Введение к работе
Актуальность ими. . Основными об-ьектами исследования диссертации
являются связанные пгепдообратныс оператори, изучение которых имгст целью
построения регулярних методов вычисления втих операторов и их применение
к построению решений и регулярных аппроксимаций некоррсктиих залам мно-
гоэт?зной оптимизации. '. .
Рассмотренные в якссертации золами сжтямтоадии прелстаплятот собой математическую модель рялзліроблеи оптимально- і управления, статической теории упругости, электрических цепей п п качестве частных ностанопок включают it себя проблематику решения линейных операторны» уравнений с линейными связями Г гильбертовых пространствах, нмсюїнуіо многочисленные ирило-.т-еігкя в геофялииг, геїнике, иеяиішне, икономнке. Кроме того, рассмотренные .задачи оптимизации пмектт широкое распространение п теории пряближеі; ш фунпіии, математическом прогргі№№|>оп;и!гіи и лру'гях .разделах йатсматиги.
Один їв связанных песплообратнмх оператор т под названием су awn зп>
псепдообрапюго оператора плели п науку и ;970 юлу Н.'Мииамиле и К. Пака-
му pa, которые й установили нажнос значение'tvroro.оператора для построения
решений линейных операторных уравнений со связями-, аналогичное роли пссв-
дообратного оператора: Мура-Пенртузав теории операторных уравнений по
псем пространстве! , ' . : ' . . . .
В г.пяли с важностью итого понятия встал попрос. о'разработке методом ны-
числения суд-Лины* Тісевлообратнііх операторов. і«,іг. окаЛалось, іт.пользовать
для іугого известные мстолы псевлообрашеийя» ft достаточной мере изученные
р литературе, не ирелсталлнется возможным..; Іглолотворішй оказалась лишь
тихоновская идея построения регулЯризируюшего'алічзритма. Первый метод
регуляризации еуясстюго жевдообратснил следует отоести на счет В. А, Мо-
розоиаи II.- II. Кирсановой, которые предложили спой метол по лругому поводу
п 1970 тлу. В дальнейшем идея регуллрчзаііии был» использована для постро-
енил суженного псевлообратного оператора я 1979 і-оду И. Хартувтом, в 1982.
іхіду Л. Эль/tenoM и в'НМСт"лу К. Гречем.'- -.,.' ''"'.'
Но Методы, нре/иоженмые *тймн авторами, либо били примешаны в чакт-. иых случалі суженном пггйлшбрашпниш; когда пересечение лавр исходных операторов тривиально, либо сходимость обоги{изЫпалагьпри жестком усло-'нин нормальной разрешимое;и оператора, с'огтаялеиного.из'псюдиых.оиератороп, либо присутствовали тог и друи>й нодосп&то» А главное, не были
указаны подходы к построению общих методов регуляризации ни двухэтапной лексикографической задачи, так называемой задачи /(-псевдообращения, кото-рал также была объектом исследования указанных авторов, ни трехэтапной, рассмотренной в 1985 году А. Б. Назимовым. Не говоря уже о задачах с числом этапов оптимизации более трех, хотя на важность и происхождение таких задач обращено внимание, например, в книге Р. Холмса.1
Решению задачи і-псевдообращения на основе метода регуляризации Морозова поспящены работы В. И. Мелешко, С. 'Ля . маева, а общий двунараме-тричеепш иетод регуляризации jt-псевдообращешш при частных предположениях рассмотрен в работах ученика автора М. Я. Кугеля, а при другой параметризации — в работе Б. Алиева.
Другой связанный псевдооб^атный оператор под названием обратного Бот-та-Даффина введен п книге А. Бен-Израеля и Т. Грезила.2
Он представляет собой обобщение попятил связшшого обратного оператора, использованного в 1953 году в работе Р. Ботта и Р. Даффина для обоснования алгебраической части теории электрических цепей, охватывающей задачи алектротехшют а также задачи статики и другие научно-технические проблемы. Для того связшшого псевдообратиого оператора вопросы построения и аппроксимации не рассматривались вообще.
Таким образом, интерес, проявлешг їй к методам регуляризации для задачи'
многоэтапной оптимизации, que раз свидетельствует об актуальности поста-
лделной в диссертации проблемы. ' :
Весьма актуальны также проблемы исследования устойчивости псевдообра-щкккя и методов регуляризации г.севдообращения и всех рассмотренных я работе задач к возмущениям операторов. Проблемы устойчивости методов непосредственно связаны с пх практической реализацией. Однако эти вопросы не былп достаточно изучены. Для задачи псевдообращения они рассматривались В. А, Морозовым и его последователями для метода регуляризации Морозова и длл общего деупара: лрического метода, однако прл частных предположение!, М. Я. Кугелеы.
Цель работы заключается в разработке общего подхода к конструиро-
:Н..В. ilolmea. Course on optimization mid beat approximation. — Berlin; Springer Veriag, 1072. — 233 p.
2fl Ben-Israel, T. N. E. Greville. Generalized inveresa. Theory mid Applications. — New York: Wiley, 1874.
вапию методов регуляризации связанных псевдообратных опсратороп и задач многоэтапной оптимизашш , на основе которого построить рсгуляризнрующис алгоритмы решения указанных задач и исследовать их сходимость и устойчивость к различным классам возмущения вюлных данных.
Методика исследования основывается на синтезе двух подходов к решению некорректных задач: теории псевдообращеиия и теории регуляризации. Поэтому при выводе методов регуляризации и их исследовании широко используется аппарат теории псевдообращения, а также общие результаты фунюого-нальяогг анализа в гильбертовых и строго выпут тых банаховых пространствах и теории возмущений.
Научная новизна исследования заключается в следующих основных результатах диссертации:
1. Найдены новые представления псевдообратных операторов, сводящие чу
дачу псевдообращеиия к проблеме обращения операторов, и на их основе
разработан подход к построению методов регуляризации связанных пгев-
1 дообратных операторов.
-
Построена теория возмущения псевдообратного оператора в равномерной операторной топологии; введено понятие класса ^рректиых возмущений псевлообратуо! > оператора и дана характеризация втого множества ц средством геометрического понятия раствора операторов.
-
Построены двупараметрические методы регуляризации свя апных псевдообратных операторов, обобщающие методы регуляризации Тихонова и упрощенной регуляризации Лаврентьева, применимые без каких-либо существенных ограничений в том числе ограничений типа: оператор, составленный из исходны! операторов, является нормально разрешимым или имеет тривиальное ядро. '
-
Разработана и притенена методика исследования сходимости и устойчивости предложенных методой регуляризации связаіпшх псевдообращешхй с получением оденок погрешности з зависимости от свойств исхе шых операторов и множеств возмущающих отображений.
-
Построены точные решения задач многоэтапной оптимизация, в частности задачи і-пеевдообрагаешін, и многопараметрические регуляризп'-у-
кшіке алгоритми вычисления этих ]к:шсний с помощью 'суженных псевдо-обратных опера орда н шшрогхиыирумпшх их регулярных ссысйств опе-1 . ратораи; всследов&ші оо.вдыосгь-и устойчивость построенных иетодоп регуляризации; доказан аналог теорскы В! 11. Маслова об аквиьалентно-сти радрешимосш лексикографической задачи сходимости регуляризиру-кмдего ее процесса. .
-
Зллолхны основы вариационной теории методов регуляризации решечіил лексикографической задачи: указан сглал«ииаюіщій шюшпараыст риче-екші, фушаиюлал И доказано сущестноБание рогуляризог;ілш,іх решений задачи. ;''
-
Методза регуляризации сужеішого ис.свд(Кібредцеіиш применены r pctie-пто класса задач оитиимишго управленші При ьішіиіізлі.іші затратах
ЫН'рГУМ. < . ','''
Теоіштіїческая и практическая ценность. В диссертационной работе заложешії основи >іоізоіх> ивпраалскыа а теории. методой регуляризации — теории Шіа-оі..іраиетрнческкї .lse-щдоЬ регуляризации. Разработаны прийми построении шюгоиараметрическлх иетодол и иселелрпаиил ні сходимости и устойчивости. Паіідени нрнложенгм: теоретических неследоналий г. решению задач оптимального упраилсіїия', сіоїлкіі и олек-ц.ическах цепей.
Апроб. дия работы. Результати днесертади!! доклщгывалиеъ на еєни-
ігре по кслшїСЙішм сиш-улнр'ньш нн.^гральиьш ур&инекшш,. ііосшішсіш'ом 70-
летаю А. И. Гусейнова:/Баку, 1377 г./, Всесоюзных симпозиумах но методам
решениянелинейных урмшеиий й задач оптимизации /Пнрі'.у ЭССР, lt/8 г., ,
Хоапсалу ЭССР,:1381 г., Таллінн 1984 г., Валшидн ЭСЗСР, 19S7 г./, Всесоюз-.
щіїщколах-семішарах но расиараллелішаншо обработки информации/ Верхо-
ыша, 1983 г.,. Kocoa 1985 г., Л шов, 1987 г. и 1989 г./ семинаре отдела услоино-
корректних задач ВЦ СО АН СССР/ІІоііосзібиїхгк, 1984 г./, Mesyryiiaixymui
Еоиферешишх по числеши,щ методаи и приложениям/ Софші, 1981 г., 1988 г./,;
Бакинской иелугунаіюлиой'тогіологачесг.ойка!іферетиш/Баку, 1987г./, Бсесо-
юзиой конференции «с? уедошіо-корректных! задачам математической физики, и
анализа/ Алма-Ата, 1989 г./, а такте га трех семішарах факультета ВМиК
Московского университета под руководством соответственно А. В. Гончарско
го, Ф. II'. Васильева, Л. М. Денисова, iia семинар кафедри математического
анализа Уральского университета. .. ' . " '
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы я работах [']~[20]. Диссертация с незначптелъньми сограшекшшн издана в г.нде монографии [20].
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введений, трех глав, содержащих 21 параграф, дополнения, закяюченяя и списка ідаг«-ровгчгаой литературы. Объем дяссертндаэт 239 машинописных страяин, список литературы содержит 145 наимеиоз'штй,
