Введение к работе
Диссертационная работа посвящена неравенствам типа Харди. Рассматриваемые интегральные неравенства связывают в одномерном случае функцию и ее производную, а в многомерном случае — функцию и модуль ее градиента. Основное внимание в работе уделяется вопросам существования и точности констант в многомерных интегральных неравенствах.
Актуальность темы диссертации. Неравенства типа Харди являются относительно новой областью в математике. Бурное развитие теория неравенств типа Харди получили лишь в 20 веке, в особенности, в его второй половине. Значительные результаты в этой области, помимо самого Г.Х. Харди, связаны с именами таких математиков как Е.Б. Дэвис, С.Л. Соболев, В.Г. Мазья, Х. Брезис, М. Маркус, Дж. Таленти, Дж. Томаселли, А. Куфнер, В.Д. Степанов, Ф.Г. Авхадиев, К.-Й. Виртц, Д.В. Прохоров, М. Хоффманн-Остенхоф, Т. Хоффманн-Остенхоф, К. Бэндл, М. Флечер, А. Анкона, Й.Л. Льюис и многие другие.
Помимо того, что неравенства типа Харди представляют интерес сами по себе, они обладают еще и большим прикладным потенциалом. Так, неравенства этого типа находят важные применения в различных областях математики и математической физики. Например, С.Л. Соболев1 использовал неравенства типа Харди в теории вложений функциональных пространств, и также применял их при оценке потенциала Рисcа. При оценке жесткости кручения неравенства типа Харди широко применялись Ф.Г. Авхадиевым. С изучением спектра двумерного оператора Шредингера связаны результаты А. Лаптева и Т. Вейдла. Работы А. Балинского и А. Лаптева по тематике неравенств типа Харди связаны с проблемой существования резонансных состояний.
Кроме того, следует отметить, что неравенства типа Харди нашли применение в теории интегральных и дифференциальных уравнений, в нелинейном анализе, при изучении краевых задач с особенностями. Точные значения констант в неравенствах Харди или их оценки используются при получении оценок нижней границы спектра эллиптических дифференциальных операторов с вырождающимися коэффициентами.
1 Соболев, С.Л.Избранные вопросы теории функциональных пространств и обобщенных производных / С.Л. Соболев. - М.: Наука, 1989. - 254 С.
Одномерное неравенство типа Харди выглядит следующим образом:
f f2(x) f /2
—т.dx < 4 j (x)dx, (1)
где / : [0, oo) —> R — абсолютно непрерывная функция, такая, что /(0) = О, /' Є L2(0,oo), / ф 0. В данном неравенстве константа 4 является точной, но не существует допустимой экстремальной функции, на которой достигается равенство.
В рамках данной диссертационной работы исследуется многомерный аналог данного неравенства
Г \f(x)\2 г
/ \ dx < cn(Q) / \\7f(x)\ dx, V/ є C0(Q) (2)
ог{х)
где Q — произвольная открытая область из евклидова пространства Rn, д(х) = dist(rr, dQ) — функция расстояния до границы области, V/ — градиент функции / : Q —> R. Ввиду того, что в неравенстве присутствует функция расстояния до границы области, вводится естественное ограничение на область Q С Rn, Q Ф Rn, иначе д(х) = оо и неравенство теряет смысл.
Если вопрос с константой в одномерном неравенстве вида (1) исчерпан, т.е. константа найдена и она точна, то в многомерном случае (2) значение этой константы, вообще говоря, зависит от вида области. Большинство известных результатов в данном направлении получены для отдельных классов областей, обладающих некоторой особенностью. Так, например, рядом математиков различными способами было показано, что для любой выпуклой области Q с Rn константа cn(Q) равна 4 (см., например, работы таких математиков как Е.Б. Дэвис, Т. Матскевич и П.Е. Соболевский, Х. Брезис и М. Маркус, М. Хоффманн-Остенхоф, Т. Хоффманн-Остенхоф, А. Лаптев).
Достаточно распространен подход, при котором для классификации областей используются функционально-геометрические характеристики областей. Так, например, для областей с локально липшицевой границей показано что константа Харди существует и конечна. Такой подход в своих исследованиях применяли К. Бэндл и М. Флечер, Е.Б. Дэвис, В. Опик и А. Куфнер и другие. Однако, липшицевость границы не является необходимым условием конечности константы Харди. Доказаны неравенства типа Харди и при более общих условиях на границу множества. В этом направлении работали А.
Анкона, Х. Брезис и М. Маркус, Е.Б. Дэвис, П. Коскела и Х. Цонг, Й.Л. Льюис, В.Г. Мазья, А. Ваннебо, Ф.Г. Авхадиев, А. Лаптев и А.В. Соболев, и другие математики. Кроме того, известен подход, когда для классификации областей используются свойства специально введенных на них функционалов. Так, например, В.М. Миклюковым и М.К. Вуориненым вводится понятие изопериметрического профиля, который далее используется для получения двусторонней оценки константы Харди. В этом направлении также работали такие математики, как: Й.Л. Льюис, В.Г. Мазья и другие.
Выделим два важных для нашей диссертационной работы результата. Ф.Г. Авхадиевым 2 доказана теорема А.
Теорема A. Пусть Q с Шп, п > 2, Q ф Rn. Если 1 <р< оо ип < s < оо, то для любой функции f(x) Є Cq(Q)
f \f(x)\p ( p \p f \Vf(x)\p
с dx < —:——- ax,
6s (x) s — n 0s p(x)
где 5(x) = dist(x, dQ). При этом константа
f p \p s — n является точной и не может быть, в общем случае, заменена меньшим числом.
Особо следует отметить, что в данной теореме нет каких-либо ограничений на область Г2, то есть результат получен сразу для всех областей. Более того, существуют области, на которых константа в нерваенстве является точной, т.е. в общем случае не может быть заменена меньшей постоянной. Однако, для отдельных классов областей постоянная может быть уменьшена. В первой главе нами предложен новый класс областей, для которых константа Харди cP:S(Q) < (p/(s — n))p, т.е. аналог теоремы А справедлив с лучшей константой.
Следующим важным для нашей работы результатом является гипотеза Е.Б. Дэвиса, которую он сформулировал в 1995 году. Он предположил, что для любой области константа в неравенстве типа Харди (2) не может быть меньше, чем 4. То есть так же, как и в случае п = 1, когда такая оценка является следствием классического результата Г.Х. Харди. А именно, Дэвис предположил, что в неравенстве вида (2) оптимальной оценкой снизу для константы cn(Q) будет число 4, независимо от вида области.
2Avkhadiev, F.G. Hardy type inequalities in higher dimensions with explicit estimate of constants / F.G. Avkhadiev // Lobachevskii J. Math. - 2006. - V. 21. - P. 3-31.
Гипотеза Дэвиса в общем случае оказалась неверной, хотя при п = 2 и п = 3 мы не имеем контрпримеров, опровергающих эту гипотезу. Однако при п > 4 такой пример существует. Впервые на существование такого примера обратили внимание математики М.Маркус, В.Митцель и Я.Пинховер. Известно неравенство:
f \f(x)\2 4 f о л
—і77^—dx < 7: \vj(x)\ ax, V/ Є 60(1 ).
\x\ (n — 2)z
С учетом того, что для Q = Rn\{0} расстояние до границы области будет выражаться в виде dist(x,dQ) = 5(х) = \х\, мы можем переписать это неравенство в следующем виде
f \f(X)\2 4 f ,т-. г |0 w r s~1~l ТТЬП І\
dx < \\/j(x)\ ах, V/ Є С0(К \{0Н.
ог{х) [п — 2)2
Ш.п\Щ Ш.п\Щ
А это значит, что при п > 4 будет выполняться неравенство:
Сп < < 4,
(п — 2)2
cn = inf cn(Q)
Таким образом, выдвинутая Е.Б. Дэвисом гипотеза оказывается неверной для п > 4 и должна быть уточнена. Исходя из анализа гипотезы Дэвиса и контрпримера, мы предлагаем следующую гипотезу.
Уточненная гипотеза Дэвиса — инфимум констант Харди по областям, не совпадающим со всем пространством, равен
С'і = 4, сз = 4, сп = Vn > 4.
(п — 2)2
Исследование этой гипотезы проводится нами в третьей главе диссертационной работы.
Цель работы — получить новые оценки констант Харди.
Исследование ведется с использованием трех различных подходов.
Первый подход реализован в первой главе диссертации и связан с исследованием неравенств типа Харди на ”производных областях”, то есть областях, полученных при помощи каких-либо операций из уже известных областей. Рассматривается поведение констант Харди при декартовом
умножении области на отрезок или прямую. Кроме того, получены результаты для областей, полученных вращением плоской фигуры вокруг произвольной внешней прямой. Приведены также обобщения этих конструкций. Результатом является ответ на вопрос — для каких классов областей в неравенстве в теореме А будут иные ограничения на параметры.
Второй подход, применяемый во второй главе, связан с исследованием неравенств типа Харди на классе областей, обладающих одной особой граничной точкой. Получены как некоторые обобщения результатов Е.Б. Дэвиса, так и новый геометрический критерий для классификации областей с точной нижней оценкой константы Харди.
Третий подход, применяемый в третьей главе, связан с исследованием неравенств типа Харди на произвольных областях, без каких-либо ограничений на них. Частично доказана уточненная гипотеза Дэвиса. Получены точные по порядку нижние оценки констант Харди в случае п > 2.
Научная новизна. В диссертационной работе получены новые оценки констант Харди, частично доказана гипотеза Дэвиса. Найдены точные нижние оценки для новых широких классов областей с простым геометрическим признаком принадлежности области к соответствующему классу.
Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Однако, полученные в диссертации результаты могут послужить некоторым инструментом для дальнейших теоретических исследований в теории вложения весовых функциональных пространств и в теории краевых задач для вырождающихся дифференциальных уравнений.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на международной конференции "From Carthage to the World: the Isoperimetric Problem of Queen Dido and its Mathematical Ramifications"(Тунис, 24-29 мая 2010), на международных Казанских летних научных школах-конференциях “Теория функций, ее приложения и смежные вопросы” (Казань, 2009, 2011, 2013 гг.), на итоговых научных конференциях Казанского университета (2010 — 2013 гг.), II Международной конференции ”Геометрический анализ и его приложения” (Волгоград, 26-30 мая 2014 г.), а также результаты по мере их получения докладывались на семинарах кафедры (2009-2014 гг.).
Публикации. Основные результаты опубликованы в 6 работах, список которых приведен в конце автореферата. Среди них три работы в изданиях, рекомендованных ВАК РФ для публикации результатов исследования.
Объем и структура работы. Диссертационная работа изложена на 104
страницах машинописного текста и состоит из введения, трех глав и списка литературы из 79 наименований.
