Обратные теоремы для приюлижения алгебраическими полиномами в хаусдорфовой метрике Ермаков Анатолий Изотович

F.-[^,S_Fw]. FeF^,

> (х) = Eltrtsup {и: (x',u)6F}_t 3 Сх^йтпіпИ u:Cx;u)6F}.

9 Замечание 2. Для функции |(х) , график которой есть квадрат 3*3 , имеем H_tE (1,9) < ЗС/гь fl] . Таким образом, если с(|,Я,оО<оо , то при С(|, 3, оО Х/с^ нельзя гарантировать однозначности и непрерывности Нх") ни в одной точке. В силу теорем I и 2, при О < С(!. ,4 ,d) < T/oL функция f

непрерывна почти всюду на [-&', а'], <Х = JL-d^zC²(^_t 3,о() X"²", а при с(|, J, о^ < Х/аоС также еще непрерывна всюду на

интервале (-а, а), а « >/l- 4of cty, J,оОХ"²' =/^/-3(1-(^)²) < а

и при этом f может быть разрывной в концах интервала С-а, а).

Замечание 3. Для меры множества Р(|) точек разрыва функции 1(х) (хв5) имеет место неулучшаемая оценка сверху:

где Н , М Of, Л) - наименьшее уклонение функции | от кусочно-монотонных функций порядка не большего П в оС-метрике Хаусдорфа ([4], Теорема 5). Теоремы I и 2 уточняют меру и геометрию множества

РС|) в случае приближения функции | алгебраическими полиномами. Именно, если О < С Ц, Ц, ос' ) -< Т/о _у то m«P (|) =S 2d. =

=* 2(1 — У і -оС²с^г(-(-,3,оС)Х"^г < 2ос"С(|ДоО, причем множество РС-Р с точностью до подмножества меры О находится на множестве [-І, -1+cU U [l-cL, і]. При этом, если О <С(|, J, о) < < И/zd. , то множество Р(|") целиком находится на множестве

[-i.-i+d'JUM, Н. где 2^ -2(1-/1-40(.^)^

В главе П устанавливаются достаточные условия непрерывности функции в предположении, что ElmnbLE СП=1/оС (в три-гонометрическом случае) или (в алгебраическом случае).

В I главы П для случая j>T -периодической фушщии доказывается

Теорема 3. Если К(|,о*) & Ш(((ШУпН^Е_пЦ))/Д_а)^* -,

то Р однозначна и непрерывна.

В определенном смысле неулучшаемость этой теоремы вытекает из теоремы 4, по которой для 2Х -периодической многозначной функции с триады непрерывно дифференцируемыми функциями I и |" , такими, что

имеет место оценка:

_{К(іу) >7iCi-Mt)M.}

где &. = Ы. , если Ы.< L , и ЗЄ = d²" , если о 1; (г =

«Т «WLxf|f(-t)-f"ft)lf.

^-fe (-««.во-) ^Т 1 J

В 2 главы П рассматривается алгебраический случай и доказывается

Теорема 5. Если О < Сі'< і и К Cf, a', d ) =

= Em, (((Ih^rf/d) - riH^Q М/Ю"*⁰⁰-

то | однозначна и непрерывна на [- a.', Сі" ] . Ha неулучшаемость теоремы 5 указывает

Теорема 6. Для любого положительного а< і найдется функция о(х\ х. є ^ , разрывная всюду на 3\ С" &', &'] , для которой K(cj,a',oO = + оо.

В главе Ш содержится количественная характеристика разрывов функции в терминах величины С ({, J. 0.

Если С =С({, 5,о(.) < оо, х.б (-І, О и 2 = = 2oLc/xJi-x,l > і. ,. то f(x_e>|) <\f&.-)-)x(K_e,pl ^ ^ t(x._e,f)-H(&) (теорема 7, 2). В частности, если с < оо , и существует Lira |0с) при х -* х_о, эс т⁶ зс₀ » то | непрерывна в точке Х_в. Если С = СЦ, Я, оО -с оо, х_оЄ С-і, О, 2 , то

(Теорема 9, 3). С другой стороны, для любых чисел оС>0 и С>0 и любого Х_о6(-1,0 с 2^1 на 3 существуют функции Q и G,

для которых C(Cj,3,oO=cO,J,oO = C, 0⁺(x_e)-|i(x_e,j) =

= (ЭС_в,(|УН(г) (Теорема 8, 2), в\х_в)~ ^,6) = ^,6)-Gfo) = = (Х,б-У(і(!г) (Теорема 10, 3).

Работа выполнена в МГУ на кафедре теории функций и функционального анализа под руководством доктора физико-математических наук профессора Е.П.Долженко. Пользуясь случаем, хочу выразить искреннюю признательность Евгению Прокофьевичу Долженко за внимание и постоянную помощь в работе.

Теорема о непрерывности почти вскщу

Теорема I. Пусть функция (Х) задана и, вообще говоря, неоднозначна на отрезке 3 . Если где О CL 1 , то 1(эо) однозначна и непрерывна почти всюду на отрезке [-& , Ct ]. С другой стороны, для любого положительного Ct l найдется функция QOO (ос 6 О , непрерывная почти всюду на [- Ot , CU ] (и даже всюду на [- сС , а ] ), разрывная в остальных точках отрезка :: , для которой существует Замечание. При условиях теоремы I функция (.) непрерывна, в частности, в тех точках интервала (-а/, & )» в кото + рых непрерывна верхняя функция Р (эс/) или нижняя функция f (}. 1.2. Доказательство теоремы I. Возьмем число CL таким, что О CL CL . Тогда и по следствию из леммы I получим - алгебраический полином степени не большей П наилучшего приближения функции 1(эсУ (Х6 J} в о( -метрике Хаусдорфа. Множество полиномов f Р (х.) V , а следовательно, и L it Jtv = i множество полиномов і P (t ) V равномерно ограничены по модулю соответственно на отрезке 3 и прямой (-оо оо) константой Jc = Sap { (х 1 . ос Є .3 } . Применяя к функции (-fc) первую часть лешш 2 и переходя затем к функции (хО , получаем, что функция (х-) непрерывна, в частности, в тех точках интервала (- OL , а/), в которых непрерывна верхняя или нижняя функции (ос) э Ввиду произвольной близости tt к а отсюда следует первая часть теоремы I. Чтобы доказать вторую часть теоремы I, рассмотрим функцию й(х) из леммы 4, для которой Для разрывной при каждом х Є !} \ [-& , & ) функции Q(x" по доказанной первой части теоремы I имеем: Следовательно, существует Теорема доказана. ТЕОРЕМА 2. Пусть функция JP(x") задана и, вообще говоря, неоднозначна на отрезке Л . Если где О О- і , то (х) непрерывна на интервале (-ct,a\

При этом, если О CL 1 , то найдется функция Q(x) (ХбЗ), разрывная на всюду плотном подмножестве множества 5\ (-&,&") 9 включая и точки ±0. , для которой UrnnH ,Е (, Ґ) W -"0 2"/ ). Следствие . Если Н Е (, 3) =о(4/п.) то fr) непрерывна на (-1, І) (Бл.Сендов [і] ). 1.3. Доказательство теоремы 2. Доказательство первой части теоремы 2 аналогично доказательству первой части теоремы I, но только вместо первой части леммы 2 применяется ее вторая часть. I.3.I. Чтобы доказать вторую часть теоремы 2, покажем, прежде всего, что для любого положительного d = 1 существует функция п (X) с разрывами второго рода в точках ± OL , для которой В основу доказательства этого утверждения положена та же основная идея, что и в построенном П.Петрушевым и Сп.Ташевым [б] примере 2Д -периодической, разрывной в точках х — 2КЗС (к -0,±1,±2,..!) функции Ux) , для которой fafttttf- ECj ) /1-. Функцию п (х") построим в виде ряда где (Х/00 0 С- 00 } - полиномы Чебышева, а числа fbb, 0Ot и функции ( (х ) , Qz(x/),... будут определены по индукции. Пусть сначала О Ct і.. Возрастающую последовательность натуральных четных чисел прежде всего, подчиним следующим условиям: а) ближайший слева от 0L нуль X; полинома Чебышева Т (х) лежит на (о, Ct J и Т fx) 0 б) на интервале (xL, і) существует хотя бы одна точка локального максимума Т (ос") и ближайшая из них к XL точка X такова, что Ct-x /xL і . Через ХГ обозначим ближайшую к ocL слева точку локального минимума Т вО и положим M.t =ot(xL-#p/#L.

Последовательность \ LJ.„- подчиним еще условию в): LL У-І./2. -Из этого условия, в частности, следует, что Отметим также следующие факты: 1) полиномы Чебышева Та (х) четной степени являются четными; і 2) Х+ - X. X. - ЗО" X Л - (Х-)2/(21Ч -) ; 3) T xp-i.T p--!: 4) Т (хО О при ос 6 Сх я+) ; 5) на отрезке [ XT , х? ] график полинома u = Т (ъ) имеет единственную точку перегиба с выпуклости книзу на выпуклость кверху с некоторой абсциссой х„ О. Из свойств 3) и 5) вытекает неравенство справедливое при х Є [ ХГ , X ] . Пусть последовательность чисел і } . в такова, что натуральное четное число, удовлетворяющее условиям а) и б). Положим ri — (ах / ) - CI . Тогда, по сказанному, для функции S, (х = Q,(xvT (x.x/ct) на отрезке Предположим, что определены числа 1 jKel , 1 к і" І Чк = (Y) M-K) И построены полиномы Q (х) Q (х) таким образом, что функция на отрезке Al_i - Lct-P- , &+ Ц ] обладает свойствами: По лемме 5 существует четный полином Qi(x-) степени к. для которого Q. (а) = т. . , О Q (а) S. , (а) "Q,(x) kt(x Выберем теперь натуральное четное число пс К , удовлетворяющее условиям а)., б) ив), таким, чтобы на отрезке д. = = [aX"L/X. , axt/xj было: Условиям г)-ж) можно удовлетворить, так как входящие в них функции непрерывны и Хс —— 0L , Хс — xt = ОС / ь ) , XL-XT = х - - xL+ 0(1/ ) при I —- 0. Положим S. СхУ = S._, (x + QL(«VT- (XLx/cO . Из свойства I) функции S. (x) , такого, же свойства полинома Т (xLx/a) на SL и условия г) видим, что (Х- Х)$с(х) 0 на 2L- при х а. В силу свойства 4) полинома Т (х") и условия д) заключаем, что функция Sj/x) монотонна на отрезке St . Это свойство функции S.(x) вместе с условием ж) обеспечивает существование такого числа Г). , 0 У\ь ct (х — X- / i P » ПРИ котором Из неравенства (1.4) и условия д), а также из условия е) (функция S__i СхО выпукла книзу при х At ) получаем соответственно: Последние соотношения вместе со свойством I) функции $. (х) таким же свойством полинома Т (х. х/а) на S. и условием v . г) приводят к неравенству YVtLx-oi(/tu 1 St(x) I 9 верному при X 6 L . Наконец, очевидно, что SL (сі) О. Итак, функция

Алгебраический случай

Для доказательства теоремы 5 воспользуемся леммой I, по которой в предположении, что НоС) и п(х) заданы на 3 = 0-1,11, 0 (Х/ 1 Положим =HdEJ{,3)= Н (, ,3\ )(Х)=РбО, где Р (эс - алгебраический полином степени не большей П наилуч-шего приближения функции (хЛ в об-метрике Хаусдорфа. По условию теоремы 5 и на основании (2.22) имеем Очевидно, что множество полиномов і г Ci,)JtLeL равномерно ограничено на С- о, о") константой Ж — 2 S tip {i(x) Г, х Є 3 }. Применяя к функции (і) лемму 8 с учетом (2.23) и переходя за тем к функции {(х) , получаем, что функция (х) непрерывна на [-сі , а ] . Теорема доказана. На неулучшаемость теоремы 5 указывает ТЕОРЕМА. 6.Для любого положительного Ct/ 1 найдется функция 0(9 осе 5 .разрывная всюду на !)\ [rCd, ct ] ,для которой К(0,0/,00 = о . б) фС) - трижды непрерывно дифференцируема и игах {IЧ?Ф\j Уі-(а/)гА - Пусть, далее, о Фя{} . IflUtpC )} Т(-, «О. Тогда для функции а(х") = Q (atccobос.) ,xeD , при достаточно больших XI имеем Н Еа (Q, 5 " Уі- (а )2/0 111-, где Ш = а — [эс(пл] f x(tO - корень уравнения a fW - непрерывная,монотонно стремящаяся к нулю на [і, о) функция такая, что Muy= іг E -W Лемма 9 доказывается так же,как и лемма 4,только при доказательстве вместо уравнения x(i+(&(x-i ) J=n рассматривается уравнение (2.24). где QK X ) - функции из леммы 9, которые сейчас укажем. Для этого рассмотрим убывающую последовательность положительных чисел 2- 0,, ІД,, , Й,,... , ак,3: .. такую, что tint а «а/. Возрастающая последовательность натуральных чисел 1 luR } будет определена по индукции, пока же подчиним ее следующим условиям: і) (ак- о-к+1-)УйГк 4їк, К=І,2,... 2) Уі-а2 /m =Ь &к и ф СіУ= О при і Є [0, X J \ 6-к . Через ф ("О обозначим функцию, получающуюся из функции р (-О заменой чисел К А так как в дополнение к этому каждая из функций tp (- + (р (-) равна нулю при і є [wiccosa Ж - afc&coSGU, ] и положительна при [,0 , СШ СоЬ CLK ) U (X - aCCO CtK, Зї ] , то мы находимся в условиях применимости леммы 9, по которой для функции О (acT) = Q (агссохх) эсб5, при всех достаточно больших п. будет где числа т определяются по И с помощью уравнения (2.24). Г 1 Приступим теперь к выбору чисел tfttK ) . Число выбираем, как в лемме 9, по некоторому числу fli так, чтобы было После того, как выбраны числа t Ч ц число тк выбираем, как в лемме 9, по некоторому числу XI так, чтобы выполнялись неравенства Выбором чисел { IU } окончательно определены функции О (X) (к =1,2,../), а значит и функция непрерывная на отрезке Oct/, а ] и разрывная всюду на Я\ [-ct,CLfj. 2.4.4. Убедимся, что K(o,aV)« .

С этой целью заметим, что в указанном доказательстве леммы 9 содержится следующий факт, который мы сформулируем применительно к функциям Q (х) (к =1,2,...) ; для функции Q (х , осе 3 , при любом достаточно большом натуральном П существует алгебраический полином Р (ее) степени ґі такой, что имеет место неравенство (2.25) и при этом В частности, утверждение верно при Из определения функции д(х ) и условия 2) на числа {tttK вытекает, что ц = Р teO , хб 3 , содержит график функции и — Qtx.) , ХЄ 5 . Далее, на основании (2.25), (2.26) и очевидного включения г(ок )с::: F(Q) утверадаем, что график полинома и = Р (ж), Х-6 J, содержится в. о(. -хаусдорфовой X/i- O-J /o(fn — окрестности графика функции у = о(х) , х 5. Таким образом, по определению хаусдорфова расстояния между двумя функциями имеем Как уже отмечено, условие не гарантирует непрерывности функции , что при о( - і показано П.Петрушевым и Сп.Ташевым [б], а при произвольном с Бл.Сендовым [2], с. 240. Естественно возник вопрос о количественной характеристике разрыва функции в случае, если Т/2.о( ШимН Е Ц) оо. В 1982 году на студенческой научной конференции в МГУ и на всесоюзной студенческой конференции в Новосибирске А.П.Петухов доложил такой результат. ТЕОРЕМА А. Для любой ограниченной 2Я -периодической функции с С(.П = С(, О оо и любого ос- верны неравенства: при этом каково бы ни было с Zt/2. » существует функция f такая, что С(вУ=С и & - f(0, ) = l(o,lm)ok (c- z\ А.П.Петухов доказал также следующее. ТЕОРИЙ. В. Пусть - ограниченная 2Х -периодическая функция и 1-І2. С Ц ) оо # Тогда для любого х выполнены неравенства ТЕОРЕМА С. Неравенства (ж) точны в следующем смысле: для любого С- Х/2. существует такая разрывная 2Х -периодическая функция L , что С({4) С и Ниже показывается, что аналогичные утверждения имеют место и в алгебраическом случае. Прежде всего, приведем ряд фактов, необходимых для дальнейшего изложения.

Оценка наибольшего "выброса" в точке

К требуемому результату приходим теперь, устремляя CL к Х.\ . 3.2.2. ТЕОРЕМА. 8. Для любых чисел (А 0 , с 0 , любого Хе в (- і., О с ЗАМЕЧАНИЕ. Если С « С (9, ) , то г 1 для любого О . Доказательство теоремы 8. Для Х0 с =Ч существование функции Q с указанными в теореме свойствами доказывается в работе [23] (см. там теорему 2). Поэтому считаем г i. . Нетрудно понять, что достаточно ограничиться рассмотрением случая 0 Х„ 1. Итак, пусть числа о(, с и в заданы. Чтобы построить требуемую функцию, воспользуемся леммой ІЗ, в которой положим С0 — с/Уі-xJ . Здесь же отметим, что для используемых при построении функции о тригонометрических полиномов Т (К = !,2.,..Л (см. замечание после док-ва леммы 13). 3.2.2.2. Положим t = агссо5 х0 , tti=[Jrt+il. Нам понадобится 23Ї -периодическая бесконечно дифференцируемая функция Пусть (э»- - тригонометрический полином.наименьшего уклонения порядка Yd от (нечетной) функции у . Тогда Введем 2Ть -периодическую функцию % 1 ,к\ и тригонометрические полиномы (б -Т Р , где г =м+т. Очевид 2К а tn,K к к к но, что Из равенства (3.84) следует, что для положительного числа и достаточно больших XI к будет Рассмотрим функцию JL и полином Т на интервале (- Та c t ") . По определению хаусдорфова о( -расстояния мевду двумя функциями из (3.90) следует, что для любого t Є (-о(Та о(Тп ) и любого значения JJe00 функции JL найдется такое t для которого Отсюда, из (3.88) и (3.89) вытекает: где I находится мевду t и ta . К Принимая во внимание условие (3.87), неравенство (3.91) можно записать так С другой стороны, из (3.90) следует: для каждого t из интервала Очевидно также, что для любой точки t Є (V 0 1- » + 0 а ) и любого значения ф (і - "Ь. } функции „ найдется такая точка Т , для которой l 1 оСгл , f.(i-O-0 (їа-0 Та. Отсюда, учитывая при достаточно больших її равенство при X Є 3\ (005 Gt. + oft ) 9 COS ("Ь.-оСг )) . Это вытекает из неравенства (3.97). Если ос - любая точка из интервала (coS (e + olta ) 5 cob (-h0-otta )) и о(х") - любое значение функции в этой точке, то найдется такая точка Ха и значение О (ха ") функции n , что 1х-ХЛк Ji z(± ZdX -) 9 Чтобы в этом убедиться, достаточно рассмотреть отображение и учесть неравенство (3.95), положив Ха = CoSa ..

Используя затем неравенство (3.96) и считая, что х = Co i , приходим к выводу, что для любой точки х из интервала (oob(t .+ 011: " , ao% (to -ctt )) найдутся точка х и значение Q(x функции о для которых будет Неравенства (3.99) - (3.I0I) в совокупности означают, что К А так как /ак- - 1 при ак- « и 6 произвольно, то неравенство (3.102) влечет неравенство в котором строгое неравенство эквивалентно неравенству противоречащему утверждению теоремы 7. Таким образом, tuunbLE (Q,0)-С. Вместе с равенством (3.98) это доказывает теорему 8. Теорема 9 доказывается так же, как и теорема 7. Только вместо леммы 12 применяется лемма 16. 3.3.2. ТЕОРЕМА. 10. Для любых чисел Ы 0 , О О , любого хо6(-1,і) с ЇН на 3 существует функция б , для которой tLtttaH Gx. -c и G+(oo - u (,., 6) = (30., Є) - бЪо « d (&„, т) fit (і О. Доказательство теоремы 10. Заметим, что для чисел С и Хв , связанных равенством С — "X 7i-x /-2 о построение требуемой теоремой 10 функции описано в работе [23]. Поэтому считаем, что 3.3.2.1. Как и при доказательстве теоремы 8, х„ выбираем из промежутка [О, і). Итак, пусть числа с и хс заданы. Чтобы построить требуемую функцию, применим лемму 17, в которой положим Се = c/Vi-x . Для используемых при построении функции (из этой леммы) тригонометрических полиномов Т (квМ -0 имеет Так же, как и в пункте 3.2.2.4 доказывается на основании неравенств (3.103) и (3.104), что Рассматривая функцию алгебраические полиномы и отображение x cost , г =Л-я JpCfc) из (3.105) получаем: Учитывая, что Х (С+ )/ЛКУІ-Л? , /"-к"" ПРИ к" » чтоб произвольно, выводим: 104 А так как неравенство J) С приводит к противоречию с теоремой 9, то

Следовательно, функция S (эсЛ) , хєЗ, удовлетворяющая равенствам (3.106) и (3.107) - требуемая. Теорема 10 доказана. 1. Сендов Бл. Некоторые вопросы теории приближений функций.и мно жеств в хаусдорфовой метрике. - Успехи матем.наук, 1969, 24, Ш 5, с. I4I-I78. 2. Сендов Бл. Хаусдорфовые приближения. София, 1979, 372 с. 3. Должеяко Е.П., Севастьянов Е.А. 0 приближениях функций в.хаусдорфовой метрике. -Докл. АН СССР, 1976, 226, № 4, с. 768-770. 4. Должеяко Е.П», Севастьянов Е.А. 0 приближениях функций в хаусдорфовой метрике посредством кусочно монотонных (в частности, рациональных) функций. - Матем.сб., 1976, 101, №4, с.508-541. 5. Должеяко Е.П., Севастьянов Е.А. О зависимости свойств функций от скорости их приближения полиномами. Изв. АН СССР, сер.матем., 1978, 42, й-2, с. 270-304. 6. Петрушев П., Ташев Сп. Некоторые.обратные теоремы в метрике Хаусдорфа. - Докл. БАН, 1976, 29, № 12, с. I72I-I724. 7. Колмогоров А.Н. О сходимости А.В.Скорохода. - Теория вероятностей и ее примен., 1956, І, ЇЬ 2, с. 239-247. 8. Сендов Бл. Аппроксимация-относительно хаусдорфова расстояния. -Матем.заметки, 1968, № 4, с. 481-494. 9. Сендов Бл. Аппроксимиране на функции с алгебраични полиноми по отношение на една метрика-от хаусдорфски тип. - Годишник Соф. унив. Физ.-мат.фак.,.1962, 55, с. 1-39. 10. Сендов Ел.Върху яай-доброто приближение с алгебраични полиноми по отношение на хаусдорфово расстояние. - Годишник Соф. унив. Физ.-мат.фак., 1963, 56, с. 195-207. 11. Сендов Бл., Попов В.А. Приближение функций многих переменных алгебраическими многочленами в метрике Хаусдорфа. - Годишник Соф. унив. Мат.фак., 1970, 63, с. 61-76. 12. Попов В.А. Об обратной задаче теории приближения в метрике

Оценка меньшего из "выбросов" в точке

Последовательность \ LJ.„- подчиним еще условию в): LL У-І./2. -Из этого условия, в частности, следует, что Отметим также следующие факты: 1) полиномы Чебышева Та (х) четной степени являются четными; і 2) Х+ - X. X. - ЗО" X Л - (Х-)2/(21Ч -) ; 3) T xp-i.T p--!: 4) Т (хО О при ос 6 Сх я+) ; 5) на отрезке [ XT , х? ] график полинома u = Т (ъ) имеет единственную точку перегиба с выпуклости книзу на выпуклость кверху с некоторой абсциссой х„ О. Из свойств 3) и 5) вытекает неравенство справедливое при х Є [ ХГ , X ] . Пусть последовательность чисел і } . в такова, что натуральное четное число, удовлетворяющее условиям а) и б). Положим ri — (ах / ) - CI . Тогда, по сказанному, для функции S, (х = Q,(xvT (x.x/ct) на отрезке Предположим, что определены числа 1 jKel , 1 к і" І Чк = (Y) M-K) И построены полиномы Q (х) Q (х) таким образом, что функция на отрезке Al_i - Lct-P- , &+ Ц ] обладает свойствами: По лемме 5 существует четный полином Qi(x-) степени к. для которого Q. (а) = т. . , О Q (а) S. , (а) "Q,(x) kt(x Выберем теперь натуральное четное число пс К , удовлетворяющее условиям а)., б) ив), таким, чтобы на отрезке д. = = [aX"L/X. , axt/xj было: Условиям г)-ж) можно удовлетворить, так как входящие в них функции непрерывны и Хс —— 0L , Хс — xt = ОС / ь ) , XL-XT = х - - xL+ 0(1/ ) при I —- 0. Положим S. СхУ = S._, (x + QL(«VT- (XLx/cO . Из свойства I) функции S. (x) , такого, же свойства полинома Т (xLx/a) на SL и условия г) видим, что (Х- Х)$с(х) 0 на 2L- при х а. В силу свойства 4) полинома Т (х") и условия д) заключаем, что функция Sj/x) монотонна на отрезке St . Это свойство функции S.(x) вместе с условием ж) обеспечивает существование такого числа Г). , 0 У\ь ct (х — X- / i P » ПРИ котором Из неравенства (1.4) и условия д), а можно записать так С другой стороны, из (3.90) следует: для каждого t из интервала Очевидно также, что для любой точки t Є (V 0 1- » + 0 а ) и любого значения ф (і - "Ь. } функции „ найдется такая точка Т , для которой l 1 оСгл , f.(i-O-0 (їа-0 Та. Отсюда, учитывая при достаточно больших її равенство при X Є 3\ (005 Gt. + oft ) 9 COS ("Ь.-оСг )) . Это вытекает из неравенства (3.97). Если ос - любая точка из интервала (coS (e + olta ) 5 cob (-h0-otta )) и о(х") - любое значение функции в этой точке, то найдется такая точка Ха и значение О (ха ") функции n , что 1х-ХЛк Ji z(± ZdX -) 9

Чтобы в этом убедиться, достаточно рассмотреть отображение и учесть неравенство (3.95), положив Ха = CoSa .. Используя затем неравенство (3.96) и считая, что х = Co i , приходим к выводу, что для любой точки х из интервала (oob(t .+ 011: " , ao% (to -ctt )) найдутся точка х и значение Q(x функции о для которых будет Неравенства (3.99) - (3.I0I) в совокупности означают, что К А так как /ак- - 1 при ак- « и 6 произвольно, то неравенство (3.102) влечет неравенство в котором строгое неравенство эквивалентно неравенству противоречащему утверждению теоремы 7. Таким образом, tuunbLE (Q,0)-С. Вместе с равенством (3.98) это доказывает теорему 8. Теорема 9 доказывается так же, как и теорема 7. Только вместо леммы 12 применяется лемма 16. 3.3.2. ТЕОРЕМА. 10. Для любых чисел Ы 0 , О О , любого хо6(-1,і) с ЇН на 3 существует функция б , для которой tLtttaH Gx. -c и G+(oo - u (,., 6) = (30., Є) - бЪо « d (&„, т) fit (і О. Доказательство теоремы 10. Заметим, что для чисел С и Хв , связанных равенством С — "X 7i-x /-2 о построение требуемой теоремой 10 функции описано в работе [23]. Поэтому считаем, что 3.3.2.1. Как и при доказательстве теоремы 8, х CCO CtK, Зї ] , то мы находимся в условиях применимости леммы 9, по которой для функции О (acT) = Q (агссохх) эсб5, при всех достаточно больших п. будет где числа т определяются по И с помощью уравнения (2.24). Г 1 Приступим теперь к выбору чисел tfttK ) . Число выбираем, как в лемме 9, по некоторому числу fli так, чтобы было После того, как выбраны числа t Ч ц число тк выбираем, как в лемме 9, по некоторому числу XI так, чтобы выполнялись неравенства Выбором чисел { IU } окончательно определены функции О (X) (к =1,2,../), а значит и функция непрерывная на отрезке Oct/, а ] и разрывная всюду на Я\ [-ct,CLfj. 2.4.4. Убедимся, что K(o,aV)« .

С этой целью заметим, что в указанном доказательстве леммы 9 содержится следующий факт, который мы сформулируем применительно к функциям Q (х) (к =1,2,...) ; для функции Q (х , осе 3 , при любом достаточно большом натуральном П существует алгебраический полином Р (ее) степени ґі такой, что имеет место неравенство (2.25) и при этом В частности, утверждение верно при Из определения функции д(х ) и условия 2) на числа {tttK вытекает, что ц = Р teO , хб 3 , содержит график функции и — Qtx.) , ХЄ 5 . Далее, на основании (2.25), (2.26) и очевидного включения г(ок )с::: F(Q) утверадаем, что график полинома и = Р (ж), Х-6 J, содержится в. о(. -хаусдорфовой X/i- O-J /o(fn — окрестности графика функции у = о(х) , х 5. Таким образом, по определению хаусдорфова расстояния между двумя функциями имеем Как уже отмечено, условие не гарантирует непрерывности функции , что при о( - і показано П.Петрушевым и Сп.Ташевым [б], а при произвольном с Бл.Сендовым [2], с. 240. Естественно возник вопрос о количественной характеристике разрыва функции в случае, если Т/2.о( ШимН Е Ц) оо. В 1982 году на студенческой научной конференции „

Похожие диссертации на Обратные теоремы для приюлижения алгебраическими полиномами в хаусдорфовой метрике

Приближения в метрике L p полиномами на системе попарно дизъюнктных отрезковКрашенинникова Юлия Викторовна

Некоторые прямые и обратные теоремы теории приближения в весовых и вариационных метрикахАли Мустафа Баггаш Гаафар

Теоремы Джексона в пространствах L P и некоторые экстремальные свойства полиномов и сплайновМосковский, Александр Владимирович