Введение к работе
Актуальность. Возникшая некогда ь математической физике концепция потенциала оказалась плодотворным понятием, стимулирующим развитие теории, ставшей в настоящее время обширной областью исследования. Идеи и методы теории почлшиалэ применяются р. теории уравнение с мастными производными, теории функций, функциональном анализе, теории вероятности, зада-чах теории приближений, гармоническом анализе и других разделах математики. Существенное влияние на развитие этой теории оказала статья Ю.Г.Решетняка "О понятии емкости d теории функций с обобщенными производными". В ней впервые были синтезированы идеи классической теории потенциала с идеями работ Н.Ароншайна и К.Т.Смита о совершенном пополнении пространств Функций, А.РХальдероиа, С.М.Никольского, Ж.-Л.Лионез и П.С.Лизоркина, Н.Ароншайна, К.Т.Смита, Ф.Муллы, П.Шептыц-кого и Д.Адаме» о пространствах линейных бессолевых потеппи-алоь, Г.Шоке об общей теории емкостей, Ж.Дени и Ж -Л.Лмонса об уточненных функциях класса Беппо Леви, Ж.Дени о емкости в функциональных пространствах, Б.Фугледе о связи между емкостью и экстремальной длиной и др. Работа Ю.Г. Решетняка содержит в яр.ном виде элементы L -теории потенциала, основы которой закладываются в последовавшем за ней цикле статей В.Г. Мазьи ч В.П.Хавина, Д.Адамса, Н.Мейерсэ. Л.Хедбергз и Т.Вольфа. В рамках новой теории был развит язык и найдены подходы к окончательному решению целого ряда трудных задач теории дифференциальных уравнений с частными производными, теории функций и теории функциональных пространств.
В 196 году на Первом донецком коллоквиуме по теории квазиконформных отображений Ю.Г.Решетняк сформулировал
задачу об
описании всех изоморфизмов у/ однородных пространств Соболева хп, порожденных квазиконформными отображениями <р евклидо-ээ пространства Rn по правилу <р'(ч)^и(р. В работе С.К.Водо-тъянова и В.М.Гольдшт^йнэ показно, что таковыми являются :тругтурные изоморфизмы пространства я* и только они. В рам-;.эх такого подхода к проблеме Решетняка возникает следующая
здача.- і",:-!'1-': метр.г-'^с!' ис и аналитические свойств?, имеет
4 '
отображение ці, индуцирующее изоморфизм <р": хп—'п по правилу 4>'(f)"=f04>. /";і'л' Варьируя функциональное пространство ^, мы каждый раз приходим к новой задаче (см. работы С.К.Водопьянова и В.М.Гольдштейна, где рассмотрены однородные пространства Соболева Хр, р>п, и Бесоьа ь1~1/п(.кп~*), n>3,- В.М. Гольдштейна и А.С.Романова, где изучен случай пространства Соболева W , п-1 < р < п; А.С.Романоьа и И.Г.Маркиной, б которых для пространств Соболева w1, />*(1, п), приведены различные по методу и возможностям распространения доказательства; В.М.Мазьи и Т.О.Шапошниковой, где к задаче применена теория мультипликаторов).
Более общая задача возникает тогда, когда ь предыдущем сучае требование изоморфизма ip" мы заменим на условие ограниченности оператора <рг. В монографиях 0.В.Бесова, В.П.Ильича и С.Ы.Никольского, а также В.Г.мазьн и Т.О.Шапошниковой г.ривэдены некоторые достаточные условия на гомеоморфизм <р. чтобы оператор >f, действующий либо в пространствах Соболева, либо ь пространствах Бесова, был ограниченным.
Задача о продолжении дифференциоуемых функций за границу области определения является традиционной для функциональных пространств. Выделим условно два этапа исследования этой задачи. В начале изучались области, локально являющиеся графиками функций некоторого класса, задающего гладкость границы, а дифференциальные свойства функций, продолжаемых за границу такой области, описывались в терминах все более усложняющихся шкал пространств.. Не претендуя на полноту, отметим здесь работы О.В.Бесовэ, 0.В.Бесова и В.П.Ильина, Ю.Д.Бураго и В.Г.Мазьи, В.И.Буренкова, В.II.Ильина, Г.А.Каля-бина, С.Г.Михлина, СМ. Никольского, (O.K.Солнцева, И.Стейна, М.Р.Хестенса. К.Т.Смита. -
На следующем этапе, начало которому положили работы С. К.Водопьянова, В.М.Гольдштейна, Т.Г.Латфуллина и П.В.Джонса, для функций классов Соболева, определенных на локально равномерных областях, устанавливается возможность продолжить их за границу с сохранением гладкости. Геометрическая структура таких областей имеет значительно более сложную природу по сравнению с рассматриваемыми ранее. Развитие этих, идей и распространение результатов о. продолженим Функций на другие
типы пространств см. в работах С.К.Водопьянова, В.М.Гольд-штейна, Б.Л.Фяйна, П.А.Шварцманэ, М.Крайстэ и др.
Близкой к рассматриваемой' является задача об описании следов функциональных пространств на замкнутых подмножествах евклидова пространства. Это направление исследований, берущее начало от классической роботы Х.Уитни, включает также важный в приложениях к граничным задачам теории дифференцч-зльных уравнений вопрос о граничных значениях функций из различных классов, поскольку он традиционно рассматривался в областях, из которых можно было продолжать функции. В работах О.В.Бесова, Ю.А.Брудного и П.А.Шварцмана, В.Н.Коновалова, Г.А.Мамедова, СМ.Никольского, Л.Н.Слободецкого, С.В.Успенского и В.Г.Перепелкина, Д.Адамса, Е.Гальярдо, Г.Глезера, А.Йонссона, А.Йонссона и Х.Валлина, Х.Трмбеля и др.' были. рассмотрены различные типы пространств, разработаны новые методы исследования, и описаны следы функций, принадлежащих различным функциональным шкалам, на замкнутых множествах, имеющих определенную геометрическую однородность.
Выше уке были перечислены работы, в которых задача о граничном поведении дифференцируемых -функций исследовалась для достаточно регулярных областей. Однако, как показывают работы С.М.Никольского, Г.Н.Яковлева, В.Г.Мазъи и С.В.Побор-чего, М.Ю.Васильчикэ и др.. даже одна особая точка на границе, например, пик, направленный внутрь или наружу области, требует особых рассмотрений и изобретения все более рафинированных методов.
Цель работы состоит в многоплановом развитии идей, методов и приложений теории потенциала, а также в изучении связи между геометрией, геометрической теорией функций и теорией функциональных пространств на примере задач, описанных выше.
Методы исследования. В работе, в основном, применяются методы теории потенциала, гармонического анализа, теории функциональных пространств, геометрической теории Функций, з также оригинальные методы, основанные на синтезе геометрии с перечисленными здесь направлениями анализа.
Научная новизна работы выражается в результатах по теории потенциала, теории функциональных пространств и теории
ото'раж.чий, основанных на новых методах исследования и подходах к ряду обсуждаемых ниже задач.
Среди принципиально новых для весовой теории результатов и подходов, подробное,описание которых приводится ниже, упомянем соотношения между весовой емкостью и весовой мерой Хаусдорфа; исследование понятая разреженности множеств ь весовой теории потенциала, включающее "весовые" аналоги теоремы Шоке, свойства Келлога и исследование иррегулярных в смысле Винера точек в задаче Дирихле для вырождающихся эллиптических уравнений; двухвесовые оценки для интегральных опера-тоуов свертки с ядрами общего вида, а' также обобщения этих результатов на однородные группы и более общие пространства. С/метим, что класс рассматриваемых ь теории потенциала на однородных группах ядер включает, в частности, фундаментальные решения однородных дифференциальных операюров, удовлетворяющих некоторым условиям. Б монографии Н.С.Ландкофа сформулирована общая проблема построения теории, ь которой-сохранялись бы основные свойства (линейных) потенциалов. Выделим три новых положения, лежащих люве реализо&нной в работе обобщающей концепции: систематическое изложение весовой L -теории потенциала для ядер общего вида; описание геометрии пространства, адекватное геометрии нелинейного потенциала,- развитие теории на пространствах однородного типа без групповой структуры.
Среди новых подходов отметим ещё связанную с Функциональными пространствами простую схему построения теория емкости, в рамках которой аналитические множества измеримы, а также полученную ь абстрактной ситуации теорему об эквивалентности свойств уточненное и квазинепрерывности, существенно используемую ъ главе 3.
Задача Ю.Г.Решетняка .исследуется не только для нерассмотренных ранее случаев классов Соболева Up*n, 1>\), но и для принципиально новых шкал дифференцируемых функций: трехиндекеных пространств Никольского - Бесова и Лизоркина -Трибеля и их анизотропных аналогов. Отметим, что для метрического описания отображений в аниз .юпном случае необходимо и'.меніпь геометрию евклидова пространства так, чтобы она і определенном смысле соотЕмчтствоьала геометрии функционнль-
н*ого пространства. Полученные зцесь результаты полезны при задании обобщенных дифференцируемых структур на топологических многообразиях. Завершает этот цикл теорема о структурном изоморфизме для пространств функций, гладкость киторых не превышает единицу, и абстрактная теорема о геометрических свойствах гомеоморфизмов, индуцирующих ограниченные операторы пространств.
Кроме этого, без каких-либо априорных предположений решается задача описания гомеоморфизмов >p:Rn—Rn таьих, что оператор (ln':L'fRn)—/*(r"), р« [1,-1, ограничен. При этом возникает шкала отображений, зависящих от вещественного параметра р. При р = - - это гомеоморфизмы, удовлетворяющие условию Липшица, а при р = п - это квазиконформные гомеоморфизмы. Этот результат и метод его доказательства служат основой для описания отображений, порождающих по правилу замены переменной ограниченные операторы ь других. пространствах дифференцируемых функций. Кроме того, в классах отображений, ассоциированных с фиксированными пространствами функций, решаются проблемы топологического и геометрического характера, происходящие из теории квазиконформных отображений. Отметим здесь геометрическое определение отображений, эквивалентное аналитическому, вопросы, связанные со сходимостью отображений, а также задачу о граничном поведении отображений. Подход к последней задаче, основанный на работе автора [І], идейно связан с теорией простых концов Каратеодори, в различных направлениях развитой в работах Г.Л.Суворова и В.А.Зо-рича.
Основное утверждение первого параграфа главы 4 - это теорема о необходимых и достаточных условиях продолжения функций из анизотропного пространства Соболева w\_, 1 = (-,,0,
l"p-Z, l" -2^(1^ + 171). за границу плоской односвязкой области. Это условие состоит в специальном требовании на геометрию области; надо, чтобы граница области была ж'Ордановой кривой, удовлетворяющей обобщенному условию Алъфорса, формулируемому в терминах подходяще подобранной однородной нормы. Способ доказательства этого рез;, іьтата развивает метод, разработанный автором для соответствующей изотропной задачи.
Суть ЄГО СОСТОИТ Ь ПОЛучеНИИ OUeHOK СНИЗУ ДЛЯ HOpVb! ОПёрЙТО-
pa продолжения, явно зависящих от геометрии исходной области-и дополнительной к ней, откуда получаются необходимые условия, ь ряде случаев совпадающие с достаточными. При доказательстве отих оценок существенно используются результаты главы 3.
Цель 2- главы 4 состоит в том, чтобы мотивировать следующую точку зрения на пространства Функций ь областях.- с каждым функциональным пространством, заданным на области ев-клидсва пространства, естественно ассоциировать слою внутреннюю метрику области, задаваемую специальный образом. Внутренняя геометрия области, определяя функциональное пространство, отражает суть дела в рассматриваемых задачах, предоставлял удобные средства для их решения. Основным технический средством для реализации этой идеи служит теорема об эквивалентных нормировках, в которой устанавливается, что простра-ьства Соболева и Никольского при р = ~ допускают другую нормировку, эквивалентную общепринятой и характеризуемую явным вхождением в формулу внутренней метрики области. Распространение этой идеи на пространства с интегральными нормами гри-ьодит к новому подходу к пространств ..л липшицевых Функций в областях.
В последнем параграф главы 4 выводятся новые изодери-метрические соотношения для областей, удовлетворяющих условию продолжения. Эта соотношения связывают, в частности, различные меры в области с мерами в объемлющем пространстве; отметим ср>еди них условие регулярности и набор условий для мер Хзусдорфа различных размерностей. Метод доказательства, предложенный автором для получения условия регулярности, применим также и в других ситуациях. .
В главе 5 изучается граничное поведение функций классов Соболева" и Никольского при р=~ и их анизотропных аналогов. Областью определения функций в нашем случае, в отличие от рассматриваемых ранее, является произвольное открытое связное множество ь евклидовом пространстве Rn, п>2. Отказ от каких-либо свойств регулярности евклидовой границы области требует введения новых понятий и разработки я:іьжа, на котором они формулируются. Установлено, что граничные значения функций из рассматриваемых классов всегда существуют, если
их понимать в некотором специальном смысле.
Теоретическая и практическая значимость. Полученные в диссертации результаты имеют в основном теоретический характер. Они находит применение б научных исследованиях и используются при чтении специальных курсов, подготовке учебных пособий и монографий.
Апробация. Основные части диссертации докладывались более чем на 20 конференциях, симпозиумах и школ эх. Соеди них: IX, X, XI, XII Всесоюзные школы по теории операторов в функциональных пространствах (1934, Тернополь; 1965, Новосибирск,- 1936, Челябинск; 1967, Тамбов), Донецкий коллоквиум по теории квазиконформных отображений (1984), Школа по топологии и теории функций (І954, Кацивели), Международная конференция памяти А.Хзара (1985, Будапешт, Венгрия), 5-я Республиканская конференция по нелинейным уравнениям математической физики (1965. Львоь), Всесоюзный семинар молодых ученых "Актуальные вопросы комплексного анализа" (1905, Ташкент), XX Зимняя воронежская шкода (1987, Воронеж), Школа-семинар по комплексному анализу и математической физике (1937, Красноярск), У1И Кубанская шкода-коференция по геометрической теории функций (1937, Краснодар), Всесоюзная конференция по геометрии "в целом" (1937, Новосибирск), 3 Международный симпозиум "Комплексный анализ и приложения" (1983, Герцег Нови, Югославия), Всесоюзная конференция по геометрии и анализу (1989, Новосибирск), Летняя международная школа "Нелинейный анализ, функциональные прострянства и приложения" (1990, Руднице на Эльбе, Чехословакия). Международная конференция по теории потенциала (1990, Нягойя, Япония), Банаховский семестр (19Э0, 'Варшава, Пол..ша), X Латиноамериканская математическая школа (1991, Кордоні, Аргентина).
Основные результаты диссертации в разные годы докладывались нз семинарах по геометрии и анализу в Институте математики СО РАН (рук. акад. Ю.Г.Решетняк), . по теории функций многих переменных в Институте математики РАН (рук. акад. С. ^.Никольский, чл.-корр. 0.В.Бесов и Л.Д.Кудрявцев), по тео-)И; функции в Институте математики РАН (рук. акад. А.А.Рон-i-:t|>), пг> теории Функций в Ленинградском отделении МИР АН
(рук. проф." В.П.Ильин), кафедры теории функций Московского университета (рук. чл.-корр. П.Л.Ульянов), по теории функциональных пространств в университете' Дружбы пародов пм.П.Лу-мумбы (рук. проф. В.И.Буренков), по-теории Функций в Красноярском госуниверситете. (рук. проф. Л.А.Айзенберг), по теории функций в Волгоградском госуниверситета (рук. проф. В.Ы.Ыик-
ЛЮКОБ). . ч
Публикации. Все результаты, представленные в диссертации, получены автором самостоятельно и опубликованы в работах [1-20].
Структура диссертации.' Диссертация состоит из введения и пяти глав. Список литературы содержит наименования 263 рабо отечественных и зарубежных авторов. Работа изложена на 3Jб страницах машинописного текста.
