Т) , из класса где GcIRn-неограниченная область. Тогда, если UCX;i) удовлетворяет нулевым условиям Дирихле на боковой границе oG (0;T). цилиндра LLо;т и нулевым начальным условиям, то имеет место альтернатива: либо и (ос; t)-0 , либо для любого О г Д, віт lJJu4 o(t/e /---. р- OQ; \ функцию Ц(ОС; Ь) пологаем равной нулю вне цилиндра Цо.т) . Доказательство. Пусть u(oc;t)$0 . Тогда существует р0 0 такое, что OQ;. При достаточно большом о , по лемме 2.3, будем иметь J J uzo/oco/t ъав OQ; или Ко . -ft J J и2ыэсыб It at OQ; или -44 Теорема доказана. Теорема 2.2. Пусть U(OC;t) обобщенное решение уравнения Ut+Lu-O в цилиндре , из класса где Gс/п -неограниченная область. Пусть и(Х; t) удовлетворяет нулевым условиям Дирихле на боковой границе о G (0-J) цилиндра Цо,т и нулевым начальным условиям. Тогда, если для некоторого 0 e f//u o/Xo/t/ecrp/li w } р- о а; ТО UCX]t)=0 ЪЦ0;Т . Эта теорема следует из теоремы 2.1. 3. Принцип максимума. Лемма 2.4. Пусть Q IR" -область, расположенная в шаре Q% , где R 62 Пусть в\ такое, что:

Пусть u(X;t) обобщенное решение уравнения Ut+LucO в цилиндре ZJ/0;T- G (OJ Т) , из класса V /Ц0іт} , удовлетворяющее нулевым условиям Дирихле на / (0;Т) » той части боковой границы c$G (0;T) цилиндра Ц 0; г , которая лежит строго внутри цилиндра QR (0 T) » и нулевым начальным условиям. Пусть Г дыр Тогда для всякой точки Xe.QR справедливо // т о or" ( функцию U(Xit) пологаем равной нулю вне цилиндра IJo.r) . Доказательство. Пусть по-целое число такое, что шар радиуса @z можно было покрыть m шарами радиуса і . Тогда легко видеть, ЧТО /Г) 2 " . Для доказательства леммы достаточно рассмотреть случай По лемме 2.3 имеем Т 7" J J u o/oco/t s Є J / a o/xo/t О Q О Qg -46-В силу выбора числа т имеем, что существует точка Х е Qe такая, что Т т J J иг oiос o/t / с7 U o/xo/t. О Q? О ОГ

Применяя лемму 2.3 последовательно, мы построим последовательность Х , X4 , Xі ,... такую, что /асі+і-зс7 4 ; 6 = 0, і,--, и // . u2o/oco/t. OQ " 0 0 Возможны два случая: I. Последовательность обрывается. Это может случится в том случае, когда X Q Q Q . В этом случае Г UZc/0Co/t ЛГ)с OQ " // Следовательно, т // и с/хо/ Gf /По гпс 0Q 2. Последовательность бесконечна. Тогда из этой последова тельности можно выбрать подпоследовательность ОС0 , ОС1 , 0СС ,..., сходяїцуюся к некоторой точке Х еОя-е . Тогда Т Т ОО //. и2с/осо/ - //. U о/ос o/t при с; 0Q?4 О ОГ -47-Так как Т Т // // OQf 0Q 4 то переходя к пределу при ij , получаем, что т // OQx Лемма доказана.

Теорема существования обобщенного решения в неограниченной области. Лемма 2.5. Пусть UCXit) обобщенное решение уравнения Ut Lu--f в цилиндре Ц о,т С (0;Т) . из класса где G CIR -ограниченная область. Пусть f L /Цо:т / , / в О при X Ui, Пусть и(Х,Ь) удовлетворяет нулевым условиям Дирихле на боковой границе цилиндра и,о;г и начальному ус ловию и/ -. УГХ), где ((x)6jLafGft (х)вО при Xl Q,0. Тогда при /х/ / 2+mace 11-2 -НТСв/ справедлива оценка J . Со (I Xе/ -2)ge Т II uzc/occ/t Ce ////о/осс/і +/Го/х I IS. 0 Q О Qt Г Qf ( функцию U(Xib) пологаем равной нулю вне цилиндра Цо;т) . Доказательство. Пусть fX/ ,2+mciOC { {\ 22Я 1,ЧТСв). Тогда в цилиндре ffyx t-l П С (l Т) ФУНКЦИЯ U(X; t) является обобщенным решением уравнения Ы +ЬЦ- О , удовлетворяющим нулевым условиям Дирихле на той части боковой границы этого цилиндра которая лежит строго внутри цилиндра Qlv: hi (0\Т) , и нулевому начальному значению.

Поведение обобщенного решения параболического уравнения вы сокого порядка в окрестности граничной точки и при

Теорема 3.1. Пусть 28 п . Пусть область Ю расположена в полупространстве и удовлетворяет условию Пусть бгг -сечение области 0 плоскостью t = Z . Пусть внутренний диаметр каждого сечения Gt с точностью до емкости tf равен Z(t) , где Z(t) таково, что-г З"? (t) . Пусть Г\ [С.г (-1)/(і-Ч и) ]Чп+ , где Z4-D-= 01 Ш. Пусть О 0 такое, что /Л 1 и %(-i) i/2 . Пусть в области 2) задано обобщенное решение U(oz-.t) є уравнения U + Lu = О удовлетворяющее нулевым условиям Дирихле на. Gt для почти всех t . Тогда для произвольной точки ЭС0 //? имеет место оценка 0 0 _± n/s\ / / Ux о/хо/ // / o/xo/t 4 C /iJ Єп Ч ГДЄ-=7 ; j m=4/n / , ГУ = 0, і, . . .. О о с -// U2 о/ос о/1 /// о/осо/6 -1 0 1 -і Q 4 ( функцию uCX;t) пологаем равной нулю вне области 2) ) . Доказательство. Пусть Х-произвольная точка в /Rn. Тогда по лемме 3.2 имеем О О / / и о/хо/б CoZ4-i) // u o/oco/t -75-Рассмотрим следующую пару цилиндров Q? l-4- A t Oi и оі% {-ч-чв і оі Сделаем замену переменных ysjC; ZІ/Ч (І/ЧР Тогда цилиндры Q? i-4 Z t 0} и ві% ч{-Ч П? t С / перейдут, соответственно, в цилиндры: Оц (-і Z Oi и Q i l-4 n C 0} , где у :Х /(1/Ч) . При таком преобразовании координат исходное уравнение примет вид / а«(ч;г)2) й(У;?)+ дй.О где й(у;г) и((ич)у1 а/ч)2 ). дл(№)- Ч 1П м)а (ШЧ)у. (І/ЧҐЇ). Заметим, что нормы коэффициентов С[и(ц;Х) не больше соответствующих норм коэффициентов С(«(Х; t) в С . Не меняется и константа эллиптичности. Внутренный диаметр Z(Z) каждого сечения Gx, преобразованной области, с точностью до емкости tf будет равнятся ZCC) = Z(+4-2«Z)/(l/4) . Применяя лемму 3.2 к преобразованной области, получим О о J / u ctuo/ L,Co[l(-4H)/(i/4)f If tfotuc/t. Так xax az (t) , то l(-4 n )/(t/4)-- Z(-l) . Сле довательно, переходя к исходным координатам в последнем неравен -76-стве, получаем О О /./ I / -ч-ч ОЇЇЇ U-Ч ")2 -4 HQf Продолжая этот процесс, получим О О / / U oJoco/ttCoZ ki)_ / / u o/oco/t т 09{ ,.... Обозначим цилиндр ЧЄрЄЗ /irn , =0 , 1 , Тогда v/цгм V//T.J. Следовательно, из последнего неравенства получаем // U c/xc/t // Ml ,с.гЧ-р ,y" ur, или //U dxctt , //u ofxc/t ГЛ я 1 9 11 f C f Обозначим через Л величину[Сс 1г(-і)/({- 20)г ]у-x4n+U Так как Zz( i)z Cf , то при соответствующем выборе Of -77-будем иметь, что ґ\ і . Итак // a c/xo/t /yfilZ J /IV, m- і, 2, Ц ОС0 m где С -// u o/xo/i/vlUfl. О Пусть if/vi= - / последовательность точек ло = 09 і ,.... Тогда Zrn -ltml \ Отсюда легко получить, что т = /ШЄпЧ) . Следовательно, имеем // иЧкоіі /vfu: j 4 с чи иг или О О . _± ЄпҐ\ / / U c/xcft// / J Jb C ltJU 4 , гдерт- 7/tm/ Теорема доказана. Теорема 3.2. Пусть 284 П . Пусть область 2/ расположена в полупространстве IR ft Oj и удовлетворяет условию ( ) . Пусть Gz -сечение области г) плоскостью t t . Пусть внутренный диаметр каждого сечения Gt с точностью до емкости # равен Z(t) , где Z(t) таково, что- =#? () . Пусть П= [CoZ4-l)/(i-4- )a4 4n+" , где Z (-ih = а і/й . Пусть ФО такое, что Ґі { и Z(-i) {/2 . Пусть в области ) задано обобщенное решение и(Х;)е -78 W i?)/ уравнения U + Lu 0 , удовлетворяющее нулевым условиям

Дирихле на d Gt для почти всех і . Пусть коэффициенты оператора L таковы, что /oU = . /о( = . ч ЗЄ -предполагается больше 1) . Тогда для произвольной точки ЭСбР имеет место оценка 0 L впП I / uVoccfc// / J Jt 4u c IUH 4 , где- -V - , m 4IUf \ m.O. 1,..., C =/ / и"o/oco/i// / ( функцию U(oc,,) пологаем равной нулю вне области $) ) . Доказательство. Пусть Х произвольная точка в //?". По лемме 3.2 имеем о о I / u c/xc/t Соі ( і) If u c/xc/t. Рассмотрим следующую пару цилиндров Q i-i t o\ и ОІЇ {-чи і оі. Сделаем замену переменных -79 Тогда цилиндры Q xM i 0 } и О f-Ч t Oj перейдут, соответственно в цилиндры: С?а х/-V t Of 1Л Q? i-i . C OJ , где ysx /4 При таком преобразовании координат исходное уравнение примет вид где 5ы(У;Г)=чгй"/ы/аы( ;Чавг). Из условий наложенных на коэффициенты, получаем, что нормы коэффициентов и (у;Т) не больше соответствующих норм СІ (Х;Ь) В С При / // /# И СООТВеТСТВуЮЩИХ НОрМ В С; при ЫЫЦ . Не меняется и константа эллиптичности. Внутренний диаметр Z(t) каждого сечения Gz , преобразованной области, с точностью до емкости ft будет равнятся Z (Zfc г(Чг т)/Ч . Применяя лемму 3.2 к преобразованной области, находим О О / / ДУцо/f, Со[г(-Ч )/Ч] J[ u aluJi, Так KaK- OfZ (t) , то Ъ(-Ч")/Ч= 1(-1) . Следовательно, переходя к исходным координатам в#последнем неравенстве, получаем О О U o/xo/, CoZz(-i) U с/эсо/t Продолжая этот процесс, получим -80 .0 о J J u otxc(t CoZ4-i) і I U c/ocM, m= 0, 1 ,.... Обозначим цилиндр Uijm x / V С//Через Дт, rn-O, 1,.... Тогда Следовательно, из последнего неравенства имеем и о/ос o/t У/ Ц- ч Со г (-р . Ч % Ыии. vm::J а-ч" )" wz/r/ или и2 с/ос oft где Г\ [с.г (-1)/и-ч-")"]-Чм". Так как 23(-1) = tf v , то при соответствующем выборе Of будем иметь, что /Ч i . Итак // и о/к о/і/// — по — лг» где С - U5 о/ос o/t /// о/ос o/t. иг ц? -81 Иустъьт- Ч , т= О , і ,..., последовательность точек. Тогда легко получить, что ло= Следовательно, имеем // u c/xoU/// Jccc/i » Чис /и или ГДЄ jOm= ЧItml Теорема доказана. Теоремы аналогичные теоремам 3.1 и 3.2 можно доказать в случае /1 2R , когда сечения области описываются в терминах размера внутреннего диаметра и для областей /) , сечения которых описываются в терминах размера внутреннего диаметра с точностью до меры.

Теорема 3.3. Пусть в области Ъ і( Л) -Ь 0loci ; І 0} задано обобщенное решение U(X; і) W ІЮ) уравнения U t + LU-0 удовлетворяющее нулевым условиям Дирихле на dGt для почти всех t , где Gz -сечение области 2) плоскостью t-Z .

Стабилизация при -* решения параболического уравнения высокого порядка, когда решение убывает на фиксированном множестве

Теорема 4.1. Пусть U(X;t) классическое решение уравне ния U± + в области Пусть множество такое, что Г) -мерная мера Лебега тез () множества С больше нуля. Тогда если /и (0Cjt)h ҐІ в IRn ft 0\ и u(oc,t) - О при - , когда Хє, то U(X,)- 0 при t- для всех Xe/R , причём на каждом компакте сходимость будет равномерной. ( Для параболического уравнения второго порядка подобная зада ча решена в [3D.

Доказательство. Пусть К с/п произвольный компакт. Можно считать К выпуклым, иначе взяли-бы его выпуклую оболочку.

При доказательстве теоремы через С , СІ f С2 ,... будем обозначать положительные постоянные.

Так как U(oc-,i)- 0 при t - при эсе то по теореме Д.Ф.Егорова существует множество о с такое, что те 1 (о) 0 и uCX;i)=5 О при - на множестве о . То есть V 0 jf 9 такое, что Vi 6e и Vxe0 шееш /u(OC;t)/ 6 # Зафиксируем выбранное и некоторое t te .

Так как т&6 (0) О , то существует точка deo -являющаяся точкой плотности множества Ео . Из определения точки плотности следует, что существует сРо 0 такое, что V So имеем теъ(ЕоП$ $) (1/2)тЫ (Ss) 0 у где Ss -шар в /Яп, радиуса S и с центром в точке О І . По теореме I из [{ 0] ( эта теорема сформулирована в первой главе ) существуют постоянные С и о і f зависящие от опера -97-тора L , такие, что в (п + 1) -мерном шаре Q l пространства (Х;Т) , где Т -вспомогательная переменная, определено решение уравнения d Vi . d і IPHb удовлетворяющее условиям Щ UCOC;i). bLUi\ =0; t=l, 2,..., 2fi-l, п=о (7=0 oit Пусть Z (3/4)Si . Пусть = miniZ;(Po } . Тогда имеем, что лоЄ4 (foHSs) (l/2)mei(S$ ) 70 и в шаре ( имеют место оценки производных Тем. [13]) I2fuj n j!( 2Х Ґ lal-.j Q -J Qi \S,-Z J Так как u(OC; t) = bd (oc} 0; t) B Si = Qi П fl=Oi , то в силу выше приведённых оценок к функции u(oc;t) применима лемма 4.2. То есть в шаре Sz имеет место оценка / Пусть эс произвольная точка компакта К . Покажем, что U(Xc;t) мало. Пусть с/ос = pi0±; ос0} . Обозначим через с -прямую соединяшую точки ( и Х т Пусть точка ( е с отстоит от точки ОІ на расстоянии S± /2 . Применяя ещё раз теорему I из [10] имеем, что в (n + i) -мерном шаре Qy 1 определено решение уравнения -98 удовлетворяющее условиям ир Іг аІ с-л. Тогда из того, что в ол/v /u(0CJt)/ Ci получаем, как и выше, что /LKXiD/iCfE С5 в о-г . Пусть шар радиуса о , с центром в точке От , где pJ0i;0rY,hm( Pi/2) , такой, что oceQ?cQ% Тогда, как легко видеть, Ещё раз применяя теорему I из /10] имеем, что в Qjt определено решение уравнения J2 Ы1 удовлетворяющее условиям ?=о UmL =U(X;U; V Um = О; -" 1, 2, . .. , 2Я і , ,1=0 эт быр lit J ІС-Ґ[. т»Н С м IT»- . Как И ВЫШе, ИЗ ТОГО, ЧТО В OSi/Ч lu(X;t)l Cm-iE ГО заключаем, что в г имеет место оценка -99 от То есть Іисх-Л)/ С» "tC E где б зависит от диаметра компакта К , а С = con jc Э. Итак Vxe/C при f справедлива оценка /иСХ;І)/ С8 . Отсюда в силу произвольности 0 заключаем, что UCx-.t) 3 О при - на компакте Л . Теорема доказана. Теорема 4.2. Пусть в области задано классичес кое решение и (ос-, і) уравнения u +Lu - О . Пусть Е ограниченное множество в IR . Пусть множество /I из /А содержится во множестве Пусть -/с г -пересе чение множества /с с л -мерной гиперплоскостью t- , так, что Д= / Дг. Пусть S л-мерный шар с центром в точке (ос;Т) и с радиусом равным 1 , лежащий в гиперплоскости t-Z . Пусть = (3/Y)cTi , где сГ{ постоянная, зависящая от уравнения. Пусть //о 9 . Пусть VteEO; ) ] Х с такое, что п -мерная мера Лебега множества Si х ПЛт не меньше/ 0 .

Тогда, если /иСх-Л)/ ҐІ в //Rn lt»Oi И6 эс;)/ -» - 0 при - равномерно поД , то есть, если V 0 j 0 такое, 4TOV /u(oc;t)// , то исх-,1)- - О ПрИ - оо \/zc/Rn , причем на каждом компакте сходимость будет равномерной.

Эта теорема доказывается аналогично предыдущей теоремы. -100 3. Стабилизация при решения параболического уравнения высокого порядка, когда решение убывает на семействе множеств с убывающими мерами.

Теорема 4.3. Пусть в области IRn -it Oi задано классическое решение ucX;t) уравнения Ut+luzO . Пусть /Vс Sz it = Zft Где Szc/Rn, Z- (З/Ч) 01 , &ОІ 0 -постоянная, зависящая от уравнения.

Пусть П -мерная мера Лебега тез множества стре мится к нулю при t " . Тогда, если /uCX;t)hr\ в IRn ft Of и lucx-,t)U ІЄ(І)Іі/сш на Et , где (th а/2)""»» « , 6(i o при Ь-+ , С -постоянная, зависящая от уравнения и размерности пространства ( из леммы 4.2 ), то и(ос;і Доказательство. Пусть КC/R -произвольный компакт. Можно считать, что К -выпукло, иначе взяли бы его выпуклую оболочку. Докажем, что U Сос; Ь) О при t - на К . По теореме I из [10] существуют постоянные С 0 и ?1 0, зависящие от оператора 1 такие, что в (n+i) -мерном шаре Q fi)- 0 при if- 00 y Xe/R t причем на каждом компакте сходимость будет равномерной. определено решение уравнения

Похожие диссертации на О параболических уравнениях высокого порядка в неограниченных областях

Первая крайняя задача для эллиптических уравнений второго порядка в областях с коническими и угловыми точками на границеБорсук, Михаил Владимирович

Обобщенная задача Неймана для параболических уравнений второго порядка в областях с негладкой границей Алиев Рамиз Джалалович

Некоторые краевые задачи для вырождающихся гиперболических уравнений третьего порядка в трехмерных областях Энбом Екатерина Александровна

О поведении решений нелинейных эллиптических уравнений второго порядка в неограниченных областяхАгаев, Эльшад Велигулу оглы

Параболические уравнения высокого порядка в неограниченных областях Юсупов Аюбжон Кенжабаевич

Краевые задачи для уравнения третьего порядка с кратными характеристиками в криволинейных областяхХашимов, Абдукомил Рисбекович

О растущих решениях эволюционных и стационарных нелинейных уравнений с частными производными второго и третьего порядков в неограниченных областях Гладков Александр Львович

Эллиптические уравнения второго порядка с периодическими по части независимых переменных коэффициентами в неограниченных областяхГобеджишвили, Рамаз Михайлович

Безопасные зоны областей управляемости аффинно-управляемых динамических систем второго порядкаСтародубровская, Наталья Сергеевна

К теории краевых задач для параболических и ультрапараболических уравнений в областях с негладкими границамиОрынбасаров, Мамажан