Содержание к диссертации
Введение
Глава I. О задаче Коши в классах функций с произвольным ростом для нелинейных вырождающихся пара болических уравнений второго порядка 18
1.1. Постановка задачи и основные определения... 18
1.2. Существование обобщенного решения задачи Коши для уравнения, нелинейного относительно искомой функции 20
1.3. Существование обобщенных решений задачи Коши для уравнений, нелинейных относительно производных искомой функции 29
Глава II. Задача Коши в классах растущих функций для., некоторых нелинейных уравнений с частными..производными третьего порядка 40
2.1. Некоторые обозначения и определения 40
2.2. Существование, единственность и некоторые... свойства решения первой краевой задачи 42
2.3. Локальная теорема существования решения задачи Коши в слое 59
2.4. Нелокальная теорема существования решения задачи Коши в слое 67
2.5. Теорема единственности для уравнения с одной пространственной переменной 69
2.6. Теорема существования решения задачи Коши в области, сужающейся относительно временной., переменной 78
Глава III. Задача Дирихле в классах растущих функций для нелинейных эллиптических уравнений... второго порядка в неограниченных областях 88
3.1. Постановка задачи, обозначения, предположения, определения 88
3.2. Задача Дирихле для уравнения частного вида в неограниченной области с компактной, границей 90
3.3. Задача Дирихле для уравнения частного вида в неограниченной области с некомпактной границей 105
3.4. Общая теорема существования и единственности 108
Литература 114
- Существование обобщенного решения задачи Коши для уравнения, нелинейного относительно искомой функции
- Существование, единственность и некоторые... свойства решения первой краевой задачи
- Теорема существования решения задачи Коши в области, сужающейся относительно временной., переменной
- Задача Дирихле для уравнения частного вида в неограниченной области с компактной, границей
Введение к работе
В диссертации изучаются задача Коши и краевые задачи в неограниченных областях для некоторых нелинейных дифференциальных уравнений второго и третьего порядков с данными,возрастающими на бесконечности.
В главе I рассматривается задача Коши для уравнений
u^imUxx, mi)
1Ц-- Ф(И1Х) (02)
с начальным условием
К(Х,0)- 4D (X) . (0.4)
Здесь ф (р) -гладкая функция, Ф (р) > О при От^ 0 , ф'(0^ = Ф(0^= 0 .Типичным примером функции Ф(р) ,для кото-рой выполняются налагаемые условия,является Ф(р)=[р1 Р , где Wl> Ц ( для уравнения [ОА) УЛ > 1 ).Уравнения вида (О.'І) - (0.3) возникают в теории фильтрации,в нелинейной теории теплопроводности,а также в магнитной гидродинамике и динамике популяций.При нулевом значении решения или его производных уравнения (О.'І) - (0. 2>) вырождаются. Вследствие вырождения, вообще говоря,может не существовать классического решения задачи Коши даже при как угодно гладких начальных данных.
Обозначим через 3^(1=^,) классы функций іТ(Х}і) , удовлетворяющих почти всюду соответственно неравенствам
Здесь 15^1^ -обобщенные производные,постоянная М>0 может зависеть от 1Г(#?) , 9(%) -заданная положительная функция,которая может как угодно быстро расти при /СС| —> .
Уравнениям вида (СИ) - (0.3) посвящено большое число работ.Ниже приводится краткий обзор только тех работ,в которых исследовались существование и единственность решения задачи Коши.
Существование и единственность непрерывного ограниченного обобщенного решения задачи Копій для уравнения (0.1) в полосе {(X}t): X /Я1 O^t^Tj произвольной ширины Т > О при соответствующих предположениях об U о (Ос) впервые доказаны в Г 30] ( см. также Г 31], [ ЪА} ).Затем многими авторами исследовалась задача Коши для более общих нелинейных вырождающихся параболических уравнений в классах ограниченных или суммируемых с определенными степенями функций.Укажем, например.работы С 37J, Г 1^1 , [ Sb] } [ Ц ^ЩІЩ Г1], tSOJ t HS], [181 , [ 2 2] , Г 19] , Г 26], [SZ1.
Однозначная обобщенная разрешимость в JC о задач (0.1) , [О.к) с непрерывной начальной функцией К0 (#)
1- С Q
(1-^2,) ,где 2-)" , Є ЪО установлена в [16], f 1 і? ] ; при 6=0 разрешимость доказана лишь для достаточно малых I > 0 ,что связано с существом дела, как показывает пример из [ Z ] .Классы единственности обобщенных решений за-
дачи Коши и краевых задач в неограниченных областях для уравнений (ОА) , (О. Z) и их многомерных аналогов исследовались в [ Z 9J .Для уравнения
Ut-l\Um (m>i)) (us)
где Д -оператор Лапласа по переменным Х- ( ОС^) доказано (см. Е-И] ),что,как и в случае уравнения теплопроводности, неотрицательное непрерывное обобщенное решение задачи Коши в слое единственно без каких-либо ограничений на рост при /XI -* .
В работах fS3], Г 91 , Г5], [49] рассматривалась задача Коши для уравнений (0.1) , (0. Z) с обобщенными функциями в начальном условии.В Г4*?] изучалась задача Коши для уравнения Со.5) с начальным условием (0.^),где *U0 есть плотность, соответствующая такой мере & ,что
(5 SUP (Г^-*1 <0 {зЄЄіГ: |0|
Доказано существование обобщенного решения задачи Коши fo.5), (0.10 для 0<-fc
Разрешимость задачи Коши при сколь угодно быстро растущей на бесконечности начальной функции для линейных параболических уравнений второго порядка с ограниченными коэффициентами изучалась в Г^Ч] .В этой работе показано,что при произвольной начальной функции решение задачи Коши не может,вообще говоря, существовать в слое и построена сужающаяся относительно временной переменной неограниченная область,в которой решение су-
ществует.В статье [^3] аналогичная область построена для линейного параболического уравнения любого порядка с растущими на бесконечности коэффициентами,а для уравнения второго порядка уточнена зависимость вида области от скорости роста начальной функции и коэффициентов уравнения.В главе I настоящей диссертации результаты типа полученных в [Н^і], Г 4Ь] , доказываются для нелинейных вырождающихся параболических уравнений второго порядка.
В 1.1 излагается постановка задачи и приводятся основные определения.
В 1.2 доказывается разрешимость в сужающихся по направлению оси і областях задачи Коши (0.1), {ОМ) с начальной функцией,имеющей произвольный рост на бесконечности.Предполагается, что непрерывная начальная функция 1(0()>0 удовлетворяет неравенству
<Р'(1ия))«? И, $(Х) (М, >0)>
а функция Ф(р) удовлетворяет условиям,которые выполняются, например,если ф(р)= р"1, № > 1 (р>0).Пусть (г (Я) -непрерывная положительная ограниченная четная функция,невозра-стающая при Х>0 .Обозначим Q^= {,-1): Жє R^ 0
где постоянная щ > О зависит только от функции ^ .Доказывается
Теорема 0.1. При любом Ц>0 в области Wftoc существует непрерывное обобщенное решение ^((3C;t) задачи Коши (0.-1) » (0.4) принадлежащее классу J*fo .В тех точках Qj^ % , где 1((3?;і)> 0 ,функция Ь( (X)h) имеет непрерывные производные,входящие в уравнение (СИ),и удовлетворяет ему в обычном смысле.
Показывается точность теоремы 0.1.
Пример построенный в Г 2» ],свидетельствует о том,что единственность в классе J\q при Q(X)- М-*Xі) , >0 ,может нарушаться,если рассматривать задачу (0.-1),(0.4) в сужающейся по і области.Следовательно,на такие области не распространяется упоминавшаяся выше теорема единственности из Г51].
В 1.3 доказывается разрешимость в сужающихся по направлению оси і областях задач Коши (.2,),(0.4) и (0.2>), (0.4) с начальными функциями, имеющими произвольный рост на бесконечности.При исследовании задачи (О.Я), (О.4 J предполагается,что начальная функция %>(#) С удовлетворяет неравенству
а функция ЧЧр) удовлетворяет условиям,которые выполняются, например,если 4?(p)=/Dlm">lp , W > Z .Пусть при некотором V6 (О і) для функций Q(X) и п (90 справедливы следующие соотношения:
где юз -положительная постоянная,зависящая только от функции У .Определим при Ъ>0 четную функцию Ь&М такую,что Іі^Ш- к(Х*3$) при Х>0 .В 1.3 доказывается
Теорема 0.2. При любом о>0 в области W^s^ существует обобщенное решение задачи (0,2,), СОЛ) ,обладающее обобщенными производными Ux в /^ (Q^ng) , U^ /, е ( Q^ г ) и принадлежащее классу <Хд
Показывается точность теоремы 0.2.Аналогичная теорема приводится для задачи Коши (0.3) , (0.4) .
В главе II рассматривается уравнение
1lt= Д Vii * А Ц>(и)> (0.1)
где А -оператор Лапласа по переменным СС= (Я^ %*.), KL- і 2,)t.. .Подобные уравнения принято называть псевдопараболическими. Относительно функции Ч'Ср) делаются предположения, которые выполняются,например,если tp(p)= р AM > 5» (0*0).
Уравнения вида (о. Ц-) возникают в теории движения грунтовых вод при учете зависимости потенциала скорости от глубины.
При ifetOsedt fo(>o) уравнение (0,4) рассматривалось, например,в Г 8 ] , 4 0] ,где можно найти дальнейшие ссылки. В f ] при ММ доказаны существование и единственность ограниченного решения задачи Коши с начальной функцией,принадлежащей С* (R)(\ Wz f|R) .Здесь через С ^ C(R) обозначается пространство функций,имеющих в IK ограниченные непрерывные производные до второго порядка включительно,а через W, ClR) -пространство Соболева функций,квадратично сумми-
руемых на К вместе с обобщенными производными первого порядка. В [^0] доказаны существование и единственность ограниченного решения задачи Коши с начальной функцией,принадлежащей С^ \ ІК ) , W-~ i)1y.. .На основе развитого в [Ъ0>~\ метода верхних и нижних решений в [hO] решены также краевые задачи с граничными условиями двух видов.
Задача Коши и первая краевая задача в неограниченных областях для линейных псевдопараболических уравнений рассматривались, например, в [41J , [42] ; при этом допускался рост решений на бесконечности.
В главе II для уравнения (о.Ч) при произвольном П-1 Z .., доказывается ряд теорем о существовании классического решения задачи Коши с начальной функцией,неограниченно возрастающей на бесконечности.
В 2.1 приводятся постановка задачи и определения.
В 2.2 для уравнения (о.Ч) рассматривается первая краевая задача в Qcp - XL* (0,Т) с начальным условием
гі(3ї,0)а %(Х) »0 , XZSL (0.*)
и граничным условием
где St -ограниченная область в R , i - o\L V Si . Приводятся нужные для дальнейшего изложения свойства функции Грина G (ХМ) первой краевой задачи для оператора
в области .Обозначим через пространство непре-
-II-
рывных на множестве б функций.Введем пространство где IXі ~ ?)Х^ 2)Х^ 0^1*^1 Z. О = t
1 П. 7 > К'Н
При U0№ бС2(Л), ^icx,t) Cx't (ST) и выполнении условия согласования Ы0 (X) /^ce^XL" ^(^,0} доказываются теоремы существования и единственности решения задачи (0.8), (0.9). Теорема существования устанавливается с помощью метода верхних и нижних решений.Доказываются некоторые свойства решения: бесконечная скорость распространения возмущений,непрерывная зависимость от начальных и граничных условий,а также аналитичность по {, при более специальных предположениях.
В 2.3 рассматривается задача Коши в слое І1т=|\ * [ОДУ для уравнения (0,7) с начальным условием
U[XtO)= 4AJX) > О f (0.І0)
где Uо (X) С (|R J .Предполагается,что начальная функция Ыо (х) удовлетворяет неравенству
Под решением задачи (ОЛ), (0.10) будем понимать функцию К (Xj-t) Є С ' ( flTJ удовлетворяющую в Лт уравнению ( оЛ) и условию (О.Ю).
Обозначим через класс функций для которых выполняются следующие неравенства
где k , Ms » Mq -некоторые положительные постоянные. В 2.3 доказывается
Теорема 0.3. При достаточно малом / > О в слое iiy существует неотрицательное решение U (Х){ ) задачи (О.Ч), (ОАО) ,принадлежащее классу Л
Приводится пример,показывающий,что при предположении {ОЛі) решение,вообще говоря,не продолжается на произвольный промежуток изменения
В 2.4 получена нелокальная теорема существования решения задачи Коши для случая,когда неотрицательная начальная функция ІІ0[Х) Є С (IK ) подчинена неравенству
Ч!(ках))^пц [ит1),'\мч>о> о<<1.
В 2.5 доказывается,что решение задачи Коши для уравнения (O.J) с одной пространственной переменной единственно в классе Л .Единственность решения устанавливается с помощью метода Хольмгрена.Предварительно в прямоугольнике Q Єіо= (-;б ) * (OjL) ((>0)to>0) рассматривается вспомогательная линейная краевая задача,представляющая самостоятельный интерес
І{хС,і)=0} об І* і. t &.W
Здесь функция «(*,*> С(ёе,ДрОС*(К;*]] ,%(*()' 0.
Относительно знака функции аск^-Ь) не делается никаких предположений.Доказывается
Лемма 0.1. Существует решение
Основным результатом 2.5 является
Теорема 0.4. Решение задачи Коши (0-7), (O.jO) при
Yl~ Л единственно в классе Л?
В 2.6 доказывается разрешимость задачи Коши в сужающейся по направлению оси і. области для уравнения (О.Ц) с неотрицательной начальной функцией Ч0(Х) С (IR^) удовлетворяющей неравенству
Ч'(%[х)) Mg 0+/a:j*J^ Ms>0> f»i.
В главе III рассматривается уравнение
Д 1S(X) - р(Х) 9(tJ) = ЧЧХ), (0.15)
где іріж)є С (|Г), р(х)єС^ (!Hn-)io<^^)f>u)>a>o!
Д -оператор Лапласа по переменным Xа (Хл,... % п.). Относительно функции т(^) делаются предположения,которые выполняются, например, если Ч^С^)" №1 * ЯГ; W. >1 .В частности, функция Ф(г5") не предполагается дифференцируемой при tTя О .
К виду (0.45) заменой И=ФСіГ)з<П№ приводится урав-
нение
Д ^)- рсх)ц = {У(х))
описывающее стационарное распределение температуры в нелинейной среде с поглощением и источниками тепла.При этом для
Ф(гЛ » laJT^V получим 4>т)= іЬі\т'л и.
Для уравнения (0.15) изучается задача Дирихле в неогра
ниченной области 1 С R с граничным условием
№)|^«"в(я), (СПб)
где .При этом 'ЭХ! . может быть как
компактной,так и не компактной.
Квазилинейные уравнения эллиптического типа в ограниченных областях рассматривались,например,в [2^] ,где дана обширная библиография.
Ряд работ посвящен квазилинейным эллиптическим уравнениям в неограниченных областях.Уравнения вида (0.15) с р(Х)^1 изучались,например,в IkGl , [S8>] .При этом в tkGl предполагалось,что (// 7 (//^ ) п Ъ і ,а в [58] при К- Z, рассматривался случай,когда 4f(X) есть обобщенная функция типа плотности,соответствующей ограниченной мере. Задача Дирихле в неограниченных областях для широкого класса квазилинейных вырождающихся эллиптических уравнений исследо- ' вался вероятностными методами в Г Ъ%J .В каждой из этих работ данные задачи обеспечивали существование ограниченного или суммируемого решения.В f 2>^J доказана разрешимость задачи Дирихле для некоторых квазилинейных эллиптических уравнений в классе функций,стремящихся к нулю на бесконечности.Поведение на бесконечности решений квазилинейных эллиптических уравнений исследовалось,например,в [ZS], [33 J ,где можно найти дальнейшие ссылки.В [55] для линейных эллиптических уравнений в неограниченных областях изучалось влияние геометрических свойств области на классы единственности.Определение решения задачи (0.1S), (О. і С) дается в 3.1, где указываются также предположения относительно функции Ф> -,области XI и вводится класс функций 1 .Классу IM принадлежат,например, не прерывные в XL функции 1ГСЯ) удовлетворяющие
при достаточно больших значениях IXI неравенству
IV(X)l> с>о ? я є Л.
Под решением задачи (0.45), (0.1Є) будем понимать функцию 1Г(Я) Є С (Л) .удовлетворяющую уравнению (0.-J5) и граничному условию С 0. -1 б ) .
В 3.2 рассматривается задача Дирихле (0Л5) , (О. -16) в области Л с компактной границей ^Л .Предполагается, что функция р(Х)=.Л ,а функция WfX) удовлетворяет неравенству
где Пд и о^0 -некоторые положительные постоянные.Доказывается
Теорема 0.5. В области Л. существует решение задачи (0.15), [0,1<о) удовлетворяющее при некоторых положительных постоянных с(л и Mj0 неравенству
Решение задачи (0. А S), (о. Л 6) удовлетворяющее неравенству (0.4^) и принадлежащее классу Уі единственно.
Приводятся достаточные условия для принадлежности решения классу J\ .Строится пример,показывающий,что теорема 0.5 является в определенном смысле точной.
В 3.3 рассматривается задача Дирихле (0.45), (0.1) в области Л с некомпактной границей <)Л .Предполагается, что в уравнении (0.4 S ) p(X)s Л , Ц(X) н О а граничная функция 1Г0 (X) удовлетворяет неравенству
где і\Лл и о{^ -некоторые положительные постоянные.При этих условиях доказывается теорема существования и единственности решения задачи Дирихле (0.j5)t (СИ б) , аналогичная теореме 0.5.Приводится пример,свидетельствующий о точности полученной теоремы.Даются достаточные условия для принадлежности решения классу J\
Основным результатом главы III является приведенная в 3.4
Теорема 0.6. Пусть выполняются следующие соотношения:
IVD(x)l *
д^сп - рт [Щг\ + /^*)1 * о;
Ш-Л
при достаточно больших значениях /Ос/ ,
О<Ь(Х) «? (х)IXI
Здесь C'u (1 = -1,2.) -положительные постоянные,зависящие от функции
некоторые функции,а (#)—> О при /Л/ —* .Тогда существует решение задачи (0. -/5) , (0.1 б] удовлетворяющее неравенству
І1Г(Х)І <
Решение задачи (0.4 5 ), (0. А б) .удовлетворяющее (О. \ 8) и принадлежащее классу У( единственно.
Показывается,что если область _Q_ лежит в конусе и раствор конуса уменьшается,то происходит расширение класса единственности решения.
Поскольку в диссертации основное внимание уделяется условиям, касающимся роста решений,автор не стремился доказывать теоремы при минимальной гладкости данных.
Основные результаты диссертации изложены в работах
ГЮ] - Mb] .
Результаты диссертации докладывались на конференции "Функциональный анализ,дифференциальные уравнения и их приложения" в Московском университете в апреле 1983 г.,на совместных заседаниях семинара имени И.Г.Петровского и Московского математического общества в январе 1984 г.,а также на научно-исследовательских семинарах в Московском университете,Московском энергетическом институте и Университете дружбы народов.
Автор глубоко благодарен А.С.Калашникову за постоянную помощь и внимание к работе.
Существование обобщенного решения задачи Коши для уравнения, нелинейного относительно искомой функции
Здесь ф (р) -гладкая функция, Ф (р) О при От 0 , ф (0 = Ф(0 = 0 .Типичным примером функции Ф(р) ,для кото-рой выполняются налагаемые условия,является Ф(р)=[р1 Р , где Wl Ц ( для уравнения [ОА) УЛ 1 ).Уравнения вида (О. І) - (0.3) возникают в теории фильтрации,в нелинейной теории теплопроводности,а также в магнитной гидродинамике и динамике популяций.При нулевом значении решения или его производных уравнения (О. І) - (0. 2 ) вырождаются. Вследствие вырождения, вообще говоря,может не существовать классического решения задачи Коши даже при как угодно гладких начальных данных.
Обозначим через 3 (1= ,) классы функций іТ(Х}і) , удовлетворяющих почти всюду соответственно неравенствам Здесь 15 1 -обобщенные производные,постоянная М 0 может зависеть от 9(%) -заданная положительная функция,которая может как угодно быстро расти при /СС — . Уравнениям вида (СИ) - (0.3) посвящено большое число работ.Ниже приводится краткий обзор только тех работ,в которых исследовались существование и единственность решения задачи Коши. Существование и единственность непрерывного ограниченного обобщенного решения задачи Копій для уравнения (0.1) в полосе {(X}t): X /Я1 O t Tj произвольной ширины Т О при соответствующих предположениях об U о (Ос) впервые доказаны в Г 30] ( см. также Г 31], [ ЪА} ).Затем многими авторами исследовалась задача Коши для более общих нелинейных вырождающихся параболических уравнений в классах ограниченных или суммируемых с определенными степенями функций.Укажем, например. Однозначная обобщенная разрешимость в JC о задач (0.1) , [О.к) с непрерывной начальной функциейустановлена в [16], f 1 і? ] ; при 6=0 разрешимость доказана лишь для достаточно малых I 0 ,что связано с существом дела, как показывает пример из [ Z ] .Классы единственности обобщенных решений задачи Коши и краевых задач в неограниченных областях для уравнений (ОА) , (О. Z) и их многомерных аналогов исследовались в [ Z 9J .Для уравнения где Д -оператор Лапласа по переменным Х- ( ОС ) доказано (см. Е-И] ),что,как и в случае уравнения теплопроводности, неотрицательное непрерывное обобщенное решение задачи Коши в слое единственно без каких-либо ограничений на рост при /XI - . В работах fS3], Г 91 , Г5], [49] рассматривалась задача Коши для уравнений (0.1) , (0. Z) с обобщенными функциями в начальном условии.В Г4 ] изучалась задача Коши для уравнения Со.5) с начальным условием (0. ),где U0 есть плотность, соответствующая такой мере & ,что
Доказано существование обобщенного решения задачи Коши fo.5), (0.10 для 0 -fc ConSi/ frfle І к іь .Из результатов [1-і5] вытекает,что условие (0.6) необходимо для существования обобщенного решения задачи (0.S) , (О.Ц) в слое.В fS?J результаты 5] обобщены на случай нестепенной функции (f(tL).
Разрешимость задачи Коши при сколь угодно быстро растущей на бесконечности начальной функции для линейных параболических уравнений второго порядка с ограниченными коэффициентами изучалась в Г Ч] .В этой работе показано,что при произвольной начальной функции решение задачи Коши не может,вообще говоря, существовать в слое и построена сужающаяся относительно временной переменной неограниченная область,в которой решение существует.В статье [ 3] аналогичная область построена для линейного параболического уравнения любого порядка с растущими на бесконечности коэффициентами,а для уравнения второго порядка уточнена зависимость вида области от скорости роста начальной функции и коэффициентов уравнения.В главе I настоящей диссертации результаты типа полученных в [Н і], Г 4Ь] , доказываются для нелинейных вырождающихся параболических уравнений второго порядка.
В 1.2 доказывается разрешимость в сужающихся по направлению оси і областях задачи Коши (0.1), {ОМ) с начальной функцией,имеющей произвольный рост на бесконечности.Предполагается, что непрерывная начальная функция 1(0() 0 удовлетворяет неравенству
Существование, единственность и некоторые... свойства решения первой краевой задачи
В 1.2 доказывается разрешимость в сужающихся по направлению оси і областях задачи Коши (0.1), {ОМ) с начальной функцией,имеющей произвольный рост на бесконечности.Предполагается, что непрерывная начальная функция 1(0() 0 удовлетворяет неравенству а функция Ф(р) удовлетворяет условиям,которые выполняются, например,если ф(р)= р"1, № 1 (р 0).Пусть (г (Я) -непрерывная положительная ограниченная четная функция,невозра-стающая при Х 0 .Обозначим Q = {,-1): Жє R 0 t kcx)} и определим при f 0 четную функцию к ъ такую,что ll LX)- 1\(Х Ъ) при X "? О .Предположим,что при некотором Ув (D,A) для функций Й(%) и п(% ) выполняется следующее соотношение где постоянная щ О зависит только от функции .ДоказываетсяПри любом Ц 0 в области Wftoc существует непрерывное обобщенное решение ((3C;t) задачи Коши (0.-1) » (0.4) принадлежащее классу J fo .В тех точках QJ % , где 1((3?;і) 0 ,функция Ь( (X)h) имеет непрерывные производные,входящие в уравнение (СИ),и удовлетворяет ему в обычном смысле. Показывается точность теоремы 0.1. Пример построенный в Г 2» ],свидетельствует о том,что единственность в классе J\q при Q(X)- М- Xі) , 0 ,может нарушаться,если рассматривать задачу (0.-1),(0.4) в сужающейся по і области.Следовательно,на такие области не распространяется упоминавшаяся выше теорема единственности из Г51]. В 1.3 доказывается разрешимость в сужающихся по направлению оси і областях задач Коши (.2,),(0.4) и (0.2 ), (0.4) с начальными функциями, имеющими произвольный рост на бесконечности.При исследовании задачи (О.Я), (О.4 J предполагается,что начальная функция % (#) С удовлетворяет неравенству а функция ЧЧр) удовлетворяет условиям,которые выполняются, например,если 4?(p)=/Dlm" lp , W Z .Пусть при некотором V6 (О і) для функций Q(X) и п (90 справедливы следующие соотношения: где юз -положительная постоянная,зависящая только от функции У .Определим при Ъ 0 четную функцию Ь&М такую,что Іі Ш- к(Х 3$) при Х 0 .В 1.3 доказывается Теорема 0.2. При любом о 0 в области W s существует обобщенное решение задачи (0,2,), СОЛ) ,обладающее обобщенными производными Ux в / (Q ng) , U /, е ( Q г ) и принадлежащее классу Хд Показывается точность теоремы 0.2.Аналогичная теорема приводится для задачи Коши (0.3) , (0.4) . где А -оператор Лапласа по переменным СС= (Я % .), KL- і 2,)t.. .Подобные уравнения принято называть псевдопараболическими. Относительно функции Ч Ср) делаются предположения, которые выполняются,например,если tp(p)= р AM 5» (0 0).
Уравнения вида (о. Ц-) возникают в теории движения грунтовых вод при учете зависимости потенциала скорости от глубины.
При ifetOsedt fo( o) уравнение (0,4) рассматривалось, например,в Г 8 ] , 4 0] ,где можно найти дальнейшие ссылки. В f ] при ММ доказаны существование и единственность ограниченного решения задачи Коши с начальной функцией,принадлежащей С (R)(\ Wz fR) .Здесь через С C(R) обозначается пространство функций,имеющих в IK ограниченные непрерывные производные до второго порядка включительно,а через W, ClR) -пространство Соболева функций,квадратично суммируемых на К вместе с обобщенными производными первого порядка. В [ 0] доказаны существование и единственность ограниченного решения задачи Коши с начальной функцией,принадлежащей С \ ІК ) , W- i)1y.. .На основе развитого в [Ъ0 \ метода верхних и нижних решений в [hO] решены также краевые задачи с граничными условиями двух видов.
Задача Коши и первая краевая задача в неограниченных областях для линейных псевдопараболических уравнений рассматривались, например, в [41J , [42] ; при этом допускался рост решений на бесконечности.
В главе II для уравнения (о.Ч) при произвольном П-1 Z .., доказывается ряд теорем о существовании классического решения задачи Коши с начальной функцией,неограниченно возрастающей на бесконечности.
Теорема существования решения задачи Коши в области, сужающейся относительно временной., переменной
Отсюда,аналогично тому,как это сделано в [Я?,стр. 154-156] выводим,что семейство {Um} компактно в С \ ІГХ+А П.-М ) «Таким же образом устанавливаем компактность в С { Р п ) при L=KLr..}Z.C помощью диагонального процесса выделим из этого семейства такую подпоследовательность {Ут ], что для 1= 3,.,. справедливо соотношение: U (XjiW 1Л(Х) при т- оо равномерно в 2)Л5Е. (ІІ.АЧ)
Покажем,что функция К (Xjt) является обобщенным решением задачи [АЛА), [АЛЛ) .В силу [АХАЛ), (12.12) , [А.2АЧ) функция 1 (X,-fc) неотрицательна и непрерывна в области Q x а [ ( )]хе/, (Q J при любом Т 0 .Установим с помощью барьеров (см. [Ъ5 1 ),что If(Xft) іракці)) непрерывна при і 0 и удовлетворяет начальному условию lf(X}0) (Pft(0(X.)) .Пусть Х0 -произвольная точка.Введем вспомогательные функции -произвольная положительная постоянная постоянные оС , уб , /V , Л7 3 будут определены ниже.Сравним в прямоугольнике Ря fe,-8", ЗГ0- S ) ( }&) (б о ; -L0 О) ,лежащем в области O g ,функции 1Уп (X?i) и Z (a»}t) .Так как 1 ,а (:с) — 1Г0(х) равномерно на любом отрезке,то существует такое ЄҐ О ,что при достаточно больших значениях К если -некоторые положительные постоянные. Обозначим через /" часть границы прямоугольника Р , состоящую из нижнего основания и боковых сторон.Выберем постоянную M-jo, таким образом,чтобы
В силу (1.2.ІС), (1.Z.M) , (І.2Л) это можно сделать. По теореме сравнения,доказанной в [ 2 9 ,стр. 72-73 J , -28 из соотношений (i.Z.G) , (tZ.lS) , (1.Z.19) следует оценка Аналогично доказывается неравенство Вследствие произвольности 0?о и б и равенства (LZ.IS) из соотношений (1.Z.&Q)t (І. .ИЛ) получаем, что функция 1 7 #; і) непрерывна при "я О и удовлетворяет начальному условию Г1У(.Х)0)= if (tl0 (X)) , Докажем теперь справедливость интегрального тождества (1.1. В ) «Пусть 1 (;с ) 6 С -произвольная пробная функция в области QtabS и - настолько велико,что 1с%,ъ)=о при /а?/ и-1 .Функции uM (х}±) (т ъ) удовлетворяют в области уравнению (-1.1,-1) .Умножим уравнение (-/. 11) с Z(= Um на пробную функцию Пусть в некоторой точке CX0)ic) области У-fo-S" tf(U(X0lio)) ,где -некоторая положительная постоянная.Тогда в силу соотношения (1.2. АН) в некоторой окрестности точки СХ9 t0) при достаточно больших значениях &1К Как показано на стр. 155 работы f32J из (1.Z.Z1) следует,что во всех точках ц) »где (#/-0 О -29 функция U(%,i) имеет непрерывные производные,входя щие в уравнение (І1.1) ,и удовлетворяет ему в обычном смысле.Теорема І.2.І доказана. Замечание І.2.І. Пусть Q(X)= i 3dz .Тогда в теореме I.2.I можно положить іл(Х) = / ,где / 0 достаточно мало.Как показано в Г Я ] ,решение задачи И (Х}0) X Очевидно,оно существует лишь для /12. .Это свидетельствует о точности теоремы I.2.I.
Задача Дирихле для уравнения частного вида в неограниченной области с компактной, границей
Соотношений (2.$.-іо) , (2.$. Є) и свойств функции Грина, приведенных в 2.2,следует равномерная относительно I ограниченность по абсолютной величине функций У и Кц. на всяком множестве Q\ T »где V -произвольное фиксированное натуральное число, (. V .Продифференцируем по переменной $i (=41) уравнение (2. Ъ. S) . Это даст
Обозначим уе ( , ) = 1/ . ГЭС, ) .Тогда для функции Vc (Я, ) получим следующее уравнение
В силу /"2.3.1 о) и свойств функции Грина из этого равенства вытекает равномерная относительно С ограниченность по абсолютной величине функций И ( (%) ) і С = \...} VL ) на всяком множестве Q\JT V= 1,Z)U.., L V .Согласно теореме Арцела-Асколи из равномерной относительно ограниченности по абсолютной величине функций Hi Нц MtXi [(-= ..., 0 следует компактность последовательности и і J в С ( Q ) Диагональным процессом выделим из {Ut\ такую подпоследова -64-тельность { tuJ ,что для любого множества Q\yr (Ь =1;2,... ) к выполняется соотношение равномерно в QO,T . (2.3.12) Не уменьшая общности,можно считать,что соотношение (2.3.12) выполнено для последовательности {Ut .Проинтегрируем по переменной -L равенство (2. Ъ-5) .Получим t Пусть (3?;t) -произвольная точка слоя _ПТ ; V -такое, что (%,Ь )6 Qv т L V .Докажем справедливость равенства Зафиксируем произвольное 0 .в силу соотношений (2,2.4) , (2.1. ), (2.2.4 3), (2.3.10) существует такое /I/, О ,что при с АЛ Из (2.3,12) следует существование такого №г О ,что при Л4 U - (№0-ТОУШ ИД. (2.Ї.1С) Вследствие (2.2.?), (2.2.2) , (2.2.22) найдется такое /Vj О .что при -65 Из оценок (2.S.15)-(2.J.17) при 1 А/= та Л / ДЧ] выте кает неравенство t t оДе of которое доказывает справедливость 1г,ЪЛЧ).Переходя к пределу при с- = в равенстве {г.ЪЛЪ) и учитывая соотношения І1.1Л1) , (2.3.1z/),a также свойства функции Грина,получаем Отсюда следует,что tt(3»;o)= І0(Л).В силу (2.3,.-(0) и (2.2 .12) K( ,t ) 0 и выполнено неравенство (2.1. 2) .Продифференцируем (2.3.1 Я) по переменной "t .Это даст Докажем справедливость оценки где ]( -некоторая положительная постоянная.Вследствие (2.3).10), (2.2.?), (2.2.Я) существует такое Р 0 ,что -66 Здсь pi (1-1,1) -положительные постоянные, \J(X,y) -шар в R радиуса с центром в точке ОС .Из (2.ЗЛО), (2.2 . 49)» (2vS.2i) вытекает оценка (2.3.20) ,а из равенства (2-М9) получаем,что U(2,i) С ± (Лт) .Таким же образом, как в теореме 2.2.2,доказываем,что функция tf CX t ) С ( Д ) и удовлетворяет уравнению (2.1.1) .В силу (2. .(2) , (2.2,.20) и(3?,) К .Теорема 2.3.1 доказана. Замечание 2.3.1. Если в соотношениях (2.3.1), Г2.1.2) Ко( ) C lR 1) и Щ)Є С3 ,то в теореме 2.3.1 непрерывность функций U i (Xft) » ам f3?; ) » а» Х« ; ) ( с . л 1 ... }Vi) может быть установлена другим способом,как ниже в 2.6. Замечание 2.3.2. Легко проверить ( ср. [2J ),что решение задачи дается формулой л Это решение,очевидно,существует лишь для і [Щ М) .Из теоремы 2.3.1 также вытекает существование решения в П-р при Т (4ZM) .Это свидетельствует о точности теоремы 2.3.1, -67 2.4. Нелокальная теорема существования решения задачи Коши в слое. Рассмотрим в слое Пт задачу (2.4.4) , (2.4.5) с начальной функцией U0(X) С (tRK) удовлетворяющей неравенству Теорема 2.4.1. Пусть начальная функция Ио(Х) удовлетворяет неравенству І2.ЦЛ) .Тогда,каково бы ни было Т 0, в слое 1 т существует неотрицательное решение It (Ос,і) задачи [Л. А. А) , (Ц 5) ,для которого справедливы неравенство а также І2.Л.Ч) . Доказательство. Заметим,что в доказательстве теоремы 2.3.1 малость 1 использовалась только для построения верхнего решения tT (x}i) .Поэтому достаточно показать,что предположение (2.Ц.1) позволяет построить верхнее решение ЄГ+(;г,) задачи (2.3.5), (г.Ъ.Ь) при произвольном значении Т .Положим 1- t где Mj,= (о(л № л) } cX 4, будет выбрано ниже. В силу определения функции 5"+ (Э?} t) и соотношений І2. Ч, Л) t (2.4.2)
