Содержание к диссертации
Введение
Часть 1. Типичные свойства действий групп Ъа и Rd 7
1. Всюду плотность семейств действий специального вида 7
2. Типичные свойства действий группы Zd 17
3. Свободные действия группы Rd 37
Часть 2. Типичные свойства действий дискретных абелевых групп 45
4. Типичные свойства действий группы 45
5. Типичные свойства действий групп Q* и Q00 51
6. Типичные свойства действий группы Ga 58
Часть 3. "Машина контрпримеров" Рудольфа, основанная на спектральной дизъюнктности 70
7. Общие сведения о перестановках конечных и счетных множеств 70
8. Централизаторы и факторы декартовых произведений 76
9. Аналоги примеров Рудольфа 83
Библиографические примечания 90
Предметный указатель 94
Список литературы 97
- Типичные свойства действий группы Zd
- Типичные свойства действий группы Ga
- Централизаторы и факторы декартовых произведений
- Аналоги примеров Рудольфа
Введение к работе
Актуальность темы. В работе исследуются типичные свойства абеле-вых групп преобразований с инвариантной мерой и строятся примеры, действий таких групп, имеющих необычные свойства.
Массивным подмножеством полного сепарабельного метрического пространства называется пересечение не более чем счетного семейства всюду плотных открытых множеств. Если некоторым свойством обладают элементы массивного множества, то это свойство называется типичным. Выражение "для типичного 77 выполняется свойство А.." означает, что свойство А типично.
Начало систематическому исследованию типичных свойств в эргоди-ческой теории положили известные работы Халмоша и Рохлина о (сла-бо)перемешивающих преобразованиях.
Подход Рохлина применялся, например, в работах дель Юнко и Ле-манчика. Дальнейшее продвижение в этой области связано с появлением аппроксимационной теории преобразований и действий общих групп. Одно из ее применений — получение информации о преобразовании допускающем аппроксимацию с той или иной скоростью. Такие преобразования образуют массивное подмножество в пространстве автоморфизмов и, значит, свойство выполненное для них типично. В этом направлении можно отметить работы Степина1,2 и Агеева3. Следующий шаг был сделан Кингом и Глазнером. Они предложили в контексте эргоди-ческой теории использовать фундаментальный факт дескриптивной теории множеств, а именно теорему о структуре аналитических множеств.
^Стенин А. М. О квадратных корнях из метрических автоморфизмов // ДАН, - 1967.
- Т. 176, №5. - С. 1023-1026.
Stepin A.M. Les spectres des system» dinamtquea Actes du Congres Intern. Math. -1970.
- T. 2. - Pp. 941-946.
3Areen O. H. О сопряженности группового действия своему обратному // Мат, заметки. - 198Э. -Т.45, №3. -С. 3-11.
Этот подход применялся в работах Кинга4, Агеева5,6, де ла Рю и де Сэм Лазаро7, Степинаи Еременко8.
В ряде случаев теоремы о типичности применяются для доказательства существования действий с наперед заданными свойствами. Другой подход к этому вопросу основан на понятии дизъюнктности, введенном Фюрстенбергом9 и был предложен Рудольфом10; им были построены примеры динамических систем с необычными свойствами. Дизъюнктность преобразования Т своему обратному позволяет утверждать, что Г и Т ' не имеют общих факторов и не сопряжены друг другу. Заметим, что со спектральной точки зрения преобразование и обратное ему эквивалентны. Преобразованиям несопряженным своим обратным посвящены статьи Анзаи ", Оселедца12 , уже упоминавшаяся работа Агеева, статья Рыжикова13, несколько статей Гудзона с соавторами141518. Типичность
4King J. L. P. The generic transformation has roots of alt orders // Colloquium mathe-maticuro. -2000. - Vol. 84/85, №. 2. - Pp. 521-547.
вАгесв O.H. Типичный автоморфизм пространства Лебега сопряжен с G-расшярєявем для любой конечной абелевой труппы G // ДАН. -2000.- Т. 374, №4.- С.439-442, Агеев О.Н, О типичпости некоторых веасвмптотических свойств // УМН. -2003.- Т. 58, т.- СД77-178.
TT.de la Rue, J.de Sam Lasaro. Une transformation genenque pent ttre inserfe dans un flot.//Annalles de ПНР.-2003,-PR 39, №l.-Pp,12M34.
еСтепян A. M-, Еременко A.M. Типичное сохраняющее меру преобразование имеет обширный централизатор // ДАН. -2004.- Т. 394, Я* 6.- С.739-742. 9Furstenberg Н. Disjoint neas in ergodic theory, minimal seta, and aproblem in deophantine approximation // Math. Syst. Theory. -1967.- Vol. 1.- Pp. 1-49.
10D.J.Rudolph. An example of a measure-preserving map with minimal self-joinings and applications//J.Anal.Math. -1979.-№35.-Pp.S7-I22.
пАпгаі H. Ergodic skew product transformations on the torus // Osaka Math. J. -1951.-Vol. 3, №. 1.- Pp. 83-99.
Оселедец В. И. Пример двух неиэоыорфных систем с одинаковый простым еннгу-лярвым спектром // Фувкц. авалвэ и его при л. -1971. -Т. S, №3. -С. 75-79. 13Рыжвко» В. В. Об асевметрвв каскадов // Труды МИАН. -1997.- Т. 216. - С. 154-157. "Goodson G. R., Ryjhikov V. V. Conjugations, joinings, and direct products of locally rank-one dynamical systems // J. Dyn. and Contr. Syst.-1997.- Vol. 3.- Pp. 321-341.
Goodson G. R., Lemanesyk M, Transformations conjugate to their Inverses have even essential values // Proc. of AMS. - 1996. - Vol. 124. - Pp, 2703-2710. 16G. R. Goodson and M. Lemanczyk and A. del Junto and D. J. Rudolph // Ergodic transformations conjugate to their Inverses by involutions, Ergodic th. and Dyn. Syst.-1996.-Vol. 16,- Pp. 97-124.
- a
дизъюнктности преобразования своему обратному и некоторые связанные с этим факты установлены дель Юнко17.
Леманчик и дель Юнко18 показали, что примеры Рудольфа можно построить рассматривая декартовы произведения степеней типичного преобразования. Используемое ими типичное свойство является обобщением свойства взаимной сингулярности сверточных степеней максимального спектрального типа преобразований открытых и исследованных Степи-
ным , .
Взаимная сингулярность сверточных степеней максимального спектрального типа одного преобразования появилась в связи с вопросом Колмогорова о групповом свойстве спектра. Эти вопросы исследовались в работах Синая, Малышева, Вершика, Оселедца, Степина, Рыжикова, Приходько.
Цель работы. Получить аналоги результатов дель Юнко и Леманчика. Исследовать свойства типичных действий абелевых групп. Построить групповые аналоги примеров Рудольфа, опираясь на полученные результаты.
Научная новизна. Основные результаты работы новы и состоят в следующем:
(І)Получен ответ на вопрос де ла Рю и де Сем Лазаро о типичности Z'-Aeftcraiui вкладываемого в инъективное К* -действие.
-
Получены аналоги результатов дель Юнко и Леманчика для действий некоторых абелевых групп.
-
Построены аналоги примеров Рудольфа для действий абелевых групп.
Методы исследования. В работе используются спектральные и аппрок-симационные методы.
1Tdel Junco A. Dlsjointness of measure-preserving transformations, minimal self-joinings and cathegory // Progress in Math. 10. - 1981. -Vol. 10. - Pp. 81-89.
M. Lemauciyk, A.Del Jnnco, Generic spectral properties of measure-preserving maps, and applications.// Proc.Amer.Math. Soc. . №.3, Pp.725-736.
Стерев A. M, Спектральные свойства типичных динамических систем // Мат. Известия. -198В. -Т. GO, №4. С. 801-834.
гсСтеовв А. М. Спектральные свойства эргодвческвх динамических систем с локально компактным времевем// ДАН- -1866. -Т. 169, №4, - С. 773-776.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть полезны специалистам в метрической теории динамических систем и групп преобразований.
Апробация диссертации. Результаты диссертации докладывались на семинаре под руководством академикаД.В. Аносова, профессора А.М. Сте-пина, профессора Р. И. Григорчука, семинаре под руководством профессора Б.М. Гуревича и профессора В.И. Оселедца, семинаре под руководством профессора А.М. Степина в МГУ в 2000-2003г.г.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех частей, библиографических примечаний и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 99 страниц. Список литературы насчитывает 57 наименований.
Типичные свойства действий группы Zd
Множеством типа Gs в топологическом пространстве называется счетное пересечение открытых множеств. Всюду плотное ( -множество в полном метрическом пространстве называется массивным. Типичным называется свойство, которому удовлетворяют элементы массивного множества. Счетное пересечение массивных множеств само массивно (следствие из теоремы Бэра, см., например, [39, стр.428]), полный прообраз G -миожсства при непрерывном отображении есть также С?г-множество (это одно из возможных определений непрерывности, [39, стр.111]). Как показано в [12], свободные действия дискретной абелевой группы Г массивны в К?. Из этого, в частности, следует, что любое массивное подмножество содержит свободные действия. Определение 4. Для каждого множества S С /Сг положим где Т группа автоморфизмов, порожденная автоморфизмами семейства W. Заметим, что множество S содержится в5и инвариантно относительно сопряжения автоморфизмами семейства W. Лемма 1. Пусть S массивное подмножество пространства К?. Тогда S массивно. Доказательство. Действительно, множество S = f] T lST массивно, так ТеТ как является пересечением счетного числа массивных множеств. Как показал Кинг [19], существует массивное множество преобразований Т, имеющих корни всех порядков. Доказательство. Достаточно рассмотреть случай натурального к. Полный прообраз С?-множества при непрерывном отображении сам является GJ-MHO-жеством. Нам надо лишь показать всюду плотность v (Q). Согласно лемме 1 множество Q П X содержит массивное подмножество Qf\X, инвариантное относительно сопряжений системой преобразований W. Поскольку QC\T массивно, то в нем есть апериодический элемент. Тогда про образ vj;1 (QnXj также содержит апериодический элемент, но кроме того и все элементы, сопряженные ему преобразованиями семейства W. Всюду плотность таких элементов доказана в следствии 1. Доказательство. Действительно, множество Q является счетным пересече нием массивных множеств vl 1(Ql), і Є Z\ {0}. Определение 5. Пусть С(Т) множество сохраняющих меру преобразований (не обязательно обратимых), коммутирующих сТє/С. Это множество называется централизатором Т. Следствие 3. Множество содержит в себе массивное подмножество TZ . Доказательство. Множество Л преобразований, допускающих быструю циклическую аппроксимацию массивно и для любого его элемента Т, имеет место С(Т) = d {Ть Ь Є Z}, см. например [1]. Положим По предыдущей теореме % массивно. Покажем, что И С R/.
Пусть Т е "Я. Тогда для любого a 6 Z \ {0} имеем Поскольку {Ть 6 Є Z} С С(Г), то Обратное включение очевидно, поэтому d {Ть Ь Є Z} = сі {Гъ 6 є Z} = 67(741). Значит, Т Є ft . Теорема 6. Пусть {Q i z m семе ств0 массивных подмножеств К. Тогда множество Qz ={he къА VI Є Ъ\Щ ,ti Є of] также массивно. Доказательство. Множество Qz представимо как пересечение прообразов массивных множеств Q1 при непрерывных отображениях {hl}iGZ m - hl при і Є Zd\ {0}. Значит, QZd также G -множество. По теореме 5 множество массивно. Достаточно показать, что для любого фиксированного і Є Zd\ {0} множество Qz t = \ h Є /Cz І /і1 Є Q1 всюду плотно. Пусть Т апериодический элемент Qa. Рассмотрим множество преобразований (« " Uww H "Ри І = 1.2. -.d (здесь Bga(kj) обозначает знак числа kj). Это множество всюду плотно. Согласно следствию 2, для любого его элемента \ гТк\У имеем (W-iTkWy = w-\j mw є Q d Значит, и Qzd содержит всюду плотное подмножество. П Определение 6. Два преобразования Т,Р Є /С называются дизъюнктными (обозначение Т А. Р), если их невозможно реализовать как факторы одного преобразования на т-алгебры, не являющиеся независимыми. Теорема 7. Множество лїоссиемо. Доказательство. Как показал дель Юнко в [7], множество является массивным. Положим ?, = д є z I Va Є Zd \ {0} : Ла Є ш] . Множество z , массивно по теореме б. Если h Є H d, то для любого а Є ЪЛ \ {0} преобразования /іа и /і а дизъюнктны, поскольку принадлежат %%. Значит, % ъЛ С Иъ Если Л е 7 z », то для любого а Є Zd\{0}, Ла Є Hz, поскольку для любого b Є Zd \ {0} преобразования hb и Л-ь дизъюнктны и, в частности, Л" _L Л аЬ для всех Ь Є Z \ {0}. Значит, "Hz« С Hzd. Резюмируя, ИМССМ rtgrf — z — Следующая теорема является обобщением следствия 3 на случай действий группы Zd. Теорема 8. Множество содержит в себе массивное подмножество %& . Доказательство. Согласно следствию 3 множество 7Z Z содержит массивное подмножество 71.
Типичные свойства действий группы Ga
Сейчас мы построим пример действия с вполне «-перемешиванием. Сразу зафиксируем используемую последовательность {B/} N С (0,1). Пусть 0j = є (0,1) при I = 1,2,... возрастающий набор неприводимых дробей, таких что (2Gi — вг) 0, разности в/ — 0/_i убывают при I 1, а Pl при I — 1,2,... возрастающий набор нечетных простых чисел. Рассмотрим равенство Предположим, что Сг 0. Тогда сомножители в правой части меньше рГ} поэтому правая часть на рг не делится. Значит с,- = 0, противоречие. Анало гичные рассуждения верны и если Сг 0. По индукции получаем, что все с\ ф при I = г, г — 1,..., 1 равны нулю. Для множества N С 1 через N+1 обозначим множество {(/ + j) \ j Є N}, а через N (modd) множество {j (modd) j Є N}. Лемма 9. Для любых натуральных г и s 2г найдется натуральное d \ такое, что множество чисел {О, l,...,d — 1}можно разбить на s подмно еств iV o,iVi,...,iYs_i одинаковой мощности таких, что Элл / Є N. Если же утверждение леммы верно для некоторого d, то оно верно и для всех cd, где с произвольное натуральное число. flk j Доказательство. Из свойств последовательности 0/ можно получить неко » торые свойства последовательности Ф/. Во-первых, это возрастающая последовательность чисел из интервала (0,1). Во-вторых, разности Ф{ — Фі_і убывают при I 1 и (2Фі — Фг) 0. Возьмем d делящимся на s(s + 1) и все pi при I = 1,..., 2г. Положим Si = (2Ф/ - Ф _х - Фл_і)#(і\Щ при / = 2,..., 2г и S\ = (2Фі — Фг)#(- о). Разобьем множество {0,1, ...,d — 1} на части так, чтобы выполнялись условия: множества iVj состоят из Фі (іУі) отрезков множества {0,1,..., d— 1}, причем отрезков длины 1 должно быть Si, длины 2 должно быть 5г и так далее до 5Г; кроме того расстояние между разными отрезками должно быть не меньше г. Последнее выполняется, например, если отрезки разных множеств чередуются. Кроме того, для корректности построения нам надо показать, что множество отрезков длины которых не превосходят г не превышает Фі#(і\Г,() и что у нас хватит чисел, на все оставшиеся отрезки (а длина каждого из них не меньше г + 1). Выполнение этих требований обеспечиваются неравенствами при / = 1,2, ...,r, такое, что ЛЬ содержит хотя бы один отрезок длины 2г. Одновременная замена Л,- на (Л,- + j) (modd) для произвольного j не меняет полученных соотношений. Поэтому, JVQ МОЖНО выбрать так, чтобы первые и последние г элементов множества {1, ...,d — 1} принадлежали NQ. Рассмотрим теперь разбиения последовательностей 0,..., d\—1 и 0,..., di—\ на множества N N ...,N 1 и NQ,iVf,...,JV?_lt причем первые и последние г элементов этих последовательностей принадлежат NQ1 и iVg соответственно. Тогда разбиение последовательности 0,..., d\ + — 1 на множества JVf = N\ U (iV? + d\) по г = 1,..., s — 1 удовлетворяет следующему условию: при / = 1,2,..., г. Действительно, если (j + /) (moddi) для некоторого j d\ попадает во множество N}2, то (j + /) попадает либо в JV, при (J +1) d\, либо в Щ (в этом случае (j +I) (moddi) попадает в NQ). Таким образом, все точки попадавшие в JV теперь попадают в iV,-2. Аналогичные рассуждения верны и для второго слагаемого. Итак, у нас есть разбиение на множества последовательности l,...,d— 1 удовлетворяющее условию при / = 1,2,..., г, причем в NQ лежат первые и последние г элементов множества {1,..., d — 1}.
Пусть {KJ} есть множество всех перестановок чисел 2,3, ...,з— 1, перенумерованные последовательностью 0,1,..., # {KJ} — 1. Рассмотрим последовательность 0, ...,d#{7Tj} — 1 и ее разбиение на подмножества N{ такие, что для всех 1 = 1,...,5-1. При г і ф г г мощности множеств совпадают, так как не меняются перестановками TTJ. Таким образом, мы по-строили разбиение # {7} і на подмножества Щ, iV\,..., N8-i одинаковой мощности такие, что для / Доказательство. Пример будем строить индукцией по г. На каждом шаге мы будем строить преобразование /ie w являющееся перекладыванием в точности а9 полуинтервалов [ -, ) ,6 = 0, ...,а9 — 1. При этом мы будем требо вать, чтобы (Ле»ю) = Л5 -1). Выполнения этого условия достаточно для того чтобы последовательность Ле м корректно и однозначно определяла действие группы (т. ( 1. Положим д(0) = I. 2. Пусть на г-ом шаге мы построили ft c-»). Построим Лє м. Выберем d делящимся на 3 ад числом, а д(г) таким, чтобы отношение g(o- a «-i) бы-ло меньше единицы и g(i) 4g(i — 1). В качестве с возьмем частное от деления a5W-$( -i) на d. Положим Ф; = Ф/ (а _1 -1) для / Є N. Пусть Щ,..., NaS(i-i)_i есть разбиение последовательности 0,1,..., cd — 1 на множества такие, что для 6 = 0,1,..., а5 5 — 1,5 = 1,..., а9 1 \ Преобразование построено. Рассмотрим множества при всех j = О,1,..., а9 — 1, s = 1, ...,aff( . Каждое из этих множеств ґф}\ содержится в каком-либо полуинтервале Кроме того, мера пересечения множеств hle F (ji, s{) и F (J2, «2) равна
Централизаторы и факторы декартовых произведений
Через JL обозначим множество отображений из L в J. На элементы можно смотреть также, как на #1/-мерные J-значные вектора. Для j Є JL и семейства Г-действий h = {hj}jJ через Ы обозначим действие {hjis (напомним,что ji это 1-ая координата вектора j). Введем еще одно обозначение: если а отображение из множества А во множество В и С С А, то сужение а на С будем обозначать а\с Определение 22. Пусть h есть семейство Г-действий {hj} -j. Через h обозначим семейство действий {№}Le.ejL. Будем говорить, что семейство h удовлетворяет свойству Ж, если для любых h Є h и д Є h всякая инвариантная относительно д (7-алгебра J7, такая что сужение д j есть фактор действия h, полностью содержится в некоторой Вг с д [gi= h. Для д Є h через L (д) и j (д) обозначим соответствующие L Є С и j Є J . () Теорема 35. Пусть Г абелева группа, J конечно или счетно, семейство Г-действий h = {hj}jej удовлетворяет свойству S и элементы {hj}-eJ попарно не имеют общих факторов. Тогда h удовлетворяет свойству Ж. Доказательство. Пусть /і Є h и р Є h, tF такая инвариантая относительно g а-алгебра, что сужение g \? есть фактор действия h. Обозначим через Щ (J7) m подмножество HQ\ порожденное функциями при А Є Т. Поскольку д есть некоторый фактор h, то максимальный спектральный тип д \? подчинен сгд. Пространство Н0 разлагается в прямую сумму пространств Максимальный спектральный тип сужения Ug на Q&HQ0 есть свертка c mL0- Поскольку h удовлетворяет свойству 5 , эти максимальные спектральные типы взаимно сингулярны с максимальным спектральным типом 7Л, ЄСЛИ # (LQ) 1. Если два сужения унитарного оператора на замкнутые подпространства имеют взаимно сингулярные максимальные спектральные типы, то подпространства ортогональны. Тогда Возьмем произвольное множество А неполной положительной меры, принадлежащее Т. Имеем \А — ц(А) = 53 //, где // Є #5- Докажем, что все // lL кроме одного равны нулю. Напротив, предположим что для //, / существуют множества 7i,C2 С Б и ?i,Z?2 С BL\W положительной меры такие что //(Сі) П fi(C2) = f(Di) П /(1) = 0 и , »л ( 1 где функция / зависит от ту = {тпп}пйі\іп. Проследим как ведут себя левая и правая часть равенства 8.1 при изменении тгц и ту. Левая часть принимает не больше двух различных значений; следовательно то же (modO) должно быть верно и для правой части.
Поскольку неравенство fi(x) + f(y) ф fi(z) + f(y) для х Є Сі, z Є Сг, у Є BL\W уже задает как минимум два ее значения, a Mx) + f(y) Ф fl(x) + f(t) для x Є В1, у Є Du t Є D2 заключаем, что fi(z) -f f(y) — Mx) + /(i)(mdO) для x Є Ci,z Є C2,y Є Х і,і Є Дг- Аналогично, пользуясь неравенствами fi(x)+f(t) ф ft(z)+f(t) и ft(x)+f(t) ф fi{x)+f(y)} получаем равенство fi(z) + f(t) = fi(x) + /(y)(modO) для x Є Сі, z Є C2i / Є Di,t G D2. Вычитая одно равенство из другого получим f(t) = f(y)(modO) для у Є Di,t G D2, что противоречит предположению. Значит, если А Є ", то А Є В для некоторого I. Номер J не зависит от выбора А. Действительно, если А\ Є Ff B11, А2 .77f)В 2 и 0 А (-4і), (Лг) 1, то А\ \}А2 С Т также принадлежит какому-нибудь В1. А это возможно только если /i = 2 Значит, Т С В1 для некоторого /. Так как элементы h попарно не имеют общих факторов, то д\& — h. Как следствие получаем следующую Теорема 36. Пусть Г любая из групп Z Z00, , . Если h Є GrClHr, то семейство преобразований h = { 7}7Єг\{0} удовлетворяет свойству Ж. Таким образом, набор ненулевых элементов типичного Г-действия удовлетворяет свойству Ж. Доказательство. Множество Qr П Wr массивно по теоремам 12 и 7, 28 и 24, 18 и следствию 8. Осталось заметить, что если h Є ЯгШіг, то h = {Л-7}7Єг\{о} удовлетворяет условиям предыдущей теоремы. Следствие 10. (1) Пусть Г любая из групп Iid} Z, Qf , QF. Пусть также h Є GrCi Ті?. Тогда семейство Г-действий h = { 1 }веі\Ш У влетворяет свойству Ж. (2) Пусть h Є Qoa. Тогда семейство Ga-deucmeuu h = {h }geN удовлетворяет свойству Ж. (3) Если h Є Gyp П % , то семейство Ж-действий h = { }дЄ2\/о удовлетворяет свойству Ж. Доказательство. Общий фактор двух действий порождает и общий фактор их единичных элементов. Поэтому свойство Ж для действий может следовать из свойства Ж для их единичных элементов. В случае Г Є {Zd,Z, 0і, QP} набор единичных элементов семейства Ф h есть { }деГ\/0}- Он удовлетворяет свойству S и hp дизъюнктно с h-p. Поэтому применима теорема 36. Аналогично разбираются случай Rd. Для h Є GGa семейство Ga-действий h = {h }0EN удовлетворяет свой ству S по следствию 9. Более того, по тому же следствию, {h }eN попарно не имеют общих факторов, поскольку их максимальные спектральные типы взаимно сингулярны. Поэтому, применима теорема 35 и h обладает свойством Ж. Будем говорить, что действие удовлетворяет свойству Ж, если для него выполнено утверждение теоремы 36. Определение 23. Будем говорить, что семейство Г-действий h = {hj}jEj удовлетворяет свойству Ц, если централизаторы всех действий h представ ляют собой одну и ту же абелеву группу. В этом случае мы можем говорить о "централизаторе семейства", совпадающим с каждым из них и будем обо значать его С (п). Щ Рассмотрим пространства (МL, BL, /xL) и (MJ, 13J, /xJ). Для каждой инъ екции 7Г Є JL можно определить преобразование действующее по формуле (7Г (m))j = (m,r(/)) при всех І Є L, m Є MJ. Теорема 37. Предположим набор Г-действий h = {hj}.eJ удовлетворяет свойствам Ц и Ж. (1) Для любых 7, / Є h, всякий эндоморфизм ф факторизующий g на / имеет вид кфь , где {ф1}1цо) С С (h) и 7г -инъекция из L (/) в L (д)г причем (j (д))„{1) = (j (/)), для всех І Є L (/). / (2) Централизатор д Є h есть полугруппа отображений вида Иф11 ), где 7г : L (д) - L (д) инъекция, коммутирующая ери {ф1}1ц ) С C(h). В частном случае, если фЬ со, централизатор д есть группа. Доказательство. Так как (2) немедленно следует из (1), достаточно доказать только первую часть. Пусть І Є L(f). Рассмотрим ф х{В1). Согласно теореме 35 существует Ш г(/) Є L(g), такое что ф 1(В1) С В и дцц = //. Поскольку централизатор // есть группа и /j(j) \ф-цв1) /і» имеем -0-1 ) = Вг. Положим n(l) = і. Так как при /і ф І2,Ф 1(ВІ1) и ф 1(В!з) не могут совпадать, то тг(/і) ф irfc), и следовательно ф имеет требуемый вид. D
Аналоги примеров Рудольфа
Действие h группы Г называется слабо перемешивающим, если любая собственная функция группы Uh есть константа. Множество слабо перемешивающих преобразований V массивно ([57]). Теорема 40. Пусть Г любая из групп Zd, Z9Q tQx . Тогда, множество слабо перемешивающих Т-действий содержит массивное подмножество Множество содержит только слабо перемешивающие Rd -действия. Доказательство. Множество Лр массивно по теоремам 6, 16, 21, 22. Далее, пусть h Є Яг, где Г одна из групп Zd, Z, $ , Q30, Rd. Если, / есть собственная функция группы C/j», то / собственная функция и Л1. Поскольку Л1 слабо перемешивает, то / необходимо константа. П Теорема 41. Для не более чем счетного набора слабо перемешивающих преобразований {Т{}1еЬ преобразование TL слабо перемешивает. Доказательство. Предположим противное. Пусть / собственная функция оператора C/yt на пространстве Ho(ML,BL,[iL). Это пространство раскладывается в прямую сумму инвариантных относительно UTL подпространств Поскольку / собственная функция С/ х, то ее проекция на любое инвариант ное подпространство также есть собственная функция. По предположению, / ф 0, поэтому существует LQ И ненулевая собственная функция /о Є HQ. Тогда, /о есть собственная функция для конечного тензорного произведения операторов UTLQ. В [38, стр.188] показано, что любая такая функция констан та — противоречие. Значит, преобразование TL слабо перемешивает. Теорема 42. Пусть h Є Xz t. Для любой перестановки 7Г конечного множества L и\ Є LL действие 7r hl слабо перемешивает. Пусть h Є Ат. Для любого L слабо перемешивает действие h? при j Є TL. \WJ Доказательство. Действительно, прямое произведение действий слабо пере мешивает, если перемешивает его единичный элемент. Поэтому второе утверждение напрямую следует из предыдущей теоремы. Докажем первое утверждение. Пусть h слабо перемешивает. Пусть b ненулевой вектор. Рассмотрим элемент дъ действия д = K hL. Существует такое натуральное с, что дЬс — Ъ? при некоторых степенях j. Как мы показали, справа стоит слабо Ш\ перемешивающее преобразование, значит 7Ъ есть корень степени с из слабо перемешивающего преобразования, и значит само слабо перемешивает. Пусть Г любая из групп Zd,Z, Q ,Q,Rd и h свободное действие из Хт П ?г П ST П Пт. Пример 1.
Докажем существование свободных слабо перемешивающих действий группы Г, которые не дизъюнктны и не имеют общего фактора. Рассмотрим действие hi1 2) на алгебре В 1 и два его сужения: h на алгебру В1 и Л20 на алгебру Б20, состоящую из множеств симметричных относительно диагонали в декартовом произведении В 2К С одной стороны действия h и /і20 не дизъюнктны, так как ст-алгебры В1 и В2 зависимы. С другой стороны, если Т есть /і20-инвариантная сг-алгебра, такая, что /і20 \? есть фактор действия /г, то h х h \?= h2 \г также имеет общий фактор с h. Согласно теореме 36 , Т содержится в одной из координатных ст-алгебр, скажем, В1. Но В1 f) В2э тривиально, следовательно Т тоже тривиально. (фл, Пример 2. Покажем, что существуют свободные слабо перемешивающие действия группы Г, которые слабо изоморфны, но не изоморфны. Напомним, что действия слабо изоморфны, если каждое из них представимо как фактор другого. Рассмотрим действия hN и h2Q ( hN заданные на с-алгебрах #N и В2@ 8 #N. Эти действия слабо изоморфны, поскольку Л20 является фактором h 1,2K Если бы они были изоморфны, то сужение действия AN на собственную подалгебру б20 25N было бы изоморфно исходному действию. По теореме 10 эта подалгебра должна иметь вид BL для некоторого L С N, однако, она такого вида не имеет. Определение 26. Действие / группы Г называется %2-расширением, если существует инволюция Т ( то есть такое преобразование Т, что Т2 = /) коммутирующая с / и не имеющая неподвижных точек, с точностью до мно ( жества меры нуль. Пример 3. Построим слабо перемешивающее свободное Г-действие /, имеющее несчетное число попарно неизоморфных факторов, каждый из которых является расширением. Рассмотрим действие / вида hl, где 1 Є NN, l\ = 1, U — і — 1 при і 1. Покажем, что для любого подмножества L С N : {1,2} С і действие h L является расширением. Действительно, оно ф коммутирует с инволюцией 7Г, где 7Г имеет один цикл (1,2), остальные точки неподвижны. Множество неподвижные точки 7г состоит из точек у которых первые две координаты совпадают, и значит имеет меру нуль. Значит, для любого подмножества L С N : {1,2} С L действие Л! с является йг-расширением. Пусть Ь\ ф L2. Тогда существует п Є L\\L2. Значит, /in_l является фактором /і1 ь» и не является фактором /il L2. Как следствие,
