Введение к работе
Актуальность темы. Симметрическая группа является
традиционным объектом теории представлений групп. Теория комплексных линейных представлений группы $(п) развита в классических работах Г.Фробениуса, И.Шура и А.Юнга начала века. В I9II года И.ІДур обнаружил, что при гь>Ъ группа $(п.) обладает также и проективными представлениями, не сводящимися к линейным; в фундаментальной работе *' им дано описание характеров таких представлений.
Интерес к проективным представлениям группы р(іг) в последнее время значительно воэроо. Именно проективные представления групп естественно возникают во многих задачах квантовой механики. Однако конструкции неприводимых проективных представлений группы $(іг) до сих пор найдено не было. Такая конструкция, параллельная предложенной в 1932 году А.Юнгом конструкции неприводимых линейных представлений группы $(іг) , предъявлена в настоящей работе.
Естественно рассмотреть индуктивный предел последовательности групп $(1)с (2)с... - группу $(оо) финитных перестановок натурального ряда. Изучение характеров линейных представлений этой группы было начато Э.Тома ' и оказалось тесно связанным
l) Sckux I. Шея, die. ЪсххйЪМигиа. скя. Sum/ruL^xCsctan, шиі $>Льіііиііскии [І J. -fivb Маік. -Ї9М. &.І19. $.155-250.
іілпсііспеїь dux. C&^&ht&ojt. utienJJUcbeivj -iymrtui'ttscAan/ Qiuppe, I/ McMi.Z&hckiiit. 6.8S-. S. 40-6І.
- I -
с рядом вопросов анализа, берущих начало от классических работ И.Шенберга. С другой стороны, описание характеров группы р() дает информацию 3' о структуре представлений групп jS(n>") при больших п> . Таким образом, теория представлений группы $>() является частью нового направления, инициированного A.M.Вершиной - асимптотической теории представлений, класоичеоких групп. В настоящей работе изучаются характеры проективных представлений группы $(оо).
Цель работы. Дать явную реализацию неприводимых проективных представлений группы ^>(п.) над полем <С . Найти описание характеров проективных представлений группы $(«>).
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.
-
В пространстве каждого неприводимого проективного представления группы р(п>) над полем (С указан канонический базис. Описано действие стандартных образующих группы перестановок чисел fo и fc+i ; ft= і,---, ^-і - на вектора этого базиса.
-
Дано описание характеров проективных представлений груп-' пы р(«>).
-
Для каждой последовательности Хч Хг,... харак-теров неприводимых проективных представлений групп $0)«=р(2)с... найден критерий существования поточечного предела ton ^n/'SvC'O-Вычислен этот предел, являющийся характером проективного представления группы р(оо).
3' Вершик A.M., Керов СВ. Асимптотическая теория характеров симметрической группы// Функцион. анализ и его прилож. 1981. Т.15, їй 4. С.15-27.
Приложения. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут найти применение в задачах теории представлений классических супералгебр Ли, а такяе в теории комбинаторных тоядеотв. Полученные результаты могут быть использованы в Московской государственном университете им. М.В.Ломоносова, Ленинградском государственном университете, Ленинградском отделении Математического института им. В.А.Стеклова и других математических центрах.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на научно-исследовательской семинаре по теории представлений групп на механико-математическом факультете МГУ, Школе-семинаре по теоретико-групповым методам в физике (Тамбов, 1989), на Международной конференции памяти акад. А.И.Мальцева (Новосибирск, 1989).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [1-4], список которых представлен в конце автореферата. Работ по теме диссертации, написанных в соавторстве, нет.
Структура диссертации. Работа состоит из введения, двух глав, разбитых на 12 параграфов, и списка литературы, содержащего 26 наименований. Имеется три рисунка. Общий объем диссертации -61 страница.
