Введение к работе
Актуальность темы. Во многих областях математики используются ряды - числовые, векторные, функциональные. В основном ряды используются как инструмент приближения одних объектов другими - более простыми. Именно поэтому исследование свойств самих рядов является важным разделом математики. Истоком темы, которой посвящена данная работа, является классическая теорема Рішана: условно сходящийся числовой ряд можно переставить так, что он будет сходиться к любому наперед заданному числу, а также к +оо или к —ос. Если понимать под областью сумм рл-
да Y1 хк элементов пространства Е множество тех х Є Е, что при fc=i
некоторой перестановке тг ряд ]Р хь сходится к х (это определение
ввел М.И.Кадец [Кадец М.И. Об условно сходящихся рядах в пространстве Lv II Успехи матем. наук.-1954.-Т.9., 1.-С.Ш7 - 110], используется также термин "мноя;ество сумм"), то из теоремы Рішана следует: область сумм числового условно сходящегося ряда есть множество действительных чисел.
Естественным образом возникает вопрос: что можно сказать об области сумм условно сходящегося векторного ряда или ряда, составленного из функций? Первый результат, относящийся к векторным рядам, а именно, к рядам комплексных чисел, получил П.Леви в 1905г. Для рядов в произвольном конечномерном пространстве па этот вопрос ответил Е.Штейниц в 1913 r.[Sleinitz Е. Bedingt konvergente rcicn und konvexe syst.eme//J.reine und angew. math.-1913.- Vol. 143.-P.128-175; Vol. 141.-P. 1-49; 1916.-Vol.l46.-P.68-lll]. Теорема Штєйница гла-
сит: область сумм ряда J2 хк в m - мерном пространстве Е есть
А:-1
подпространство я + Го, где s = J2 хк, Г0 - ашгулятор мно?кества
к-\
Г = {/"*: 1/Ы1 сходится}. fe=i Однако в бесконечномерном нормированном пространстве аналог теоремы Штейница не вереи. Область сумм ряда в данном случае может быть незамкнутым множеством (М.И.Островский), не иметь
линейной структуры (И.Марцинкевич, П.А.Корнилов), а то и вовсе состоять из нескольких точек (М.И.Кадсц, К.Возннковский; П.А.Корнилов). Причем такие ряды существуют в каждом банаховом пространстве. Налицо принципиальное отличие структуры области сумм ряда в бесконечномерном пространстве от конечномерного случая.
Достаточные условия для того, чтобы область сумм ряда в бесконечномерном пространстве совпадала с подпространством s + Го, исследуются в работах М.И.Кадеца, С.Троянского, Е.М.Никишина, Д.В.Иечерского, С.А.Чобаняна, М.И.Островского, И.Барани и других математиков. Насколько известно автору, сегодня не существует методов нахождения элементов области сумм ряда, если его члены не удовлетворяют ни одному из этих условий.
В отечественной литературе практически не встречается другой подход к этой проблеме, связанный с изучением свойств перестановок (биекций множества натуральных чисел на себя) в связи с тем, как они действуют на ряды. Перестановки, сохраняющие сумму или сходимость рядов в банаховом пространстве Е, исследуют R.Witula, P.A.B.Pleasants, P.Scliaefer, E.H.Johnston и другие авторы. Оказывается [Schaefer P. Sum - preserving rearangements of infinite scries//Amer. Math. Montly.-1981.- N88.-P.33-40], что эти свойства перестановок не зависят от пространства Е.
Однако вопрос о существовании других свойств перестановок, более значимых в связи с проблемой области сумм ряда в бесконечномерном пространстве и не зависящих от пространства Е, остается открытым. Очевидно, что не менее важными являются те свойства рядов, которые не зависят от пространства. Некоторые из таких свойств изучаются в данной работе.
Цель работы. Получение новых результатов о свойствах рядов в бесконечномерных банаховых пространствах. Исследование тех свойств перестановок рядов, которые не зависят от пространства, в котором рассматриваются ряды. Исследование геометрии про-
странств рядов, естественно возникающих в связи с этой тематикой.
Методы исследования. Исследования проводятся с помощью основных методов и принципов функционального анализа. Основной метод доказательств в первой и второй главе - конструктивный. Кроме этого, во второй главе применяется метод построения рядов с нелинейной областью сумм! предложенный Корниловым [Корнилов П.Л. О перестановках условно сходящихся функциональных ря-дов//Матем. сборник.-1980.-137.4.-С.598-616], и техника В.М.Кадеца [Ка-дец В.М., Кадец M.II. Перестановки рядов в пространствах Банаха.- Тарту, 1988.-С.112-116] переноса полученных результатов на все банаховы пространства. Для доказательсгв недополняемостн в третьей главе используется возможность вложения в подпространство постраист-ва с0, а в само пространство - пространства т. В последней теореме, касающейся недополняемости, используется классическая техника доказательства недополняемости со в т [см., например Кутателадзе С.С. Основы функционального аналнза.-Новоснбирск, 1995.-С.98], видоизмененная в соответствии с условиями теоремы.
Научная новизна. Все основные результаты работы являются новыми и заключаются в следующем:
1. Рассмотрено новое понятие - умножение перестановки на
число. Показано, каким образом с помощью этого понятия мо?кно ис
следовать области сумм рядов. Выделен класс перестановок, допуска
ющих умножение на целые числа. Таким образом, если перестановка
из этого класса меняет сумму некоторого ряда, то можно гаранти
ровать, что его область сумм будет неограниченной и указать часть
из содержащихся в ней элементов.
2. Для некоторого подмножества перестановок из данного клас
са доказано, что их умножение на нецелые числа невозможно. При
чем с помощью понятия выделяемых перестановок этот результат
можно перенести на более широкое множество перестановок. Дан-
ный результат в совокупности с первым является новым даже для числовых рядов. А именно, зафиксируем одну из таких перестановок и рассмотрим все числовые ряды, сходящиеся к нулю и после этой перестановки сходящиеся к единице. Оказывается, что можно указать одну перестановку, после которой все они будут сходиться к числу два (или к любому другому целому числу), но нельзя указать одной перестановки, после которой все эти ряды будут сходиться к числу і (или к любому другому нецелому числу).
3. Получены новые результаты относительно пространств рядов над пространством Е. Доказано, что всюду плотными множествами первой категории являются множество безусловно сходящихся рядов в пространстве сходящихся рядов и множество абсолютно сходящихся рядов в пространстве безусловно сходящихся рядов. Доказано: в случае, когда пространство Е содержит изоморфную копию с0 и существует счетное тотальное семейство функционалов на пространстве Е, пространство безусловно сходящихся рядов вкладывается не-дополняемым образом в пространство безусловно ограниченных сходящихся рядов. Доказано, что пространства безусловно сходящихся рядов и безусловно ограниченных сходящихся рядов не дополняемы в пространстве безусловно ограниченных рядов над пространством Е всякий раз, когда пространство Е содержит изоморфную копию cq.
Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации носят теоретический характер и могут быть полезны специалистам, работающим в областях функционального анализа, связанных с рядами.
Апробация работы. Основные результаты и положения работы были доложены:
- на XXXIV и XXXV международных научных студенческих конференциях "Студент и научно - технический прогресс",г. Новосибирск, 1996г., 1997г.;
на международной конференции "Всесибирские чтения по математике и механике", г.Томск, 1997г.;
на III и IV сибирских конгрессах по прикладной и индустриальной математике, г.Новосибирск, 1998г., 2000г.;
на семинарах по функциональному анализу и топологии кафедры теории функций Томского государственного университета, 1997г., 1998г., 2000г.;
на семинаре отдела геометрии и анализа института математики им. С.Л.Соболева СО РАН, г.Новосибирск, 2000г.
Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 2 статьи и 5 тезисов докладов.
Структура и обьем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка цитированной литературы, содержащего 27 наименований. Первая и третья глава имеют по два, а вторая - три раздела. Общий объем диссертации - 77 страниц.
![Чезаровская суммируемость отрицательного порядка рядов Фурье в пространстве p [a, b]](/i/i/4274/45259.png "Чезаровская суммируемость отрицательного порядка рядов Фурье в пространстве p [a, b] Кудрявцев Александр Иванович")
