Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Теорема Зизлера и ее приложения
Глава 2. Нелинейная техника перенормировки пространств непрерывных функций на компактах .
Библиография
- Теорема Зизлера и ее приложения
- Нелинейная техника перенормировки пространств непрерывных функций на компактах
Введение к работе
Теория перенормировок является ветвью функционального анализа, которая исследует проблемы существования эквивалентных норм на банаховых пространствах с более хорошими геометрическими свойствами выпуклости и гладкости. Данная диссертация посвящена исследованию некоторых свойств первого типа, т.е. свойств выпуклости.
Нормы, обладающие достаточно хорошими свойствами выпуклости, были впервые описаны Кларксоном [14] в 1936 году. В частности, им было введено следующее понятие равномерно выпуклой нормы на банаховом пространстве: последовательности длин различных хорд единичной сферы стремятся к нулю при условии, что их средние точки приближаются к границе этой сферы. В качестве классических примеров равномерно выпуклых пространств могут быть рассмотрены пространства Lp и 1р, при р > 1 [14].
Более слабый тип выпуклости, называемый локальной равномерной выпуклостью, был рассмотрен Ловаглиа [25]. Данный тип выпуклости геометрически отличается от равномерной выпуклости тем, что одна из концевых точек рассматриваемых выше хорд единичной сферы фиксирована [25]. Приведем более строгие определения различных типов выпуклости норм, исследованию которых посвящена данная работа.
Определение 0.1. [25] Нормированное линейное пространство X называется равномерно выпуклым, если для любого є > 0 существует б(є) > 0, для которого из условий ||х->>|>^ и ||х| = |у| = 1, х,уеХ, следует, что
Определение 0.2. [25]. Нормированное линейное пространство X называется локально равномерно выпуклым (или кратко LUR), если для любого ->0 и фиксированного элемента хеХ, \\х\\ = \, существует б(є,х)>0
її и и и Ik+jl і \
такое, что условия ||х-y\z.e и \у\ = 1, у е X влекут * < 1 - д(є,х).
Определение 0.3. [25]. Нормированное линейное пространство X называется строго выпуклым, если условие |*+.у| = |М1 + 1М1 влечет линейную зависимость ненулевых элементов х и у из X.
Геометрически последнее свойство означает, что соответствующая единичная сфера нормированного пространства не содержит никаких нетривиальных отрезков.
Определение 0.4. [21]. Норма на банаховом пространстве X называется слабо локально равномерно выпуклой (или кратко WLUR), если любая последовательность {х„ }"=0 с X слабо сходится к л:0 при условии
lim \\хп = lim
хп +х0
\\хо
Определение 0.5. [11] Норма |-| банахова пространства X называется нормой Кадеца по отношению к тотальному1 множеству А из сопряженного пространства X', если для любой последовательности {хп }"=0 с X следующие
условия эквивалентны:
(К1) если limx"(x„)=^*(jc0) для любого функционала х" є А, то
lim inf ||jct І > ||jcc
«-»<» k>n" " "
(K2) если limx'(xn) = x'(x0) для любого функционала х* є А и lim||jc„|| = ||лг0[[,
то ІітІІл: - х0 II = 0.
Из приведенных определений следует, что равномерная выпуклость влечет локальную равномерную выпуклость, которая, в свою очередь, влечет строгую выпуклость норм банаховых пространств.
'Множество А из сопряженного пространства X* называется тотальным, если справедлива импликация: если х' (х) = 0 для всех х* є А, то х = 0
Хорошо известно, что стандартная sup-норма на пространстве непрерывных функций с(к), исследованию которой посвящена наша работа, не обладает, вообще говоря, ни одним из перечисленных выше свойств выпуклости. Поэтому естественно желание заменить эту норму на, возможно, более «хорошую» эквивалентную норму. Напомним, что две нормы: | | и ||| |||
называются эквивалентными, если они порождают одну и ту же топологию на заданном линейном пространстве. Легко видеть, что эти нормы эквивалентны тогда и только тогда, когда существует две положительные константы С, и С2
такие, что Cj |jc| < |дг|
< С2 ||х| для всех векторов х.
Глубокими достижениями в геометрии банаховых пространств явились следующие теоремы.
Теорема Кадеца 0.6 [11] Любое сепарабельное банахово пространство X допускает эквивалентную норму Кадеца по отношению к некоторому счетному тотальному подмножеству в сопряженном пространстве X'.
Теорема 0.7 [11] В любом сепарабелъном банаховом пространстве X существует локально равномерно выпуклая норма Кадеца эквивалентная первоначальной норме пространства.
Теорема 0.8 [11] Любое сепарабельное банахово пространство X допускает эквивалентную строго выпуклую норму II ||| такую, что как только
последовательность {x„Yп из X слабо сходится к хп и lim|xj| = ||xj|, то
lim |х„ ~х0\ =0.
Данные теоремы устанавливают факт существования эквивалентных строго выпуклых и локально равномерно вьчтуклых норм на всех пространствах непрерывных функций, определенных на метрических компактах.
Перечислим теперь некоторые классы неметризуемых компактов, на которых пространство непрерывных функций допускает интересующие нас перенормировки. Известно, что для компактов Корсона К пространство непрерывных функций с(к) допускает LUR норму. Более того, если пространство К является равномерным компактом Эберлейна, то пространство непрерывных функций с(к) на нем допускает эквивалентную равномерно дифференцируемую по Гато норму. Обратное утверждение также является верным. Доказательства этих фактов можно найти в [29].
Среди других классов компактов К, для которых пространство непрерывных функций С(к) допускает «хорошие нормы», в литературе большое внимание уделено классу разреженных компактов, из которых особое внимание заслуживают те компакты, которые построены с помощью деревьев2.
В статье [20] даны необходимые и достаточные условия существования LUR и строго выпуклых перенормировок, а также норм со свойством Кадеца на пространстве непрерывных функций вида С0(г)3, где Т —локально компактное
дерево (с естественной топологией). Приведем их ниже.
Теорема 0.9 [20]. Пусть Т — дерево. Тогда следующие условия эквивалентны.
(1) существует локально равномерно выпуклая перенормировка пространства
с0(т);
существует слабая локально равномерно выпуклая перенормировка пространства Сй(т);
существует возрастающая вещественнозначная функция p:T->R, которая не является постоянной на густо ветвящихся подмножествах из Т и которая не имеет плохих точек.
Деревом называется' частично упорядоченное множество (Г,^), в котором для любого элемента t еТ множество [s є Т; s -< /} является вполне упорядоченным
3С0(т) — пространство всех непрерывных функций f:T-»R, для которых для любого числа > 0 множество {г є T-\f{t\ > є) является компактом
Теорема 0.10 [20]. Для дерева Т следующие условия эквивалентны:
(1) С0(Т) допускает эквивалентную строго выпуклуюшорму;
(2) на дереве Т существует возрастающая вещественнозначная функция
р:Т -> R, удовлеворяющая следующим двум условиям:
функция р не является постоянной на густо ветвящихся подмножествах дерева Т;
для любого элемента s дерева Т существует не более одной плохой точки и, большей s, для которой p(s)=p{u);
(3) существует ограниченная линейная инъекция из С0(т) в некоторое
пространство с0(г).
Теорема. 0.11 [20] Пусть Т — дерево. Банахово пространство С0(т) допускает эквивалентную норму Кадеца тогда и только тогда, когда существует возрастающая функция p:T->R, не имеющая плохих точек .
Дня рассматриваемых свойств оказалось актуальной так называемая «проблема трех пространств». Например, известно, что если Y — подпространство банахова пространства X, для которого фактор-пространство X/Y допускает эквивалентную LUR норму, и само Y допускает эквивалентную LUR норму, то пространство X допускает LUR норму [29]. С другой стороны, существуют примеры банаховых пространств X и их подпространств Y такие, что Y и X/Y допускают строго выпуклые перенормировки, а само X — нет [20].
Важно также отметить тот факт, что вопрос существования «хороших» перенормировок пространств непрерывных функций С(к) на компактах К тесно связан со следующим свойством Намиока компакта К.
Точка t дерева Т называется плохой для возрастающей функции p:T-*R, если во множестве /+ всех последователей элемента / не существует конечного множества F, для
которого Ы\р{и\и Є /+ \ F]> p{t)
Определение 0.12 [13] Говорят, что компактное пространство X имеет свойство Намиоки (иногда его называют также свойством ко-Намиоки, при этом термин «Намиоки» без приставки «ко-» относят только к первому сомножителю), если для любого пространства В со свойством Бэра и любой раздельно непрерывной функции f:BxX->R существует всюду плотное подмножество Л с 5 типа Gs такое, что / совместно непрерывно в каждой точке множества АхХ.
Известно, что если пространство непрерывных функций С(к) допускает эквивалентную LUR норму, которая является полунепрерывной снизу в топологии поточечной сходимости, то компакт К имеет свойство Намиоки [16]. В частности, любой компакт Корсона имеет свойство Намиоки [29]. Кроме того, любой разреженный компакт, для которого с(к) имеет эквивалентную
LUR норму, имеет свойство Намиоки [16].
Следует отметить, что существуют пространства, не допускающие никаких эквавилентных перенормировок указанного выше типа. В 1972 Линденштраусом было доказано, что банахово пространство /ю = C(/w) не допускает эквивалентной локально равномерно выпуклой перенормировки [24]. Кроме того, банаховы пространства /м/с0 и /м(г), где г — несчетное множество, содержат копии /„ и также не имеют эквивалентных LUR норм. В связи с этим возникает закономерный вопрос: только ли наличие подпространств типа 1М препятствует существованию интересующих нас перенормировок банаховых пространств, в частности, например, свойства LURl В статье [21] Хэйдон построил пример замкнутой подрешетки X в пространстве /ю, которая не содержит подпространств, изоморфных /ю и которая, тем не менее, не допускает ни LUR, ни более слабой WLUR перенормировки.
Другим, интересным для нас вопросом является вопрос о существовании «хороших» норм на пространствах вида С0(ь), где L — локально компактное
разреженное дерево. Хэйдон [19] построил пример такого пространства, которое не допускает даже строго выпуклых перенормировок. Также отметим,
что в [20] рассмотрен пример пространства непрерывных функций, допускающего норму Кадеца, но не допускающий никакой строго выпуклой перенормировки.
Таким образом, вопрос существования эквивалентных норм с «хорошими свойствами» выпуклости на банаховых пространствах непрерывных функций на компактах остается актуальным и ему и посвящена данная диссертация.
Превосходной монографией в теории перенормировок, представляющей обзор результатов, полученных вплоть до 1993 года, являляется книга Девиля, Готфруа и Зизлера [16]. Ряд интересующих нас недавних достижений можно найти в статьях [20] и [29]. В [20] наиболее важными результатом является характеризация пространств непрерывных функций с(т) на дереве Т, которая позволила Хейдону построить большое число контрпримеров в теории перенормировок. Обзор [29] содержит весьма полный спектр фактов из теории перенормировок на несепарабельных банаховых пространствах.
В данной диссертационной работе мы в основном фокусируем свое внимание на локально равномерно выпуклых перенормировках. Фундаментальное значение для нас имеет следующая теорема.
Теорема 0.13 [26] Нормированное пространство X допускает эквивалентную норму, которая является полунепрерывной снизу в топологии поточечной сходимости, тогда и только тогда, когда для любого є>0 пространство X можно представить в виде X = \jxne таким образом,
чтобы для каждого хеХпе существовало бы открытое в топологии поточечной сходимости полупространство Н = {хеХ; f(x)>c}, где f -линейный непрерывный функционал на X, которое содержит х и такое, что diam(Hf]Xn)
Исторически данная теорема является первой характеризацией существования локально равномерно выпуклой перенормировки в банаховых пространствах. Общий случай данной теоремы был доказан в [27]. Кроме того,
Раха [27] дал изящное доказательство того факта, что строго выпуклое пространство, в котором топология нормы и слабая топология совпадают на единичной сфере, допускает эквивалентную локально равномерно выпуклую перенормировку.
Наиболее типичной техникой перенормировки является так называемая техника переноса, заключающаяся в перемещении хороших свойств выпуклости с одних нормированных пространств на другие. Простейшей иллюстрацией данного приема является следующий результат.
Теорема 0.14 [26] Пусть Y — строго выпуклое пространство, Т — линейный ограниченный взаимно однозначный оператор из X в Y, тогда норма, определенная правилом \х\-\х\х + \Tx\Y для всех х из X, является строго
выпуклой.
К сожалению, невозможно подобным образом получать локально равномерно выпуклые перенормировки. Для того чтобы заменить строгую выпуклость локальной равномерной выпуклостью в теореме 0.14. нам будут необходимы следующие понятия и определения.
Определение 0.15 [26] Пусть Ф отображает метрическое пространство (x,d) в метрическое пространство (Y,p). Отображение Ф называют ко-а-непрерывным, если для любого є > 0 мы можем представить пространство X в
виде X = {jxne и найти Sn(x)>0 для каждого хєХпє такое, что d{x,y)
Теперь мы можем переформулировать теорему 0.14. следующим образом.
Теорема 0.16 [26] Пусть Y — локально равномерно выпуклое банахово
пространство и Т —линейный ограниченный ко-а-непрерывный оператор из
банахова пространства X в Y. Тогда пространство X допускает
эквивалентную локально равномерно выпуклую перенормировку.
Применениям линейной техники переноса посвящена первая глава данной диссертации. В ней рассмотрены пространства непрерывных функций на некоторых неметризуемых компактах. Для того чтобы наделить их «хорошей» нормой обычно строят операторы из них в пространство с0 (Г). Мы
в главе 1 используем известную и наиболее общую на сегоднящний день теорему Зизлера [28]. Доказаны следующие теоремы.
Теорема 1.1. Пусть X = [o,l]x[o,l] - компактное пространство с топологией лексикографического порядка. Тогда на пространстве С(х) существует эквивалентная sup - норме локально равномерно выпуклая норма.
Эта теорема была сформулирована и доказана нами в статье [31]. Спустя полтора года после ее выхода мы обнаружили, что эта теорема содержится также в статье [21], где она была доказана для лексикографических произведений не только отрезков вещественной оси. Однако заметим, что в статье [21] теорема Зизлера не применяется. Мы не претендуем на приоритет в получении данного результата, а размещаем его доказательство здесь всвязи с некоторым родством с нашей следующей теоремой (заметим, что лексикографический квадрат является линейно упорядоченным компактом, правда несепарабельным).
Теорема 1.5. Пусть X - линейно упорядоченный сепарабельный компакт со стандартной интервальной топологией. Тогда пространство С(Х) с нормой |/|| = тах|/(х)| допускает эквивалентную локально равномерно выпуклую
норму.
Всвязи с последней теоремой важно отметить, что существуют примеры линейно упорядоченных несепарабельных компактов X, для которых пространство С(Х) не имеет эквивалентной локально равномерно выпуклой
нормы — здесь подходит отрезок Суслинского неметризуемого континуума (см.
[16]).
Следующая теорема является попыткой некоторого обобщения теоремы 1.5 на пространства Т, топология в которых задана с помощью некоторого отношения порядка, причем упорядоченное множество Т является псевдодеревом (см. детали в определении 1.8 главы 1).
Теорема 1.14. Пусть Т - псевдодерево, каждая точка ветвления которого имеет лишь конечное число ветвей. Пусть для каждого teT множество F, ={seKT; s
Как мы отметили выше, обычным приемом построения новых норм на заданном банаховом пространстве является задание линейного взаимно однозначного оператора в пространство с0(г) в. качестве первого шага.
Возникает естественный вопрос: насколько общим является этот прием? На проблему существования линейного ограниченного оператора из строго выпуклого банахова пространства X в с0(г) впервые обратил внимание
Линденштраус [24]. Позднее в его совместной работе с Дашиелем [15] было построено строго выпуклое банахово пространство, не имеющее линейного ограниченного взаимно однозначного оператора в с0(г) для любого множества Г. Первый пример локально равномерно выпуклого банахова пространства, не имеющего линейного ограниченного оператора в с0(г) для любого множества Г, был обнаружен Девилем [17].
В связи с этим, линейная техника перенормировки банаховых пространств во многих случаях является сдерживающим фактором доказательства существования на них «хороших» эквивалентных норм. Нетрудно заметить, что для того, чтобы получить линейность оператора
T: X -» Y, необходимо перенести слои из пространства Y в X. Другой подход в теории перенормировок описан в теореме 0.18.
Определение 0.17. [25] Пусть А — подмножество линейного топологического пространства X и пусть Ф отображает А в метрическое пространство {Y,p). Отображение Ф называют послойно непрерывным в точке х є А, если для любого є > 0 существует открытое полупространство Я в X, содержащее точку х, для которого osc (ф| )= diam Ф(# П А) < є.
Говорят, что Ф является а - послойно непрерывным, если для каждого є>0 множество А можно представить в виде А = \jAns таким образом, чтобы
для любого х е Апе существовало бы открытое полупространство Я в X, содержащее точку х, для которого osc (ф| )= diam ф(я П Ап е) < є.
Описанные отображения могут быть далеко нелинейными. Примером такого отображения может служить отображение осцилляции Q:C(A")-»c0(r)
пространства неперывных функций с(к) на компакте в с0(г), для каждой
функции /еС(к) определенное по правилу: П/= swp\f(x)-f(y\. Теперь
х.уеК
сформулируем теорему, с помощью которой мы получаем наши основные результаты во второй главе диссертации.
Теорема 0.18 [25] Нормированное пространство Х = С(к) допускает эквивалентную, полунепрерывную в топологии поточечной сходимости, локально равномерно выпуклую норму тогда и только тогда, когда существует метрическое пространство (Y,p) и отображение Ф-.X-tY, являющееся а - послойно непрерывным в топологии поточечной сходимости, а также ко-а -непрерывным в топологии нормы.
Данная теорема является ключевой теоремой в теории нелинейной техники перенормировки банаховых пространств. Благодаря ней в статье [26]
была решена проблема локально равномерно выпуклой перенормировки пространства непрерывных функций на компакте Хелли [10], которая была сформулирована Кадецом еще в середине семидесятых годов. Доказано, что пространство непрерывных функций на компакте Хелли допускает локально равномерно выпуклую норму, которая является полунепрерывной снизу в топологии поточечной сходимости.
В данной работе применению нелинейной техники перенормировки посвящена вторая глава. В ней усилены некоторые результаты главы 1. Кроме, того, рассмотрена так называемая конструкция Федорчука, которая описывает большое число неметризуемых компактов. В частности, нами доказаны следующие теоремы.
Теорема 2.6. Пусть К -линейно упорядоченный сепарабельный компакт. Тогда пространство С(К) допускает эквивалентную полунепрерывную снизу относительно топологии поточечной сходимости LUR -норму.
Теорема 2.8. Пусть B(x,Yx,hx) - компакт Федорчука, где для каждого хеХ компакт Yx является компактом, гомеоморфно вкладываемым в отрезок [0,l] вещественной прямой R. Тогда на пространстве непрерывных функций C(B(x,Y,hx)) существует эквивалентная локально равномерно выпуклая полунепрерывная снизу в топологии поточечной сходимости норма.
Следствие 2.9 . Пусть К - линейно упорядоченный сепарабельный компакт или компакт Федорчука из теоремы 2.8. Тогда К имеет свойство Намиоки.
Теорема 2.8. получена совместно с СП. Гулько и является обобщением его результата [1], в котором для компактов Федорчука было установлено свойство Намиоки.
\
Теорема Зизлера и ее приложения
Ключевой теоремой в теории перенормировок банаховых пространств является приведенная ниже теорема Зизлера, которая является обобщением широко известного метода проекционного разложения единицы. Суть этого метода состоит в разложении пространств на более простые составляющие, которые заведомо допускают эквивалентные локально равномерно выпуклые нормы. Теорема [28]. Пусть (z,\\ ) - банахово пространство, в котором задано семейство ограниченных линейных операторов {Ра :Z- Z] , обладающее следующими свойствами: (1) Оператор Т, заданный по правилу Тх(а)=\\Ра(х для каждого элемента xeZ, отображает пространство Z в с0(г); (2) любая точка xeZ принадлежит замкнутой линейной оболочке sp{Pax,aeT}; (3) для каждого аеГ на пространстве PaZ существует эквивалентная первоначальной норме локально равномерно выпуклая норма. Тогда на пространстве Z существует эквивалентная локально равномерно выпуклая норма.
Применяя данную теорему, Джейн, Намиока и Роджерс [23] доказали, что на пространстве всех непрерывных вещественнозначных функций C(D) на компактном неметризуемом пространстве «две стрелки» D существует эквивалентная sup - норме локально равномерно выпуклая норма. Данная глава содержит развитие этих методов. Пусть X = [o,l]x [o,l] - декартово произведение с топологией лексикографического порядка. Тогда на пространстве С(х) существует эквивалентная sup - норме локально равномерно выпуклая норма.
Опишем топологию лексикографического порядка на обычном декартовом квадрате X = [0,l]x [0,l](cp.[6]). Для этого нам понадобятся определение окрестностей точек лексикографического квадрата X и те обозначения, которые мы будем использовать далее в доказательстве теоремы. Напомним определение лексикографического порядка.
Рассмотрим непрерывную на лексикографическом квадрате функцию feC(x). Фиксируем є 0. Для данного г 0 по определению непрерывности функции / существует окрестность О(01)(0) точки (0,\)еХ, где 0 0 1, на которой функция / изменяется менее чем на Є. Аналогично, для точки (\,0)еХ существует г/1е( 0,\) такое, что в окрестности (\o)(l- 7і) функция изменяется менее чем на г. Далее, для каждой точки Е, є (0,l) аналогично можно выбрать точки rj4 и г]4 так, чтобы в окрестностях O -rj ) и 0 ( - ) функция / изменялась менее чем на є. Совокупность множеств [0,0), ( , ) Для всех точек є(о,і), и (т7,і], является открытым покрытием компакта [0,l] вещественной прямой, из которого можно выбрать конечное открытое подпокрытие [0,4), (7„), где 7 = 1,2,...,/, и (7,,1] (8), где интервалам fo, ;) соответствуют точки є[0,і], для которых в окрестностях 0fejO)fe -7/) и %,i)(C -,) функция / изменяется менее чем на є. Далее, для у = 0, j = 1,2,---,1 и / + 1 на соответствующих интервалах системы (8) выберем рациональные точки ps таким образом (рис 1.3), чтобы на множествах 0(ол)(ро). Ом{\-Рм), 0((ifi){pM -) и 0[u)fa-p,) при / = 0,1,.../, функция / изменялась менее чем на є ( ) (черта сверху обозначает замыкание).
По определению операторов {РГ :С(х) С{х)\ єГ и в силу ( ), очевидно, что условие (1) теоремы Зизлера выполняется, так как для данного є 0 существует номер-«eN, начиная с которого — е, а, следовательно, и \PYf\ может превышать є только для конечного числа индексов у. Построим приближение g є sp{py} еГ функции / с точностью до є на компакте X. Рассмотрим функцию / на интервале {o}x[0,9oJ- Согласно ( ), имеем: ІДО, ql)- /(0,о є. Обозначим функцию где 0 и к\ — индексы рациональных чисел 0 и ql в (4). Заметим, что функция gl(x,y) по определению операторов является монотонной на интервале {o}x[o,#oj, и в его концах совпадает с функцией /. Следовательно, g0(x,y) отличается от функции f(x,y) на интервале {о}х [0,ql\ менее чем на є. Определим далее для / = 0,1,...«0 рекурсивно функции где к? и к] - индексы рациональных точек q и qM, соответственно, в (4). Функции gaM =g( являются монотонными на интервале {ojx ,0, ,] и в его концах совпадают с функцией f(x,y), поэтому функции g. являются приближением функции f(x,y) на промежутке {o}x[0, J для каждого / = 0,1,...«0, и на промежутке {о}х [о,1 - р0 ] для / = щ +1 с точностью до є.
Таким образом, мы задали локально равномерно выпуклую норму на пространстве непрерывных функций на лексикографическом квадрате. Мы уже отмечали во введении, что более сильные результаты были получены Хэйдоном, Джейном, Намиокой и Роджерсом [22], в доказательстве которых было использовано так называемое свойство трех пространств в теории перенормировок, а также вложение пространства непрерывных функций заданного на произведении линейно упорядоченных компактов в некоторое с0 произведение. Приведем их ниже.
Последователем элемента х линейно упорядоченного пространства X, если он существует, назовем элемент х+ - min \у є Х\ у х). Определение 1.7. Предшественником элемента х линейно упорядоченного пространства X, если он существует, назовем элемент х = тах{у є Х;у х}. Доказательство теоремы 1.5. Ввиду теоремы Кадеца [5], доказательство нам достаточно провести только для неметризуемого компакта X. Воспользуемся сформулированной выше теоремой Зизлера [28], в которой задача существования эквивалентной локально равномерно выпуклой нормы на пространстве (z, ) сводится к задаче построения семейства линейных ограниченных операторов {РГ\ еТ, Pr:Z- Z, обладающего свойствами (1) — (3). Так как пространство X является линейно упорядоченным сепарабельным компактом, то в нем существует всюду плотная последовательность S = {е,}"0; причем заведомо можно выбирать ее таким образом, чтобы для точки є, є S ее предшественник е и последователь е] (если таковые существуют), также являлись элементами S. Кроме того, заметим, что все изолированные точки обязаны принадлежать S.
Заметим также, что все множества G, для / є Я и Яг в заданной топологии являются открыто - замкнутыми в Т: Для каждого teBT\jBT множество G, можно представить в виде дизъюнктного объединения n(t) открыто - замкнутых множеств GtJ (ветвей элемента /), / = 0,...и(/)-1. Множество G,, содержит интервал (t,u) из соответствующей системы попарно непересекающихся множеств (16), а также множества Gs для каждого s є {t,u). Назовем линейно упорядоченное множество Ац с Gt i побегом элемента teT, если оно максимально по включению.
Нелинейная техника перенормировки пространств непрерывных функций на компактах
А. Мольто, Дж. Оригуэлла, С. Троянский и М. Вальдивиа в своей недавней работе [26] развили новую нелинейную технику перенормировки банаховых пространств. Эта глава содержит новые примеры применения этих методов. В частности мы усилим некоторые теоремы главы 1. А именно, покажем, что пространство непрерывных функций С(Х) на линейно упорядоченном сепарабельном компакте X допускает локально равномерно выпуклую эквивалентную перенормировку, которая дополнительно является полунепрерывной снизу в топологии поточечной сходимости. Для этого нам понадобится некоторый специальный механизм вложения линейно упорядоченного сепарабельного пространства в тихоновский куб [o,l]r для некоторого индексного множества Г. Начнем с леммы М.Бурке, доказательство которой здесь приводится для полноты. Лемма 2.1. [12] Пусть L - сепарабельное линейно упорядоченное пространство и пусть множество всех элементов Р = [х є L; Зх+} в L, которые имеют последователей, счетно. Тогда существует сохраняющее порядок гомеоморфное вложение f:L- R пространства L во множество вещественных чисел R. Доказательство. Поставим каждой точке х из L в соответствие линейно упорядоченное множество Lx следующим образом: a) если х не имеет последователя и не является концевой точкой, то положим Lx = {о}; b) если х имеет последователя или является наибольшим элементом пространства Z,,TO LX положим равным [0,+оо); с) если Л: является наименьшим элементом пространства L, то множество Lx положим равным (-оо;0]. Обозначим М объединение множеств {x}y.Lx по всем элементам х пространства L (рис. 2.1). Введем на множестве М топологию лексикографического порядка [6].
Определенное таким образом пространство М является линейно упорядоченным пространством. Кроме того, пространство М является сепарабельным, так как по условию леммы пространство L сепарабельно, а множество Р элементов из L, имеющих последователей, счетно.
Заметим, что пространство М является плотным в себе линейно упорядоченным пространством, в котором у каждой точки нет непосредственного последователя. Следовательно, существует гомеоморфное вложение h:M- R пространства М на всюду плотное подпространство действительных чисел, сохраняющий порядок.
Для каждой точки х пространства L рассмотрим отображение х ь (х,0). Согласно определенным топологиям на пространствах L и М, данное отображение будет сохранять порядок, а именно для точек х и у пространства L, при условии что х у, для соответствующих точек (х,0) и (у,6) пространства М по (17) будет справедливо (х,о) (у,0).
Заметим, что отображение хь»(х,0) является гомеоморфизмом пространства L на подпространство в М. Тогда искомое гомеоморфное вложение f-.L- -R, пространства L во множество действительных чисел можно задать формулой f(x) = /z(x,0). Доказательство. Данное утверждение является следствием леммы Бурке, поскольку компакт К можно гомеоморфным образом вложить во множество действительных чисел, а, следовательно, и в отрезок [o,l].
Обозначим через А_ множество элементов линейно упорядоченного компактного пространства К, имеющих предшественников, в объединении с наименьшим элементом 0 пространства К. Множество элементов пространства К, имеющих последователей, в объединении с наибольшим элементом lj, пространства Л: обозначим А+. И, наконец, множество элементов, имеющих и предшественников, и последователей, обозначим А0. Заметим, что для точек линейно упорядоченного компакта К справедливо одно из следующих условий: a) точка х пространства К имеет последователя; b) точка х пространства К имеет предшественника; c) точка х пространства К является наименьшим элементом 0 . или наибольшим элементом 1 пространства; d) для точки х пространства К, не имеющей предшественника и последователя и не совпадающей с элементами 0 и \к пространства К, существует окрестность, не содержащая элементов множества А_1)А+; е) для точки х пространства К, не имеющей предшественника и последователя, любая окрестность содержит элементы множества.
Тогда линейно упорядоченное пространство ЛГ можно представить в виде объединения множеств А_, Л+, а также множества С всех элементов, удовлетворяющих условию d), и множества D элементов, удовлетворяющих условию е).
Рассмотрим далее специализированный механизм вложения линейно упорядоченного сепарабельного компакта К в тихоновский куб [o,l]r для некоторого множества Г. Он будет устроен как диагональное произведение семейства отображений {(рх}, где каждая функция {фх} является неубывающей непрерывной функцией из К в [0,1].
Теорема (теорема 1.15 в [26]). Нормированное пространство X допускает эквивалентную, полунепрерывную в топологии поточечной сходимости, локально равномерно выпуклую норму тогда и только тогда, когда существует метрическое пространство (Y,p) и отображение Ф: X - Y, являющееся т -послойно непрерывным в топологии поточечной сходимости, а также ко-а-непрерывным в топологии нормы, ш Утверждение 2.7. (утверждение 2.68 в [26]). Пусть К - компактное подпространство [0,l]r. Если существует счетное множество Л с Г такое, что множество Л (J suppQf контролирует функцию f є С(к), то отображение осцилляции О:С(ЛГ)-»с0(Г) является ко-а-непрерывным, ш По условию нашей теоремы 2.6. К является сепарабельным пространством, следовательно, в нем существует счетное всюду плотное множество. Обозначим его Q. Покажем, что множество QUsuppQh контролирует любую непрерывную функцию heC(K) на компактном подмножестве К тихоновского куба [o,l]n/ . Пусть х,уеК и, для определенности, пусть х у (если х = у, то утверждение теоремы очевидно). Пусть, кроме того, рг(х)\ = pz(y)\zE) и P WLwnA =(Рі(УІи иРРм- Тогда обязательно У = х+.В самом деле, если бы у х+, то для всех точек z множества K\D, принадлежащих интервалу (х,у), было бы справедливо неравенство рг(х) р2(у), так как семейство отображений { px -K- \p,ixeKW состоит из неубывающих функций, различающих точки компакта К. Но интервал (х,у) в силу плотности множества Q имеет с ним общие точки и, следовательно, pz{x) = pz(y) для всех точек ze(x,y)f\Q. Получили противоречие, следовательно, у = х+ и р2(х)\ге, =(Pz(y)\2e) Если точка xesuppQh, то рх(х) = рх(у) и по определению отображения осцилляции h(x) = h(y).
