Квазидифференциалы в пространствах Канторовича Басаева Елена Казбековна

Содержание к диссертации

Введение

1. Предварительные сведения 17

1.1. Пространства Канторовича 17

1.2. Теорема Хана — Банаха — Канторовича 21

1.3. Двойственность Минковского 26

1.4. Дезинтегрирование опорных множеств 32

2. Квазидифференциальное исчисление в .ЙТ-пространствах 36

2.1. Квазидифференцируемые отображения 36

2.2. Квазидифференциалы супремума и инфимума 44

2.3. Квазидифференциал композиции 50

2.4. Дезинтегрирование квазидифференциалов 56

3. Необходимые условия экстремума в квазидифференцируемых векторных программах 67

3.1. Необходимые условия идеального оптимума 67

3.2. Учет ограничений типа включения 77

3.3. Необходимые условия обобщенного экстремума 83

Литература 88

• Теорема Хана — Банаха — Канторовича
• Квазидифференциалы супремума и инфимума
• Дезинтегрирование квазидифференциалов
• Учет ограничений типа включения

Введение к работе

Негладкий анализ — раздел современного анализа, изучающий недиффе-ренцируемые функции аналитическими средствами — на сегодняшний день вполне сложившееся и быстро развивающееся направление математики, имеющее многочисленные приложения к математическому моделированию разнообразных задач современного естествознания. Традиционным полем приложений негладкого анализа является теория экстремальных задач.

В исследованиях общих негладких оптимизационных задач значительное внимание принято уделять поиску удобных локальных выпуклых аппроксимаций для достаточно широких классов функций и множеств. Разными авторами изобретено множество локальных выпуклых аппроксимаций: производные У. Дини и Ж. Адамара (см., например, [15, 21]), конусы Ж. Адамара, Г. Були-гана и Ф. Кларка [21, 30], субдифференциал Ф. Кларка [25] и субдифференциал Ж. Пено [62], шатры В. Г. Болтянского [7], контейнеры Дж. Варги [8], аппроксимация первого порядка Л. Нойштадта [60], ЛМО-аппроксимации Е. С. Левитина, А. А. Милютина и Н. П. Осмоловского [34, 35], верхние выпуклые (нижние вогнутые) аппроксимации Б. Н. Пшеничного [41], — вот далеко не полный перечень используемых аппроксимаций. Вместе с тем нет универсального, пригодного для любых классов задач, типа локальной аппроксимации. Различные локальные выпуклые аппроксимации дополняют друг друга, причем для изучения разных конкретных классов задач могут оказаться более удобными любые из имеющихся типов локальных аппроксимаций.

Тот факт, что субдифференциал характеризует локальное поведение выпуклой функции играет ключевую роль в современном выпуклом анализе. Становление современного выпуклого анализа началось в 1960-е годы, прежде всего под воздействием теории экстремальных задач, развития методов оптимизации и математической экономики. Выпуклый анализ как самостоятельное направление сформировался во многом благодаря вкладу В. Фенхеля [51], Ж.-Ж. Моро [58] и Р. Т. Рокафеллара [43]. Основные понятия и результаты, а также важнейшие приложения выпуклого анализа и изложены в обзоре В. М. Тихомиро ва [45]. Многочисленные приложения теории выпуклых множеств и функций изложены, например, в монографиях А. Д. Иоффе, В. М. Тихомирова [22] и К. Лейхтвейса [36], В. Л. Левина [33].

В начале 1970-х годов началось интенсивное изучение выпуклых операторов со значениями в упорядоченных векторных пространствах. В этот период произошел синтез методов выпуклого анализа с теорией упорядоченных векторных пространств. Итоги этого периода подведены в обзорах А. М. Рубинова [44] и С. С. Кутателадзе [31]. Первое монографическое изложение локальной теории выпуклых операторов имеется в книге Г. П. Акилова и С. С. Кутателадзе [1]; современное состояние теории представлено в монографии А. Г. Кусраева и С. С. Кутателадзе [29, 30].

Одной из наиболее простых аппроксимаций недифференцируемых функций служит (односторонняя) производная по направлениям. Выпуклая функция /, определенная в окрестности некоторой точки х0 Є R", имеет одностороннюю производную f (xo)h в точке Хо по каждому направлению h Є X, вычисляемую по формуле

f (x0)h:=\unf{xo + th)-fW,

где t X 0 означает, что t стремится к нулю справа. При этом функция h н ff(xo)h сублинейна и допускает линеаризацию в следующем смысле: существует компактное выпуклое множество D с К71, называемое субдифференциалом / в точке х0 и обозначаемое символом df(xo), такое, что

f (xQ)h = sup{(% : у Є D} (he Rn),

где (• I •) — обычное скалярное произведение в Rn.

Существуют и невыпуклые функции, локальное поведение которых может описываться производной по направлениям или субдифференциалом. В работах А. Д. Иоффе, В. М. Тихомирова [22] и Б. Н. Пшеничного [42] был введен класс локально выпуклых функций, т. е. функций имеющих в точке сублинейную производную по направлениям. Однако такой класс функций не является векторным пространством, так как не выдерживает умножения на отрицательные числа. Но можно «симметризовать» определение локально выпуклой функции, рассмотрев односторонние производные по направлениям, представимые в виде разности двух сублинейных функций. Полученный при этом класс функций называют классом квазидифференцируемых функций. Как видно, квазидиф-ференцируемость функции / в точке хо означает, что существует производная по направлениям / (хо) и существуют два компактных выпуклых множества D С К" и ГУ с К" (называемых соответственно субдифференциалом я супердифференциалом / в точке хо) такие, что

f {x0)h = sup{(%) : у 6 D} - sup{(%) : у Є D } (he Rn).

Этот подход оказывается весьма эффективным, так как приводит к достаточно широкому классу функций и в то же время допускает весьма развитую аналитическую технику.

Квазидифференцируемые функции ввели и изучали В. Ф. Демьянов, Л. Н. Полякова и А. М. Рубинов, см. [17, 20]. Их свойства в конечномерном случае изучены в работах В. Ф. Демьянова и А. М. Рубинова [19, 21, 49, 50], В. Ф. Демьянова и Л. Н. Поляковой [16], Л. Н. Поляковой [37, 39, 40, 61], см. также библиографию в [47]. Систематическое изложение квазидифференциального исчисления в конечномерном случае с многочисленными примерами и приложениями имеется в книгах В. Ф. Демьянова и Л. В. Васильева [15], В. Ф. Демьянова и А. М. Рубинова [21].

Условия регулярности квазидифференцируемых множеств рассмотрены в [19, 21, 38]. Необходимые условия безусловного экстремума для квазидифферен-цируемой целевой функции в конечномерном случае получены Л. Н. Поляковой в [37]. Ею же в [39, 40, 61] получены необходимые и достаточные условия экстремума квазидифференцируемой функции при квазидифференцируемом ограничении.

В работах В. В. Гороховика [10, 11, 52] для вещественнозначных функций, определенных на конечномерном евклидовом пространстве, введены понятия е-квазидифференциала (нижнего, верхнего) и квазидифференцируемости (снизу, сверху), обобщающие понятие квазидифференциала Демьянова — Рубинова и получены основные формулы исчисления е-квазидифференциалов. Для функций, обладающих нижним (верхним) е-квазидифференциалом, В. В. Гороховиком установлены необходимые и достаточные условия локального экстремума.

Разнообразным приложениям квазидифференциального исчисления к задачам механики, техники и экономики посвящена монография В. Ф. Демьянова, Г. Е. Ставроулакиса, Л. Н. Поляковой и П. Д. Панагиотопулоса [64]. Современное состояние исследований в области квазидифференциального исчисления отражено в сборнике «Квазидифференцируемость и смежные вопросы» под редакцией В. Ф. Демьянова и А. М. Рубинова [65]. Здесь систематизируются недавние результаты, полученные в различных направлениях негладкого анализа, связанных или порожденных квазидифференциальным исчислением.

В [49] В. Ф. Демьянов и А. М. Рубинов изучали квазидифференциалы отоб ражений, определенных в банаховых пространствах и принимающих значения в банаховых К -пространствах.

Целью диссертации является распространение квазидифференциального исчисления на операторы, действующие из векторного пространства в произвольное / -пространство, а также исследование приложений построенного исчисления к векторнозначным экстремальным задачам. Подход к определению квазидифференциала вектор-функции, используемый в данной работе, принципиально отличается от подхода В. Ф. Демьянова и А. М. Рубинова [49] (см. также Прил. Ш в [21]), но содержит его в качестве частного случая, если банахово Jf-пространство образов имеет порядково непрерывную норму.

Диссертация содержит три главы. Первая глава — вводная, в ней собран необходимый для дальнейшего изложения материал по теории АТ-пространств (§ 1.1) и двойственности Минковского. Введены и описаны пространства сублинейных и квазилинейных операторов, а также пространство опорных множеств (§1.2). Описано продолжение двойственности Минковского на класс квазилинейных отображений (§ 1.3). Кроме того, рассмотрена специальная техника, называемая дезинтегрированием, и приведены необходимые для этого сведения об операторах Магарам (§ 1.4).

Во второй главе строится квазидифференциальное исчисление операторов, действующих в -пространства. Введено понятие квазидифференциала, приведены правила для вычисления квазидифференциалов сложных отображений (§§ 2.1-2.3). В некоторых специальных случаях с помощью техники дезинтегрирования получены формулы для вычисления квазидифференциалов суммы и супремума произвольного числа квазидифференцируемых операторов, а также интеграла (§2.4).

Пусть X — векторное пространство, а Е — некоторое АГ-пространство. Обозначим Е := Е U {+оо}. Рассмотрим отображение / : X —ї Е и точку хо из алгебраической внутренности core (dom (/)) его эффективной области dom(/) := {х Є X : f(x) +00}. Если для некоторого h Є X существует предел

о4-о а е о0 а є а

то его называют (односторонней) производной или производной Дини f в точке х0 по направлению h. Допустим, что в точке х0 существует производная / (х0)Л по любому направлению h Є X. Тогда возникает отображение / (хо) : X — Е, которое называют также (односторонней) производной по направлениям или

производной Дини в точке хо- В этой ситуации говорят также, что отображение / дифференцируемо по направлениям в точке Хо Говорят, что отображение / квазидифференцируемо в точке Хо, если / дифференцируемо по направлениям в точке Хо и его производная по направлениям f (xo) : X —» Е квазилинейна, т. е. представима в виде разности сублинейных отображений.

Совокупности всех сублинейных и квазилинейных операторов, действующих тяз Х в Е обозначаем Sbl(X, Е) и QL(X, Е) соответственно. Если отображение / квазидифференцируемо в точке х0, то / (х0) допускает представление в виде разности сублинейных операторов р, q Є Sbl(X, Е), т. е.

f {x0)h = sup ад - sup Г(Л) = p{h) - q(h) (heX).

Sedp Tedq

Очевидно, что указанное представление в виде разности сублинейных операторов неединственно (достаточно прибавить к р и q произвольный сублинейный оператор).

В силу двойственности Минковского, квазилинейному оператору / (х0) Є QL(X,E) отвечает элемент [dp,dq], который называют квазидифференциалом f в точке хо и обозначают символом Vf(xo). Здесь через [dp, dq] обозначен класс эквивалентности, содержащий пару (dp, dq). Опорные множества др и dq принято называть соответственно субдифференциалом и супердифференциалом функции / в точке хо и обозначать df(xo) и д/(х0). Итак,

Р/Ы := й/( о),5/( о)] := \ЪМ е [CSC(X,E)],

где [CSC{X,E)] — модуль опорных множеств, состоящий из классов [dp, dq] эквивалентных пар опорных множеств (dp,dq).

Заметим, что субдифференциал и супердифференциал квазилинейной функции определяются неоднозначно, тогда как квазидифференциал — вполне определенный элемент модуля [CSC(X,E)]. Примерами квазидифференцируе-мых отображений, очевидно, являются выпуклое и вогнутое, а также линейное отображения. Еще более широкий класс квазидифференцируемых отображений составляют разности выпуклых операторов.

Пусть EviF — некоторые ІІГ-пространства. Рассмотрим отображение g : Е — • F , дифференцируемое по направлениям в точке ео Є core(dora( )). Возьмем направление и Є Е и элемент d є F. Предположим, что для любой последовательности (еп) с Е, еп 4- 0, имеет место соотношение

inf sup

m N 0 a l/m

д(ер + аи ) - д(ео) _

а

u -w em

Тогда d называют производной Адамара g в точке ео по направлению и и обозначают д (ео)и := d. Заметим, что если существует производная Адамара, то существует и производная Дини (в той же точке по тому же направлению) и их значения совпадают. Таким образом, производную Адамара д в точке ео по направлению и можно определить формулой

/, ч . , д{ео + аи ) -g(eQ) д {е0)и := in! sup — —-.

meN 0 a l/m а

u -« em

Если производная Адамара д (е0)и существует для каждого направления и є Е, то говорят, что отображение д дифференцируемо по Адамару в точке ео В рассматриваемой ситуации (в отличие от скалярного случая Е = R" и F = R) дифференцируемость по Адамару отображения g не гарантирует непрерывности производной по направлениям (ео)(-)- Непрерывность производной по направлениям будем понимать в следующем смысле.

Отображение р : Е — F называют mo-непрерывным в точке щ Є Е, если для любой последовательности (е„) С Е, еп 4- 0, выполняется

inf sup \(р(и)- р{щ)\=0.

nGN u-uo e„

Пусть Orth( ) — алгебра ортоморфизмов в Е. Приведем основные формулы исчисления квазидифференциалов отображений, действующих в / -пространство.

(1) Пусть операторы /i,...,/n : X - Е квазидифференцируемы в точке х0 Є Г)"=ісоге (dom (/І)). Тогда их сумма / := /i + ... + fn также квазидиффе- ренцируема в этой точке и справедливы равенства:

Vf(x0) = РД(хо) + ... + Vfn(x0) =

= [ЗЛЫ + + Ш о), dh(x0) + ... + dfn(x0)].

(2) Пусть оператор f : X - Е квазидифференцируем в точке х0 € core (dom (/)) и А Є Orth(E). Тогда оператор А/ : і 4 Xf(x) также квазидифференцируем в этой точке и

V(Xf)(x0) = XVf(x0) = [X+dJM + А"Э/(хо), A+d/Ы + X df { ( )]

(3) Пусть отображения f : X - Е и g : X — Orth ) квазидифференци- руемы в XQ Є core (dom (/)) П core (dom (g)). Тогда отображение gf=g-f:X- Е , действующее по правилу gf : х - g(x)f(x), также квазидифференцируемо в этой точке и справедлива формула Лейбница

ЧяЛЫ = g(xo)T f(xQ) + Vg(xQ)f(xQ).

Правила квазидифференцирования супреума, инфимума и композиции сформулируем в форме двух теорем.

Теорема 1. Пусть операторы Д,... ,/„ : X - Е квазидифференцируемы в точке XQ Є ПГ=ісоге (dom {fi)). Тогда супремум g := Д V ... V /„ и ивфимум h:= /і Л ... Л /п также квазидифференцируемы в этой точке и справедливы формулы:

п

&Ы = U Еа (ЙЛ fa)+Е 5л ы),

(с 1 ,..., „) Є Г„(яо) = # п п

дз(яо) = 5/fc(xo), dh(x0) = 5 9/ (х0),

n

9/i(x0) = U ak (ЫЫ + J2 Ш о)),

(ai ,...,a„) Є Дп(хо) =1 # где

r„(xo):= j (ai,...,»,,) : a . € Orth+(), ak = IE, 2akfk(x0) = f(xQ) .

fc=l =1 AB(»o) := J (oi, • • •, On) : k Є Orth+(), a = /E, 5 afc/jk(a;o) = яЫ \ jfc=i Jt=i Условия, при которых композиция квазидифференцируемых отображений квазидифференцируема, сформулированы в следующем результате.

Теорема 2. Пусть X — векторное пространство, Е и F — К-пространства. Пусть отображение / : X —» Е квазидифференцируемо в точке х0 Є core (dom (/)), а отображение g : Е - F квазидифференцируемо и одновременно дифференцируемо по Адамару в точке ео := /(#о) е соге (dom (g)), причем производная д (ео)(-) mo-непрерывна. Предположим, сверх того, что квазидифференциал Vg(eo) определяется парой порядково ограниченных в L (E, F) опорных множеств dg(eo) и dg(eo). Тогда отображение gof квазидифференцируемо в точке Хо. Если dg(eo) U дд(ео) С [Лі, Л2] для некоторых Ль Л2 Є L (E, F), то квазидифференциал

V{9of){xo) = где

U d(pc) U д рс)

СеддЫ С€дд(е0)

РсЫ := (С - ЛО sup S(x0) + (Л2 - С) sup Т(х0).

S€2/(xo) Г€в/(хо)

Говорят, что возрастающий сублинейный оператор Р : Е - F удовлетворяет условию Магарам, если для любых є Є Е+ и и і, «2 Є F+ из равенства Р(е) = ui + щ следует существование таких еі,е2 € Е+, что е = е\ + е2 и Р(ЄІ) = щ (I := 1, 2). Возрастающий порядково непрерывный сублинейный оператор, удовлетворяющий условию Магарам, называют сублинейным оператором Магарам. Линейный оператор Магарам — это порядково непрерывный положительный оператор, сохраняющий порядковые отрезки (Т([0, е]) = [0, Те]).

Применение техники дезинтегрирования к исчислению квазидифференциалов дает новый класс формул, некоторые из них приведем ниже.

Теорема 3. Пусть выполнены условия теоремы 2 и, сверх того, общая нижняя граница Лі и общая верхняя граница Л2 множеств дд(ео) и дд(ео) входят в полосу, порожденную линейным оператором Магарам. Тогда квазидифференциал композиции go f может быть вычислен по формулам

д(д о f)(x0) = {дд(х0) о тг - Л) о (df(x0) х df(x0)),

д(9 ° /)Ы = (дд(х0) о тг - Л) о (df(x0) х df(x0)),

где линейные операторы к: ЕхЕ—їЕиА: ExE— F определяются формулами 7г(еі, е2) := ei - е2 (еі, е2 Є Е) и Л(аь а2) := Лі(аі) - Л2(а2) (аі, а2 Є Е).

Приведем несколько важных следствий теоремы 3.

(1) Пусть f : X — • Е — квазидифференцируемое в точке XQ отображение и Т : Е — F — регулярный порядково непрерывный оператор такой, что \Т\ — оператор Магарам. Тогда То/ также квазидяффереяцяруемо в точке XQ И

V(Tof)(x0) = ToVf(x0) =

= [Т+ о df(xo) + Т- о df(xQ), Т+ о df(xQ) + Т- о df(x0)].

(2) Если в (1) Т : Е — F — линейный оператор Магарам, то формула для вычисления квазидифференциала упрощается:

Р(То/)(х0) = [Todf(x0), Гов/(хо)].

(3) Рассмотрим вопрос о квазидифференцируемости бесконечной суммы. Зафиксируем непустое множество А. Пусть h(A,E) пространство всех о- суммируемых семейств элементов Е, индексированных посредством А. Возьмем семейство отображений fQ:X- E (а Є А), и пусть х0 Є core (dom (fa)) для

всех (а Є А). Будем говорить, что это семейство равностепенно квазидифференцируемо в точке хо по направлению h є X, если существует убывающая к нулю последовательность (с„(-)) С li(A,E) такая, что

Сп(а)

/аЫ+th) /а(х0)

t

sup

0 t l/n

для всех а Є А и п Є N.

Пусть /а : Л" —» Е1 (а € А) — некоторое о-суммируемое семейство отображений и отображение / : X - Е определено равенством

f(x)=0-J2fa(x) (ХЄХ). аЄА

Предположим, что хо € core (dom (/а)) для всех а Є А и семейство (/а)«єА равностепенно квазидифференцируемо по направлениям в точке х0. Если для любого а Є А существуют ра, qa Є Sblpf, Е) такие, что /Q(xo) =pa-Qa (а Є А) и при этом (ра(/і))аЄА, ( 7а(М)аєА € /і(-А, ) для любого h Є X, то отображение / квазидифференцируемо в точке х0 и справедлива формула

Vf(xo) = o TVfa(x0):=

аЄА

. аЄА аЄА

(4) Пусть семейство (/а : X — І? )ОЄА И точка Жо удовлетворяют всем условиям (3). Положим

/( ) - V № (x) = Л /«( )

аЄА аЄА

Тогда отображения fug квазидифференцируемы в точке хо и имеют место представления

( )єГА(х0) \ вєА /»А /

аєА

аєА

dg(xo)= U (с тг а/аЫ+а- ы)),

(та)€ДА(хо) V «ЄА а )

где, по определению,

ГА(Х0) := (тга)аЄА : тг« Є Orth+(), о- тга = /Е, о- тга/а(х0) = /(х0) [ ,

аеА лєА АА(Х0) := (7га)аЄА : тга Є Orth+(), о жа = /в, о- 7Га/а(х0) = д(х0) .

Третья глава диссертации посвящена приложениям построенного квазидифференциального исчисления к экстремальным задачам. Приведены необходимые условия идеального экстремума в векторных квазидифференцяруемых программах с ограничениями в виде неравенства (§3.1), вхождения переменной в фиксированное множество (§3.2) и необходимые условия обобщенного экстремума (§3.3).

Рассмотрим векторную программу (С, /), т. е. многоцелевую экстремальную задачу

х еС, /(я) -» inf,

где С С X — некоторое множество, а / : X — Е — отображение, предполагаемое в дальнейшем квазидифференцируемым в нужной точке core (dom (/)). Точка х0 € С — идеальный локальный оптимум в программе (С,/), если существует множество U С X такое, что О Є core (U) и f(xo) = inf{/(x) : x Є СП(хо + Ц)}.

Пусть отображение f : X — E квазидифференцируемо в точке XQ Є core (dom (/)). Если XQ — идеальный локальный оптимум в безусловной векторной программе f(x) - inf, то df(x0) с dj(x0) или, что то же самое, Vf(x0) 0.

Пусть теперь С := {х Є X : g(x) 0}, причем отображения /ид ква-зидифференцируемы в нужной точке. Такую программу мы будем обозначать символом (g,f). Введем необходимое для дальнейшего условие квазирегулярности.

Пусть F — еще одно ЛГ-пространство. Рассмотрим отображения / : X - Е и д : X — F . Векторную программу (д, /) называют квазирегулярной в точке XQ Є core (dom (g)), если выполнены условия:

(a) существуют сублинейный оператор Магарам г : F -» Е и поглощающее множество U С X такие, что для любого х є XQ + U выполняется Kxf(xo) 7Г:Е/(Х), где жх := [(г о д(х)) ] — проектор на компоненту, порожденную элементом (г о д(х)) ;

(b) для любых оператора Т Є dr(g(xo)) и ненулевого проектора 7г Є %$(Е) выполняется жТ о дд(х0) ПттТо дд(х0) = 0.

Теорема 4. Если допустимая точка XQ есть идеальный локальный оптимум квазирегулярной квазидифференцируемой задачи (g,f), то для любых s є df(x0) и S є dg(х0) существуют положительный ортоморфизм a є Oith+(E) и

оператор Магарам j є L+(F, Е) такие, что совместна система условий

кега={0}, 7од(х0) = 0, О Є a(df(x0) - s) + 7 о Шяо) - S).

Пусть X — топологическое векторное пространство, Е — топологическое АТ-пространство и Ас — алгебра непрерывных ортоморфизмов на Е. Конус положительных элементов топологического ЛГ-пространства считается нормальным. Поэтому двойственность Минковского д определяет биекцию между множествами непрерывных (всюду определенных),, сублинейных операторов и эк-винепрерывных опорных множеств.

Символом QLC(X,E) обозначим часть QL(X, Е), состоящую из квазилинейных операторов, представимых в виде разности непрерывных сублинейных операторов. Элементы QLC(X, Е) будем называть непрерывными квазилинейными операторами.

Рассмотрим отображение / : X -4 Е и точку XQ Є core (dom (/)). Будем говорить, что J топологически квазидифференцируемо в точке хо, если в этой точке существует производная по направлениям f {xQ)h и отображение / (х0) : h —» f (xo)h (h Є X) представляет собой непрерывный квазилинейный оператор.

Итак, если отображение / топологически квазидифференцируемо в точке х0, то квазилинейному оператору / (хо) Є QLC(X,E) в силу двойственности Минковского отвечает элемент Х (/ (х0)) € [CSl(X,E)], который называют топологическим квазидифференциалом f в точке хо и обозначают символом V°f(xo) := \&:/(хо),дс/(хо)]. Здесь символами d°f(xo) и dcf(x0) соответственно обозначены топологический субдифференциал и топологический супердифференциал отображения / в точке хо, a, [CS(X, Е)] — модуль эквинепрерывных опорных множеств.

Формулы, составляющие исчисление топологических квазидифференциалов, совпадают со своими алгебраическими аналогами, если заменить V на Vе.

Пусть С С X и хо € С. Конус допустимых направлений Fd(C, хо) множества С в точке хо вводится формулой:

Fd(C, х0) := {h Є X : (Зє 0) х0 + [0, e)h С С}.

Множество С называют К-регулярным в точке Хо, если К — выпуклый конус и Я" С cl (Fd(C,Хо)). Для .ftf-регулярного в точке Хо множества С вводится нормальный конус ІЧЕ(С,ХО) := ТГЕ(К) := {Т : Тк 0, к Є К}. Как видно, нормальный конус к множеству в точке определяется неоднозначно.

Пусть множество С С X К-регулярно в точке XQ Є С, а отображение / : X —» Е квазидифференцируемо в той же точке хо Є core (dom(/)). Для того чтобы хо была идеальным локальным оптимумом программы (С, /), необходимо, чтобы выполнялось включение

dcf(x0) С 27Ы + NE(C,x0).

Пусть XQ Є С П core (dom (/)) П core (dom ( )) и отображения / : X — Е , g : X - F топологически квазидифференцируемы в точке хо- Скажем, что векторная программа (С,д, /) квазирегулярна в точке х0, если выполнены условия:

(a) существуют непрерывный сублинейный оператор Магарам г : F - Е и окрестность U точки хо такие, что для любого х Є CC\U будет 7Гх/(хо) Kxf(x), где 7ГХ := [(г о д(х)) ] — проектор на компоненту, порожденную элементом (г о

(b) множество С является К-регулярным в точке хо;

(c) для любых оператора Т є dr(g(xo)) и ненулевого проектора 7Г Є ф() имеет место соотношение 7гТ о д°д(хо) П {кТ&:д(хо) + IXNE{C,XQ)) = 0.

Теорема 5. Пусть отображения /ид квазидифференцируемы в точке х0 Є С П core (dom (/)) П core (dom ( )) и векторная программа (С, д, /) квазирегулярна в точке хо. Если хо — идеальный локальный оптимум программы {C,g,f), то для любых s Є д°/(хо) и 5 Є дсд(х0) существуют непрерывный ортоморфизм a Є Orth(E), непрерывный оператор Магарам 7 Є L+(F,E) и линейный непрерывный оператор А Є L(X,E) такие, что совместна система условий:

О а ІЕ, kera = {0}, А Є NE(C,xQ), 7оg(x0) = 0, -А Є o(ff/(x0) - 5) + 7 о Щ Ы - S).

Множество {x°,... ,x°} с С называют обобщенным локальным оптимумом программы (С,/), если существует такая окрестность нуля U, что /(х°) Л ... Л /(хп) /(жі) Л ... Л /(х„) для всех х Є (х? + U) П С и г := 1,..., п.

Рассмотрим векторную программу (С,д, /). Пусть х° Є С П core (dom (/)) П core (dom (с/)), и предположим, что отображения / : X — Е , д : X — F" топологически квазидифференцируемы в точках х? (г := 1,..., га). Скажем, что векторная программа (С, д, /) квазирегулярна на множестве {х°,..., х°}, если выполнены следующие условия:

(a) существуют непрерывный сублинейный оператор М агарам г : F — Е и окрестности UІ точек х° такие, что для любого х Є С C\Ui будет тгхе Ttxf(x), где е := /(х") Л ... Л /(х°) и 7ГХ := [{г о /(х)) ] — проектор на компоненту, порожденную элементом (г о д(х)) ;

(b) множество С является ifj-регулярным в точке х°;

(c) для каждого і := 1,..., п имеет место соотношение 7гТ о д°д(х ) П (пТ о d°g(Xi) + nNE(C,x°)) = 0, каковы бы ни были оператор Г Є дт{д{х°і)) и ненулевой проектор 7Г Є 3( 1).

Теорема 6. Пусть отображения д : X —у F и f : X — Е квазидиф-ференцируемы в точках х?,...,х° Є С П core(dom(/)) П core(dom(p)). Дредлоложим, что векторная программа (C,g,f) квазирегулярна на множестве {х°,..., х°}. Если множество {х?,..., х°} служит обобщенным локальным оптимумом программы (C,g,f), то для любых Si Є д/(х°) и Si Є dg(x ) существуют ортоморфизмы «і,..., an е Orth(.E ), непрерывные операторы Магарам 7i •• 7п L+(F,E) и линейные непрерывные операторы Aj Є Ь(Х, ?) такие,

что

О од /Б, ker(«i) П ... П ker(an) = {0},

-А, Є c (fi7(z?) - Si) + л о ( ( ) - Si) (і := 1,..., ті).

Перечислим основные результаты, выносимые на защиту.

(1) Понятие квазидифференциала и соответствующее исчисление распространены на случай операторов, действующих в произвольные / -пространства. Получены новые формулы для вычисления квазидифференциалов произведения, супремума и инфимума, качественно отличающиеся от своих скалярных аналогов.

(2) Введено понятие дифференцируемое™ по Адамару операторов, действующих в / -пространства, а также рассмотрена порядковая непрерывность производной Адамара по направлению. Доказаны теоремы о производной по направлениям и квазидифференциале композиции.

(3) С помощью техники дезинтегрирования устанавлено, что в специальных случаях выполняется аналог классического «цепного правила» — квазидифференциал суперпозиции равняется суперпозиции квазидифференциалов. В качестве следствий, в некоторых специальных случаях получены формулы для вычисления квазидифференциалов бесконечных суммы, супремума, инфимума и интегрального оператора.

(4) Сформулированы необходимые условия идеального экстремума в векторных квазидифференцируемьгх программах с ограничениями в виде неравенства.

(5) Найдены необходимые условия идеального экстремума в векторных квазидифференцируемьгх программах с ограничениями в виде вхождения переменной в фиксированное множество.

(6) Получены необходимые условия обобщенного экстремума в векторных квазидифференцируемых программах с ограничениями.

Работа носит теоретический характер. Разработанные в ней методы могут быть использованы специалистами в области выпуклого и негладкого анализа, а также теории экстремальных задач.

Основные результаты диссертации докладывались на семинаре «Алгебра и анализ» в Северо-Осетинском госуниверситете им. К. Л. Хетагурова; на I и II международных конференциях «Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования» (Владикавказ, 2003 и 2004); включены в монографию А. Г. Кусраева и С. С. Кутателадзе «Субдифференциалы. Теория и приложения». Ч. П.—Новосибирск, 2003); включены в «Отчет о деятельности Российской академии наук в 2003 г. Основные результаты в области естественных, технических, гуманитарных и общественных наук».

Результаты диссертации опубликованы в работах [2-6].

Теорема Хана — Банаха — Канторовича

Существуют и невыпуклые функции, локальное поведение которых может описываться производной по направлениям или субдифференциалом. В работах А. Д. Иоффе, В. М. Тихомирова [22] и Б. Н. Пшеничного [42] был введен класс локально выпуклых функций, т. е. функций имеющих в точке сублинейную производную по направлениям. Однако такой класс функций не является векторным пространством, так как не выдерживает умножения на отрицательные числа. Но можно «симметризовать» определение локально выпуклой функции, рассмотрев односторонние производные по направлениям, представимые в виде разности двух сублинейных функций. Полученный при этом класс функций называют классом квазидифференцируемых функций. Как видно, квазидиф-ференцируемость функции / в точке хо означает, что существует производная по направлениям / (хо) и существуют два компактных выпуклых множества D С К" и ГУ с К" (называемых соответственно субдифференциалом я супердифференциалом / в точке хо) такие, что Этот подход оказывается весьма эффективным, так как приводит к достаточно широкому классу функций и в то же время допускает весьма развитую аналитическую технику. Квазидифференцируемые функции ввели и изучали В. Ф. Демьянов, Л. Н. Полякова и А. М. Рубинов, см. [17, 20]. Их свойства в конечномерном случае изучены в работах В. Ф. Демьянова и А. М. Рубинова [19, 21, 49, 50], В. Ф. Демьянова и Л. Н. Поляковой [16], Л. Н. Поляковой [37, 39, 40, 61], см. также библиографию в [47]. Систематическое изложение квазидифференциального исчисления в конечномерном случае с многочисленными примерами и приложениями имеется в книгах В. Ф. Демьянова и Л. В. Васильева [15], В. Ф. Демьянова и А. М. Рубинова [21]. Условия регулярности квазидифференцируемых множеств рассмотрены в [19, 21, 38]. Необходимые условия безусловного экстремума для квазидифферен-цируемой целевой функции в конечномерном случае получены Л. Н. Поляковой в [37]. Ею же в [39, 40, 61] получены необходимые и достаточные условия экстремума квазидифференцируемой функции при квазидифференцируемом ограничении. В работах В. В. Гороховика [10, 11, 52] для вещественнозначных функций, определенных на конечномерном евклидовом пространстве, введены понятия е-квазидифференциала (нижнего, верхнего) и квазидифференцируемости (снизу, сверху), обобщающие понятие квазидифференциала Демьянова — Рубинова и получены основные формулы исчисления е-квазидифференциалов.

Для функций, обладающих нижним (верхним) е-квазидифференциалом, В. В. Гороховиком установлены необходимые и достаточные условия локального экстремума. Разнообразным приложениям квазидифференциального исчисления к задачам механики, техники и экономики посвящена монография В. Ф. Демьянова, Г. Е. Ставроулакиса, Л. Н. Поляковой и П. Д. Панагиотопулоса [64]. Современное состояние исследований в области квазидифференциального исчисления отражено в сборнике «Квазидифференцируемость и смежные вопросы» под редакцией В. Ф. Демьянова и А. М. Рубинова [65]. Здесь систематизируются недавние результаты, полученные в различных направлениях негладкого анализа, связанных или порожденных квазидифференциальным исчислением. В [49] В. Ф. Демьянов и А. М. Рубинов изучали квазидифференциалы отоб- ражений, определенных в банаховых пространствах и принимающих значения в банаховых К -пространствах. Целью диссертации является распространение квазидифференциального исчисления на операторы, действующие из векторного пространства в произвольное / -пространство, а также исследование приложений построенного исчисления к векторнозначным экстремальным задачам. Подход к определению квазидифференциала вектор-функции, используемый в данной работе, принципиально отличается от подхода В. Ф. Демьянова и А. М. Рубинова [49] (см. также Прил. Ш в [21]), но содержит его в качестве частного случая, если банахово Jf-пространство образов имеет порядково непрерывную норму. Диссертация содержит три главы. Первая глава — вводная, в ней собран необходимый для дальнейшего изложения материал по теории АТ-пространств ( 1.1) и двойственности Минковского. Введены и описаны пространства сублинейных и квазилинейных операторов, а также пространство опорных множеств (1.2). Описано продолжение двойственности Минковского на класс квазилинейных отображений ( 1.3). Кроме того, рассмотрена специальная техника, называемая дезинтегрированием, и приведены необходимые для этого сведения об операторах Магарам ( 1.4). Во второй главе строится квазидифференциальное исчисление операторов, действующих в -пространства. Введено понятие квазидифференциала, приведены правила для вычисления квазидифференциалов сложных отображений ( 2.1-2.3). В некоторых специальных случаях с помощью техники дезинтегрирования получены формулы для вычисления квазидифференциалов суммы и супремума произвольного числа квазидифференцируемых операторов, а также интеграла (2.4). Пусть X — векторное пространство, а Е — некоторое АГ-пространство. Обозначим Е := Е U {+оо}.

Рассмотрим отображение / : X —ї Е и точку хо из алгебраической внутренности core (dom (/)) его эффективной области dom(/) := {х Є X : f(x) +00}. Если для некоторого h Є X существует предел то его называют (односторонней) производной или производной Дини f в точке х0 по направлению h. Допустим, что в точке х0 существует производная / (х0)Л по любому направлению h Є X. Тогда возникает отображение / (хо) : X — Е, которое называют также (односторонней) производной по направлениям или производной Дини в точке хо- В этой ситуации говорят также, что отображение / дифференцируемо по направлениям в точке Хо- Говорят, что отображение / квазидифференцируемо в точке Хо, если / дифференцируемо по направлениям в точке Хо и его производная по направлениям f (xo) : X —» Е квазилинейна, т. е. представима в виде разности сублинейных отображений. Совокупности всех сублинейных и квазилинейных операторов, действующих тяз Х в Е обозначаем Sbl(X, Е) и QL(X, Е) соответственно. Если отображение / квазидифференцируемо в точке х0, то / (х0) допускает представление в виде разности сублинейных операторов р, q Є Очевидно, что указанное представление в виде разности сублинейных операторов неединственно (достаточно прибавить к р и q произвольный сублинейный оператор). В силу двойственности Минковского, квазилинейному оператору / (х0) Є QL(X,E) отвечает элемент [dp,dq], который называют квазидифференциалом f в точке хо и обозначают символом Vf(xo). Здесь через [dp, dq] обозначен класс эквивалентности, содержащий пару (dp, dq). Опорные множества др и dq принято называть соответственно субдифференциалом и супердифференциалом функции / в точке хо и обозначать df(xo) и д/(х0). Итак, Р/Ы := й/( о),5/( о)] := \ЪМ е [CSC(X,E)], где [CSC{X,E)] — модуль опорных множеств, состоящий из классов [dp, dq] эквивалентных пар опорных множеств (dp,dq). Заметим, что субдифференциал и супердифференциал квазилинейной функции определяются неоднозначно, тогда как квазидифференциал — вполне определенный элемент модуля [CSC(X,E)]. Примерами квазидифференцируе-мых отображений, очевидно, являются выпуклое и вогнутое, а также линейное отображения. Еще более широкий класс квазидифференцируемых отображений составляют разности выпуклых операторов. Пусть EviF — некоторые ІІГ-пространства. Рассмотрим отображение g : Е — F , дифференцируемое по направлениям в точке ео Є core(dora( )). Возьмем направление и Є Е и элемент d є F. Предположим, что для любой последовательности (еп) с Е, еп 4- 0, имеет место соотношение Тогда d называют производной Адамара g в точке ео по направлению и и обозначают д (ео)и := d. Заметим, что если существует производная Адамара, то существует и производная Дини (в той же точке по тому же направлению) и их значения совпадают.

Квазидифференциалы супремума и инфимума

В [19] установлены условия квазидифференцируемости максимума и минимума скалярных функций и приведены явные формулы их вычисления. Ниже устанавливается квазидифференцируемость супремума и инфимума отображений, действующих в АТ-пространства. Отметим, что формулы для вычисления соответствующих квазидифференциалов принципиально отличаются от своих скалярных аналогов. Предложение 2.2.1. Пусть отображения /ь ...,/„: X — Е дифференцируемы по направлениям в точке XQ. Тогда отображение / := /і V V /п также дифференцируемо по направлениям в точке хо я имеет место точная формула ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Покажем сначала, что выполняется неравенство . Для произвольного набора (ab..., an) Є Г„(хо) справедливы соотношения Переходя в этом неравенстве к пределу при «4-0? получим В силу произвольности набора (a1}..., an) Є Гп(х ) отсюда следует требуемое. Обратное неравенство докажем по индукции. Пусть п = 2, т. е. /(х) = /i(x)V /2(х). Для произвольного є Є Е обозначим символом [е] порядковый проектор на полосу на полосу ем. Определим проекторы яі, 7Г2 и 7Гз равенствами: Очевидно, что для любого ненулевого проектора р 7Гі (р 7Гг) выполняется р/і Р/2 (р/2 p/i)- Заметим, что 7Гі, 7Г2 и 7Гз попарно дизъюнктны. Кроме того, 7г3/і(хо) = тгз/2(хо). Действительно, если это не так, то для некоторого НенулевОГО р 7Г3 будет pfi pf2 (р/2 p/l), СЛеДОВатеЛЬНО, р 7Гі (/? 7Г2) и р = 0 ввиду дизъюнктности 7Гі и 7Гз (7Г2 и 7Гз). Таким образом, справедливо представление Положим е0:= (/і(хо)—/г(яо))+ и заметим, что ео = 1/1( 0)- 1/2( 0)- Пусть є Є Е+ — общий регулятор сходимости в пределах /І(Х ) = т- lim 4o fi(xo + /i) (г = 1,2). Подберем разбиение (рп) проектора 7Гі и последовательность, строго положительных чисел (Лп) так, чтобы Хпрпе \рп о для всех п Є N. Для каждого номера п Є N существует число є„ 0 такое, что при всех а Є (0, єп) выполняется \fi(x0+ah) — fi(xo) \ А„е (г = 1,2). Отсюда для п Є N и а Є (0, є„) выводим Если для некоторого порядкового проектора р 7rt при достаточно малых а 0 выполняется /э/2(хо -+- аЛ) p/i(xo + ah), то (р/) (х0)Л pf[(x0)h. Действительно, справедливость указанного предположения с учетом равенства pf(xQ) = pfi(xo) позволяет написать Таким образом, для каждого из проекторов рп имеем pnf (xo)h = (pnfY(xo)h Pnf[(xo)h.

Суммируя последнее неравенство по п, получим 7Гі/ (хо)/г Kif[(xQ)h. Аналогично устанавливается, что 7r2/ (xo)/i 2/2( 0) -Осталось найти производную отображения яз/. получаем для некоторых положительных ортоморфизмов ах и а2, «і + а2 = /д. Пологая 7г== 7г» + 7г3а( (г = 1,2), замечаем, что (ъ ъ) Є Г2(х0) и приходим к следующим оценкам: Обратное неравенство доказано. Как видно, супремум в правой части достигается на паре (7ъ72) Гг(хо), т. е. полученная формула является точной. Предположим теперь, что утверждение теоремы справедливо при п = к, т. е. Положим д = Д V V Д. Пользуясь индукционным предположением и уже установленным равенством для п = 2, выводим: /(ж) = Д V V Д V Д+і(а;), тогда что и требовалось доказать. Предложение 2.2.2. Пусть отображения Д, ...,/„: X — " дифференцируемы по направлениям в точке XQ. Тогда отображение g := Д Л Л /„ также дифференцируемо по направлениям в точке XQ и имеет место формула ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Воспользуемся формулой g = Д л л /„ = — ((—Д) V V(—/п))- Применив предложение 2.2.1 и правило умножения на —1, получим требуемое. Теорема 2.2.1. Пусть отображения Д,... ,/n : X — і? квазидифференцируемы в точке х0 Є core (dom (/)). Положим / := /і V V /„ и g := Д Л Л /„. Тогда отображения /ид квазидифференцируемы в точке х0 и для квазидифференциалов V/(XQ) = [d/(xo),d/(xo)] и ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Ограничимся случаем отображения /, отображение g рассматривается аналогично. Из предложения 2.2.1 следует дифференцируе-мость по направлениям / в точке х0, причем В силу квазидифференцируемости Д имеют место представления /l(xo)h = Pi(h) — qi(h) (і = 1,...,п), где Pi,qi — сублинейные операторы. Таким образом, справедливы равенства Очевидно, что PHQ сублинейные операторы и д/(хо) = ЭР, a df(xo) = dQ. Таким образом, осталось вычислить субдифференциалы дР и dQ: Полученные соотношения совпадают с требуемыми с точностью до обозначений. ЗАМЕЧАНИЕ 1. Отметим, что в случае когда fi,...,fn:X- E всюду определенные выпуклые операторы из теоремы 2.2.1 следует хорошо известная в выпуклом анализе формула (см., например, [30]; 4.5.7): ЗАМЕЧАНИЕ 2. При Е = R из теоремы 2.2.1 следуют скалярные варианты формул для квазидифференциалов супремума и инфимума, полученные В. Ф. Демьяновым и А. М. Рубиновым. Их принципиальное отличие состоит в том, что точные границы достигаются, т. е. существует некоторое количество индексов к {1,...,п}, для которых f(x0) = fk(x0) и g(x0) = /jb(zo)- В этой связи множества Г„(х0) и Ап(а;о), а с ними и формула для вычисления квазидифференциалов несколько упрощаются. Приведем соответствующий результат. Теорема 2.2.2 [21]. Пусть функции /i,...,/n : X -» R квазидифференцируемы в точке х0 ПА=Ісоге(dom(Л)). Положим / := Д V V/„ я g := /і Л Л /„. Тогда функции /ид квазидифференцируемы в точке хо и их квазидифференциалы могут быть вычислены по формулам где Я(х0) := {к {1,..., n} : /(х0) = Л(х0)} я №o) := {А Є {1,..., т»} : (х0) = Л( о)}. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В рассматриваемом случае множество Гп(хо) перепишем в виде Г„(х0) = {(«!,..., а„) Є Rn: ак О, ]afc = l, $ o (/(zo) - fk(x0)) = о. Равенство Х) =іа (/(жо) - fk(xo)) = 0 влечет ak(f(x0) - /л(х0)) = 0 для всех А;, так как /(хо) /fc(zo) и, стало быть, сумма состоит из неотрицательных слагаемых.

Таким образом, число ак отлично от нуля лишь только в том случае, когда соответствующий номер к входит R(x0), поэтому в формулах из теоремы 2.2.1 объединение и суммирование следует производить по номерам из R(xo). Аналогично, вид множества Ап(х0) приводит к суммированию и объединению по множеству номеров Q(x0). 2.3. Квазидифференциал композиции В текущем параграфе устанавливается, что при некоторых условиях композиция квазидифференцируемых отображений квазидифференцируема. Приведены явные формулы для вычисления соответствующих квазидифференциалов. Для случая операторов, действующих из банахова пространства в банахово ЛГ-пространство, соответствующий результат получен В. Ф. Демьяновым и А. М. Рубиновым (см. [21]; Прил. III). ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.3.1. Пусть Е и F — некоторые .ЙТ-пространства. Рассмотрим отображение g : Е —» F , дифференцируемое по направлениям в точке ео core (dom (#)). Возьмем направление и Є Е и элемент d Є F. Предположим, что для любой последовательности (еп) с Е, еп і О, имеет место соотношение Тогда d называют производной Адамара g в точке ео по направлению и и обозначают gr(e0)u := d. Такое обозначение оправдано тем очевидным наблюдением, что если существует производная Адамара, то существует и производная Дини (в той же точке по тому же направлению) и их значения совпадают. Таким образом, производную Адамара g в точке е0 по направлению и можно определить формулами Если производная Адамара д (ео)и существует для каждого направления и Є Е, то говорят, что отображение д дифференцируемо по Адамару в точке ео- Определение производной Адамара упрощается, если F — регулярное К-пространство. Напомним, что / -пространство F называют регулярным, если для любой последовательности вложенных подмножеств F D Ai D ... D Ап Э ... таких, что a = infnsup( tn), существуют конечные подмножества А п С Ап, удовлетворяющие условию olimri_HX,sup(Al) = а. Можно показать, что К-пространство F будет регулярным, если F удовлетворяет двум требованиям: 1) F имеет счетный тип, т. е. любое подмножество, состоящее из попарно дизъюнктных множеств, не более чем счетно; 2) в F выполняется принцип диагонали, т. е. для любой двойной последовательности (en fc) с F, имеющей пределы en := o-limjfc-Kx, еПгк {п N) и е := о-Пт а, еп, существует строго возрастающая последовательность натуральных чисел (кп) такая, что е = о-ііпіп-юо еп#п (подробнее см., например, монографии [9, 24, 28]).

Дезинтегрирование квазидифференциалов

В текущем параграфе техника дезинтегрирования применяется к квазидифференциалам. Устанавливается, что в специальных случаях выполняется аналог классического «цепного правила» исчисления — квазидифференциал суперпозиции равняется суперпозиции квазидифференциалов. Теорема 2.4.1. Пусть выполнены условия теоремы 2.3.2 и, сверх того, общая нижняя граница Лі и общая верхняя граница Лг множеств дд(ео) и дд(ео) входят в полосу, порожденную оператором Магарам. Тогда квазидифференциал V p(xo) = [d(p(x0),dip(x0)] может быть вычислен по формулам ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. При доказательстве теоремы 2.3.2 было установлено представление (д о f) (xo) = po(PxQ) — qo(Px Q). Отсюда видно, что если pnq — сублинейные операторы Магарам, то в силу предложения 1.4.2 имеют место формулы Вспомним, что р= ротг — Лид:=до7г-Л, где Л((аі, a-z)) = Лі(оі) — Л2(а2) и тг(еі,Є2) = ei — Є2. Поэтому, учитывая линейность тг : Е2 - Е и А : Е2 - F и привлекая формулу 1.2.2 (5), получим др = (др) о 7г - Л и dq = (dg) о 7г — Л. Тем самым приходим к соотношениям эквивалентным требуемым. Итак, остается показать, что р — оператор Магарам, магарамовость оператора q устанавливается аналогично. Но согласно предложению 1.4.1 нужно лишь показать, что опорное множество др состоит из операторов Магарам. В силу наших предположений So := Лі + Л2 — оператор Магарам. Так как др С [—So,So], то в СШ1У предложения 1.4.1 р также оператор Магарам. Рассмотрим оператор Р = Ртг — (Лі, —Лг). Так как Лі и Лг операторы Магарам, то Р — сублинейный оператор Магарам. Субдифференциал др в более подробной записи имеет вид причем Т(еі, е2) = Т(еі) + Т(е2). Отсюда видно, что Ті = S - Лі и Т2 = Л2 - S. Таким образом, и, следовательно, Ті и Т2 — операторы Магарам. Возьмем теперь элементы d Є F и е\, е2 Є Е+ такие, что 0 d Т(еі, е2) = Тієї + Г2Є2- Тогда d = d\ + d2 для некоторых 0 сЦ ТІЄІ (г := 1,2). Так как Tt — операторы Магарам, то существуют е\ Є Е такие, что Tj(eJ) = d , и, следовательно, Т(е[, е2) = d. Для дальнейшего необходимо придать смысл выражениям вида /? (хо) в том случае, если (Д) — бесконечное семейство квазидифференцируемых в точке XQ отображений.

Воспользуемся тем, что оператор суммирования является оператором Магарам на АГ-пространстве (А, ") (см. 1.4, пример 1). Пусть, как обычно, X — векторное пространство, а Е и F — некоторые А -пространства. Предложение 2.4.1. Возьмем такой регулярный оператор Т : Е — F, что S := Г — оператор Магарам. Символом AQ обозначим f-алгебру Z(FT), где FT := Т(Е)М. Тогда [CSC(X, Е)] и [CSC(X, F)] можно снабдить структурой решеточно упорядоченного Ао-модуля. Более того, существует единственное Ао-линейное регулярное отображение [hr] : [CSC(X,E)] — [CSC(X,F)], для которого [hr]{[U, {0}]) = [Т+ о U,Т о U] при всех U Є CSC(A", Е). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть сначала оператор Магарам Т = S положителен. Для опорного множества U Є CSC(X, Е), U = dp, множество ТоЦ := {Soli: U Є U} также будет опорным, поскольку Soli = 5одр = d(Sор) в силу предложения 1.4.2 Тем самым возникает отображение h := hs CSC(X, Е) — CSC(X, F), действующее по правилу hs(U) — Soil. Несомненно, что это отображение аддитивно. Кроме того, оно будет и AQ"-однородно, где AQ := Z(Fg). В самом деле, согласно [30]; 4.4.3 (2,3) существует кольцевой и решеточный изоморфизм h из /-алгебры Z{Fs) на правильную подрешетку и подкольцо в Z{Es) такой, что 7г о S = So Л(7г) для всех а Є Z(F$). Таким образом, оператор S будет А0-линейным, если рассматривать Е и F с естественной структурой Ао-модуля. Так как AQ С A := Orth(F), то А-коническая решетка CSC(X, F) будет также и Ао-конической решеткой. В то же время структуру Ао-конической решетки в CSC(X,E) можно определить, полагая оЫ := h (a)U для всех тс є Z(Fs). При этом hs станет AQ-полулинейным отображением. В соответствии с теоремой 1.3.1. можно построить Ао-модуль [CSC(X, Е)]АО и Ог1п(2?)-модуль [CSC(X, Е)], причем эти два модуля совпадают по запасу элементов, а модульные структуры согласованы, т. е. умножение на элементы А0 индуцируется умножением на элементы Orth(E). То же самое справедливо и относительно Ао-конической решетки CSC(X,F). Согласно теореме 1.3.1 существует единственное Ао-линейное отображение [hs] : [CSC(X, Е)] -» [CSC(X, F)], для которого [hs]{[U, {0}]) = [S оU, {0}] при всех U Є CSC{X,E). Возьмем теперь регулярный оператор Т : Е — F такой, что S := \Т\ — оператор Магарам. Вновь по теореме 4.4.3 из [30] операторы Т+ и Т также будут Ао-линейными. В соответствии со сказанным выше существуют Ао-линейные положительные операторы [hr+], [hr-] : [hr] := [Лт+]— [Лг-]» получим Ло-линейный регулярный оператор из [CSC(-X", Е1)] B[CSC(X,F)]. П Предложение 2.4.2. Пусть Т, S, А0 те же, что и в предложении 2.4.1. Тогда QL(X, Е) и QL(X, F) можно снабдить структурой решеточно упорядоченного Ао-модуля. Более того, существует единственное Ао-линейное регулярное отображение [hT] : QL(X,E) - QL{X,F), для которого ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. ЕСЛИ Т = S, то очевидно, что отображение [hs] : QL(X,E) -» QLpf, F)], действующее по правилу / ь- So/, является А0-линейным и положительным. В общем случае полагаем [hT] := [hT+] — [hT ]. П Оператор V, действующий на QL(X, Е) и QL(X,F), мы будем обозначать соответственно символами Т Е И Ї . Предложение 2.4.3. Пусть Т : Е —» F — регулярный оператор, причем \Т\ — оператор ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть I := р - q, где p,q є Sbl(X, ). Тогда, воспользовавшись предложениями 2.4.1, 2.4.2 и свойствами операторов Магарам, последовательно выводим: В дальнейшем для простоты и выразительности обозначений мы пишем V вместо Т Е и VF, а также Т о V вместо [hr] % и V о Т вместо VF о [hT]. Теорема 2.4.2. Пусть f : X — Е — квазидифференцируемое в точке х0 отображение и Т : Е —У F — регулярный порядково непрерывный оператор такой, что \Т\ — оператор Магарам. Тогда То f также квазидифференцируемо в точке Хо и Иначе говоря, для квазидифференциала V(Tof)(x0) = [d(To/)(x0), d(Tof)(x0)] имеют место представления ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. ИЗ теоремы 2.3.1 немедленно следует справедливость формулы (То/) (х0) = Го/ (х0); требуемые предположения выполняются тривиальным образом, так как Т линеен, регулярен и порядково непрерывен. По условию / (х0) Є QL(X,E), а ввиду предложения 2.4.2 Г о / (х0) є QL(X,F).

Таким образом, отображение То/ квазидифференцируемо в точке хо. Остается применить оператор V к равенству (Т о /) (х0) = Т о / (х0) и воспользоваться предложением Следствие. Выделим важный частный случай формул квазидифференцирования из теоремы 2.4.2, когда Т : Е — F - линейный оператор Магарам. В этом случае формулы для вычисления Рассмотрим вопрос о квазидифференцируемости бесконечной суммы. Зафиксируем непустое множество А. Символом /і (А, Е), как обычно, мы обозначим совокупность всех о-суммируемых семейств элементов Е, индексованных посредством А. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.4.1. Возьмем семейство отображений fa : X - Е" (а є А) и пусть хо Є core (dom (/а)) для всех (а є А). Будем говорить, что это семейство равностепенно квазидифференцируемо в точке хо по направлению h X, если существует убывающая к нулю последовательность (с„(-)) С 1Х(А,Е) такая, что для всех а Є А и п Є N. Выражение о-Х аєА fa(xo) следует понимать следующим образом: причем &$2a&AUa — множество линейных операторов Т є L(X,E), представи-мых в виде Тх = Теорема 2.4.3. Пусть X — векторное пространство, Е — произвольное К-пространство, А — произвольное множество. Пусть fa : X —ї Е (а Є А) — некоторое о-суммируемое семейство отображений и отображение f : X — Е определено равенством ПреДПОЛОЖИМ, ЧТО XQ Є СОГЄ (dom (/Q)) ДЛЯ ВСЄХ а Є А И СемеЙСТВО (/а)аєА равностепенно квазидифференцируемо по направлениям в точке XQ. ЕСЛИ ДЛЯ любого а є А существуют pa, qa є Sbl(X, Е) такие, что f a(x0) =pa-Qa (а Є А) и при этом (pa(h))aA,(qa(ti))aeA Є h(A, Е), то отображение f квазидифферен-цируемо в точке XQ и справедлива формула ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Учет ограничений типа включения

В этом параграфе выводятся необходимые условия экстремума для случая, когда в изучаемой задаче имеется ограничение в виде вхождения переменной в фиксированное множество. При этом условие регулярности последнего удобно формулировать, привлекая топологию в рассматриваемом векторном пространстве. В этой связи возникает необходимость определения топологического квазидифференциала. До сих пор мы рассматривали свойства квазидифференциалов, не привлекая топологию. Однако все результаты, полученные в параграфах 2.1-2.3, легко переносятся на случай топологических векторных пространств. Для этого достаточно изменить объем понятия квазилинейного отображения, понимая теперь под этим термином оператор, представимый в виде разности непрерывных сублинейных операторов. Пусть X — топологическое векторное пространство, Е — топологическое .ЙТ-пространство и Ас — алгебра непрерывных ортоморфизмов на Е. Как и ранее конус положительных элементов топологического ІІГ-пространства считается нормальным. Предложение 3.2.1 [29]. Пусть Р : X — Е — сублинейный оператор, причем dom (Р) = X. Если положительный конус Е+ в Е нормален, то равносильны утверждения: (a) Р равномерно непрерывен; (b) Р непрерывен; (c) Р непрерывен в нуле; (d) множество ЭР вквинепрерывно (= равностепенно равномерно непрерывно). Таким образом, в полном соответствии с предложением 3.2.1 двойственность Минковского д определяет биекцию между множествами непрерывных (всюду определенных) сублинейных операторов и эквинепрерывных опорных множеств. Символом QLC(X, Е) обозначим часть QL(X, Е), состоящую из квазилинейных операторов, представимых в виде разности непрерывных сублинейных операторов. Очевидно, что QLC(X, Е) — решеточно упорядоченный Ас-модуль. Модульные и решеточные операции, а также отношение порядка наследуются из QL(X, Е). Элементы QLC(X, Е) мы будем называть непрерывными квазилинейными операторами. Аналогично, совокупность эквинепрерывных опорных множеств CS A", Е) определяется как часть CSC(X,E), состоящая из опорных множеств непрерывных сублинейных операторов (предложение 3.2.1). Тождественное вложение id : CSl(X, Е) - CSC(X,E) в силу теоремы 1.3.1 продолжается до изоморфного вложения [id] Ас-модуля [CSl(X,E)] в Ас-модуль [CSC(X,E)]. Ввиду этого в дальнейшем мы будем считать, что [CS(.X, Е)] содержится в [CSC(X, Е)]. Ограничение изоморфизма Т , определенного в 1.3, мы обозначим символом Vе. Ясно, что Vе осуществляет изоморфизм Ас-модулей [CSl(X,E)] и QLC(X,E).

Предложение 3.2.2. Пусть l,h,...,ln Є QLC(X,Е) и а Є Orthc(). Тогда al, h + ...+ln, її V... V /n и її Л... Л ln — непрерывные квазилинейные операторы, и имеют место формулы ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Следует из предложений 1.3.3-1.3.5 и 3.2.1. D Укажем условия, при которых композиция непрерывных квазилинейных операторов будет непрерывным квазилинейным оператором. Предложение 3.2.3. Пусть X — топологическое векторное пространство, Е — топологическая векторная решетка, а F — топологическое К-пространство. Если L Є QLC(X, Е) и І Є QLC(E, F) — непрерывные квазилинейные операторы, причем имеется представление I = р — д, где р и g имеют общую непрерывную мажоранту, тоїоЬ QLC(A", F), т. е. оператор I о L будет непрерывным квазилинейным оператором. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Доказательство проводится так же, как в предложении 1.3.6, где в качестве общей мажоранты опорных множеств dp, dg можно взять непрерывный положительный оператор Л. Заметим, что для сохранения формул исчисления квазидифференциалов из 2.1-2.3 в топологическом случае достаточно потребовать, чтобы в определении 2.1.2 квазидифференцируемости производную по направлениям можно было представить в виде разности непрерывных сублинейных операторов. Дадим соответствующие определения. Пусть X — топологическое векторное пространство и Е — топологическое .ЙТ-пространство. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.2.1. Рассмотрим отображение / : X - Е и точку XQ Є core (dom (/)). Будем говорить, что f топологически квазидифференцируемо в точке Хо, если в этой точке существует производная Дини f (xQ)h по любому направлению h Є X в смысле определения 2.1.1 и отображение / (жо) : h —У f (xo)h (h Є X) представляет собой непрерывный квазилинейный оператор. Итак, если отображение / топологически квазидифференцируемо в точке Жо, то квазилинейному оператору / (жо) Є QLC(X,E) в силу двойственности Мин-ковского отвечает элемент V(f (xo)) Є [CSc(X, Е)], который называют топологическим квазидифференциалом / в точке Жо и обозначают символом T cf(x0). Если / (жо) допускает представление в виде разности непрерывных сублинейных операторов р и q, то Vcf (XQ) = [dp,dq]. При этом опорные множества др и dq называют соответственно топологическим субдифференциалом и топологическим супердифференциалом отображения / в точке ж0 и обозначают символами dcf(x0) и /(жо) соответственно. Итак, Х с/(ж0) := [dcf(xo),dcf(xo)]. Формулы, составляющие исчисление топологических квазидифференциалов, выводятся так же, как и в главе 2.

Приведем соответствующий результат. Предложение 3.2.4. Пусть X топологическое векторное пространство и Е — топологическое К-пространство. Пусть А Є Orthc( ) и отображения / /ь )/п : X — Е ид : X — Oithc(E) топологически квазидифференци-руемы в точке жо Є core (dom (/)) П core (dom ( ?)) или жо Є П"=ісоге (dom (/ )). Тогда отображения fx + ...+fn, A/, gf, /x V... V /„ и /і Л... Л /„ — квазидиффе-ренцируемы в точке XQ, причем для вычисления Vc(fi+. --+/7,),2 ( /), (gf), T2{h V V fn) и T2c(fi Л... Л /„) имеют место формулы из теорем 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3, 2.2.2 с заменой V на Vе. Если для каждого ж Є core (dom (g)) ортоморфизм g(x) обратим, то отображение \jg топологически квазидифференцируемо в точке XQ И имеет место теорема 2.1.4 с заменой V на Vе. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Следует из теорем 2.1.1 — 2.1.4, 2.2.2 и предложения 3.2.1. Предложение 3.2.5. Пусть X — топологическое векторное пространство, а Е и F — топологические К-пространства. Пусть отображения f : X - Е и g : Е —у F удовлетворяют всем условиям теоремы 2.3.2 и, кроме того, они топологически квазидифференцируемы в точках XQ Є core (dom (/)) и во := /(ж0) Є core (dom (g)) соответственно. Предположим также, что квазидифференциал ТУсд{ео) = [&:д(ео),дсд(ео)] определяется парой опорных множеств дд(ео) И дсд(ео), имеющих общую непрерывную равномерную мажорадту. Тогда отображение go f квазидифференцируемо в точке Хо и квазидифференциал Т)с{д о /)(х0) может быть вычислен по формулам из теоремы 2.3.2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Следует из теоремы 2.3.2 и предложения 3.2.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.2.2. Пусть С подмножество X и хо Є С. Конус допустимых направлений Fd(C,x0) множества С в точке XQ вводится формулой: Множество С называют К-регулярным в точке х0, если К — выпуклый конус и К С cl (Fd(C,xo)). Для /(-регулярного в точке XQ множества С вводится нормальный конус NE(C,x0) := пЕ(К) = {Т : Тк 0, к Є К}. Как видно, нормальный конус к множеству в точке определяется неоднозначно. Предложение 3.2.6. Пусть множество С С X К-регулярно в точке х0 Є С, а отображение / : X —» Е квазидифференцируемо в той же точке XQ Є core (dom (/)). Для того, чтобы XQ была идеальным локальным оптимумом программы (С,/), необходимо, чтобы выполнялось включение ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть хо Є является идеальным оптимумом векторной программы (C,f). Так же, как и в 3.1.1 выводится, что f (xo)(h) 0 для всех h Є Fd(C,Хо). Но в рассматриваемой ситуации оператор / (хо)(-) непрерывен, следовательно, неравенство f {xo)(h) 0 выполняется для всех h Є cl (Fd(C,x0)).