Содержание к диссертации
ЗВЕДЕНИЕ 3
ГЛАВА Г Г6
ГЛАВА II 37
ПОПОЛНЕНИЕ 107
ЛИТЕРАТУРА
Введение к работе
Различные авторы изучали и изучают в настоящее время функции, которые в том или ином смысле являются универсальными.
В 1929 г. Дж.Д.Биркхоф (С« 3) доказал существование такой целой функции (ц.ф.) F( ) , что множество ! .+"5, VX JM} всюду плотно (в.п.) в Ада , где Ас» - пространство ц.ф. с топологией равномерной сходимости на каждом компакте ice с. Такие функции мы будем называть Tt - универсальными. TJ - универсальные функции также изучаются в работе [48І (1984) Ш.Блейра и Л.Рубеля. В 1941 г. В.Сайдел и Дж.Л.Уолш (5) рассмотрели аналогичное понятие универсальности для функций, аналитических в ограниченных односвязных областях. Аналог теоремы Дж.Д.Биркхофа для гармонических функций в л» - мерном евклидовом пространстве был получен О.П.Дзагнидзе в 1969 г. (DO).
Результат С.М.Воронина (ЕзіЗ(І975))о свойстве универсальности дзета-функции Римана, (), дал некоторый новый толчок изучению универсальных функций. Свойство универсальности (г) состоит в том, что для любой функции $ . ), $Сг.) = A(ifc\ r) r\CC\fc\fir) ,х о .г У4, такой, что ЗД о ,\г\ г , существует такая последовательность \Тп. \,°\ Т , Є % , ЧТО Vrvex k \ %&) -"% С + 3U + -"0 \ - °J к -»о© . Свойству универсальности () и близким к нему вопросам посвящена обширная литература, среди которой отметим frslJ siiJfo IsO. Впоследствии В.И.Гаврилов и А.Н.Канатников (Del (1982)) привели пример функции, множество сдвигов которой В.П. В A(lfel r),o Vq. .
Другое направление в изучении универсальных функций состоит в следующем. Пусть 5 - область в с , к. - компакт, к:с с,и f е"э ч Множеству IM(fc,l) ( ХдС т") ) принадлежат все функции $4е)емСО ( АС ч) ) такие, что для любой рациональной функции (многочлена) "ф"Сг) существуют такие последовательности {о-к,} , \&п. ; a .»We ,wfclM , что сх«.К -&П. с G j п. є Ы • Sub Ч. С Ч?:+ л, - © , п- е» и suJjp jd (5Cou,2+ 4 гО (іУ)- о,
к- оо, где у. - хордальная метрика на сфере Римана. Функции из I Ос,"0 изучаются в работах &33 -І5©1 В.Люха. В з&1 _Тз } А.Н.Канатников рассматривает, в частности, функции из XAta,1) и Хм к, 7). Все упомянутые выше понятия универсальности были связаны с некоторым преобразованием переменной универсальной функции.
В 1952 г. Дж.Мак Лейн (CeQ) доказал, что существует такая ц.ф. Gi(z-) , что множество ( ч сгинем} В.П. В А» . Эти функции называются Ф - универсальными. В этой работе тоже изучается вопрос о скорости роста $ - универсальных функций. Напомним, что через С? 1 (1 ,0 ) обозначается класс ц.ф., у которых порядок роста меньше $ , или равен 5 , но в этом случае тип не больше (меньше) г. BCsQ показано, что в классе[l,l) нет Ф - универсальных функций, но уже в классе СI,l3 они существуют. Работы 1 1 и 1 1 Ш.БлеЙра и Л.Рубеля (1984) являются продолжением изучения универсальных функций в А», В Хм1 авторы также рассматривают следующее понятие универсальности. Пусть -\ъ \0 ,c v , \. o .Ц.ф. $сг является Х- универсальной (-5( .), если множество \ИЪ) S«w dio + ce . S S ... S$Cw «lu Av ,... у/л L j» -3 ,... \ в.п. в А». Авторы показали, что существует такая последовательность С, , что llx k»- В этой же работе доказано, что найдется ц.ф., с, являющаяся одновременно \ , Ф и Xt - универсальной. В конце IvC оюлучен результат отрицательного характера. Для любой ц.ф. (.) множество 5 Сзо, ( (г)),,.Л не полно в А«,.
Действительные универсальные функции изучаются в работе 1ъг\ И.Марцинкевича, опубликованной в 1935 г.. Пусть даны отрезок o,fel с fit и последовательность-Wy°, kMefil , V ° » fciH ; .-vo ,к-»со. Функция JWeCLfl fel -И - универсальна, если для любой функции Сх) , измеримой на tayfcl, существует такая под последовательность {U . , что г— ». f їх , .-+«». п.в. наіа.,0. ВІБгІ доказано, что М - универсальные функции образуют множество второй категории в Cta,Q и дополнение этого множества-первой категории в сЛа,!»!. Хоанг Туй (UV1 (I960)) продолжил изучение М - универсальных функций.
Из приведенного выше обзора видно, что в настоящее время имеется много различных понятий универсальных функций, и их исследованиям посвящено большое количество публикаций.
Однако, они имеют разрозненный характер и до сих пор не рассматривалось явление универсальности с общих позиций.
Поэтому представляет интерес изучение этого вопроса с общей точки зрения, что позволит понять суть явления универсальности, осмыслить и обобщить имеющуюся информацию об универсальных функциях.
Цель работы состоит в построении общей теории универсальных элементов в топологических пространствах для выявления общих свойств не только этих элементов, но также и пространств, в которых они существуют.
Диссертация состоит из введения, двух глав и дополнения; в заключительной части приведена библиография.
