Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Исследование разрешимости начально краевой задачи методом компактности 15
1. Обозначения и предварительные результаты 17
2. Постановка задачи и формулировка результата 21
3; Построение и оценка приближенного решения 23
4. Оценка производной по времени 29
5. Об одном результате о компактности 35
б. Предельный переход в интегральном тождестве 40
7. Доказательство единственности обобщенного решения и второй теоремы существования и единственности 44
Глава 2. Исследование разрешимости начальнокраевой задачи методом монотонности 46
1. Описание области и предположения 48
2. Описание пространств, постановка задачи и, формулировка результата 49
3. Предварительные результаты 51
4. Построение базисов и полных систем функций 56
5; Построение и оценка приближенного решения 63
6; Свойства нелинейного оператора Л (і) 67
,7. Предельный переход в интегральном тождестве и выполнение начального условия 73;
8; Ограниченность производной:по . Обоснование равенства
9. Единственность обобщенного решения 83г
Литература 86
- Об одном результате о компактности
- Доказательство единственности обобщенного решения и второй теоремы существования и единственности
- Описание пространств, постановка задачи и, формулировка результата
- Предельный переход в интегральном тождестве и выполнение начального условия
Введение к работе
Актуальность темы. Диссертация посвящена изучению разрешимости начально-краевых задач для некоторых квазилинейных вырождающихся параболических уравнений в нецилиндрических областях, а также разработке общих основ исследования существенно нелинейных уравнений в таких областях.
Первые результаты по линейным уравнениям теплопроводности в области с нецилиндрической границей получены в работах М. Жевре [70] и И:Г. Петровского [80]; В них рассматривалась смешанная задача для одномерного уравнения теплопроводности. В дальнейшем линейные задачи для уравнений параболического типа в нецилиндрических областях изучались В Л: Михайловым [45; 46], C.F. Крейном и Р.И. Лаптевым [32], В.И. Ушаковым [55], Р:Д. Алиевым [2; 3; 4],. А .Е. Шишковым [56]\ В.В: Куртом [33], В.В. Куртом и А.Е. Шишковым [35], М.О. Орынбасаровым [47], Ю.А. Алхутовым [5], Э.М: Карташовым [21; 22], P. Gannarsa, G. Da Prato, J .-P. ZoLezio [62] идругими математиками.
Краевые задачи для различных классов нелинейных нестационарных уравнений в нецилиндрических областях исследовались с точки зрения доказательств теорем существования, единственности в работах Ж.-Л. Лио-нса [75; 76], Н. Fujita, N. Sauer [69]j M.L. Nakao, Т. Narazaki [77], M.M. Лаврентьева - мл. [74], M. Idrissi [72], R. Dal Passo, M: Ughi [64], H. Gkochi [78]; B:B. Курта [34], А.Ф. Тедеева [54], Mi Bertsch, R; Dal Passo, В. Pranchi [60], J. Ferreira [66], J. Ferreira,. N.A. Lar kin [67], D.. Bainov, E. Minchev [58]; А.И; Кожанова [73], А.И. Кожанова, НА. Ларькина [27; 28], J. Ferreira,. M.A. Rojas-Medar [68]; R. Benabidallah, J. Ferreira [59], M.M; Bokalo, V.M. Dmytriv [61], C.H. Глазатова [13], ILB. Виноградовой [10], П.В. Виноградовой, А.Г. Зарубина [11] и других авторов.
Спектр применения краевых задач для уравнений параболического-типа в области с границей, движущейся во времени (нецилиндрические области), достаточно широк. Подобного рода задачи возникают: при изучении процессов горения в ракетных двигателях на твердом топливе [17], замораживания грунта [8], твердения бетона [50] у промерзания раствора [18]; при исследовании ряда проблем атомной энергетики и безопасности атомных реакторов [49; 79; 81], экологии и медицины [6; 44];.при решении некоторых задач гидромеханики [9; 16; 53], термомеханики (при тепловом: ударе [23 - 25], термическом разложении [43; 57], тепловой защите космических аппаратов;[48]) и такдалее.
Вместе с тем необходимо подчеркнуть, что практически изучены лишь законы движения, границы преимущественно для одномерных линейных задач теплопроводности; Что касается более сложных вопросов теории нелинейных вырождающихся параболических уравнений в нецилиндрических областях, то они мало изучены, нет общих методов доказательства существования и единственности решений. Следует, отметить некоторые трудности, возникающие при решении краевых задач для такого рода уравнений, а именно: сильную нелинейность дифференциального уравнения с частными производными, характер вырождения самого уравнения и, наконец, нецилиндричность области, в которой решается краевая задача, при отсутствии стандартных вспомогательных утверждений, предназначенных для ее решения. Поэтому развитие самих методов решения квазилинейных параболических уравнений с вырождениями на решений в области с нецилиндрической границей, представляется актуальным;
Цель работы. Развитие методов и исследование разрешимости начально-краевых задач для нелинейных вырождающихся параболических уравнений в нецилиндрических областях.
Методы исследования. В работе использованы методы функционального анализа, методы теории уравнений с частными производными: метод Фаэдо-Галёркина, метод компактности, метод монотонности. Используются: техника получения и применения априорных оценок, теория обобщенных функций, теория операторов, теоремы вложения, теоремы о следах;.
Теоретическая значимость и научная новизна. Работа носит теоретический характер. В диссертации получены следующие результаты;
- предложен подход к решению нелинейных краевых задач в областях с нецилиндрической границей без замены-переменных;
- доказаны теоремы существования и единственности решений;. для данного типа задач;
- развиваются методы компактности и монотонности для параболических уравнений на случай нелинейных операторов с изменяющейся со временем областью определения;
- установлены теоремы о полноте построенных в работе систем функций с "временным" параметром и систем попарных произведений этих функцией функций параметра в соболевских пространствах.
Основные результаты диссертации являются новыми и могут быть использованы в дальнейшем при изучении теории: нелинейных задач для параболических уравнений в нецилиндрических областях. Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на Международной конференции по неклассическим проблемам математической физики и анализа, г. Самарканд, 2000 г.; на III Международной конференции по математическому моделированию; г. Якутск, 2001 г.; на Дальневосточной математической- школе-семинаре имени академика Е.В. Золотова, г. Владивосток, 2000-2002 гг.; на краевом конкурсе молодых ученых и аспирантов 2002 г.; а также на научных семинарах "Дифференциальные уравнения" при Хабаровском государственном техническом университете (рук. д, ф.-м..н., проф; А.Г. Зарубин), в Хабаровском отделении ИПМД ВО РАН (рук. д. ф.-м;н., чл.-корр. РАН Н.В. Кузнецов), в институте математики СО РАН, г. Новосибирск, 2002: г. (рук. д. ф.-м:н., проф. А.И; Кожанов), на. научном семинаре "Численные методы" ВЦ ДВО РАН (рук. д. ф.-м. н., чл.-корр. РАН СИ. Смагин).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 9 работах. Список публикаций приведен в конце диссертации.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы. Общий объем; диссертации: составляет 96 страниц машинописного текста, подготовленных автором - в системе LATgX- Библиография включает 90: наименований. В диссертации принята следуюшая нумерация теорем, лемм, замечаний и формул: первая, цифра соответствует номеру главы, вторая - номеру параграфа, третья -порядковому номеру в этом параграфе. Нумерация приводимых во введении теорем совпадает с нумерацией, принятой в диссертации.
Благодарности. Автор благодарен научному руководителю Александру Григорьевичу Подгаеву за постановку задачи, полезные замечания и внимание к работе; участникам научного семинара "Дифференциальные уравнения" за поддержку, советы и замечания при первичной апробации результатов; гранту Федеральной целевой программы "Интеграция", проект А0028 за финансовую поддержку.
Об одном результате о компактности
Для обоснования предельного перехода в интегральном тождестве (1.3.1), определяющем wm, понадобится один результат о компактности, доказанный в [51. С. 137], и обоснование возможности его применения. Приведем формулировку этого результата. В нем F - множество функций, для которых выполнены равномерные оценки типа (1.3.11), (1.3.12), (1.4.9). Теорема 1. Пусть вложенил В1 С В\ компактны. Для любого р 1 множество F относительно компактно в пространстве абстрактных т функций и( ) с нормой ЦІ и \\\р — J \\u(t)\\pBt dt. Для соответствующих предельных элементов выполнено неравенство отштахЦи )!] С. В качестве В\ выберем пространства Іг(А)і а в качестве В1 - про о о о странства W\ (А), 1 V -2. W\ (A) C.W} (А) С Ь2 (А) и последнее вложение компактно. В теореме 1 [51] важную роль играет величина М («), которую возьмем в виде При каждом фиксированном t это есть некоторый функционал. Пусть ф() = J yja{rj)dr}, Замечаем, что Обозначим множество S\ = {$(x) Є W\ (Dt) : Л/і(і?) а}. В теореме 1 [51] предполагается, что 3 а при любом фиксированном t относительно компактно в В1 для любого a оо. Согласно обозначениям Итак, у нас есть равномерная по к ограниченность і9іх в г(А) и $i в Lp(Dt). Для простоты рассуждений можно считать последовательность функций {-#1 } ограниченной в W}(Dt), где s = тпгп(2}р) 1. Известно, что вложение W}(Dt) С С(Д) компактно [37. С84] и, следовательно, компактно в Ls(Dt). Так как {#і } ограничена в W}(Dt), то {$1к} относительно компактна в Ls(Dt), следовательно, из неё можно извлечь сходящуюся последовательность {$1 } в норме пространства Lg(Dt) и 0 - / почти всюду в Dt [12. С. 39]. Вспомним, что -д\ — -ф(-вхк).Л1о условию 5) теоремы 1.2.1 ф 1 существует и непрерывна, тогда l{"dk) = = дхк и так как д\ —У f почти всюду, то _1(i?i) —) "ф 1{І) почти всюду или Из определения Sg.следует, что равномерно по к Так как выполнены (1.5.1) и (1.5.2), то по лемме 1.3 [40. С. 25] $хк — -0-1(/) слабо в L2(Dt) и сильно в Lp(Dt) [39. С. 80]. Но дк равномерно ограничена в L 2(Dt)- Следовательно, по теореме 5.9 [12. С. 20] существуют такие подпоследовательность і? " и функция і? Е Ьг(А)) что дкп - слабо в L%(А). Итак, #tn —у $ слабо в 1 2(А) и dj"" - ф (/) слабо в Ь2{А). Очевидно, 0-1(/) = і? . Следовательно, і?д.Ьп — т? слабо в La (А), сильно в Lp(A) и Из оценки / [tf n - ti\pdx d{t) f tf/n - tix\pdxt где a() 0, еле-дует сильная сходимость {# "} в Lp(Dt). Заметим, что a(t) можно выбрать зависящим только от хг(Т) — і(Г). Лемма доказана.
Докажем теперь равностепенную непрерывность норм в В1 по параметру t на множестве F\ из теоремы 1 в [51. С. 136], т.е. что существует функция Tf(ti,t2), такая, что для всех элементов ит = ит1 — ит2, где ит1,ит2 Є ІЗ 1,, и всех t\ ti Здесь В данном случае использовано неравенство а? — 6? с(р) {а— Ь\ё. Так как жі (і) невозрастающая, a 3 ( ) неубывающая функции и t\ 2 s то жі(і) жі(іг) и Ж2( і) 2( 2)- Тогда правая часть в (1.5.3) перепишется так Далее воспользуемся неравенством (а + Ь)р 2? (а? + Ь?) для а О, Ь О [41. С. 493]. В результате правая часть последнего неравенства примет вид Так как функции xi(t),X2(t) непрерывны, очевидно, что ij( i,2) — 0 при t\ — 2 — 0 и не зависит от um1,wm2 из J \. Следовательно, на множестве F\ семейство элементов {итв } равностепенно непрерывно по І. Таким образом, условия теоремы 1 из [51] выполнены. Следовательно, есть сходимость некоторой подпоследовательности, которую снова обозна /Т . \1/р ЧИМ Через {lim}, Um{x,t)—У u(x t) ПО Норме и = (/]Мр((ЙІ , где р 1 произвольно. То есть Возьмем р — р. Получаем / / \итх — ux\pdxdt — 0. Тем самым есть сходимость итя. -»1 в Lp(QT). Поскольку есть сходимость в Lp(Qy), то существует ещё одна подпоследовательность, снова обозначенная через {ит}7 такая, что итх-- их почти всюду в Q?. Тогда в силу непрерывности функции а() делаем вывод о том, что а(итх) — а(их) почти всюду в QT Так как по условию 3) теоремы 1.2.1 a()[Pl С\ + сг 2, р\ 1, то использована оценка (1.3.12) леммы 1.3.1 на с. 28. Итак, / / \a{umx)\Pl dxdt с4 \\а{иШР1фт) Ч- (1-5.4) Тогда по лемме 1.3 в [40. С. 25] из условий а(итх) —) а(«к) почти всюду в QT И ja(«mx)UP1{QT) С4 следует, что а(итх) - а ) слабо в LPl(QT). Запишем интегральное тождество Умножим его на Ь,- (і) Є (0,Т), где g = таж (pi , 2) и 1/pi + l/pi = 1, просуммируем no j и і от 1 до fc и проинтегрируем по і от 0 до Т : для любого к m. Обозначим Fk(x, t) — Ё bi(t)u)j(x,t). Тогда имеем Перепишем последнее тождество в условных обозначениях Для 1\ воспользуемся оценкой Umt ЦІ2IQT) Afio, где {ит} именно та последовательность, для которой доказана сходимость итх к их в р(фг)-Извлечем из неё слабо сходящуюся подпоследовательность umf так, чтобы Перепишем І2 в виде После этого в (1.6.1) перейдем к пределу при m — оо, воспользовавшись (1.6.2) и слабой сходимосью а(итх) —У а(их) в LPI(QT)- Получаем о Так как {шу(ж, )} ортогональный базис вL%{Dt) и в ТУ (- () Лля всех и bf(t) Lq(0,T) (q 2) произвольные функции, то по теореме 1.1.2 получаем Итак, показано, что уравнение (1.2.1) на с. 21 выполнено в смысле этого интегрального тождества. Оно же выполнено в смысле распределений. Действительно, для любой функции ф Є CQ(QT)
Доказательство единственности обобщенного решения и второй теоремы существования и единственности
В настоящей главе изучается начально-краевая задача в многомерном случае для квазилинейного вырождающегося на решении параболического уравнения в нецилиндрической области. Как уже было отмечено вог введении, нелинейные краевые задачи в областях, граница которых зависит от времени, еще мало изучены. В некоторых имеющихся работах [58; 59; 66; 67] рассмотрены случаи, когда область "раздувается" исходя от цилиндрической равномерно по всем пространственным направлениям. Это означает, что с помощью замены = , у..= p(t)x уравнения сводятся к уравнениям в цилиндрической области, в которой решается преобразованная задача, а обратная замена дает решение исходной задачи. Для линейных уравнений третьего порядка типа вязкоупругости в одномерном случае для нецилиндрической области доказано существование решений задач в работах [26; 63], а в работе [73] - для простейшей нелинейной модели. В работе А.И. Кожанова и Н.А. Ларькина [27] для этих уравнений рассмотрен общий случай нелинейности при различных ограничениях на нецилиндрическую границу. Во всех этих работах доказательство также проводится с помощью замены, переменных сведением: уравнения к уравнению вjцилиндрической1 области. J. Ferreira и М. A. Rojas - Medar в, статье [68] исследовали- нелинейное гиперболическое уравнение в монотонно увеличивающейся- области без замены переменных. При доказательстве существования решения: начально-краевой задачи авторы использовали метод Фаэдо-Галеркина и метод штрафа, предложенный для нелинейных эволюционных задач в нецилиндрических областях впервые Ж.-Л. Лионсом в; [75; 76], а затем независимо Н. Fujita и N. Sauer [69]. Отметим, что в работах, использующих метод штрафа, исходная задача сводится к задаче в цилиндрической области введением соответствующего штрафа. При этом, однако, предполагается, что области Dt расширяются с ростом t и как правило начальные условия- однородные.. Изучению нелинейных параболических уравнений в нецилиндрических областях посвящены, например работы [10; 11; 13; 54; 61; 72]. В [54], используя идеи А.К. Гущина и результаты В.И: Ушакова [55], А.Ф. Тедее-вым исследована стабилизация слабых решений третьей смешанной начально-краевой задачи. В статье М.М. Bokalo, V.M. Dmytriv [61] изучена задача без начальных условий для квазилинейных параболических уравнений высокого порядка. R. Dal Pass о, М. Ughi в [64; 65] рассмотрели задачу Дирихле для одного класса вырождающихся нелинейных параболических уравнений и доказали существование слабого решения этой задачи. В работе В.В. Курта [34] сформулированы теоремы о единственности решений смешанной начально-краевой задачи для вырождающихся квазилинейных параболических уравнений в неограниченных нецилиндрических областях. Для оператора, аналогичного рассмотренному в данной главе, с аддитивной многозначной добавкой в статье Н. Gkochi [78] была изучена антипериодическая задача в области с нецилиндрической границей. Само уравнение рассматривается.как частный случай нелинейного эволюционного уравнения, связанного с некоторым субдифференциальным операто ром. Разрешимость задачи следует из полученного абстрактного результата.
В данной главе развивается идея исследования нелинейной задачи в нецилиндрической области без замены переменных и разрабатывается модификация метода монотонности на этот случай, предложен ряд необходимых для этого вспомогательных теорем о плотности систем произведений функций вида {cj(t)ujj(x,t)} в различных пространствах. Основные результаты этой главы опубликованы в работах [86 — 90]. существование решений задач в работах [26; 63], а в работе [73] - для простейшей нелинейной модели. В работе А.И. Кожанова и Н.А. Ларькина [27] для этих уравнений рассмотрен общий случай нелинейности при различных ограничениях на нецилиндрическую границу. Во всех этих работах доказательство также проводится с помощью замены, переменных сведением: уравнения к уравнению вjцилиндрической1 области. J. Ferreira и М. A. Rojas - Medar в, статье [68] исследовали- нелинейное гиперболическое уравнение в монотонно увеличивающейся- области без замены переменных. При доказательстве существования решения: начально-краевой задачи авторы использовали метод Фаэдо-Галеркина и метод штрафа, предложенный для нелинейных эволюционных задач в нецилиндрических областях впервые Ж.-Л. Лионсом в; [75; 76], а затем независимо Н. Fujita и N. Sauer [69]. Отметим, что в работах, использующих метод штрафа, исходная задача сводится к задаче в цилиндрической области введением соответствующего штрафа. При этом, однако, предполагается, что области Dt расширяются с ростом t и как правило начальные условия- однородные.. Изучению нелинейных параболических уравнений в нецилиндрических областях посвящены, например работы [10; 11; 13; 54; 61; 72]. В [54], используя идеи А.К. Гущина и результаты В.И: Ушакова [55], А.Ф. Тедее-вым исследована стабилизация слабых решений третьей смешанной начально-краевой задачи. В статье М.М. Bokalo, V.M. Dmytriv [61] изучена задача без начальных условий для квазилинейных параболических уравнений высокого порядка. R. Dal Pass о, М. Ughi в [64; 65] рассмотрели задачу Дирихле для одного класса вырождающихся нелинейных параболических уравнений и доказали существование слабого решения этой задачи. В работе В.
Описание пространств, постановка задачи и, формулировка результата
Далее понадобится семейство пространств Wp [Dt),t [О Т1], каждое из которых определено как замыкание гладких.финитных функций в Dt по норме Wp(Dt). Будем предполагать, что р 2, и поэтому для каждого t\ отождествляя г(А) с сопряженным пространством, получим о {Dt) —- \W (Dt)\ , причем каждое из вложений плотно в силу плот ности CQ(Dt) в Lp(Dt). Выберем в качестве нормы и Є W (Dt) величину Обозначим через {-,.") г двойственность между крайними пространствами цепочки, а через {{Д, q)) = f(h,q)tdt- значение функционала h на элементе пространства Lp(i; 1Уі,(Д)) = {1?: /ji9lp= d оо}. По-следнее - есть пространство вещественнозначных функций. Считаем, что скалярное произведение в L,2{Dt) согласовано с двойственностью между о пространствами Wlp{Dt) и W ,l(Dt), так что если h Є W }{Dt) П г(А) и о q Wp(Dt), то {Д,д)ї = J h(x,t)q(x)dx. В дальнейшем параметр і в угловых скобках, указывающей на зависимость области определения функционала k Є W »l(Dt) от параметра t, будем опускать. В области QT рассматривается уравнение Требуется найти решение и — w(x, і) данного уравнения, удовлетворяющее однородным граничным условиям на "боковой" поверхности S = U {dDt х і} и начальному условию при = 0. Пусть гіо Є г(А)) - заданная (начальная) функция. О: Определение 1. Функция и Є Lp(t;Wp(Dt)), такая, что vraimax jЇІІ2(Д) оо, называется обобщенным решением задачи, если для любой функции р Є CQ(0,Т) и любой функции F Є C1(QT), обращающейся (2.2.2) а для любых u)j{x,t)7 построенных ниже, выполнено условие Требование выполнения начального условия в смысле (2.2.3) взято в связи с тем, что решение u(x,t) не имеет следов при t = const по Соболеву (нет суммируемости щ), а для абстрактных функций со значениями в шкале банаховых пространств, когда пространства не упорядочены по включению в соответствии с параметром t, просто не имеется соответствующих теорем о следах. С другой стороны, это обобщение понятия начального условия требует обоснования его корректности. И ниже будет доказано, что при таком обобщении понятия начального условия теорема единственности в классе функций из определения 1 сохраняется. Основным результатом работы является нахождение условий и обоснование положений, которые обеспечивают обобщение метода монотонности для параболических уравнений на случай нелинейных операторов с изменяющейся со временем областью определения. На примере уравнения (2.2.1) показано как с помощью этого метода устанавливается, ТЕОРЕМА 2.2.1.
Если выполнены предположения на область Qx из параграфа 17 ограничения I- III на функцию а(), условия на начальную функцию и правую часть, то уравнение (2,2.1) имеет обобщенное решение u(x,t) в смысле определения!, причем функция {u(-, t),F( y t)) непрерывна по t Є [0; Т] для любой функции F из C1(QT), обращающейся в нуль на S. Для доказательства существования глобального на [0, Т] решения систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений с неоднородными начальными условиями докажем лемму, аналогичную лемме 4 [15. С. 67], в которой рассмотрен случай нулевых начальных условий. Ввиду отсутствия подходящих ссылок в случае неоднородных начальных условий для строгос абстрактных функций со значениями в шкале банаховых пространств, когда пространства не упорядочены по включению в соответствии с параметром t, просто не имеется соответствующих теорем о следах. С другой стороны, это обобщение понятия начального условия требует обоснования его корректности. И ниже будет доказано, что при таком обобщении понятия начального условия теорема единственности в классе функций из определения 1 сохраняется. Основным результатом работы является нахождение условий и обоснование положений, которые обеспечивают обобщение метода монотонности для параболических уравнений на случай нелинейных операторов с изменяющейся со временем областью определения. На примере уравнения (2.2.1) показано как с помощью этого метода устанавливается, ТЕОРЕМА 2.2.1. Если выполнены предположения на область Qx из параграфа 17 ограничения I- III на функцию а(), условия на начальную функцию и правую часть, то уравнение (2,2.1) имеет обобщенное решение u(x,t) в смысле определения!, причем функция {u(-, t),F( y t)) непрерывна по t Є [0; Т] для любой функции F из C1(QT), обращающейся в нуль на S. Для доказательства ти изложения приведем доказательство, аналогичное доказательству в [15] приспособленное на этот случай. ЛЕММА 2.3.1. Пусть c(t) = (ci(),...,с„()), с»() - вещественные функции, 0 t Т и вектор-функция F(c,t) определена и непрерывна для всех пар {с, t). Пусть, далее, для любых c(t) и любого t Є [0,Т] справедливо неравенство где постоянная та 0, k(t) О - непрерывная на [0,Т] функция. Тогда система нелинейных дифференциальных уравнений = F{c,t), дополненная начальным условием с(0) = со имеет при любом выборе.qj, гсо крайней .мере, одно решение на [0,Т], принадлежащее С1 [0,2і], Доказательство. Рассматриваемая задача для системы обыкновенных дифференциальных уравнений эквивалентна векторному уравнению
Предельный переход в интегральном тождестве и выполнение начального условия
Умножим тождество (2.5.1) на с. 63 на произвольные ay 6j(i), где bi(t) Є С [0,Т], и просуммируем по г и j от 1 до к Обозначим і (ж, і) = otijbi(t)u j(x,t). Очевидно, что і Є C QT)!"! ҐіСо(От)- Тогда имеем {umt,Fk} + ( 4( ) , Fjt) = (/, ). Умножая послед нее тождество на (p(t) Є Сх[0,Т] и интегрируя по і от 0 доТ, получаем Интегрируя по частям и используя свойство 3 леммы 2.3.2, имеем т + Перейдем к пределу по т - со, воспользовавшись леммой 2.6.1 для любой tp Є (7 Tj. Пусть p Є С(0,Г), тогда Из (2.7.2) следует, что Ф (і) = /«Fide имеет обобщенную произ водную по из Lp/(0,T). Поэтому ФА() непрерывна на [О,Г] и, следовательно, имеет след при t = 0 и t = X. Перебросим в (2.7.2) производную с у : В силу плотности CQ(О, Т) В р(0,Т) последнее равенство можно замкнуть и получить, что оно справедливо для всех р из Lp(0,T). После этого возьмем ір Є С1 [О, Г]. Тогда имеем: т т - J{juFk dx) p (t) dt + Фк(Т)(р(Т) - Ф (0)У(0) - Д/«П( k)v W Л + од од г + Сравнивая это тождество с (2.7.1), Учитывая, что ц Є Cl[0,T], и взяв вначале все такие р, для которых р{Т) = Г, р{0) — 0, приходим к следующему равенству для любого к: Аналогично, выбрав ц Є С 0, Т], для которых р(Т),= 0, р(0) — 1, получаем Выберем Fk = ti)k{x,і)- Воспользовавшись непрерывностью / uuj dx и соотношением (2.7.4), получаем для любого к при t — 0 Тем самым получаем в каком смысле принимаются начальные условия в задаче. (Так как система {w (a;,0)} полная в г(А)), то, если функция и непрерывна в Qr, нетрудно, используя это предельное соотношение, установить равенство и[х,0) = щ(х). Поэтому обобщение выполнения начального условия на выполнение его в таком смысле корректно). Пусть F Є C1(QT)- В силу плотности Fk (теорема 2.4.3) имеем Fk —» F о в Lp{t\ Wlp(Dt)) и Fkt —» Ft в -LP (QT) Тогда, учитывая следствие к теореме 2.4.3, при к-— со из (2.7.2) получаем для каждой р С (0,Т) и каждой F Є Wp p\{QT). Определение 4. nycmb.FeLp(t;Wi{Dt))nCl{QT),ueLp{t]Wi{Dt)y и р Є CQ(0,T). Назовем "функцию", которую обозначим ut) производной функции и по t} если для всех F и р из указанных классов выполнено тождество В данном определении можно считать, что F Є Lp(t;Wp (Dt))y а Ft 6 Lpi(t;W ,l(Dt)). Это можно сделать, в силу плотности вложений соответствующей цепочки, замыканием. При этом последнее слагаемое надо записать в виде )(Ft,u) pdt и учесть, что и Є Lp{t\ Wp(Dt)). Если и - решение (2.8.1), то в силу определения 4 Здесь использовано замечание 2.6.1 к лемме 2.6.1. При этом имеет т т место оценка / \(ut,F)\pdt сюі Ili lP. dt. Будем в этом случае писать, О 0 W%Dt) что щ ЄХр»(; Wptl(Dt)). Следовательно, для почти всех t щ PK fZ ).
Теперь, в силу теоремы 2.4.4 можно замкнуть тождество (2.8.1) на F : F G H(QT). Тогда, взяв F = к, получим для любой (р Є Со(0,Г) И, с другой стороны, используя определение 4, имеем {(р 6 CQ(0,T)) т.е. 2 J{ut u) p(t) dt = — /(/ u2 da?) () d. Следовательно, Из (2.8.3) следует, что равенству для любого к: Аналогично, выбрав ц Є С 0, Т], для которых р(Т),= 0, р(0) — 1, получаем Выберем Fk = ti)k{x,і)- Воспользовавшись непрерывностью / uuj dx и соотношением (2.7.4), получаем для любого к при t — 0 Тем самым получаем в каком смысле принимаются начальные условия в задаче. (Так как система {w (a;,0)} полная в г(А)), то, если функция и непрерывна в Qr, нетрудно, используя это предельное соотношение, установить равенство и[х,0) = щ(х). Поэтому обобщение выполнения начального условия на выполнение его в таком смысле корректно). Пусть F Є C1(QT)- В силу плотности Fk (теорема 2.4.3) имеем Fk —» F о в Lp{t\ Wlp(Dt)) и Fkt —» Ft в -LP (QT) Тогда, учитывая следствие к теореме 2.4.3, при к-— со из (2.7.2) получаем для каждой р С (0,Т) и каждой F Є Wp p\{QT). Определение 4. nycmb.FeLp(t;Wi{Dt))nCl{QT),ueLp{t]Wi{Dt)y и р Є CQ(0,T). Назовем "функцию", которую обозначим ut) производной функции и по t} если для всех F и р из указанных классов выполнено тождество В данном определении можно считать, что F Є Lp(t;Wp (Dt))y а Ft 6 Lpi(t;W ,l(Dt)). Это можно сделать, в силу плотности вложений соответствующей цепочки, замыканием. При этом последнее слагаемое надо записать в виде )(Ft,u) pdt и учесть, что и Є Lp{t\ Wp(Dt)). Ju2dx имеет производную из Li(0, Т). Отсюда А функция / и2 dx непрерывна и имеет след при t — 0. Dt Теперь установим более общий результат. ЛЕММА 2.8.1. Пусть u,F Є H(QT)- Тогда (F,u) — J Fudx имеет Dt суммируемую производную no t, функция J Fudx непрерывна no t и cnpa Dt e едлива формула
