Введение к работе
Актуальность темы. В работе рассматриваются два круга
задач, тесно связанных между собой. Задачу первого типа состоят в исследовании поведения решений диффвреіщиальїшх уравнений с частными производными при больших значениях аргументов. Задачи второго типа относятся к дифференциальным уравнениям с малым ларамотром при старших производных. Выяснение асимптотики решений этих задач при стремлении малого параметра к нулю играет большею роль в различных областях математики, механики, физики и техники. Асимптотика решений подобных сингулярно возмущенных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений изучалась в работах Н.К.Боголюбова, Н.М.Крылова и Ю.А.Митропольского, В.Вазова, А.Н.Тихонова, А.Б.Васильевой А.А.Дородницына, Л.С.Понтрягина, Е.Ф.Мищенко, Н.Х.Розова и многих других математиков.
В теории уравнений с частными производными особенно интенсивное развитие асимптотические методы получили в последние два три десятилетия. Первые достижения по обоснованию и развитию метода пограничного слоя связаны с именами Н.Левинсона, о.А.олейник, М.М.Вишика, Л.А.Люстерника.'
Позднее нншшие исследователей привлекли более сложные, так называемые бисингулярные задачи. Строгое математическое обоснование асимптотики решений бисингулярных задач для уравнений с частными производными было проведено в работах М.Ван-Дайка, Л.Френкеля, В.Зкхзуза, В.М.Бабича, М.В.Федорюка, A.M.Ильина, В.Г.Мазьи и их учеников. Асимптотика решений многих бисингулярных задач математической физики изучена в работах В.П.Маслова и его учет-асов. Угловые пограшчные слои изучались В.Ф.Бутузовым и его учениками.
Бисингулярные краовые задачи для дифференциальных уравнений с частными производными характерны тем, что после перехода к новым, растянутым переменным в малой окрестности особого многообразия естественным образом возникают новые краевые задачи уже без малого параметра, но в неограниченных областях. И оказывается
необходимым изучение асимптотики решений при больших значениях независимых переменных. Таким образом приобретают значительную актуальность и задачи первого типа. Детальное выяснение асимптотики решений этих задач на бесконечности дабт возможность применить метод согласования и получить равномерную асимптотику решений уравнений с малым параметром. Но, кроме того, . задачи первого типа несомненно имеют и собственную математическую ценность. В данной диссертации изучаются краевые задачи для эллиптических уравнений в конических областях и задача Коши для параболических уравнений при больших значениях времени.
Поведение набесконечности решений эллиптических уравнений исследовалось в работах О.А.Олейник, М.С.Аграновича, М.И.Вишика, В.А.Кондратьева, Л.А.Багирова, В.Г.Мазьи, С.А.Назарова/ В.А.Козлова. Однако , объектом исследования в основном являлся случай, когда младший оператор - это либо эллиптический оператор порядка 2ш0 > 0, либо оператор нулевого порядка. В этом случае при г —> со вдали от границ рассматриваемой области решение исходной задачи ведёт себя как решение уравнения, соответствующего младшему оператору, удовлетворяющее части граничных условий, а в окрестности границы к этому решению добавляются функции типа погранслоя
Рассматриваемое в диссертации уравнение, т.е. случай, когда младший оператор - это оператор первого порядка, имеет специфический характер. На бесконечности его решение близко к решению некоторого параболического уравнения. Кроме того, структура асимптотических разложений зависит от взаимного расположения границы рассматриваемой области и характеристик предельного оператора .
Для параболических уравнений метод согласования применяется для изучения асимптотического поведения фундаментального решения (ФР) задачи Коши при больших значениях времени.
Поведению решений. различных задач для линейных параболических уравнений при t —» «> посвящено большое число работ. Основным содержанием этих работ является изучение вопросов стабилизации решений задач Коши или краевых задач. Изучалась зависимость поведения решений при больших значениях t ( скорость стабилизации, равномерность стабилизации ) от рассматриваемых
областей, коэффициентов уравнений и начальных функций. Сюда прежде всего следует отнести работы А.К.Гущина, В.П.Михайлова, Ф.О.Порпера и С.Д.Эйдельмана, а также Т.И.Зеленяка Л.А.Багирова, М.А.Шубина , А.М.Ильина и Р.З.Хасьминского литература , посвященная исследованию поведения ФР, менее обширна. В работах О.А.Олейник, В.В.Жикова, С.М.Козлова рассмотрены параболические уравнения с периодическими коэффициентами и получен главный член асимптотики ФР при t —» со . Непосредственно к теме исследования относятся работы М.Мюраты. В работе Л.Д.Эскина методами теории вероятности построен главный член ФР задачи Коши для уравнения диффузии с младшим членом.
В работе Д.Р.Яфаева исследовано асимптотическое поведение при t -» к, & задачи Коши для параболического уравнения в случае медленного убывания коэффициента при неизвестной функции.
В диссертации при определенных условиях на поведение коэффициентов при |х| -» * методом согласования построены и обоснованы асимптотические представления ФР при t —» « .
Цель работы. Целью диссертации является исследование
.асимптотического поведения решений краевых задач для уравнений с "частными производными в неограниченных областях, а также использование полученных результатов для получения асимптотических . разложений решений краевых задач для эллиптических уравнений с малым параметром при старших производных в областях с коническими точками.
Метода исследования. Основным методом исследования является
метод согласования асимптотических разложений , с помощью которого определяются асимптотики решений в разных подобластях. Систематически используется качественная теория уравнений с частными производными и обыкновенных дифференциальных уравнений. В третьей главе диссертации важную роль играет преобразование Лапласа и связанные с этим метода теории фунций комплексного
А.М.Ильин. Согласование асимптотических разложений решений 'краевых задач .:Наука, 1989, 336 с.
переменного.
Научная новизна. Результаты, полученные в диссертации,
являются новыми. В ней
1.Построены и обоснованы полные асимптотические разложения на бесконечности для решений эллиптических уравнений в тех случаях, когда главной составляющей оператора на бесконечности является дифференциальный оператор первого порядка.
2.Построены и обоснованы полные асимптотические разложения по малому параметру . для решений, сингулярно возмущенных эллиптических уравнений в областях с коническими точками.
3.Построены и обоснованы полные . асимптотические разложения фундаментальных решений параболических уравнений при больших значениях времени, равномерные относительно пространственных переменных.
Теоретическая и практическая ценность. Исследования,
проведенные в работе, имеют, прежде всего, теоретическое значение. Это связано с тем обстоятельством, что полученные в ней результаты носят законченный характер в том смысле, что построены и обоснованы асимптотики решений с точностью до произвольной степени малого параметра, рассматриваемого в данной задаче. Это может быть числовой параметр (как в главе II), величина, обратная радиусу, либо обратная времени.
С другой стороны, как полученные в работе конкретные результаты, так и разработанные в ней методы, могут быть успешно использованы при качественном анализе и при численном решении прикладных задач. Главный член асимптотики указывает на правильный порядок искомого решения и помогает контролировать численные расчеты. А при достаточно малых значениях параметра один или два члена построенных асимптотических разложений позволяют относительно легко и намного проще, чем при расчетах на ЭВМ, получить и правильные численные значения.
Апробация работы. Результаты диссертации неоднократно
докладывались на совместных заседаниях Московского математического общества и семинара им. М.Г.Петровского, на семинарах А.Ф.Сидорова, в МММ УрО РАН, В.М.Бабича в ЛОМИ РАН, О.А.Олейник в МГУ, В.П.Михайлова в МИ РАН и на других семинарах,-
на всесоюзних п международных конференциях.
Публикации. Результаты, изложенные в диссертации,
опубликованы в работах [1-15].
Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения,
трбх глав, разбитых на параграфы, и списка литературы, содернащего 135 наименований. Объем работы составляет 218 страниц машинописного текста.
