Содержание к диссертации
Введение
Глава I Двойственность дифференциалов Прима на компактной римановой поверхности 19
1. Топологические и аналитические свойства группы характеров для компактной римановой поверхности 19
2. Общая g-двойствешіость мероморфных дифференциалов Прима на компактной римановой поверхности 28
1 2.1 Мультипликативные функции, дифференциалы Прима и их дивизоры на римановой поверхности 28
2.2 Пространства строго двойственных дифференциалов Прима 31
2.3 Общая строгая q-двойственность дифференциалов Прима 42
Глава II Нормированные пространства мультипликатив ных автоморфных форм 52
1. Нормированные пространства измеримых и голоморфных мультипликативных автоморфных форм 52
1.1 Мультипликативные автоморфные формы .52
1.2 Мультипликативные операторы 55
1.3 Мультипликативные функционалы 69
1.4 Теорема вложения для пространств мультипликативных голоморфных автоморфных форм 73
2. Модифицированные операторы Берса и двойственность мультипликативных голоморфных форм 77
2.1 Предварительные сведения 77
2.2 Модифицированный оператор Берса, обращающий ха-ь рактер формы 79
2.3 Модифицированный оператор Берса, ^-двойственно меняющий порядок формы 85
2.4 Композиция модифицированных операторов Берса 90
2.5 Модифицированный оператор Берса и общая (#,/?)-двойственность голоморфных форм 93
Глава III Конформные автоморфизмы компактных римановых поверхностей, подмногообразия в простран ствах Шоттки и Тейхмюллера 98
1. Предварительные сведения 98
2. Плоские модели для компактных римановых поверхностей с двупорождёнными группами конформных автоморфизмов 103
2.1 Структура множества неподвижных точек циклической группы конформных автоморфизмов 103
2.2 Двупорождёпная группа автоморфизмов типа (а,в) 105
2.3 Двупорождённая группа автоморфизмов типа (б,в) 114
3. Подмногообразия в пространстве Шоттки и Тейхмюллера, связанные с двупорождёнными группами конформных автоморфизмов 120
3.1 Двупорождённая группа конформных автоморфизмов (W,M) 120
3.2 Двупорождённая группа конформных автоморфизмов {Р,М) 140
Список литературы
- Общая g-двойствешіость мероморфных дифференциалов Прима на компактной римановой поверхности
- Общая строгая q-двойственность дифференциалов Прима
- Теорема вложения для пространств мультипликативных голоморфных автоморфных форм
- Двупорождёпная группа автоморфизмов типа (а,в)
Введение к работе
Актуальность темы. Данная диссертация связана с функциональным анализом в пространствах мультипликативных автоморфных форм (дифференциалов Прима) и тополого-аналитичоским исследованием подмноїчюбразий в пространствах Шоттки и Тойхмюллера для двух классов компактных римановых поверхностей с двупорождёнными группами конформных автоморфизмов.
Классическая теория однозначных мероморфных функций и дифференциалов на компактной римановой поверхности была постіюона в работах А. Пуанкаре, Ф. Клейна, Л. В. Альфорса, Л. Берса, И. Кра [4, 9,12|. Теория однозначных измеримых автоморфных форм была развита Л. Ворсом, И. Кра в работах |2, 4, 9, 12|. Вся эта классическая теория соответствует тривиальному характеру р =- 1. В работах Ф. Прима, Г. Роста, П. Апполя [11] впервые были изучены мультипликативные функции и дифференциалы (дифференциалы Прима) для специальных классов характеров. Они нашли многочисленные приложения в теории уравнений математической физики - работы Дж. Фея, С. П. Новикова, И. М. Кричовера, И. А. Тайманова, в теории векторных расслоений над римановыми поверхностями и комплексными многообразиями Р. Ганнинг, Дж. Кемпф, в аналитической теории чисел - Г. Петерсон, Дж. Фей, Дж. Йоргснсон, X. М. Фаркаш, А. Б. Венков,-П. Г. Зограф. Принимая во внимание такую практическую ценность мультипликативных объектов для специальных характеров, Р. Ганнинг [8] начал, а В. В. Чуешов [15, 11] продолжил гохяроенис общей теории мероморфных дифференциалов Прима для общих характеров на компактной римановой поверхногтги.
Результаты глав I и II в данной работе относительно пространств мультипликативных (измеримых, мероморфных и голоморфных) автоморфных форм для произвольного характера р интересны самостоятельно и могут быть использованы в теории краевых задач на компактной римановой поверхности, а также при алгебрс-гсометричсском интегрировании ряда нелинейных уравнений математической физики.
Изучению пространств Тейхмюллера, Шоттки и их подпространств, были Посвящены работы Л. В. Альфорса, Л. Берса, Р. Рёди, К. Эрла, В. Г. Шерето-ва, В. В. Чусшева. Л. В. Альфорс [4] изучил топологические и аналитические свойства подмногообразия в пространство Тейхмюллера, состоящего из гиперэллиптических римановых поверхностей. Р. Рёди [1] исследовал компактные ри-мановы поверхности, вложимые в R1' вместе с конформным автоморфизмом. К. Эрл [7} начал изучение относительных пространств Тейхмюллера, связанных с компактными римановыми поверхностями, допускающими группы конформных автоморфизмов. В. Г. Шсретов [5, 6] и В. В. Чуешев [3] изучали подмногообразия в пространстве Тейхмюллера, в пространствах групп Шоттки и Кобл, связашые
РОС НАЦИОНАЛЬНА»і
3 БИБЛИОТЕКА [
с циклическими группами конформных и антиконформных автоморфизмов.
В главо III исследуются подмногообразия и укачанных пространствах для двупорожденных групп конформных автоморфизмов. Эти группы интересны не только как продолжение гщклических, но также и потому, что для них ещё возможно построить плоские конформные модели и с учетом этого выписать явные координаты в пространстве римановых поверхностей, допускающих конечные группы конформных автоморфизмов.
Цель работы.
-
Найти и изучить мультипликативные модификации операторов Борса и проектирования измеримых форм на голоморфные, а также функционалы в нормированных пространствах мультипликативных автоморфных форм (дифференциалов Прима); исследовать oGnryjo (q, р)-двойственноеть мероморфных и голоморфных дифференциалов Прима.
-
Исследовать подмногообразия в пространствах Шоттки и Тейхмюллера, соответствующие двум классам компактных римановых поверхностей с двуяо-рождёнными группами конформных автоморфизмов.
Основные результаты.
1) Получены обтцио формы теоремы Римана-Роха:
для строгой кдассической двойственности с помощью нового понятия - индекса двойственной дополнительности и
для введённой общей строгой (/-двойственности мероморфных дифференциалов Прима на компактной римановой поверхности.
-
Найдены универсальная оценка нормы и свойство "самосопряжённости" оператора проектирования измеримых мультипликативных автоморфных форм на голоморфные и двухсторонние оценки норм линейных функционалов для пространств голоморфных мультипликативных автоморфных форм.
-
Введены и изучены четыре мультипликативных модификаций оператора Берса и соответствующие им билинейные спаривания Петерсона, в связи со всеми основными видами двойственности голоморфных мультипликативных автоморфных форм.
-
Исследованы топологическая и аналитическая структуры подмногообразий в пространствах Тейхмюллера и Шоттки для двух классов компактных римановых поверхностей с двупорождёнными группами конформных автоморфизмов.
-
Найдены явные плоские (конформные) модели и глобальные координаты для EST-прупп, униформизируюіцих такие поверхности.
Методы исследования. В диссертационной работе используются методы интегрального исчисления функций комплексных переменных, техника работы с дивизорами на компактной римановой поверхности, теории пространств Тейхмюллера и плоских квазиконформных отображений.
Научная новизна, теоретическая и практическая ценность. Все результаты являются новыми. Они носят теоретический характер и могут быть использованы для дальнейшего развития функционального анализа пространств мультипликативных автоморфных форм и в теории векторных расслоений над пространством Тсйхмюллсра и группой характеров.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре отдела геометрии и анализа Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН под руководством академика РАН Ю. Г. Решетника (2006), на семинаре «Геометрические структуры на многообразиях и орбифолдах» Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН под руководством д. ф. -м. н. А. Д. Медных (2003, 2005), на семинаре «Многомерный комплексный анализ» кафедры теории функций Красноярского государственного университета под руководством д. ф. -м. н. А. К. Циха (2006), а также на Международной школе-конференции «Геометрический анализ и его приложения» (г. Волгоград, 2004), на Международной школе-конференции по анализу и геометрии, посвященной 75-лотию академика РАН Ю. Г. Решетника (г. Новосибирск, 2004), на IV Веесибиреком конгрессе женщин-математиков и в конкурсе молодых ученых, посвященных памяти С. В. Ковалевской (г. Красноярск, 2006), на XLIII Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (г. Новосибирск, 2005). Кроме того, вес результаты работы докладывались на семинаре «Римановы поверхности» кафедры математического анализа Кемеровского государственного университета под руководством д. ф. -м. н. В. В. Чусшева.
Публикации по теме диссертации. Результаты диссертации изложены в работах [13]-[21].
Структура и объем диссертации. Диссертация изложена на 147 страницах и состоит из введения, 3 глав (1,11, III), подразделённых на 7 параграфов и 17 пунктов, и списка литературы из 37 наименований.
Автор выражает благодарность своему научному руководителю д. ф. -м. н. В. В. Чуешеву за постановку задач и постоянное внимание к работе.
Общая g-двойствешіость мероморфных дифференциалов Прима на компактной римановой поверхности
Мультипликативной функцией / для р на F называется многозначная мероморфная функция такая, что аналитическое продолжение любой её ветви f в окрестности U(PQ) точки PQ по любой петле 7 з Ро приводит к другой её ветви /(Р)7 = pi fiP), где Р Є U(PQ). По-другому, мультипликативной функцией f для р на F называется однозначная мероморфная функция f на Д такая, что f(Tz) = p(T)f(z),z G А,Г G, где F = A/G.
Если /о - мультипликативная функция на F без нулей и полюсов, то гР 9 MP) = lo(Po) exp / 2тш , Cj Є С, j = 1,..., g, P Є F; JPo j=l причём характер p для /о является несущественным, а сама такая функция /о называется мультипликативной единицей. Определение 2.1.2. Мероморфным q-дифференциалом Прима ф для р на F называется мероморфная однозначная дифференциальная q-форма ф = ф{)&%4 на А такая, что ф(Тг)( 1Тг)1 = р{Т)ф{г)йг\ге Д,ГеС. Определение 2.1.3. Дивизором на римановой поверхности F называется формальное произведение D — Р"1 ...Р к, Pj Є F, rij Z, j = 1,..., к.
Будем обозначать через Div(F) группу дивизоров на F с операцией умножения [17, 19]. Она является свободной коммутативной группой. Единица в Div(F) - пустой дивизор, который обозначаем 1. Для каж к дого дивизора D определена его степень degD = J Чг Степень deg }= задаёт гомоморфизм из группы (Div(F), ) в (Z, +).
Если h однозначная мероморфная функция на F, не являющаяся тождественным нулём, то определён её дивизор (h) = П / 0Г Л PeF Div(F). Дивизоры однозначных мероморфных функций на F называются главными. Множество главных дивизоров обозначаем DWH(F). Такие дивизоры имеют нулевую степень, так как для любой мероморф-ной функции число нулей равно числу полюсов (с учётом кратности). Два дивизора D\ и D i называются линейно эквивалентными ( i 1Ц, если D\jD% - главный дивизор. Фактор-группа Div(F)/ DWH{F) называется группой классов дивизоров [17, 19].
Если О Ф со - однозначный мероморфный -дифференциал на F, то определён его дивизор (и) — YI Р0 Є Div(F). Дивизор для PeF мероморфного g-дифференциала называется -каноническим дивизором. При q = \ это просто канонический дивизор, который обозначаем Z. Если ш\ и Ш2 - отличные от тождественного нуля мероморфные q-дифференциалы, то - - мероморфная функция на F и, следовательно, класс дивизора (и{) совпадает с классом дивизора (си2) и называется q-каноническим классом. Известно [17, 19], что степень любого дивизора из q-канонического класса равна q(2g — 2).
Определение 2.1.4. Дивизор D — Yl Рп называется целым (обо PeF значаем D I), если п(Р) 0 для всех Р Є F. Ввиду этого можно ввести ([17]) частичный порядок на дивизорах, а именно: считаем Di / (-Oi кратен /)) если и только если D D 1 1. Для мультипликативных мероморфных функций / и q-дифференциалов Прима ф на F для р корректно определены нули и полюсы, а значит, и дивизоры (/) и (ф) соответственно, для которых deg(f) = 0, а\ед(ф) = q(2g - 2). Кроме того, (f) Є Z«, где Z -g-канонический класс дивизоров, содержащий дивизоры всех однозначных мероморфных q-дифференциалов на F. В [17] доказано, что каждый нетривиальный характер р является характером некоторой мультипликативной функции / на F, не равной тождественно нулю.
Для любого дивизора D на компактной римановой поверхности F рода д 1 и любого характера р определены комплексные векторные пространства: CP(D), состоящее из мультипликативных мероморфных функций / на F для р таких, что (/) D, и Щ(В) - пространство мероморфных g-дифференциалов Прима ф — ф{г)йгч па F для р таких, что (ф) D, где q %. Обозначим через rp(D), ip (D) комплексные размерности этих пространств соответственно, при этом будем считать ipfi(D)=rp(D)uipA(D) = ip(D).
Теорема 2.1.2. ([17], Абеля для характеров) Пусть D - дивизор на отмеченной компактной римановой поверхности [F: {а , Ь } =1] рода g 1 и р - характер. Тогда D будет дивизором мультипликативной функции f па F для характера р degD = 0 « №) = ш Eln )e(i) - Eln (i) = w e отмеченном многообразии Якоби J{F), т. е. Сд по модулю целочисленной решетки L(F), порождённой столбцами е \ ..., е и ж ,...,7Г матриц а- и b-псриодов для канонического базиса Сь Сд двойственного к каноническому гомологическому базису на F, где р отображение Якоби для F с базисной точкой PQ.
Пространства строго двойственных дифференциалов Прима Пусть F - компактная риманова поверхность рода g 1. Определение 2.2.1. Два мероморфных дифференциала Прима ф\ — фі(г)(1г1 с характером pi и фч = ф2(г)о1гт с характером р2 на F называются q-двойственными, если р\ р2 = 1 и I + т = q Є %, т. е. ф\{х)о\г1 ф2(г)о1гт - однозначный q-дифференциал на F.
Определение 2.2.2. Два мероморфных дифференциала Прима ф\ — фі{г)оІг1 для р\ и фч — ф2{ )о1гт для р2 на F называются строго q-двойствеиными, если они q-двойственны и (фі) , (фч) D для некоторого дивизора D на F, т. е. фі(г) іг1ф2(г)оІгт - голоморфный однозначный q-диффереициал на F.
Если q = 1, то как и в [19] определение 2.2.1 (2.2.2) даёт классическое понятие двойственности (строгой двойственности) дифференциалов фі И 02 Докажем сначала, что теорема 1.3.3 в [19], а именно, ее равенство V (Q -Q) =S + (V- г№ - Ч + VM-/№ -..Qs) (2. 1) справедливо также для случаев: 1) I 0,(/ 2; 2) g = 1, I - любое. Рассмотрим эти случаи. 1.1. Если д 2 и I — О, то по теореме 2.1.1 ([17], Римапа - Роха для характеров) Ч )=Чта)=з-5+і+і - №---ад (2-2) где (2. 2) - частный случай равенства (2. 1) для I = 0, д 2. 1.2. Если д 2, I О, то п = -1,п 1,п Є N. Пусть ф — ф{г)в,21 - мероморфный ненулевой J-дифференциал Прима для р, имеющий (с учётом кратности) s полюсов Qi,...}Q3i т. е. ф Є ft1 iQ гQ J ,cj (z)dzl = f {z)dz n. Тогда ф также имеет s + (2g 2)l( s) нулей, так как I 0. Зафиксируем ф\ — ф\{г)йгп - голоморфный п-диффсреициал Прима для с нулями Лі, - -., R(2g-2)n- Тогда f(z) = ф{г) іх пфі{г)(ігп = ф(г)фі(г) - однозначная мероморфная функция с дивизором (/) Д1 %;а)и, т.е. f вС ( ). Так как deg Q) = (2д — 2)п — Р — N 0, где N,P - число нулей и полюсов у ф соответственно, и Р — s, то 0 (2д — 2)n = s — N s. По построенному каноническому изоморфизму
Общая строгая q-двойственность дифференциалов Прима
Пусть D - ограниченное открытое множество в С, конформно эквивалентное единичному кругу Д, G - отмеченная конечнопорождён-ная разрывная группа конформных преобразований множества D на себя такая, что D/G = F - отмеченная компактная риманова поверхность рода д 2. Пусть A = XD задаёт метрику Пуанкаре на D по правилу: для конформного отображения / : Д — D М/(г))Д )1 = ЫО, z Є А, где Лд(2) = , z Є Д, - плотность метрики Пуанкаре в единичном круге Д. Известно ([22]), что для любого конформного преобразования множества D справедливо равество \_A(})(AZ)\A (Z)\ = Az?(z), z Є D.
Если д : D —» С - голоморфное отображение, то для целого q и любой функции ц на g(D) определена функция на D по формуле ([22]): (g qtp)(z)= p(g(z))g (zy, z Є D. Причём для другого голоморфного отображения h : g{D) — С имеем Зафиксируем целое q 2 и пусть р Є Hom(G, С ). Определение 1.1.1. Измеримой мультипликативной автоморфной формой порядка q с характером р на D называется класс эквивалентности (по модулю функций, обращающихся в нуль почти всюду на D) измеримых функций р, удовлетворяющих условию А р — р(А)р: или p(Az)A\z)q = p{A)p{z) для любого A eG,z Є D. (1. 1)
Мультипликативная автоморфная форма ц порядка 0 с характером р на D называется мультипликативной функцией, т. е. в этом случае p{Az) — p(A)tp(z),A Є G,z є D. Необходимо, чтобы все определения были инвариантны относительно отображений / для всех конформных отображений / области D. Таким образом, какое бы условие не наложили на мультипликативную автоморфную форму р, на D, оно должно выполняться также для мультипликативной автоморфной формы {f l) fi на /(D).
Пусть р является мультипликативной автоморфной формой порядка q для произвольного характера р на Dt т. е. выполняется условие (1. 1). По теореме Фаркаша - Кра ([ 1Т],I; 1.3) для любого характера р Є Hom(G, С ) существует единственный несущественный характер pi такой, что - будет нормированным характером для G. Пусть f\ -мультипликативная единица для несущественного характера pi, т. е. мультипликативная функция для р\ без пулей и полюсов на D. Тогда на векторном пространстве мультипликативных автоморфпых форм р порядка q для характера р на D определим норму следующим образом: для любого вещественного числа р 1 положим Ясно, что рз,р,б\/? удовлетворяет всем аксиомам нормы, а выражение, стоящее под знаком интеграла, инвариантно относительно преобразований из группы G, т. е. Измеримые мультипликативные автоморфпые формы д, у которых g,p,G,p оо, образуют банахово пространство C?(Dy G, р) р-интегрируемых мультипликативных форм для характера р. Формы, у которых
С учётом инвариантности подынтегральных выражений относительно группы G, в формулах (1. 2) и (1. 4) интегрирование производится по произвольной локально-конечной фундаментальной облаети группы G в D (т. е. её граница имеет нулевую двумерную меру Лебега и любой компакт из D пересекается только с конечным числом образов этой фундаментальной области по группе G).
Для 1 р со билинейное спаривание Петерсона устанавливает изометричный антилинейный изоморфизм между pq (D, (7, р) и (P(D, G,p)) - пространством, сопряжённым K?(D, G,p). Это следует из теоремы Рисса для сопряженных функциональных пространств, [23, 24]. Отметим также, что при р — 2 (1. 4) задаёт скалярное произведение в гильбертовом пространстве.
При любом р голоморфные формы в P(D, G, р) образуют замкнутое подпространство, которое будем обозначать A (D} G}p).
Если группа G — {id}, то в обозначениях рассматриваемых пространств символ G будем опускать. Замечание 1.1.1. Если д : D — С - конформное отображение, то для любой формы (р Є Ap,(g(D),gGg 1,p) имеем 9q [f-j Mq,P,gG9-\ для всех ц Є AP{g{D), gGg \ р): ф Є A${g{D),gGg-\ р), где i+± - 1. Здесь для нормированного характера ро норма и билинейное спаривание определяются также как в классическом случае, когда р — 1.
Теорема вложения для пространств мультипликативных голоморфных автоморфных форм
Пусть С - квазиокружность в С, то есть ориентируемая жорданова кривая в С, которая является образом единичной окружности но квазиконформному отображению; D\ — IntC, D2 = ExtC, X(z)\dz\ -метрика Пуанкаре в D\ U D%
Пусть G - квазифуксова группа дробно-линейных преобразований С с неподвижной кривой С, инвариантно действующая на D\ и 1.
Для мультипликативных автоморфных / форм ф\ и / 2 одного порядка q 2 из пространств A?(D, G, р) и A? (D, G, р) соответственно, где -f - — 1, определим билинейное спаривание по формуле W, W,. = i//D/GAW- M„A (2.1)
Здесь область D либо совпадает с Di, либо с D%. Отметим, что использованная ранее (в 1) формула (1. 4) для билинейного спаривания форм одного порядка не содержала постоянный множитель . Он был включён в явное задание кернфункции K(z,Q, с которой были связаны все основные исследования.
Для дальнейших оценок по норме рассматриваемых пространств полезными оказываются следующие известные факты: Лемма 2.1.1. [26] Если D - жорданова область и А — А задаёт метрику Пуанкаре на D, то для любой z D \(z)\z-dD\ \, (2.2) где dD - граница D, \z — 0D\ = inf \z — zA. z edD Для вышеопределённых С, D\ и D% ясно, что dD\ = С = dD i и для любых z А, С Є А верно z — Cj [z — С) К С\ \z — С\. Кроме того, справедлива
Лемма 2.1.2. [26j Для каотдого целого q 2 и фиксированного z Є D i функция quz — (r-z) - ь голоморфна на D\ и верна оценка Jj А(С) .—2— , ]г_Св- (2- 3)
Отметим также, что функция тт—рї; как функция двух переменных С є Di,z 1) симметрична и обладает свойством инвариантности относительно группы G, а именно (AC-AZ)2I (С-2)ЫА\$ А (г)ч для любых Є G, 2 g Є Z. Далее будем исполь зовать константу kq = -—— -. Определение 2.1.1. [22] Измеримая на С функция fiq(z), 2 q Є N; называется обобщённым коэффициентом Белътрами для разрывной группы Г дробно-линейных преобразований С с лтоэюеством разрывности Г2(Г) и предельным мнооїсеством Л(Г) = С \ П(Г), если и М л(г)= 0, fi(Az)A,(z)l qA (z) = ji{z), для любых А 6 Г, z Є П(Г) почти всюду на С 1 (2)1 ГА(2)2_(г, где К = const. (2.4) 2.2 Модифицированный оператор Берса, обращающий характер формы Пусть ц - это голоморфная (q, р)-форма на ! относительно группы G, g 2. Зададим оператор Берса по формуле Hlj\c-%mLfA zeD" (2"5)
где /і - единица для несущественного характера pi, соответствующего р по разложению Фаркаша-Кра, Тогда после действия оператора S "71 получаем голоморфную (q, )-форму B ip на D2, т. е. формы B mip и с являются /J-двойственными. Действительно, так как D\ инвариантна относительно действия группы G, то имеем Поэтому (2. 8) определяет голоморфную форму (B(fm(p)(z) f\(z) для z А и, следовательно, для z Є D2. Покажем теперь, что множитель у-т- у, z 2) локально не влияет на сходимость интеграла в (2. 8), а значит, из доказанной аналитичности произведения (B om(p)(z) fi(z) следует аналитичность формы (B om(p)(z), z Є /. Для этого сначала зафиксируем некоторую локально конечную фундаментальную область и) 2- Тогда для любой ZQ Є ш всегда найдётся окрестность U(ZQ), целиком содержащаяся выи такая, что функция f\{z) в этой окрестности отграничена от нуля и бесконечности, т. е. существуют константы т и М, 0 m М оо такие, что т \fi(z)\ М для всех z Є U{z0) (2. 9)
Действительно, если предположить, что для любой окрестности U(ZQ) точки ZQ и для любого т О существует z Є U(ZQ), для которой /і(г) m, то существует последовательность точек zn Є to, такая что zn —» ZQ, п — оо, и fi(zn) — 0, n — 00. Но в силу непрерывности функции /і получаем, что /I(ZQ) = О, А это противоречит отсутствию нулей у функции /і. Аналогично доказывается, что /і отграничена от оо на и. Таким образом, f\ локально на w отграничена от нуля и бесконечности. Пусть теперь ZQ Є D I - произвольная точка на Дг. По свойствам фундаментальной области существуют преобразование Т є G и точка zo Є и такие, что SQ = T{ZQ). Рассмотрим окрестность точки Q В виде V(zo) = T(U(ZQ)), где U(ZQ) - окрестность точки ZQ, в которой выполняется условие (2. 9). Для каждой z Є V{ZQ) существует z U(ZQ) такое, что z — T{z ). Следовательно, fi(z) — p{T)f\{z ). Так как 0 m fi{z ) М ооиО p(T) со для каждого фиксированного Т, то /i(z) отграничена от 0 (и от со). В силу произвольности ZQ значения fi(z) отграничены от 0 (и от со) в некоторой окрестности любой точки z из 2. Поэтому Yjjpr (и fi{z)) локально на 1 принимает конечные значения и, следовательно, после умножения обеих частей в (2, 8) на yjpj получим интеграл, определяющий голоморфную мультипликативную форму BQ0711 ) (умножение на локально ограниченную аналитическую функцию не нарушает голоморфности).
Двупорождёпная группа автоморфизмов типа (а,в)
Определение 2.2.1. Тройкой (F;W,М) вида (а, в) назовём тройку (F;W,M), для которой пары (F}W) и (F,M) вида а) и в) соответственно и выполняются условия совместимости этих пар, а именно: WM = MW} k N и существует т Є N, такое что k — Nm.
Заметим, что множество неподвижных точек для М на F является инвариантным относительно действия степеней автоморфизма W (т. е. относительно циклической группы W ), так как если М(&) = &, то M{Wl(&)) = И" (М«0) = W(6), I = 1,.... 2k,j = О,..., N - 1, 105 и W3(i) - снова неподвижная точка автоморфизма М.
Возьмем одну из неподвижных точек для М, например, i и рассмотрим орбиту [i] этой точки по действию W , т. е. Ki] - {tuWifa W fa)}. Так как 2к N, найдется неподвижная точка &, которая не входит в орбиту [i]. Всегда можно перенумеровать неподвижные точки для М так, чтобы г — 2. Теперь рассмотрим орбиту [2] = {&, И7 ), ..., 1)}. Покажем, что [і] П [2] 0- Предположим противное, что существуют ji,j2, ji = 0,..., ЛГ — 1, J2 = 0, ...,iV — 1, такие что И"1 (&) = Wa(&). Тогда WN oW ) = WN-i oWH&), WN{&) = WN о W " ( i)j 2 W i). Получаем противоречие, так как известно, что \J2 — ii = 0,..., N — 1 и 2 - [1].
Если 2к 2N, т. е. m 1, то существует „, которое не входит ни в одну из орбит [i], [ 2]. По той же причине, как и выше, можно считать, что п = 3. Таким образом, множество из 2к неподвижных точек для М разбивается на N групп, каждая из которых содержит по 2га = Щ точек, и эти группы циклически переставляются при действии W . Следовательно, можно занумеровать эти точки так, что i,l = 1,..., 2m, принадлежат /ntfrUWfr)) и WJ ({&, -, &m}) Є /ni(W (7)U И" +1(7)),І - 1,..-,Я-1.
Докажем, что можно выбрать множество кривых 7ь соединяющих неподвижные точки 2/-1 и г для М на J7, / = l,...,fc, так, чтобы множество замкнутых кривых 7JUM(7J), J = 1,..., к, было инвариантно относительно группы W . Действительно, И/% U МЫ) = И Ы и ШЫ) = Wj(y) U M(W (7i)), / = 1, ...,m, j = 1,..., JV— 1.
Рассмотрим фактор-поверхность F/ W . На ней действует конформный автоморфизм М" второго порядка, индуцированный М на F, т. е. для -к : F - F/ W верно 7г о М = М о ж. Покажем, что М будет корректно определен, М2 = idji М осуществляет взаимнооднозначное отображение. Из 7гоМ2 = Мо-коМ следует, что М2 — id.
Для двух различных точек р\ и рч на поверхности F предположим, что 7г(рі) ф 7г(рг)) т. е. орбита по W для рі не пересекается с орбитой по W для Р2- Так как М - взаимно-однозначно, то образы по М этих орбит тоже не пересекутся и, следовательно, М также взаимно-однозначно. Проекции неподвижных точек i, ...,2т Для М по 7Г : -F -+ F/ W будут неподвижными точками l,...,2m Для М. По лемме 2 в [1] получаем кривые 7ь которые соединяют з/-і и ь / — 1, ...,т, на І 1/ W , а замкнутые кривые 7i UM(7f), ї — 1, ...,m, разбивают F/ VK на две части. Поднимая эти кривые на F в /n(7 U 1 (7)) = І Ь и распространяя их по W на остальные " кольца" ЇУ (Int (7 U W(7)))j j — 1,..., N — 1, получим на F требуемое семейство кривых 7ь == 1,.-, к.
Поверхность FQ "симметрична"по М. Проведём гладкую простую кривую 5i на FQ, не пересекающуюся с 7;UM(7/), I = 1,..., m, и транс-версально пересекающую 7 и 7) в точках р и W(p) соответственно. Тогда 5 — #i U W{6{) U ... U ИлЛГ_1( і) и М( 5) будут замкнутыми кривыми на F. Часть FQ поверхности F является компактной римановой поверхностью рода 2(g+s)+m с двумя граничными кривыми 7 и W(7), симметричной относительно М. Тогда для Fpo h — [2( 7+s)+m]iV+l.
Построим плоскую топологическую модель для тройки (F; W, М) вида (а, в). Зафиксируем а, а 1. Построим полукольцо К\ — {1 \z\ a,Imz 0}. В К\ проведём следующие непересекающиеся, расположенные внешним образом друг к другу кривые: 2д окружностей Гі, , ...,Гд, Т д; s круговых четырёхугольников Лі,...,Л5; m окружностей Ci:..,,Cm с центрами на оси у, где m — . Положим A i( ) — — z и WiC ) — а2) z С Применяя Mi к Л"і, получим кольцо К\ и в нём дополнительно следующие кривые: окружности Гд+і — Мі(Г$),Г +і — Мі(Г5),і = 1,--.,5) круговые четырёхугольники A3+j = MI(AJ),J = 1,.-,5, и окружности С/ — Mi(Ci),l = 1,...,m. (Рисі).
