Наилучшее приближение аналитических функций в пространстве Бергмана Лангаршоев Мухтор Рамазонович

• О неравенстве А.А.Лигуна между наилучшими приближениями и модулям непрерывности высших порядков для классов функций, принадлежащих пространству Вр, 1 < р < 2
• Наилучшие полиномиальные приближения аналитических функций в пространстве Бергмана
• Определение значения поперечников классов аналитических функций в пространстве Бергмана
• Определение классов функций в пространстве Бергмана. Приближение классов функций

Введение к работе

Диссертационная работа посвящена нахождению точных значений различных поперечников компактных классов аналитических в единичном круге функций в пространстве Бергмана. Общеизвестно, что в экстремальных задачах теории приближения функций большую роль играют точные неравенства, позволяющие установить новые связи между конструктивными и структурными свойствами функций. Поэтому в последнее время интенсивно изучались неравенства, содержащие оценки величины наилучшего приближения функции посредством модуля непрерывности высших порядков в различных пространствах аналитических функций. Отметим, что наиболее подробно вопросы приближения аналитических функций и вычисления поперечников классов функций изучены в пространствах Харди. В этом направлении укажем на основополагающие работы К.И.Бабенко [3], В.М.Тихомирова [30], Л.В.Тайкова [29], Ж.Т.Шейка [44], В.И.Белого [4], М.З.Двейрина [13], Н.Айнуллоева и Л.В.Тайкова [2], С.Б.Вакарчука [7], М.Ш.Шабозова [34], М.Ш.Шабозова и Х.Х.Пирова [38,39], М.Ш.Шабозова и Г.А.Юсупова [42], М.Ш.Шабозова и О.Ш.Шабозова [40,41].

В данной работе мы изучаем вопросы наилучшего приближения классов аналитических в единичном круге функций алгебраическими комплексными полиномами в пространстве Бергмана В_р, 1 < р < со и вычисляем точные значения бернштейновского, колмогоровского, линейного и проекционного поперечников некоторых классов функций, определяемые модулями непрерывности высших порядков. Первые работы, в которых за-

тронуты вопросы нахождения точных значений поперечников в пространстве Бергмана, являются недавно опубликованные работы С.Б.Вакарчука [8-11]. Основной целью данной работы является:

4. Указать новые точные неравенства между наилучшими приближениями аналитических в круге функций алгебраическими комплексными полиномами и усредненными модулями непрерывности высших порядков производных в пространстве Бергмана В_р, 1 < р < со.

5. Нахождение точных значений наилучших приближений конкретных классов аналитических в круге функций в пространстве Бергмана.

6. Вычисление точных значений бернштейновских, колмогоровских, линейных и проекционных поперечников некоторых компактных классов аналитических в круге функций.

Полученные в работе результаты имеют как теоретическое, так и при-кладное значение. Они могут быть реализованы в задачах определения є— емкости и є— энтропии компактных классов аналитических в круге функций.

Основные результаты диссертации обсуждались на семинарах по теории приближения функций в Хорогском госуниверситете (Хорог, 2000-2005 гг.), на семинарах по вопросом теории функций в Таджикском государственном национальном университете (Душанбе, 2001-2005 гг.), на международной конференции "Развитие горных регионов в XXI веке"(Хорог, Таджикистан, 26-29 августа 2001 г.), на научно-теоретической конференции, посвященной 10-летию Хорогского госуниверситета (Хорог, 26-28 октября 2002 г.), на республиканской научной конференции "Комплексный анализ и неклас-

сические системы дифференциальных уравнений", посвященной 75-летию со дня рождения академика АН РТ А.Д.Джураева (Душанбе, 16-октября 2007 г.),на международной конференции "Сингулярные дифференциальные уравнения и сингулярный анализ "посвященной 80-летию академика АН РТ Л.Г.Михайлова (Душанбе, 29-30 мая 2008г).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [21-24,36,37].

Диссертация состоит из введения, двух глав, списка цитированной литературы из 44 наименований и занимает 88 страниц машинописного текста. Для удобства в диссертации применена сквозная нумерация теорем, лемм, следствий и формул. Они имеют тройную нумерацию, в которой первый номер совпадает с номером главы, второй указывает на номер параграфа, а третий на порядковый номер теорем, лемм, следствий или формулы в данном параграфе.

Во введении дается краткая характеристика изучаемой проблемы и приведены основные результаты работы.

В первой главе диссертации изучаются аппроксимативные и структурные свойства аналитических в единичном круге функций

f(z) = c_kz^k, z = pe^lt, 0

в метрике пространстве Бергмана В_р, 1 < р < оо с конечной нормой

/1 гг \i/p !l Рг \^1/Р

ll/k = (- // l/WN = Ь / / \f(pe^lt)^PPdpdt\ < оо. (1)

\\<1 \ 0 0 J

В первом параграфе главы I приведены необходимые для дальнейшего определения и факты из общей теории наилучшего приближения в нор-

мированных пространствах. Пусть г— целое положительное число. Через f(^r\z) = d^rf/dz^r обозначим обычную производную, а символом fjf\z) := = дf\pe^lt) Idt^r, 0 < p < 1 обозначим производную г—го порядка по аргументу t функции f(z). При этом

Ш = f'(z) z'_t = f'(z) zi,

и для г > 2 полагаем:

_/i^r)_{w = {/i-}¹⁾_w}l

В пространстве B_p, 1 < р < со введем понятие модуль непрерывности первого порядка равенством

а,(/,*)„ := u(f,t)_Bp = su_P||/(pe^⁺-)) - f(pe^)\\_Bp =

|Л|<<

1 2тг

\1/Р

⁽

1 і р \

(2)

- /(ре*^+Л>) - /(ре^й) рф<Й
^о о ' /

Аналогичным образом определим модуль непрерывности второго порядка функции f(z) Є В_р, 1 < р < ос

w₂(/,*) :=W2(/,*)b_p =

= sup{|/(pe*^+2/l)) - 2/(pe*^+/t)) + /(ре*) , |Л| < Л. (3)

При то > 2 величину

Um(f,t)_p :=Wm(f,t)_Bp = Sup||A_m(/; ;;Ь)\\в_р =

\h\

(l \²f\ Р

= sup - / / A_m(/; p, и, h) pdpdu

\h\7Г і і I

(4)

A_m(f;p,u,h)=Y: (-l)*C*/(pe*

fc=0

J(u+kh)\

- разность m-ro порядка функции f(pe^lt) по аргументу t, назовем интегральным модулем непрерывности 771-го порядка функции f(z) Є В_р,1 < р < оо. Множество всех комплексных полиномов степени < п — 1 обозначим

п-1

k=0

Величину

l/p

EuU)b_p = inf

Pn-1 Є 7Vl

-jj\f(z)-p_n^(z)\*do

^П D J

назовем наилучшим приближением функции f(z) Є В_р, 1 < р < оо подпространством полиномов Vn-\- В этом параграфе доказана

Лемма 1.1.1. Если функция f(z) Є Вч и производные f\z) и z^r f^^r\z) также принадлежат пространству В<і, то справедливы равенства

оо }Лг

\и\

(5)

иЖ\і)в₂ = 2^т8ир\

k=0 к + ±

⁰⁰ oi.

cu²_m(z^rf(^r\t)_B2=2^msup<

Т,ТГ^Ы\1-С0Бки)^тМ<^

k=0 ^fc + і где, ради краткости, в(6) полооїсено

(6)

С*Ь

= к(к - 1)(к - 2) . (к - г + 1) = к\{(к - г)\}~\ к>г.

Во втором параграфе доказано одно общее неравенство типа неравенства А.А.Лигуна [25] между наилучшими приближениями аналитических в единичном круге функций алгебраическими комплексными полиномами и усред-

ненными интегралами, содержащими, кроме модулей непрерывности высших порядков, также положительную весовую функцию i/j(t).

Пусть Bp,(r = 0,1,2,---,1 < р < оо)—множество аналитических в единичном круге функций f(z) Є В_р, 1 < р < со, у которых производная *^Г/^(Г)М Є В_р, 1 < р < оо, то есть B^r_p = {f(z) Є В_р : \\z^rf^\\_Bp < 00} .

Имеет место следующая

Теорема 1.2.1. Пусть для аналитической функции f(z) Є В^, 1 < р < 2 производные z^r f^(z) ф const и, кроме того, z^rf^{-^r\z) ЄВ₂. Тогда для любых натуральных га, п, г, (п > г) и ф{) > 0, 0 < t < h справедливо неравенство

¹ _< ^ЕпШв_р 1 ,_ч

' ''/<&№)*№* »^<~ ^k*^w

4$ «О = 2 /(1 - cos Ы)^тф№, (8)

о _ajtr = fc(fc - 1)(& - 2) (к - г + 1), к > г.

В третьем параграфе речь идет о наилучшем полиномиальном приближении аналитических функций f(z) Є В_р, 1 < р < 2, структурные свойства которых определяются модулями непрерывности т—го порядка. Основным результатом данного параграфа является

Теорема 1.3.1. Пусть для произвольной функции f(z) Є В_р, 1 < р < 2 производные z^rf(^r\z) и f^\z) принадлежат пространству В₂.

Тогда для всех натуральных т, п,г (п > г), О < h < ir/n справедливы неравенства

En{f)_Bv <

( h

< 2-^т1²а-}<

f h

f(l-cosnt)^mdt\ I juj²_n{z^rf^;t)_B2dt

1/2

_№

En(f)_Bp <

1/2

-1/2

Г л

(10)

< 2-/² . n-^r j /(1 - cosnt)^mdt\ fu;²_m(fP;t)_B2dt
I о J U

которые являются точными при р = 2, в том смысле, что для функции fo(z) = zⁿ Е B

Следующая теорема является обобщением известных результатов Н.И.Черных [33], Н.Айнуллоева [1], Х.Юссефа [45] для классов аналитических функций, принадлежащих пространству В^.

Теорема 1.3.2. Если у функции f(z) Є В_р, 1 < р < 2 ее производные fji\z) и z^rf(^r\z) принадлеоюат В%, то при любых натуральных т, п, г, (п > г), 0 < h < 7г/п справедливы неравенства

( h 1 V2

( h

п' <

Еп(Лв_р <

₂ш/2

J(l-cosnt)^msm^-tdt

1/2 ^;

(И)

1/2

E_n(f)_Bp <

₂m/2.

jJi{z^rf^{r)\t)B₂sm^tdt

' h

OL_nr\

n J(l-cosnt)^msm^tdt

1/2-

(12)

При р = 2 существует функция fo(z) Є В<і, для которой в неравенствах (11) и (12) имеет место знак равенства.

В четвертом параграфе для множеств аналитических в Вч функций, у которых производные f^{z),z^rf^^r\z) Є ?2, введена и изучена экстремальная характеристика типа С.Б.Вакарчука и А.Н.Щитова [12].

Через Бр^,а (г = 0,1, 2,...; 1 < р < со) обозначим множество аналитических в единичном круге функций f(z) Є В_р, 1 < р < со, у которых і—я производная по аргументу f\z) Є В_р, 1 < р < со,

ЄР = {/(_г)єВ_р:||/Г||_Вр<оо}.

Для выяснения аппроксимативных свойств функции f(z) Є Вр и f(z) Є Вр^,а введем следующие экстремальные характеристики, которые содержат модуль непрерывности т—го порядка не только под знаком интеграла, но также

и вне интеграла:

К,г,т№ = ^SUP ІЄВГ

в.

^2rE²_n{f)

0J²J^m(fi^r\t)_B2 + n* /(* - т)шЦ^т(№, т)_В2аІт

m;

(14)

, (15)

M_n^_m(t) = SUp

feB^r₂

«^/nV/^(r), *)В₂ + П* J(t - T)uJ²J^m(z^rf^\r)_B2dT

о где 0 < t < п/п. Имеет место следующая

Теорема 1.4.1. Пусть т,п,г (п > г)—произвольные натуральные числа. Тогда для любых , удовлетворяющих условию О < t < 7г/п, имеют

место равенства

-2m

(16)

M{Ml_r>m(t) :0inf{M_n,_r,_m(t) : 0 < t < ir/n} = <к~^2т

и верхняя грань в равенствах (14) и (15), совпадающие с правой частью (16), реализует функция fo(z) = zⁿ Є В^, {fo{z) = zⁿ Є Во).

Из этой теоремы непосредственно вытекает

Следствие 1.4.1. Для любых , удовлетворяющих условию 0 < t < 7г/п, выполняются неравенства

1 ^Еп(Лв, 1/1 1\">

(пі)*». al - Д<(_г"/М;і)_В2 - ^ ' УЩЇ + 2І ' ⁽¹⁸⁾

В пятом параграфе найдено значение наилучших полиномиальных приближений через усредненные модули непрерывности более низких порядков, задаваемые во всем пространстве В_р, 1 < р < оо. Этот результат является обобщением и распространением известных результатов Н.П.Корнейчука [20] для периодических дифференцируемых функций, принадлежащих классу W^H", и Л.В.Тайкова [28]для аналитических функций, принадлежащих пространству Харди Н_р,1 < р < оо на случай аналитических в круге функций, принадлежащих пространству В_р, 1 < р < оо.

Теорема 1.5.1. Для любых натуральных чисел п и г (г < п) и любой функции f(z) 6 В_р, 1 < р < оо_; у которой fff\z) Є В_р, 1 < р < оо, справедливо точное неравенство

E_n(f)_Bp < -^ / ши^];1)_ВроИ. (19)

^п о

Равенство достигается для функции fo(z) = zⁿ Є В_р, 1 < р < оо.

В шестом параграфе речь идет о наилучшем приближении аналитических функций в весовом пространстве Бергмана. Рассматриваются аппроксимативные свойства аналитических в единичном круге функций

/(*)= T,c_kz*_tz = pe^lt,0в пространстве Бергмана В_РЛ, 1 < р < оо с конечной нормой

/1 rr \Vp (і і²? Y^/P

* = f-//7(N)l/WI^P^) = [-J jpi{p)\f{pe^lt)\^pdpdt\ < oo,

'P.7

'У<і V 6 б У

где 7(Іг|)—неотрицательная измеримая функция и интеграл понимается в смысле Лебега, da—элемент площади.

Теорема 1.6.1. Для любой функции f(z) Є В<і^ справедливо точное неравенство

1 7Г/П

1/2

о J J Mrf^CA/M^sinriM

(20)

ади₇ <

о о

м равенство в (20) достигается для fo(z) = zⁿ Є #2,7-

Вторая глава состоит из трех параграфов и в ней рассматривается задача определения значений поперечников различных классов аналитических функций. В первом параграфе введены определения поперечников классов аналитических функций.

Пусть X—банахово пространство и ЯЛ—некоторое центрально-симметричное множество из пространства X. Величины

Ь„(9Я, X) = sup{sup{e > 0 : eS f] L_n+1 С Ж} : L_n+1 С X}, (21)

d_n(M, X) = inf{sup{inf{\\f - _x : tp Є L_n} : f в Ж} : L_n Є X}, (22)

А_П(9Я, X) = inf{inf{sup{\\f - Af\\_x :feM}:AG C}L_n С X}, (23)

тг_п(9Я, X) - т/{т/{вир{||/ - Af\\_x : f Є 9Я}Л Є C^L} : L_n Є X}, (24)

где 5—единичный шар в пространстве X, L_n С X—произвольное п— мерное подпространство, С := С(Х, L_n)— множество всех линейных ограниченных операторов, отображающих X в L_n, С¹- := С^(Х, L_n)— подмножество проекторов из (Х, L_n) называются соответственно бернштейновским, колмого-ровским, линейным и проекционными поперечниками.

Вышеперечисленные поперечники монотонны по п и для них выполняются неравенства

^ъ_п^{{<т,х) < d„{m,x) < х}_п^{(<т,х) < ж}_п^(т,х).

(25)

Во втором параграфе второй главы для любых целых положительных r,m и 0 < h < п/п найдены наилучшие приближения следующих классов аналитических функций, которые определяются модулями непрерывности высших порядков

Bh,m

/6B₂:/^7«;tWt

fir _

и fEB₂: fu²_m(z^rf^-t)_B2 sm^tdt < 1

>.

Если Ф(^), ^{h) и fl(h)—произвольные возрастающие при h > 0 функции такие, что 1гтФ{К) = Ф(0) = 0, ИтЯ>{Ь) = Ф(0) = 0 и ІітПІК) = Q{0) = 0, то

h—>0 h—»0 h—>0

введем также в рассмотрение следующие классы функций, которые задаются

мажорантами Ф(/і), Ф(/і) и Q(h)

_B^r_h,mm

feB₂:Jul{z^rf^_]t)_BJt<^{h)\
о J

_{*U№ =}

fEB₂: Ju²_m(z^rf^;t)_B2 sin^cft < Ф(Л)

_{#U^) =}

/ Є 2 : o;^(z7^(rU)B₂+(f)²/(^-r)a;^(^/^(r),r)_B2dr < Q²/^m(h)

^п о

В случае, когда модуль непрерывности т—го порядка под знаком интеграла задается производной функцией по аргументу, соответствующие классы функций обозначим символами

&Сп = \fB₂:ju>l(№-t)_B2dt

B^rCn = \feB₂: /а(/«;t)_B2 sin\tdt < 1

*%(*) =

/єВ₂:/^(/«;^<Ф(/і),

J%m« = |/ Є S₂ : julUP-t)_B2 - віп^Л < Ф(Л)

_{*u«) =}

/ Є ВТ : Є(/(^ги)в₂+(^)²/(й-г)Є(/і^Г^)_В2^ < n²'^m(/0

Основным результатом второго параграфа второй главы является

Теорема 2.2.1. Дри всез; натуральных т,п_}г и 0 < h < тг/п справед-

ливы равенства

п{В^Тн,т)в₂ = 2^_ш а~_г J_nm(h),

(26) (27)

n(8^rH:jB₂ = 2--n-^r-j:_m(h), (28)

п№,_т)в₂ = 2~^m a~_r^l J:_m(h). (29)

Равенства в соотношениях (26)u (27)соответственно достигаются для функций

/l(z) = л/^ТТ [2~^т П~^Г J_n,_m{h)) Zⁿ

f₂(z) = v^+T {2"^m a~} J_n,m(h)) zⁿ, а в соотношениях (28) и (29) для функций

№) = v^n. {2-. n-^r j:_m(h)} л

fi(z) = V^+l - {2- a-,¹ JZ_tm(h)} Л

Jn,m(h) = J'sin² ~dt .0

-1/2

.Wi-

ll . 1 -¹/²

/ sin^2m — sin _Tfcft
10 ^{2 Л} J

Из этой теоремы вытекает

Следствие 2.2.1. J9 условиях теоремы 2.2.1 при h = п/п вытекают

равенства

п№ж/п,т)в₂ — *

п(.Щг/п,т)в₂ — '

1/2

2~^ш т\

(2т -1)!! J п»-¹^'

1/2

\/п

а.

2~^т т! (2т-1)!!

Ьп\Ръ1п,т)В2 ~ 2^т\

т + 1 1

771+1 у/її

Аналогичным образом доказывается

Теорема 2.2.2. При всех натуральных т,п,г и 0 < h < ir/n справедливы равенства

п(в%п(*))в₂ = 2-^т п-^г J_n,_m(h)*W, (30)

4К,_т(Ф))_В2 = 2- а"¹ ,7_п>т(Л)Ф(Л), (31)

^(4) = 2"^т п~^г JZ_tm(h)*(h), (32)

^№,_т(Ф))в_а = 2"^т а",¹ #,_т(Л)*(Л). (33)

Равенства в соотношениях (30)-(31) достигаются соответственно для

функций

h(z) = VWTl {2~^т n~^r - J_nttn(h) Ф(Л)} ^

&пг

/₄(z) - v^TI {2-^т а"¹ J_n>m(h) Ф(Л)} zⁿ, а в соотношениях (32) и (33) для функций

ft(z) = V^TT {2-- - n-r Jl_m(h) Ф(Л)} z\

fl(z) = ч/гТ+Т {2- - a'} X_)m(h) Ф(Л)} *».

В завершающем третьем параграфе второй главы мы рассматриваем задачу о вычислении поперечников классов функций, введенных в первом параграфе. Имеет место следующая

Теорема 2.3.1. При всех натуральных т,п,г и 0 < h < тг/п справедливы равенства

7n№^am> ^В2) = 2-^mn-^rJ_n,_m(h) = 2-^mn-^r{fsin^2m ^-dtV^l/2,

Ut , 1 -1/2

sin*"'

Tit . 7Г . 1 ^_1/²

7»К_>т,1Щ = 2-a-}j_n,_m(h) = 2-^ma-j{jsm^2m "-dt}

7n(^;, B₂) = 2~^mn-r Jl_m(h) = 2-п-^гУ sin²- у sin ^tdt) ln{Bl^B₂) = 2-^ma^j:_>m(h) = 2-^ma^y_Sm^fsmTThidiy^1/2,

где 7n(-)~~ любой из поперечников &„(), d_n(-), A_n(-) и 7г_п(-).

Все поперечники реализуются частными суммами Тейлора

п-1

T_n-i{f',z) = 53 ^ckZ разлооюения функции f(z) в единичном круге \z\ < 1.

fc=0

Если положить

"^п/п nt

_/

ИТ sin^2m — dt,

о ²

^/^п nt п

Jm,n(^/n)= / Sin^2m — Sin -tdt,

О ^l V

(1 — cosnt) = \(1 — cosni)^m, если nt < 7Г; 2^m, если nt > 7гк то при выполнении некоторых дополнительных условий относительно мажоранты Ф(и) справедлива следующая

Теорема 2.3.2. Пусть для произвольного /і Є [0; 1] и для всех А > 0 и и Є [0;7г] функция Ф(и) удовлетворяет условию

Ф²(/ш) |(1 - cosv)dv < Ф²(Хи) |(1 - cosv)^mdv.
о о

Тогда для всех натуральных чисел m, n, г справедливы равенства

7»(3&(Ф), В₂) = 2-^тП-^ГФ(ц7г/п)^_т(»7г/п),

1п{В^г_н>т(Ф), В₂) = 2-^та^Ф(^7г/п)^_т^ж/п),

где 7п(")^— любой из поперечников 6_n(-),n(-), Л_п(-) и тг_п(-). Все вышеперечисленные поперечники реализуются частными суммами Тейлора T„_i(/;z) =

п-1

= ]С ^ck^z разложения функции f(z) в единичном круге \z\ < 1. fc=o Теорема 2.3.3. Справедливы равенства

7n№,^a_m«,i?₂) = 2"^тп-^_>т(Л)Ф(Л),

7п№_)т(^ф)'⁵2) = 2-^m^j:,_m(h)V(h), где 7п(')^— любой из поперечников b_n(-), d_n(-), \_п(-) и 7Г_П(-). 5се поперечники

п—1 ,

реализуются частными суммами Тейлора T_n-i[f;z) = CkZ^K разложения

к=0

функции f(z).

Теорема 2.3.4. Для любых натуральных чисел т, п, г(п > г) справедливы равенства

tn(B'^_m(Cl),B₂) = _7г».(4/^-1)_п-(4т/_ІЧг)₎

где 7п(")^—любой из перечисленных п—поперечников (21)-(24)-

О неравенстве А.А.Лигуна между наилучшими приближениями и модулям непрерывности высших порядков для классов функций, принадлежащих пространству Вр, 1 < р < 2

Доказательство достаточно провести для г = 1, поскольку все остальное следует из (1.5.2). Отметим, что теорема 1.5.2 доказывается при помощи того же оператора, с помощью которого доказали теорему 1.5.1.

Точность (1.5.17) на функции fo(z) = zn Є 5р, 1 р оо проверяется непосредственным вычислением. Теорема 1.5.2. полностью доказана. Неравенства типа (1.5.3) и (1.5.9) впервые в 1961 г. доказаны Н.П. Корнейчуком [20] для класса 27Г- периодических дифференцируемых функций /(яг) с выпуклым модулем непрерывности и (/ ,t)c в метрике пространства непрерывных функций С[0,27г]. Аналогичное неравенство без предположения выпуклости для граничных значений аналитических в круге функций в пространстве Харди Нр, 1 р оо доказал в 1976 г. Л.В. Тайков [27]. 1.6. О наилучшем приближении аналитических функций в весовом пространстве Бергмана

В последние годы в теории приближения интенсивно изучались задачи наилучшего приближения алгебраическими полиномами в различных банаховых пространствах функций. Например, вопросы, связанные с нахождением точных неравенств между наилучшими приближениями и модулями непрерывности различных порядков, изучались в пространстве Харди Нр, 1 р оо (см., например, работы [2], [7], [27], [38] и литературу, приведенную в них) и в пространстве Бергмана [35]. Для других пространств аналитических функций подобные результаты нам неизвестны. Здесь изучаются аппроксимативные свойства аналитических в единичном круге функций /М = , z = реи, 0 р 1 к=0 в метрике пространства Бергмана ВРЛ, 1 р со с конечной нормой НЯк, = (//7(М) №)№)j оо, (1.6.1) где 7(N)—неотрицательная измеримая функция и интеграл понимается в смысле Лебега, da—элемент площади. Как и в параграфе 1.1, множество комплексных полиномов степени не выше п обозначим через Vn, а величину

Наилучшие полиномиальные приближения аналитических функций в пространстве Бергмана

В предыдущей главе мы доказали целый ряд теорем о нахождении точных значений наилучших приближений аналитических в единичном круге функций комплексными полиномами в пространстве Бергмана В2. Иными словами, нами были найдены точные неравенства, связывающие значения наилучших приближений аналитических в единичном круге функций комплексными полиномами с интегралами, содержащими модули непрерывности высших порядков производных функций.

В этой главе, основываясь на полученных в первой главе результатах, сначала определим класс функций, а затем на этих же классах вычислим точные значения различных поперечников.

Как правило, задача о точном вычислении поперечников решается в два этапа. Сначала устанавливается оценка сверху путем приближения классов функций подпространством полиномов заданной степени, а затем доказывается, что никаким другим подпространством той же размерности нельзя лучше приблизить данный класс. Что же касается оценки снизу поперечников, то здесь разработанный В.М.Тихомировым метод является основным.

Отметим, что в пространстве Бергмана Вр, 1 р со известно очень мало результатов о точном вычислении значений поперечников, и только недавно появились некоторые результаты в этом направлении. К числу таких результатов относятся работы А.Пинкуса [26, стр.108], С.Б.Вакарчука [8], О.Ш.Шабозова и Ш.Абдулофизова [43], М.Ш.Шабозова [35].

В этом параграфе излагаем необходимые определения и обозначения, которыми будем пользоваться в дальнейшем.

Пусть X—банахово пространство, S—единичный шар в этом же пространстве, дЛ—некоторое выпуклое центрально-симметричное множество из X, Ш С X. Ln—произвольное п—мерное линейное подпространство из X, (Х, Ln)—множество всех линейных ограниченных операторов, отображающих X в Ln, X - Ln. CL{X, Ln)—подмножество проекторов из С(Х, Ln). Требуется найти следующие аппроксимационные величины: - наилучшее приближение элемента f подпространством Ln; - приближение фиксированного множества дЯ С X подпространством Ln в - наилучшее приближение множества 9Я С X линейными операторами в про странстве Х\ = inf{sup{/ - Л/Их : / Є Ж} : Л С Х(Х, Ln)} (2.1.4) - наилучшее приближение множества Ж С X проекторами в пространстве X. Очевидно, что для величин (2.1.2) - (2.1.4), согласно определению, выпол няется соотношение называют соответственно бернштейновским, колмогоровским, линейным и проекционным поперечниками. Наряду с отысканием величин (2.1.6) - (2.1.9), естественный интерес представляет отыскание тех подпространств ЬП} на которых реализуются соответствующие нижние грани. Такие подпространства называют экстремальными подпространствами. При вычислении указанных поперечников будем использовать их монотонность поп, а также непосредственно вытекающее из соотношения (2.1.5) справедливое для любого центрально-симметричного множества 9Я в любом банаховом пространстве X. Приближение классов функций Выше мы уже отметили, что для вычисления поперечников (2.1.6) -(2.1.9) в пространстве Бергмана В2, исходя из результатов, полученных в первой главе, прежде всего находим класс функций, которые определяются модулями непрерывности высших порядков. В этом параграфе для любых целых положительных г, т и О h п/п введем в рассмотрение следующие классы аналитических функций из пространства В2 :

Определение значения поперечников классов аналитических функций в пространстве Бергмана

В этом параграфе мы докажем одно общее неравенство между наилучшими приближениями Еп(/)вр, 1 р 2 аналитических в единичном круге функций f(z) 6 Вр, 1 р 2 алгебраическими комплексными полиномами и интегралами, содержащими модули непрерывности высших порядков с положительным весом ф{Ь). В частности, из этого неравенства, вытекают все известные ранее результаты.

С этой целью обозначим через Вгр, 1 р со множество аналитических функций f(z) Є Вр, 1 р со, для которых выполняется неравенство /(r)lk оо, 1 р со, то есть В; = {/( ) Є Вр, \\zrfU(z)\\Bp со}. Имеет место следующее общее утверждение.

Теорема 1.2.1. Пусть для аналитической функции f(z) Є Вр, 1 Р 2 производные zrf(r\z) ф const и, кроме того, zrf (z) Є Ві. Тогда для любых натуральных т,п,г(п г) и ф{) 0, 0 t h справедливо неравенство Доказательство. Общая схема приводимого ниже доказательства заимствована из статьи А.А.Лигуна [25], в которой рассматривается аналогичная задача для 27г—периодических дифференцируемых функций, у которых производная г—го порядка fW(x) Є L2[0,2TT]. Чтобы получить оценку сверху в неравенстве (1.2.1), заметим, что в силу определения модуля непрерывности га—го порядка, с учетом равенства (1.1.10), справедливо неравенство Таким образом, для произвольной f(z) Є Щ /w2(z7w,i)B (t)d "(/)s! - inf АГЛФ) (1 2 3) п к оо откуда с учетом неравенства Хаусдорфа-Юнга En(f)Bp En(f)B2, 1 р 2 (1.2.4) следует оценка сверху. Оценка снизу вытекает из того факта, что для функции fo{z) = zn Є Вр: 1 р 2 справедливо неравенство Из (1.2.3) и (1.2.5) следует неравенство (1.2.1) и этим завершается доказательство теоремы (1.2.1). Из теоремы (1.2.1) непосредственно вытекает Следствие 1.2.1. Если для любых натуральных т, п = 1, 2,... и г 0 (п г), для заданного ф{) 0 выполняется соотношение inf л$№ = 43JW, (1-2.6) то справедливо экстремальное равенство SUD (/) = 1 Г1 2 7) J ш\?fv\t)Bjl (t)dt в котором верхняя грань реализуется функцией fo(z) =/6 5г. Из равенств (1.2.6) и (1.2.7), как частные случаи, можно получить различные результаты. Сформулируем ряд утверждений Следствие 1.2.2. Пусть т = 1, п г, ip(t) = luO t h ТГ/П. Тогда справедливо равенство sup %/) = 1 . ". . 4. (1.2.8) Jco2(zrf \t)B2dt Доказательство. При fc п г и t(t) = 1, 0 і /і ж/п будем иметь: ЛЙ(1) = 2а»,/(1 - coskt)dt = 2al(h - ) = О smkh\ _, о /. sinn/r и таким образом (1.2.8) доказано. Отметим, что равенство (1.2.8) для функций f(z) Є #2 Ранее доказано другим путем в работе О.Ш.Шабозова и Ш.Абдулофизова [43]. Следствие 1.2.3. Пусть т = 1, п г, h = тг/п, ф{Ь) = sinnt. Тогда имеет место равенство n k oo fc "V n,n/nK У J и тем самым равенство (1.2.9) доказано. Мы ограничимся этими частными случаями. Отметим, что все вышеприведенные результаты сохраняют силу и для аналитических функций f(z) б 3 , у которых / в2 Приводим лишь формулировки результатов, поскольку их доказательство по сути не сильно отличается от изложенной выше схемы.

Определение классов функций в пространстве Бергмана. Приближение классов функций

Неравенство (1.2.1), доказанное в предыдущем параграфе, является наиболее общим для наилучших приближений аналитических функций f{z) Є Вр, 1 р 2 для произвольных суммируемых весовых функций ф{Ь) 0. Именно в силу своей общности неравенство (1.2.1) может выявить структурные и конструктивные свойства всего класса аналитических функций {f{z)} Є Вр посредством модулей непрерывности т—го порядка производной f(r (z). Поэтому приходится довольствоваться тем, что при каждом конкретном ф(і) указанные свойства можно полностью охарактеризовать. Имеет место следующее утверждение: Теорема 1.3.1. Пусть для произвольной функции f(z) Є Вр, 1 р 2 производные zrf(r\z) и fff {z) принадлеснсат пространству B i. Тогда для всех натуральных т, п, г(п г), 0 h тт/п (1.3.2) 2-/2 - n-r /(1 - cosntrdt\ Ju;2m(tir);t)B2dt I о J U которые являются точными при р = 2 в том смысле, что для функции fo(z) = zn Є Въ неравенства (1.3.1.) и (1.3.2.) обращаются в равенство. Доказательство. Докажем, например, неравенство (1.З.1.). Пользуясь определением модуля непрерывности 771-го порядка (1.1.17) с учетом равенства 1 1 2?г оо 2 -/ J\Am(zrf ;p,u,t\2pdpdu = 2 Е fjN 1 - cos ) 1 2тг 2 Ця О о k=r + доказанного в лемме 1.1.1, получим h h ., 1 27Г ju2m(zrf )B2dt /{- J J \Am(zrfV;p,U,t)\2pdpdu}dt 0 0 00 = 2m E Т ГтЫ /(1 - сов fc )m ft 2m E TT L /(1 - совЛ )1» Cfc О fc=n Л" + - о Докажем, что функция натурального аргумента h oo i . 2 E 0 k=nk + - 0 Итак, нами установлено, что /і h с /о&( 7(г); Ьа й 2т Е Т ГГ« г /(1 - cos )" . y,(fc) = a2kr /(1- cos H)md = о ей. (1.3.3) = [k(k - l)(fc - 2)...(k - r + 1)]2 /(1 - cos fa)m ft, (1.3.4) 38 для значений п к оо является строго возрастающей. С этой целью установим, что для к п производная ip {к) 0, из чего следует, что тт{(р(к) : п к оо} = ip(n). Дифференцируя (1.3.4), получим d 2 ip\k) = at Е Т — /(1 - cos kt)mdt + a\r f -(1 - cos kt)mdt. (1.3.5) s=0 « — s о о Заметив, что й(1--«)" = ! (1-сое И)», вычислим последний интеграл в (1.3.5) Л 7 -і h 7 -. /г dk к JQ dt к 0 f —(l-coskt)m = - ft- — (1-cos kt)mdt = h( 1-cos kh)m-- f (1-cos kt)mdt. J ah к J at к J Подставляя полученное равенство в (1.3.5), имеем: p (k) = a2krh{l - coskh)m + 4Г{Е І т) /(1 " coskt)mdt О, что и требовалось доказать. Таким образом, min{ (A;) : п к оо} = p(n) = ar j (1 - cos nt)mdt. (1.3.6) о Из (1.3.3) с учетом равенств (1.3.6) и (1.1.10) следует, что Ju2m(zrf \t)B2dt \2ma2nrJ(l-cosntrdt\ Е іхт = О І 0 J к=п К + L 2ma2nr j{1-cos nt)mdt ЕЛЛв2, (1.3.7) откуда имеем: i2/ К{1)ъ 2ma2nrJ(l - cosn )meft ju2m{zr r\t)B2dt- (1-3-8) 39 В силу неравенства Хаусдорфа-Юнга En(f)B, En(f)B2il p 2 из (1.3.8) следует (1.3.1). Докажем, что в (1.3.8) для функции fo(z) = zn Є В? имеет место знак равенства. В пункте 4 параграфа 1.1. (формула 1.1.22) мы доказали, что "2m(zrf!f\t)B2 = 2т - -(1 - cosntr. f Ь I А. Подставляя это равенство в правую часть (1.3.8), находим h ( h I co2m(zrf , t)B2dt 2ma2nr /(1 - cosnt)mdt = —Ц-Uma2nr(1 - cosnt)mdt\x h ]-1 1 x\2ma2nr f(l-cosnt)mdt\ = . (1.3.9) С другой стороны, согласно лемме 1 из работы [14], имеем: -, 1 2тг КШв, = "& = -/ fp2"+1pdpdt = fo о (1.3.10) -І о 1 _ 1 7г" 2n + 2 n + 1" Из (1.3.9)-(1.3.10) вытекает утверждение о точности оценки (1.3.8) для функции fo(z) = zn Є В2. Этим теорема 1.3.1 полностью доказана. Следствие 1.3.1. В условиях теоремы 1.3.1 для произвольной функции f(z) Є Вр, 1 р 2 справедливы неравенства Mfh, т\ 7г-2т(2ш-1)!! 1/2 а пг 7Г/П J u2m(zrf ;t)B2dt . о 1/2 \ , (1.3.11) 40 En(f)Bp ml 7r-2m(2m- 1)!! 1/2 rf 2 п/п f "l(Ar);t)B2dt . о 1/2 (1.3.12) 7Г Доказательство. В неравенствах (1.3.1) и (1.3.2), полагая h = — и п вычислив интеграл Тт/п 7г/п nt\m om+1 т/2 ./ т О (1 - cos nt)mdt =/(2 sin2 —) ft = о 8 V 2; n і m! получим неравенство (1.3.11) и (1.3.12). Теорема 1.3.2.Если у функции f(z) Є Вр, 1 р 2 ее производные f r\z) и zrf(r\z) принадлежат Вч, то при любых натуральных т,п, иг (п г) 0 h тг/п справедливы неравенства h } lo Еп(Лвр 2m/2 1/2 h J /О4(/ІГ); Ь28ІП Л n 71 J(l-cosnt)msm dt 1/2 : (1.3.13) 1/2 Еп(ЛвР 2m/2. fu2m(zrfV;t)B2sm tdt h QW /(1 - cos nt)m sin dt 1/2 (1.3.14) TTpw p = 2 существует функция fo(z) Є 52, для которой в неравенствах (1.3.13) и (1.3.Ц) имеет место знак равенства.

Похожие диссертации на Наилучшее приближение аналитических функций в пространстве Бергмана

Теоремы продолжения для пространств функций, определяемых локальными приближениями Шварцман Павел Анатольевич

Наилучшее приближение аналитических в круге функций в пространстве Харди Юсупов Гулзорхон Амиршоевич

Аналитическая продолжимость функций и рациональные приближения в некоторых пространствахМочалина Екатерина Павловна

Наилучшее полиномиальное приближение аналитических в круге функций в пространстве ХардиДжурахонов Олимджон Акмалович

О совместных приближениях решениями эллиптических уравнений в пространствах обобщенных функций Воронцов Артем Михайлович

Наилучшее приближение и значения поперечников некоторых классов функций в пространстве Харди Hp,1p xМиркалонова, Мохирамо Мирафгановна

Классификация пространств бэровских функций, пространств непрерывных конечнозначных функций и свободных периодических топологических группГензе, Леонид Владимирович

Характеристические свойства некоторых операторов гармонического анализа в весовых пространствах функций ограниченной средней осцилляции и пространствах ХардиФам Тиен Зунг

Вложение пространств функцийАльперин, Михаил Исаакович

Интегральные операторы в пространствах функций на однородных группах и на областях RnГулиев, Вариф Сабирович