Содержание к диссертации
Введение
1 Спектральные свойства плоских трехмерных многообразий 17
1.1 Плоские компактные 3-многообразия 17
1.2 Спектральная теория оператора Лапласа — Бельтрами на ри-мановых многообразиях 21
1.3 Функции следа плоских компактных 3-многообразий . 24
1.4 Изо спектральность плоских компактных 3-многообразий . 33
1.5 Пример изоспектральных, но неизометричыых плоских компактных 3-многообразий 53
1.6 Полный список функций следа плоских компактных 3-мно- -гообразий 55
2 Спектральные свойства плоских двумерных орбифолдов 59
2.1 Плоские компактные 2-орбифолды 59
2.1.1 Основные определения и обозначения 59
2.1.2 Классификация компактных 2-орбифолдов 61
2.2 Спектральная теория оператора Лапласа — Бельтрами на ри-мановых орбифолдах 74
2.3 Функции следа плоских компактных 2-орбифолдов 77
2.4 Изоспектральность плоских компактных 2-орбифолдов . 87
2.5 Полный список функций следа плоских компактных 2-орбифолдов 99
3 Конические многообразия на твист узлах и зацеплениях 105
3.1 Основные определения обозначения 107
3.2 SU(2)-представления двухмостовых узлов и зацеплений . 112
3.3 SU(2)-представления твист узлов 121
3.4 Теорема Хоста — Шанахана 125
3.5 SU(2)-представления твист зацеплений 127
3.6 Примеры 133
Литература 139
- Спектральная теория оператора Лапласа — Бельтрами на ри-мановых многообразиях
- Пример изоспектральных, но неизометричыых плоских компактных 3-многообразий
- Спектральная теория оператора Лапласа — Бельтрами на ри-мановых орбифолдах
- SU(2)-представления двухмостовых узлов и зацеплений
Введение к работе
Данная работа связана со спектром оператора Лапласа — Бельтрами (или, для краткости, лапласиана) Д = —div grad на компактном римано-вом многообразии и орбифолде без края. Будем говорить, что два многообразия М и М' (орбифолда V и V) изоспектралъны, если спектры лапласианов на многообразиях М и М' (орбифолдах V и V) совпадают.
Один из самых ранних результатов по спектральной теории оператора Лапласа — Бельтрами, который устанавливает взаимосвязь между собственными значениями лапласиана и геометрическими свойствами соответствующих областей, является асимптотический закон Г. Вейля [54, 55, 56] 1911 г.:
k v ' vol(M) Здесь Afc(M) — fe-oe собственное значение лапласиана на компактной области М С Ш.т с граничными условиями Дирихле; о,п — константа, зависящая только от размерности т, а ~ обозначает асимптотическое равенство при к —» со. Основанием современной спектральной теории многообразий можно считать работы 1949 г. С. Минакшисундарама, Э. Плейжеля [44] и Г. Мааса [37]. В работе [44] приведено доказательство спектральной теоремы (теорема 1.5) в случае любого компактного риманова многообразия. В 1959 г. X. Хубер [32] ввел новое геометрическое понятие спектр длин — последовательность длин замкнутых геодезических, записанных в возрас-
тающем порядке, и доказал, что для компактных риыановых поверхностей рода д ^ 2 спектр длиеі и спектр оператора Лапласа — Бельтрами эквивалентные геометрические понятия.
В 1962 г. И. Гельфанд [25] высказал гипотезу о том, что изоспектраль-ные римановые поверхности всегда являются изометричными. Возникла классическая проблема распознавания римановых многообразий по спектру их оператора Лапласа — Бельтрами, то есть проблема эквивалентности изоспектральности и изометричности многообразий: будут ли изоспек-тральные многообразия изометричными? М. Кац [34] сформулировал эту проблему следующим образом: «Можно ли услышать форму барабана?» В общем случае ответ на этот вопрос отрицательный (см., например, [14, 17]).
В 1964 г. Дж. Милнор [43] привел пример 16-мерных изоспектральных, но неизометричных плоских торов. В 1972 г. Г. МакКин [39] показал, что мощность множества изоспектральных, но неизометричных компактных римановых поверхностей всегда конечна и зависит только от рода поверхности д {д ^ 2). Этот результат в 2004 г. был обобщен Эмили Драй-ден [23] на компактные римановы орбифолды. В 1978 г. Т. Сунада [50] установил, что спектр оператора Лапласа — Бельтрами плоского компактного многообразия любой размерности определяет спектр его накрывающего тора, а также, что существует только конечное число классов изо-метрий плоских компактных многообразий с заданным спектром. В 1985 г. Т. Сунада [51] дал общий алгоритм для нахождения пар изоспектральных, но неизометричных римановых многообразий. Используя новый метод, в 1988 г. Р. Брукс [12] независимо от М. Берже, П. Годюшон и Э. Мазе [9] доказал, что два двумерных плоских тора изоспектральны тогда и только тогда, когда они изометричны. В 1990 г. А. Шиман [47] построил пример
4-мерных изоспектральных, но неизометричных плоских торов. В 1992 г. Дж. Конвей и Н. Слоан [18] построили семейство пар изоспектральных 4-мерных решеток. Затем в 1997 г. А. Шиман [48] доказал, что два трехмерных плоских тора изоспектральны тогда и только тогда, когда они изо-метричны. В 2000 г. автор [3] независимо от [9] доказал, что две плоские бутылки Клейна изоспектральны тогда и только тогда, когда они изомет-ричны. В 2001 г. Карла Фарси [24] обобщила асимптотический закон Вейля на компактные ориентируемые римановы орбифолды. В 2003 г. Р. Миател-ло и X. Россетти [42] доказали, что спектр оператора Лапласа — Бельтрами плоского компактного многообразия определяет ориентируемость многообразия и длины замкнутых геодезических, но не определяет их комплексные длины. В 2004 г. автором [5] была полностью решена проблема распознавания плоских компактных трехмерных многообразий по их спектру.
Основными результатами диссертационной работы являются полное решение проблемы распознавания римановых многообразий по спектру их оператора Лапласа — Бельтрами в случае плоских компактных трехмерных многообразий и в случае плоских компактных двумерных орбифол-дов. Также, в диссертации разработан новый метод вычисления полиномов, определяющих пространство 5'С/'(2)-представлений фундаментальных групп двухмостовых узлов и зацеплений.
Перейдем к краткому изложению содержания работы и точным формулировкам основных результатов.
В главе 1 полиостью решена проблема распознавания римановых многообразий по спектру их оператора Лапласа — Бельтрами в случае плоских компактных 3-многообразий. Под n-мерным плоским многообразием будем понимать фактор-пространство Мп = Еп/Г, где Г — собственно раз-
рывная группа изометрий евклидова пространства Е7\ действующая без неподвижных точек. Известно [57], что существуют 10 классов попарно негомеоморфных плоских компактных связных 3-многообразий (6 ориентируемых и 4 неориентируемых). Пусть Mi,...,Me являются представителями 6 классов ориентируемых, а ЛГІ5..., N4 являются представителями 4 классов неориентируемых плоских компактных 3-многообразий в порядке, приведенном в параграфе 1.1. Для описания спектра многообразия М мы используем функцию следа многообразия М
tr(Им) — / Нм{%> ос, t) dM, Jm
где Дм(х,у, t) — фундаментальное решение уравнения теплопроводности
на многообразии М, dM — элемент объема. Получена следующая
Теорема 1.6. Функции следа десяти плоских компактных 3-многообразий Mi,.,., Mq, iVi,..., N4 могут быть вычислены в явном виде. Соответствующие формулы для Ьх(Нм{)) і = 1,... ,6, и tx(H^.), j = 1,... ,4, приведены в параграфе 1.6.
Основными результатами первой главы являются следующие теоремы.
Теорема 1.7. Любые два гомеоморфных плоских компактных 3-многооб-разия изоспектральны тогда и только тогда, когда они изометричны.
Теорема 1.8. Существует единственное семейство пар изоспектраль-пых, по негомеоморфных плоских компактных 3-многообразий, которое состоит из многообразий Mj и Mq.
Для доказательства теоремы 1.6 мы используем связь между фундаментальными решениями уравнений теплопроводности на многообразии М и его регулярном накрытии (лемма 1.2).
Теорема 1.8 вытекает из теоремы 1.6, а доказательство теоремы 1.7 получается из теоремы 1.6 и следующих утверждений:
Спектр многообразия М однозначно определяет функцию следа Ьг(Нм) и, обратно, по функции следа іт(Нм) можно однозначно определить спектр многообразия М (предложение 1.3 и предложение 1.4).
Функция следа Ьт(Нм) определяет с точностью до изометрии плоское компактное 3-многообразие М (лемма 1.3).
Следует отметить, что теорема 1.6 и теорема 1.7 были получены в магистерской диссертации «Изоспектральные плоские 3-многообразия», защищенной автором в Новосибирском государственном университете в 2002 г., а результаты первой главы опубликованы в работе автора [5]. Позже аналогичные результаты были анонсированы и опубликованы X. Россетти, Дж. Конвеем [46] и П. Дойлом, X. Россетти [22].
В главе 2 проблема распознавания римановых многообразий по спектру их оператора Лапласа — Бельтрами расширена на римановые орбифолды и полностью решена в случае плоских компактных двумерных орбифолдов.
Определение 2.5. Плоской кристаллографической группой называется дискретная группа Г изометрнй евклидова пространства Е2 такая, что фактор-пространство Е2/Т компактно.
Известно [7], что существует 17 плоских кристаллографических групп Tj, г = 1,..., 17, определяющих плоские компактные 2-орбифолды V* = Е2/Гі, і — 1,..., 17, включая 2-мерный плоский тор V\ и плоскую бутылку Клейна \4, в порядке, приведенном в параграфе 2.1.2.
Как и в случае римановых многообразий для описания спектра орби-фолда V мы используем функцию следа
tr(tf^) = / Hv(x, х, t) dV, Jv
где Hy(x,y,t) ~ фундаментальное решение уравнения теплопроводности на орбифолде V, dV — элемент объема. С помощью метода, использованного при решении данной проблемы в случае плоских компактных 3-многообразий, получены следующие теоремы.
Теорема 2.4. Функции следа семнадцати плоских компактных 2-орби-фолдов Ьх(Нц), г — 1,..., 17, могут быть вычислены в явном виде. Соответствующие формулы приведены в параграфе 2.5.
Теорема 2.6. Любые два плоских компактных 2-орбифолда изоспектралъ-ны тогда и только тогда, когда они изометричны.
Для доказательства теоремы 2.4 мы используем связь между фундаментальными решениями уравнений теплопроводности на орбифолде V и его регулярном накрытии (лемма 2.2 и лемма 2.3).
Теорема 2.6 следует из теоремы 2.4 и следующего утверждения: любые два гомеоморфных плоских компактных 2-орбифолда изоспектральны тогда и только тогда, когда они изометричны (теорема 2.5).
Спектральная теория оператора Лапласа — Бельтрами на ри-мановых многообразиях
Диссертация изложена на 146 страницах, состоит из введения, трех глав и списка литературы из 58 наименований, содержит 36 рисунков и 4 таблицы. Опишем кратко результаты диссертации по главам.
В первой главе полностью решена проблема распознавания римановых многообразий по спектру их оператора Лапласа — Бельтрами в случае плоских компактных трехмерных многообразий. В первом и втором параграфах приведены необходимые определения и вспомогательные теоремы из теории плоских компактных 3-многообразий и спектральной теории оператора Лапласа — Бельтрами на римановых многообразиях. В пятом параграфе построен пример изоспектральных, но неизометричных плоских компактных 3-многообразий. Шестой параграф содержит полный список функций следа плоских компактных 3-многообразий.
Во второй главе данная проблема расширена на римановы орбифолды и полностью решена в случае плоских компактных двумерных орбифол-дов. Первые два параграфа содержат необходимые определения и результаты из теории плоских компактных 2-орбифолдов и спектральной теории оператора Лапласа — Бельтрами на римановых орбифолдах. В пятом параграфе приведен полный список функций следа плоских компактных 2-орбифолдов.
В третьей главе разработан метод вычисления полиномов, определяющих пространство SU{2)-представлений групп голономий трехмерных конических многообразий, носителем которых является трехмерная сфера, а сингулярным множеством — двухмостовое зацепление, твист узел и твист зацепление. В первом параграфе приведены определения необходимые для доказательства основных результатов третьей главы. В шестом параграфе приведены в явном виде полиномы, определяющие пространство SU(2)-представлений групп голономий данных трехмерных конических многообразий.
Результаты диссертации докладывались на семинаре отдела геометрии и анализа Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН под руководством академика РАН Ю. Г. Решетняка, на семинаре «Геометрические структуры на многообразиях и орбифолдах» Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН под руководством д.ф.-м.н. А. Д. Медных, на семинаре «Геометрия, топология и их приложения» Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН под руководством член-корреспондента РАН И. А. Тайманова, на семинаре математического факультета университета г. Пизы под руководством профессора К. Петронио, а также на международной конференции «Геометрия и приложения», посвященной 70-летию профессора В. А. Топоногова (г. Новосибирск, 2000), на XXXVIII и XXXIX международных научных студенческих конференциях «Студент и научно-технический прогресс» (г. Новосибирск, 2000, 2001), на второй российско-германской встрече по геометрии, посвященной памяти А. Д. Александрова (г. Санкт-Петербург, 2002), на международной школе-конференции по анализу и геометрии, посвященной 75-летию академика РАН Ю. Г. Решет-ііяка (г. Новосибирск, 2004), на международной конференции «Геометрия и топология трехмерных многообразий» (г. Новосибирск, 2005). Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[6] и [33].
Автор выражает глубокую признательность и благодарность своему научному руководителю, д.ф.-м.н. А. Д. Медных, за постановку задач, постоянное внимание и помощь в работе.
Обозначим через Е(п) группу движений евклидова n-мерыого пространства Еп. Каждое движение состоит из поворота А и последующего параллельного переноса ta на вектор а. Запишем это движение как (A, ta). Очевидно, что А — элемент 0(п) и а Є W1. Таким образом, евклидова группа Е(п) является полупрямым произведением 0(п) и1"и удовлетворяет следующему правилу:
Определение 1.1. Плоское компактное связное п-многообразие Мп — это пространство орбит Жп, определенное действием собственно разрывной дискретной подгруппы без неподвижных точек Г Є Е(п), Мп = К"/Г. Оно допускает нормальное риманово накрытие n-мерным тором Тп = Мп/Г , где Г — нормальная подгруппа конечного индекса ранга п, Г Г. Более того, можно выбрать Г = ГґШ". Заметим (см. [57, гл. 3]), что Г не имеет нетривиальных элементов конечного порядка. Определение 1.2. Группа скольжений Ф накрытия Тп — М" называется группой голопомии многообразия Мп, Ф = Г/Г .
Пример изоспектральных, но неизометричыых плоских компактных 3-многообразий
Определение 2.1. Группа Г действует собственно разрывно иа хаусдор-фовом пространстве X, если Г действует на X и для любого компактного подмножества К в X множество К П jK непусто только для конечного числа 7 Є Г.
Определение 2.2. Пусть М — связное риманово многообразие и Г — собственно разрывная группа изометрий, действующая на М с компактным фактор-пространством V = М/Г. Тогда V называется компактным ри-мановым орбифолдом. Орбифолд V — М/Г называется ориентируемым, если Г не содержит элементов, меняющих ориентацию.
Определение 2.3. Пусть МиГ как в предыдущем определении. Тогда каждой точке їЄУ = M/V можно сопоставить локальную группу Гх — наименьшая из групп {7 Є Г : х = х}} где х М — любой прообраз х при накрытии М — М/Г. Определение 2.4. Сингулярное множество (К) орбифолда V — это множество {х Є V : Тх ф {1}}. Орбифолд является многообразием, если все локальные группы тривиальны, т. е. S(V) = 0. В случае римановых 2-орбифолдов справедливо следующее Предложение 2.1. Окрестность каждой точки сингулярного множества 2-мерного риманового орбифолда имеет следующие типы: 1) Зеркало: Ш2/%2, где Ъ действует как отражение; 2) Эллиптические точки порядка п: M2/Zn, где Хп действует как вращение; 3) Угловые точки порядка п: M?/Dn, где Dn — диэдральпая группа порядка 2п, представление которой имеет следующий вид: Порождающие а и b соответствуют отражениям относительно прямых, пересекающихся под углом 7г/п. Определение 2.5. Плоской кристаллографической группой называется дискретная группа Г изометрий евклидова пространства Е2 такая, что фактор-пространство Е2/Т компактно. Определение 2.6. Плоский компактный 2-орбифолд— это фактор-пространство Е2/Г: полученное факторизацией евклидова пространства Е2 по действию одной из 17 плоских кристаллографических групп, описанных ниже. Для классификации плоских компактных 2-орбифолдов мы будем использовать обозначения Л. Макбета и Г. Уилки [38], а также приведем обозначения Г. Коксетера и У. Мозера [7]. Известно [7], что существует 17 плоских кристаллографических групп, соответствующих плоским компактным 2-орбифолдам -Б2/Г, включая плоский 2-мерный тор и плоскую бутылку Клейна. Следуя А. Макбет и Г. Уилки [38], для обозначения плоских кристаллографических групп мы будем использовать сигнатуру неевклидовых кристаллографических групп (или, для краткости, NEC групп). Определение 2.7. NEC сигнатура состоит из знака ± и последовательности целых чисел, заключенных в скобки, в следующем виде: 0) знак ± (знак «+» для ориентируемого фактор-пространства, знак «—» для неориентируемого); 1) целое число д 0 (род фактор-пространства); 2) упорядоченное множество целых чисел ту,... ,тТ (ТПІ 2), называемых собственными периодами сигнатуры; 3) упорядоченное множество период-циклов: Определенную вышеуказанным способом сигнатуру мы будем записывать в виде где собственные периоды заключены в квадратные скобки, а циклы — в фигурные. Более детально, сигнатура может быть записана следующим образом: где циклические периоды заключены в круглые скобки. Заметим, что множество периодов может быть пустым. Более того, период-циклы могут состоять из пустых периодов, а также все множество период-циклов может быть пустым. Так, например, сигнатура не содержит собственных периодов и период-циклов, а сигнатура сотоит из одного собственного периода го и двух пустых период-циклов. Далее каждой NEC сигнатуре мы соотнесем отмеченный многогранник, поверхность и представление группы. Обозначим вершины заданного многогранника, двигаясь по его периметру против хода часовой стрелки. Пусть одна из сторон многогранника имеет вершины Р и Q, а другая R и S. Будем говорить, что склеивающий гомеоморфизм отождествляет ребра PQ и RS ориентировано, если Р отождествляется с S, a Q с Л, или неориенти-ровано, если Р отождествляется с R, a Q с S. Стороны, отождествленные ориентировано, будем обозначать через и , неориентировано — а и а . Если мы отметим все ребра многогранника в соответствии с данной схемой и запишем в порядке их появления, то мы получим символ поверхности отмеченного многогранника. Поскольку поверхности могут быть с краем, то некоторые из ребер останутся неотождеств ленными, а символы, соответствующие данным ребрам, войдут в символ поверхности только один раз без штриха или звездочки.
Спектральная теория оператора Лапласа — Бельтрами на ри-мановых орбифолдах
Здесь { п} =о — полная ортонормированная последовательность собствен ных функций в 1 2 (V") оператора Лапласа — Бельтрами на компактном римановом орбифолде V без края и 0 — Ао Ai А2 ... — соот ветствующая последовательность собственных значений. Предложение 2.5 доказано. Предложение 2.6 ([12, с. 826]). Пусть V — компактный римановый орбифолд без края. Тогда функция следа tr(Ну) однозначно определяет спектр орбифолда V. Доказательство. Пусть {An}L0 — последовательность собственных значений оператора Лапласа — Бельтрами на V. По теореме 2.3 имеем 0 = Ао Ai А2 — Таким образом, Ао — 0 с кратностью 1. Предположим, что Ai,..., Ад. найдены с учетом их кратностей. Учитывая предложение 2.5, получим, что Afc+i — наибольшее значение А такое, что Заметим, что Л +і(А) — кратность Хк+ъ Предложение 2.6 доказано. П Теорема 2.5. Любые два гомеоморфных плоских компактных 2-орбифолда изоспектралъны тогда и только тогда, когда они изометричпы. Доказательство. Для доказательства теоремы 2.5 нам потребуется следующая Лемма 2.4. Пусть V — плоский компактный 2-орбифолд. Тогда функция следа tr(Hy) определяет с точностью до изометрии соответствующий орбифолд V. Доказательство. Идея доказательства леммы 2.4 состоит в следующем. Предположим, что функция следа плоского компактного двумерного орби-фолда Ьт(Ну) задана. Орбифолд V определяется с точностью до изометрии своим фундаментальным множеством. По изометрической классификации плоских компактных 2-орбифолдов (теорема 2.1) мы знаем какие параметры определяют фундаментальное множество соответствующего орбифол-да V. Затем, используя процедуру, аналогичную примененной в предложении 2.6, находим все эти параметры по функции следа tr(Hv). Таким образом, по функции tr(Hy) мы определяем фундаментальное множество соответствующего орбифолда V и, следовательно, определяем с точностью до изометрии орбифолд V. Учитывая теорему 2.4, заметим, что функция следа tv(Hy) определяет площадь соответствующего орбифолда V, а именно. Заметим, что в силу теоремы 2.1 (пункт (iv)), фундаментальное множество орбифолдов V4, V5, VQ, VW, Уп, VU, VIS И VIQ определяется площадью area(V) соответствующего орбифолда V. Следовательно, лемма 2.4 в данных случаях доказана. Докажем лемму 2.4 в остальных случаях. Орбифолд V\ с сигнатурой (1,+, [ ]{ }) (плоский двумер ный тор). Предполагаем, что фундаментальное множество орбифолда V\ образовано линейно независимыми векторами \ и 2 (см. рис. 2.1). За метим, что классы изометрий VI = R2/A параметризованы с помощью area(Vi) и двумерной решетки Л = {\т + І2Щ т,п Є Z}, порожденной векторами \ и ъ (теорема 2.1). Используя теорему 2.4, покажем, что tr(TJ ) определяет решетку Л. Пусть Ищем Хтах — наибольшее положительное значение Л такое, что F(X) со. Зная Ата;с, переопределим функцию следа опять ищем Хтах — наибольшее положительное значение Л такое, что F(X) оо. Используя эту процедуру, мы определим, что {Л [ F(X) оо} = {\\, Є Л}, где Л = {ітЛ-2п, т,п Є Щ. Известно [12], что двумерная решетка Л — {\іп Л-211, m,n Є Z} определяется с точностью до изометрий двумя кратчайшими длинами линейно независимых векторов из Л и площадью параллелограмма, натянутого на эти векторы. Поскольку площадь S параллелограмма, натянутого на векторы її и І2, можно определить как S агеа(К), то, следовательно, tr(#vi) определяет двумерную решетку Л. Лемма 2.4 в случае Vi доказана. ка Клейна). Предполагаем, что фундаментальное множество орбифол да V % образовано ортогональными векторами \/2 и 2, где \ — (i,0) и 2 = (0, ) (см. рис. 2.2). В силу теоремы 2.1, классы изометрий Va пара метризованы с помощью агеа(Т4) и l\ = \\\. Покажем, что функция следа tr(#y2) в точности определяет її. Пусть По теореме 2.4 F(A) = Urn (area(F2) (2 + 2e( i)A" + 4e(A3-(3+3))/4( + ...) Ищем Amaa; — наибольшее положительное значение А такое, что F(X) оо. Если F(Xmax) 7 опять ищем Am0x — наибольшее положительное значение А такое, что F(X) оо. Если F(Xmax) = 0, то заметим, что Хтах = \/2. Таким образом, функция следа tv(Hy2) определяет фундаментальное множество и, следовательно, с точностью до изометрий орбифолд V. Лемма 2.4 в случае 1 доказана. 2.4.3. Орбифолд Уз с сигнатурой (0,+, [ )((2,2,2,2)}). Предполагаем, что фундаментальное множество орбифолда V3 образовано ортогональными векторами i/2 и /2, где 1\ — (i,0) и 2 = (0,а) (см. рис. 2.3). Заметим, что классы изометрий V-j можно параметризовать с помощью агеа(Уз) и неупорядоченной пары { 2} (теорема 2.1). Покажем, что функция следа tr(Hv3) определяет неупорядоченную пару { ь г}
SU(2)-представления двухмостовых узлов и зацеплений
Начиная с работ Александера, полиномиальные инварианты стали удобным инструментом для исследования узлов. В течении последних двадцати лет было открыто несколько видов полиномиальных инвариантов. Среди них полиномы Джонса, Кауфмана, HOMFLY, А-полиномы и другие ([35], [19] и [27]). Эти инварианты устанавливают связь между теорией узлов, алгеброй и алгебраической геометрией. Алгебраические методы были также использованы для исследования наиболее важных геометрических характеристик узлов, таких как объем, инварианты Черна — Саймонса, длины кратчайших геодезических и другие ([40, 41, 28, 20]).
Г. Бурде [13], используя представления фундаментальных групп двух-мостовых узлов и зацеплений в 77(2), получил рекурсивную формулу для вычисления полиномов, определяющих пространство данных представлений. Дж. Хост и П. Шанахан [30], применяя другие методы, вычислили в явном виде полиномы, определяющие пространство SU(2)-представлений фундаментальных групп твист узлов.
Настоящая глава посвящена исследованию полиномиальных инвариантов 5/(2)-нредставлений фундаментальных групп двухмостовых узлов и зацеплений. Всюду далее мы будем обозначать через Сц{р,щ){осл /?), Схг{) и @wr{atij3) конические 3-многообразия, сингулярным множеством которых являются двухмостовые зацепления K(p,q) с коническими углами а и /3, твист узлы Хг с коническим углом а, и твист зацепления Wr с коническими углами а и /3 соответственно (см. определения в параграфе 3.1). Известно (см., например, [31]), что множество 57(2)-представлений фундаментальных групп узлов и зацеплений образует алгебраическое многообразие. Наша цель — построить полиномы, корни которых описывают неэлементар-иые компоненты данных алгебраических многообразий для С (а,р),
В данной главе получены рекурсивные формулы для вычисления полиномов, определяющих пространство SU (2) -представлений групп голоно-мий конических 3-многообразий Сд-(Р)9)(а, /3), Схг{) и Cwr(a P)i которые зависят от конических углов а и /3, где 0 а: 7гиО /3 7Г (теорема 3.1, теорема 3.2 и теорема 3.4 соответственно). Отметим, что в случае конических многообразий с сингулярностями твист узел и твист зацепление данные полиномы вычислены в явном виде. Теорема 3.1 и теорема 3.2 обобщают результаты, полученные в [13] и [30] соответственно. Следует отметить, что вопрос о геометрической структуре на вышеперечисленных конических многообразиях не рассматривается. Однако, полученные полиномы можно трактовать как геометрические инварианты конических многообразий с, так называемыми, виртуальными геометрическими структурами, которые, в частности, позволяют описать группу голономий соответствующих многообразий.
Определение 3.1. Двухмостовый узел или зацепление К(р, д), где р и q взаимно простые числа такие, что р 2 и \q\ р, задается диаграммой, изображенной на рис. 3.1-3.2. При этом, числа с , і — 1,..., iV, обозначают число левых или правых полуповоротов (рис. 3.3), в зависимости от знака Q-, и определены из разложения: Заметим, что пара целых чисел (р, д), где р и g взаимно простые числа такие, что р 2 и \q\ р, определяет двухмостовый узел (1-компонентное двухмостовое зацепление), еслир нечетно, и двухмостовое зацепление, если р четно. При этом, двухмостовые зацепления имеют только две компоненты (см. [49]). Все твист зацепления Wr: за исключением WQ, являются гиперболическими. Более того, двухмостовое зацепление K(p,q) является гиперболическим тогда и только тогда, когда оно отлично от К(р, 1) и К(р,р — 1). Определение 3.3. Твист узел Хг, г Є Z, — это двухмостовый узел, который определяется с помощью диаграммы на рис. 3.4, где г обозначает число полуповоротов. Если г 0, то полуповороты на диаграмме правые, а если г 0 — левые. Все твист узлы являются гиперболическими, за исключением тривиальных узлов XQ, ХІ И узлов «трилистник» Х-1 и Х2
