Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Сингулярно возмущенные интегральные уравненияс медленно изменяющимися ядрами 23
1.1. В ыделение существенно особых сингуляркостей. Регуляризация задачи (І.2) 25
1.2. Разрешимость первой итерационной системы 32
1.3.Разрешимость второй итерационной системы 34
1.4 Асимптотическая сходимость формального решения к точному 37
1 .5. Предельный переход в системе (1.2) 40
1.6.Пример 43
ГЛАВА 2. Регуляризация сингулярно возмущенных интегральных уравнений с быстро изменяющимися ядрами и их асимптотика 53
2.1 .Регуляризация задачи (2.2) 55
2.2. Разрешимость итерационных систем 61
2.3. Однозначная разрешимость общей итерационной системы 68
2.4.Обоснование асимптотической сходимости формальных решений... 74
2.5. Предельный переход в системе (2.2) 81
2.6.Пример 85
ГЛАВА 3. Сингулярно возмущенное интегральное уравнение с диагональным вырождением ядра 92
3.1 .Регуляризация задачи. Разрешимость итерационных задач 94
3.2.Асимптотинеская сходимость формальных решений 103
Пример 104
Литература 113
- Разрешимость первой итерационной системы
- Предельный переход в системе (1.2)
- Однозначная разрешимость общей итерационной системы
- Предельный переход в системе (2.2)
Введение к работе
Исследование многих прикладных задач (квантовой механики, электротехники, динамических и биологических систем и т.д.) приводит к необходимости рассмотрения интегральных и интегро-дифференциальных систем с малыми параметрами. В случае, когда при стремлении малых параметров к некоторым предельным значениям изменяется тип соответствующей системы (например, интегральное уравнение второго рода переходит в интегральное уравнение первого рода), принято говорить, что соответствующая система является сингулярно возмущенной. Лишь в исключительных случаях такие системы допускают построение явно выписываемых решений, поэтому при их исследовании применяются приближенные методы. Эффективность приближенных методов существенно зависит от предварительного асимптотического анализа, включающего в себя не только выяснение качественных характеристик решения (например существования предельного режима), но и разработку алгоритма, позволяющего получать асимптотические решения исходной задачи с любой степенью точности.
Начиная с классической работы Лиувилля, исследования которого были посвящены уравнению второго порядка у" + (Я 2г(х) + q(х))у = О (А -* со), делаются настойчивые попытки развития общей теории сингулярных возмущений. Создание такой теории намного бы упростило исследование сингулярно возмущенных задач как в теоретическом , так и в прикладном аспекте и сделало бы разработку соответствующих алгоритмов более точной и целесообразной.
Однако работа Лиувилля и последующие затем работы Шлезингера [84] и Биркгофа [5] носят эпизодический характер. Они связаны в основном с потребностями в прикладных областях науки, где время от времени появлялись сингулярно возмущенные уравнения и возникала необходимость их приближенного интегрирования.
Систематическое изучение теории сингулярных возмущений начинается в конце сороковых годов настоящего столетия, когда В. Вазов и А.Н. Тихонов доказывают свои знаменитые теоремы о предельном переходе в сингулярно возмущенных задачах (см. [11], [12], [70], [71]).
Развивая идеи А. Н. Тихонова, сформулированные им при доказательстве теорем о предельном переходе, А.Б. Васильева разрабатывает в начале пятидесятых годов эффективный метод пограничных функций (см., например, [9], [10]). Этот метод обобщается в различных направлениях. В семидесятых годах он получает развитие в методе угловых пограничных функций, разработанном В. Ф. Бутузовым (см.[3]). Заметим, что для некоторых классов линейных краевых задач для уравнений в частных производных параллельно с методом Васильевой был разработан метод Вишика-Люстерника (см.,например, [13], [14]).
Наиболее ранним и мощным методом: является метод усреднения Крылова-Боголюбова-Митропольского. Возникший в начале тридцатых годов как метод исследования некоторых колебательных систем, метод усреднения получает свое дальнейшее развитие в более сложных уравнениях (см., например, [1], [26], [53], [77], [81], [82]). Известны различные модификации метода усреднения. В работах [77-79] А. Н. Филатовым разрабатывается метод замораживания, а в работах [26-28] идеи метода усреднения развиваются М. И. Иманалиевым на интегро-дифференциальные уравнения. Эффективными оказались идеи метода усреднения и при исследовании устойчивости решений дифференциальных уравнений. В работах М. М. Хапаева [81-82] разрабатывается метод, позволяющий исследовать устойчивость в критических случаях ив различных многочастотных резонансных системах.
Идея сведения сложной дифференциальной системы к более простой, присутствующая в методе усреднения, находит свое воплощение и в других б методах. Так, в работах [6], [7], [39], [40] Г. С. Ларионов развивает метод эквивалентного соответствия, в основе которого лежит идея замены интегро-дифференциального уравнения другим, более простым: в нем исходная матрица получает поправку порядка є, а интегральное слагаемое-поправку порядка є -Дня построения первого приближения отбрасывается: член порядка Є (т.е. интегральный член) и вместо исходного интегро- дифференциального уравнения решается дифференциальная система с постоянной матрицей. Эта процедура может быть повторена необходимое число раз для построения приближений высших порядков.
В настоящее время существует большое число и других методов асимптотического интегрирования дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений. Не имея возможности даже кратко остановиться на них в настоящей диссертации, укажем лишь на некоторые библографические источники, в которых представлены эти методы:[3], [б], [7], [9], [10], [13], [И], [17], [18], [19], [26], [27], [30], [31], [32], [39-55], [58],. [64-69], [72-82], [84].
В шестидесятых годах в теории асимптотического интегрирования сингулярно возмущенных уравнений появилось предпосылки развития метода, позволяющего рассмотреть различные типы уравнений с общих позиций. В основе этого метода (получившего впоследствии название метода регуляризации С. А. Ломова [42]) лежали спектральная теория переменных линейных операторов и уточненное понятие асимптотического ряда. Не вдаваясь в подробности, отметим, что метод регуляризации позволяет получать в ряде случаев асимптотические ряды, сходящиеся в обычном смысле (см., например, [34]). Но не только в этом состоит ценность метода. Асимптотические ряды, получаемые с помощью метода регуляризации,. одинаково пригодны как в колебательном, так и в неколебательном случае. Ранее эти случаи изучались раздельно; это создавало определенные трудности при рассмотрении конкретных прикладных задач.
Поскольку предметом настоящей работы является обобщение метода регуляризации на неисследованные ранее сингулярно возмущенные системы интегральных уравнений, остановимся кратко на основных идеях метода применительно к интегро-дифференциальным задачам (см.[42]).
Рассмотрим следующую задачу: ^ = A(t)y+jK(t,s)y(s^)ds + h(t), у(0,є)=ув, (0.1) где У = {У/> »УП1 A(t)-известная (их и)—матрица, h(t) = {h„....,hn}- известная вектор—функция, є > 0 —малый параметр, е[0,Г].
В методе регуляризации [42] показано, что если спектр \Xj (t)f оператора A\t) стабилен, т.е. удовлетворяет условиям: l)At(t) * Я .(t]L і * і і, j = Zn^_Vt є [0j]-t 2)хХх)фО, Vt[0,T], i = /,n, то все сингулярностеи в решении задачи (0.1) описываются функциями ^--Ц^в-^й,. І = ДЇЇ, (0.2) выделяемыми спектром. Вводя функцию у = yyt, Т,), удовлетворяющую
4 wit) Ї г \ условию у t, 1-^-,6 = y\t,), поставим для нее следующую задачу: V Є ) *f + ЯД1)- АЙ?- jK(t,sMs,Hs)/^^s = h(t) (0 3) y(W) = y Однако эту задачу нельзя считать «расширенный» по отношению к исходной задаче (0.1), так как в ней не произведена регуляризация интегрального члена. Для полной регуляризации введем следующее пространство функций: U = |y(t,r): у=2>Ді)ег'+ув(і), уДОєсфдІС") ) = 0^1 Мы собираемся определять формальное решение системы (0.3) в виде ряда y(t,r,*) = 2*kyk(t,r) (0.4) с коэффициентами y(t,r)e U.
Этот ряд инвариантен относительно оператора Lo = 2^(0—-~А(0 (т.е.образ L Qy снова является рядом по степеням Е с коэффициентами из пространства 7). Однако при действии на него интегрального оператора задачи (0.3) мы получим ряд, в котором будут участвовать интегралы вида Jkfcsh Гз,ЙV к й -/ . (0.5)
МО Здесь не выделены коэффициенты при экспонентах е е .Если мы выделим эти коэффициенты и произведем расширение = г. , то представим интеграл (0.5) в виде формального ряда по степеням є с коэффициентами из пространства U , то сделаем интегральный оператор (0.5) инвариантным в пространстве U . Выделение коэффициентов при є є производится путем многократного интегрирования по частям в интегралах вида: і ~ЇЯ3Ів)ів Jj(t^)= /к(и)уД3у* it j = 75n.
После применения этой операции получим, что (см.п.1.1. гл.1) Jj(t.*)-Z(-'r^1irK(t.*i«) е- -
При этом мы произведем окончательную регуляризацию интегрального члена (0.3) и запишем «расширенную» задачу: -(і-(к(мМк,(ОІ + + 2«'ЇГк(і,»)у<"(5>Ь + Ь(і), у(вА*)-у'. к—/ о где y(t,т,є)-формальный ряд (0.4) с коэффициентами из пространства
Для коэффициентов этого ряда получаем серию итерационных задач, каждая которых имеет вид Lz(t,r)=L0z-R0z = H(t4 z{0,0)=z , (0.6) где R0 —некоторый оператор, индуцируемый интегральным оператором (0.2) (подробнее см.гл.2. настоящей диссертации).
Для задач (0.6) развивается теория нормальной и однозначной разрешимости в пространстве U (см. [42] стр. 140-143). Применяя эту теорию, найдем однозначно все решения итерационных задач в пространстве U , а значит построим (единственным образом) ряд (0.4). В [42] показано, (КО что сужение этого ряда при г = ^-^- является асимптотическим решением (при є -> +0) исходной задачи (0.1).
Мы изложили кратко идеи метода регуляризация применительно к интегро-дифференциальным уравнениям типа (0.1). Из этого изложения видно , что все сингулярности в решении задача (0.1) описываются спектром UjO)} предельного оператора A\t) . Однако могут встретиться задачи, в которых отсутствует спектр. Именно такая задача рассмотрена в первой главе настоящей работы. Она посвященна сингулярно возмущенной системе интегральных уравнений sy(t,s) = \K{us)y{s>s)ds + h(t), t [О,Г] (0.7) с медленно изменяющимся ядром K(t,s).Если ядро K(t,s) непрерывно, то соответствующая спектральная задача Jk(t,s)y(s)is = Aytt при любом Л є С имеет только тривиальное решение y{t) = 0 в С[0, Т], и поэтому предельный оператор указанной системы не имеет спектра. Какие же функции в этом случае отвечают за сингулярности в решении системы (0.7)?
Для сингулярно возмущенных интегральных уравнений типа (0.7) с медленно изменяющимися ядрами K(t,s) исчерпывающий ответ на этот вопрос можно получить, построив (с помощью дифференцирования по t ) интегро-дифференциальную систему
4 = K(t)t)y+|^y(s^)ds+h(t), у{0Л-Ш (0.8)- at j ct є эквивалентную системе (0.7). Из (0.8) видно, что сингулярности в решении системы (0.7) описываются спектром (АД?)} «диагонального» ядра K(t,t) .
Если спектр стабилен, то к системе (0.8) можно применить процедуру, описанную выше для системы (0.1). Однако только что описанный переход к соответствующей эквивалентной интегро-дифференциальной системи (0.8),хотя и приводит к цели, страдает очевидными недостатками. Кроме того, что этот подход усложняет систему (0.7), дифференцирование по / не позволяет рассмотреть с аналогичных позиций сингулярно возмущенные уравнения с быстро убывающими ядрами. Для таких систем (см.гл.2 настоящей работы) необходимо развить алгоритм непосредственной регуляризации, без перехода к эквивалентной интегро-дифференциальной системе. Поэтому в первой главе настоящей диссертации для интегральных систем типа (0.7) развивается именно этот подход. Основная идея его состоит в следующем.
Произведем регуляризацию системы (0.7) с помощью функцией (0.2),где X j(t) пока не определены. Применяя идеи метода регуляризации, описанные выше, мы построим серию итерационных задач. Выпишем две первых из них: lK(tfs)y<-l)(s)ds = 0, уГСО + іуГЮє* =S[(l!K(t,s)y^(s))s=ler' --ajK(t,s)yS-fl(s)u]+h(t) + jK(t,s)yJe>(s)ds.
Если здесь приравнять отдельно свободные члены и коэффициенты при одинаковых экспонентах е , то получим следующие системы: jK(t,sM"(s)ds = 0, (0.9) y(-o(t)_KMyH)(t)e0j ; = 7Я (0.10) jK(t,s)y^(s)ds = ±Ш1у<г<\0) -h(t) + y^Ct). (0.11)
Система (0.9) имеет тривиальное решение у$ =0 в классе С*([од], С").Предполагая, что ЛДО*0д = /,п, Vte^T]), перепишем систему (0.10) в виде [лді)і-К(м)]у5-'>О) = 0. (0.12)
Нас не устраивает нулевое решение этой системы, так как подстановка его в (0.11) привела бы к уравнению )K{t,s)yr(s)ds = -h(t), которое было бы неразрешимым в классе Св([од])Сп)при h(ft)*0. Поэтому необходимо искать ненулевые решения системы (0.12). Но тогда (0.12}-спектральная задача и X it) —собственные значения диагонального ядра K(t,t).TeM самым регуляризирующие функции (0.7) полностью определены и дальнейшее изучение задачи (0.7) аналогично исследованию интегро-дифференциальной системы (0.1). При этом несколько видоизменяются условия нормальной и однозначной разрешимости итерационных систем (см.п.1.2.и 1.3. гл. 1). Начальные условия, для произвольных функций ядра оператора L0 находится из условия обращения в нуль правой части некоторого интегрального уравнения Вольтерра первого рода. Например, для функций yJ"i)(t) = ffj~J)0)^(0» являющихся, решениями системы (0.10), начальные условия у Г (0) определяются из равенства которое получается из условия обращения в нуль правой части уравнения Вольтерра (0.11) при t — 0 . Несколько видоизменяется и доказательство теорема об остаточном члене (см. теорема 1.1 гл.1).
Идея непосредственной регуляризации, развитая для систем (0.7) с медленно изменяющимися ядрами, обобщается в главе 2 на системы с быстро изменяющимися ядрами. Такие ядра имеют, например интегральные уравнения Вольтерра у(т,є)+ jK(r-s)y(S>)ds = h(ffr)t (0.13) если их рассматривать на асимптотически большом промежутке времени
Г Є \0, — .. ЕСЛИ В СИСТеме (0.13) ПереЙТИ К Медленному Времени t =ЄТ)ТО получим сингулярно возмущенную систему Вольтерра sy{t,e)+ JK(--~)y(0,e)de = sh(t), (0.14) д Є Є где у = у -, , te[0, Т].Здесь ядро К быстро изменяется при \є ) \є є) ->+0на множестве [о,т]х[од]. Исследование систем типа (0.14) естественно начать с конкретных случаев быстро изменяющихся ядер. В приложениях часто встречается экспоненциально изменяющиеся ядра, поэтому во второй главе диссертации рассматриваются интегральные системы вида є y(t,f) = Jexp - \fi(0)dO K(t, s)y(s^)ds + h(t), (0.15) где ju(G) —некоторая скалярная функция, называемая спектральным значением ядра интегрального оператора. Именно она несет информацию о быстрых изменениях ядра; при этом матричная функция K(t, s) не содержит малого параметра є , и поэтому изменяется медленно.
Как уже отмечалось выше переход от системы (0.7) с медленно изменяющимися ядрами к системам (0.15), идея дифференцирования системы (0.7) теряет свою ценность. Поясним, в чем тут дело. Пусть для простоты рассматривается скалярное уравнение (0.15). Непосредственное дифференцирование этого уравнение по t приводит к уравнению Av ' ~\№ Є1 -f = p(t) fK(t,s)e'- y(s,*)ds+*K(t,t)y + + ]—^~e ' y(s,-)ds+fh(t), y(0,) = -^-.
Кроме того, что получено довольно сложное интегро-дифференциальное уравнение, неясно, спектр какого оператора должен участвовать в образовании сингулярностей решения последней задачи. Приведенные соображения поясняют, почему идея непосредственного дифференцирования интегральной системы по t в случае быстро изменяющихся ядер теряет свою привлекательность. Возникает потребность в разработке нового подхода, не использующего дифференцирования по t . Такой подход был развит в предыдущей главе. Основная его идея сводится к тому, что регуляризирующие функции не выписываются явно, а определяются по ходу решения соответствующих итерационных задач. В случае медленно изменяющегося ядра регуляризирующие функции (0.2) описывались спектром \Яу(0| диагонального ядра K(t,t) .Представляется правдоподобным, что в случае системы (0.15) с быстро изменяющимся ядром, снгулярности описываются порознь спектром диагонального ядра и спектральным значением JU\t).Однако простейшие примеры интегральных систем с вырожденными ядрами Ку,$) = ki\t)k2\s) показывают, что это не так. Шже будут установлено, что сингулярности описываются спектром «смещенного диагонального ядра»
Перейдем к краткому изложению алгоритма для системе (0.15). Введем, как и в случае системы (0.1), регуляризирующие функции
I t Wfi) J Q J Є 'nrU**1 в которых не определены пока функции Л ,(t), j = \,п. Для расширенной функции у\,т,е) естественно поставить следующую задачу: (0.16) єу[і,т,є) = fexp ~\fi(e)d9 K{t,s)y\s^-,e ds + h(t).о {І ) V s )
Однако здесь не произведена регуляризация интегрального оператора. Чтобы сделать это, ведем пространств y(t,r):y= y.(t)e J+y,(t), W J yj(t)eCco^,TlCnj,j = 0,n + 7J
В классе М, = и, ио , интегральный оператор J(t,fi-)y = Jexd - J/i(i9)d^ K(t,s)y(s,f>is асимптотически инвариантен (см. [42], стр. 62), поэтому регуляризацию интеграла можно произвести так же, как и в случае система (0.1). Сделав это, получим где обозначено: у{х,т,е)=^екук(ит), yk(t,r)eU (0.17) а операторы Rk вычисляются для любого y[t, т) є U по формулам: = (-')m2 H (l№(t,s)yj(s))s=t-eJ ~{lfK(t,s)y.(s))s=(}-/^^ (I^K(t,s)y0(S))s=0.etn+7_(imK(t,s)y0(S))S:=t \0- l о im_ 1 0d jm-7 j ЛЫ-м($) ' J Л.(з)-/ф) D Іш = * 3 Iа"'/x(s) //(s) OS m>7, j = /,n. Теперь можно записать полную расширенную задачу (0.18) где Jy(t,r,e)=Jyft,^]^, a J?(^r,tf)- ряд (0.17). Для коэффициентов этого ряда получаем серию итерационных задач. Выпишем первую из них -Rey-/(t,r)=0, (0.19)
16 Задача (0.19) имеет (см.п.2.2.) следующее решение в пространстве U : где у*СХ) (t) удовлетворяют системам [(а^)-М0)-К(1,1)]у5-'Ч1) = 0, і = лН. (0.21)
Как и в случае системы (0.10), нас не устраивают тривиальные решения у{~Х) (0 — 0 систем (0.21), так как в случае /г(0) ^ 0 соответствующие уравнение Вольтерра первого рода (см.(2.20)) не будет иметь гладких решений. Значит, (0.21)-спектральная задача и jU j(t) = Я .(t)-,ц(0"~ собственные значения диагонального ядра K{t,t).
Отсюда следует, что функция X ,(/), участвующие в регуляризации задачи (0.15), являются собственными значениями «смещенного диагонального ядра» ju(t)I + K(ttt) ..
Как и в главе 1, здесь так же развивается теория нормальной и однозначной разрешимости итерационных задач. Рассмотрим итерационные системы в общий форме: -R0 y(t,r) = H(t,r), (0.22) - R,z(t, т) = -y(t, т) + R ,y(t, т) + P(t, т\ (0.23) - R0w(t,r) = ~z(t,t) + R;z(t,r) + R2y(t,r) + Q(t,r), (0.24) в которых H(t,?),-P(f,r) и Q(t, т) - известные вектор- функции класса
Имеет место следующий результат.
Теорема 2.1 (стр. 68 ). Пусть выполнены условия: ІЖОє С([0,ГІ, Сп\ K(t,s) є С00(о 5 < Г < Г, С"), //(/) є С00 [0, Г], // ДО ^ Я , (/) - /,(/) єС00 [0, Г]; 2)//(0^о,// .(/)*о(vrєс-[о,г],у = и);
3)Re//(f)<0,Re//y(f) Пусть, кроме того, спектр уи j(t)j оператора K(t,t) простой, т.е. 4) /* j{t)*fif(t), і J = M V/ є [О, Т], и вектор-функции H(tyt),P(t,T) Q(t,r)t=U. Тогда для разрешимости системы (0.22) в U необходимо и достаточно, чтобы (Н(и),е;ег')н0, (HftTXe^sO, (H(t,r),eie-<)|t=o=0, ij=;,n. (0-25) Эта система при дополнительных условиях {- y(t,T( + R;y(t,T( + P(t,T(teieTn+; J \t=0 = 0, і = An, (0>26) (P(Ur\Zj(t)eTj}^0 Vfe[0,r], у =: 1,и, (0.27) R2 (t,r)y(t, t) + Q(t,t), z-} (t)e j W Vt є [0, T], j = 7, n, (0л8) однозначно разрешима в пространстве U. Здесь: et - {0,...,0,1,0,...,0} -і-и орт в Cn,Zj (0 - собственный вектор оператора K*(t,t), соответствующий собственному значению t*j(t)>J = Un,- Используя теорему 2.1., составим ряд (0.17). Обозначим Уєп(0~сужение п — ой частичной суммы этого ряда при г = ——. Имеет место следующее утверждение. Теорема 2.2.(стр. 78 ) Пусть для интегральной системы (0.13) выполнены условия 1) —4). Тогда имеет место оценка ЦЖ s) - ytn(0||сМ <, С.*"1 (и = -1,0,1,...), (0.29) где y(t,e)—точное решение системы ( Заметим, что приведенный выше алгоритм построения асимптотического решения справедлив в случае p{t)* 0 (Vf є [0,7*]). Однако он очевидным образом модифицируется, если ju(t) = 0(\/t є [0,71]). В этом случае асимптотическое решение ysn{t ) не содержит сингулярностей (//;0,f), порождаемых спектральным значением ядра интегрального оператора, а сам алгоритм принимает форму алгоритма изложенного в главе 1 настоящей диссертации. В третьей главе диссертации рассматривается интегральные уравнения с вырождающимися ядрами вида s2y{t,є) = \{t- s]K(t,s)y(ste)ds + hit), t є [0,Г]. (0.30) Здесь ядро \t — s)K{t,s) обращается тождественно в нуль при s = t. Предполагается, что Kyt^tj^O Vf є[0,Г], т.е. в уравнении (0.30) имеет место вырождение первого порядка ядра интегрального оператора. Чтобы выяснить, какие функции описывают сингулярностии в решении задачи (0.30), про дифференцируем его по t. Получим интегро-дифференциальное уравнение вида dK(t,sj dt y{S,)ds + h(t), у(0,є) = ^,(0. K{t, s) + (t-s) которое при - = 0 вырождается в интегральное уравнение Вольтерра первого рода y(s)ds + h(t). Такие интегро-дифференциальные уравнения с позиций метод регуляризации ранее не рассматривались. Не рассматривались они и с позиций других методов. Основная проблема, которую надо изучить в первую очередь, эту проблема выделения существенно особых сингулярностей в решении системы. (0.31). Поскольку ядро интегрального оператора изменяется медленно, то, согласно изложенному в главе 1 настоящей диссертации, можно выделить эти сингулярностии, производя повторно дифференцирование по t системы (0.31): d2K(t,s)) y(s,)ds + '%-***№*«-> + h(t), у(0,є) = !Щ±, у{0,є) = (0.32) Хотя мы получили довольно сложную интегро-дифференциальную задачу (0.32), из нее видно, что сингулярности решения исходный системы (0.30) определяются из характеристического уравнения X Ц) — K{t,t) = 0. Если K\t,t)> 0, то Л.] 2 = + Одна из них стремится к бесконечности, другая- к нулю. В этом случае ис ходная система (0.30) будет неустойчивой при є -» +оо, поэтому случай K{t,t) > 0 рассматривать не будем. Если же K(t,t) < 0, то сингулярности в решении задачи (0.30) описываются двумя экспонентами с мнимыми показателями, и в этом случае, как это следует из общий теории метода регуляризации [42], решение система (0.30) будет равномерно ограниченным при —> 0. Именно это случай и рассмотрен в диссертации. Уточним условия, при которых изучается задача (0.30). Будем предполагать, что функции K\t,s) nh{t) удовлетворяет требованиям: 6)K(t,t)<0 (Vte[0j]). Вводя регуляризирующие функции г, = -1 'і^Щвую s^l, т2=+І- )^ЩЩМ 3 М>і(0.зЗ) о Е о получим для расширенной функции y{t, г, є) следующую задачу: 5. 2JL + Ly-\G(t,s)y о ds + h(t\ у(0,0,є) = Щї, (0.34) где введены обозначения: G(t,s) s K{t,s) + (t~s)^^. {t) - (щ(t\y2(/)). В задаче (0.34) не произведена регуляризация интегрального члена Iy = \G(Us)y{t^i)ds. о Как и в предыдущих, главах, для регуляризации оператора / у надо ввести класс Ме , инвариантный относительно интегрального оператора / . Этот класс является сужением при г = і-ь-^ пространства уі(Лу2(Лу0(^сж(о,т]с1)і Опуская подробности, получим следующее расширение задачи (0.31): **|l+eLy-Ty = h(t), уфАв) = Ш (0.35) Iy(t,T,s)= JV ХХ_,лМ . y[t,rte)= Х«*л('^),^(г,г)є/, (0.36) а операторы /?A определяется Vj(/, г) є С/ следующим образом: Vfcг) = iG{t,s)y0(s)ds , (0.37) Rm+l Я^И-іГ*1 lAifafay j<4s=/J -ifj(G(t,s)y j J Л,(*) ' Л,(*)& y Так же, как и в предыдущих главах, здесь развивается теория нормальной и однозначной разрешимости итерационных задач для коэффициентов у і (/, г) ряда (0.36). Каждая из этих задач имеет вид -Яо7(^) = #М, у(0,0) = у. (0.38) Несмотря на то, что исходная задача (0.31) является интегро-дифференциальной, главным оператором итерационных систем этой задачи является интегральный оператор (0.37).Подчинение решения y(t, г) задачи (0.38) начальному условию 7(0,0) = у возможно за счет выбора произвольных функций в ядре оператора Rq . Сформулируем относящийся сюда основной результат. Теорема 3.1.(стр. 100 ) Рассмотрим наряду с системой (0.38) дополнительные системы R0z(t, г) = Rxy(u т) - Ly(u т)+ P(t, г), (0.39) R0w{t,т) = Rxz(ur)-Lz(t, т)- % + R2y{t,г) + Q{t,г), (0.40) где Р((,т), H(t,r\ Q(t,T)eU- известные вектор функции. Пусть выполнены условия 5),6). Тогда для разрешимости задач (0.38) в пространстве U необходимо и достаточно, чтобы (н{і>т\еті}-0, / = 1,2, Vfe[0fr], (Я(/, 41)),.0=0. Задача (0.38) при дополнительных условиях {VM+/>('>4i)|r=o=> (Riy(t, г) - Ly{t} t) + P(t, r), eTj ^0,7 = 1,2, имеет единственное решение в пространстве /. Как и в предыдущих главах, здесь так же обосновывается асимптотическая сходимость сужения ряда (0.36) (при г = ——) при є —> +0 . В заключение отметим, что мы изучили скалярные интегральные уравнения типа (0.30). Системы уравнений с вырождающимся ядрами изучались Бободжановым. А. А. В настоящее время исследуются также вырождающиеся системы в случае быстро изменяющихся ядер. Обозначим вектор в правой части буквой /0. Учитывая, что /С(0,0) ру(0) = Л.(0)ру-(0) и умножая скалярно обе части последней системы на Гу(О), получим, что где через hQ(t) обозначена правая часть системы (1.28). Тем самым, коэффициент ,Ул(?,г) ряда (1.16) найдем в виде (1.25) однозначно. Аналогично определяются в классе U остальные коэффициенты ряда (1.6). Ряд по степеням , стоящий справа в (1.10), является асимптотическим рядом для левой части (при — +0), т. е.суммы ряда (1.6) (при (г . - ) удовлетворяет тождеству Обоснование этого факта подробно излагается в разделе 4 гл.2. Для остаточного члена Д\t,) = y\t,) — ysn\t) получаем систему Введем переменную Тогда A — V — R(t,). Дифференцируя переменную V по Сбудем иметь Мы пришли к интегро-дифференциальной системе є причем R [\/є(0,о]). Для таких систем решения проводилась в [42 стр. 134-143]. Было показано, что если собственные значения Л (/) оператора K{t,i) удовлетворяет при каждом Ґє[0,7] условиям 1)-4), то решение системы (1.30) удовлетворяет оценке W,e)\ С п єп+1(\/єє( U0], где Є0 0 - достаточно мало, а постоянная С -. пе зависит от . Но /7-4-1 тогда из равенства Є Д = v — Є R получаем оценку справедливо для любого /7 = -1,0,1,К ,. Отсюда обычной процедурой (за счет гладкости коэффициентов уравнения (1.2)) выводим оценку следующий результат. Теорема 1.1. Пусть для интегральной системы (1.2) выполнены условия 1)-4). Тогда для решения y{t,s) этой системы описанным выше способом можно построить регуляризованный ряд (1.6), который является единственным в классе степенных рядов по Є с коэффициентами из пространства U, причем сужение y n(t) любой wit) его частичной суммы (при Т— ) удовлетворяет оценке (1.31). Из теоремы 1.1 следует, что точное решение y{t,) системы (1.2) представляется в виде (1.34) а функция arj0,(0 вычисляется из дифференциальных уравнений (1.28) Желая изучить предельный переход в системе (1.2), уточним условия на спектр }ДД/)} ядраК(М): Тогда при 5 -» +0 функции & У равномерно стремятся к нулю на любом отрезке [S, Т] а (о, Т] при любым фиксированном v 0 . Из (1.32) следует, что Доказан следующий результат. Теорема 1.2. Пусть выполнены условия 1), 2), 3), 5). Тогда точное решение y{t,e) системы (1.2) на любом отрезке [S, Г]с(0, Т] равномерно стремится при є и-O к решению yl0)(t) интегрального уравнения (1.34). Это интегральное уравнение совпадает с предельной системой Теорема 1.2 устанавливает существование предельного перехода в системе (1.2) в случае, когда среди точек спектра ЛД0] нет чисто мнимых. Если предположить, что ReAj(t) = 0 при некоторых t є [О, Т] , то в общий ситуации предельный переход отсутствует (из-за наличия в (1.32) первого слагаемого, содержащего отрицательную степень е ). Даже если h(0) = 0, что повлечёт за собой отсутствие в (1.32) отрицательных степеней є, быстро осциллирующее слагаемое образом, даже в случае существования решения y(t) предельный системы (1.36) (Л(0)=0 ) не всегда можно установить наличие предельного перехода y(t,e)- y(t). Однако если h(0) = h(0) = 0 , то указанный предельный переход существует. Точнее, справедливо следующий результат. Теорема 1.3. Пусть Н(0) = 0, выполнены условия 1)-3) и спектр \Xt (/)j диагонального ядра K(t.t) таков, что существования предельного перехода достаточно, чтобы Доказательство. Поскольку А(0) = 0, то а "(О=0 (см. (1.33)) и в (1.32) отсутствуют члены, содержащие є] . Далее, дифференцируя (1.34) по t и полагая в полученном уравнении t=0 (см.1.21), найдем что /Д0,0)у(0\0) = -МО). Обратимся теперь к уравнению (1.28). Так как yy\t) а 0, # _1 (/) = 0, (0,0) (0) = ЯДО) (О), то это уравнениие преобразуется к виду Доказан следующий результат. Теорема 1.2. Пусть выполнены условия 1), 2), 3), 5). Тогда точное решение y{t,e) системы (1.2) на любом отрезке [S, Г]с(0, Т] равномерно стремится при є и-O к решению yl0)(t) интегрального уравнения (1.34). Это интегральное уравнение совпадает с предельной системой Теорема 1.2 устанавливает существование предельного перехода в системе (1.2) в случае, когда сре все aj0,(/) = 0 (We [0,7J),_/ -\,n. Это i о эквивалентно тому /z(0) = 0. С другой стороны, если А(0) = 0, то первая сумма в (1.40) отсутствует и равномерный предел у(г,є)- y(t)(s - +0) на всем отрезке [0,Т] очевиден. Используя разработанный выше алгоритм, построим для него регуляризованное асимптотическое решение и покажем, что при некоторых h\t) это решение является точным (т. е. соответствующий ряд сходится в обычном смысле). Так как собственное значение X (t) совпадают в данном случае с диагональным ядром K\tJ)= kx\t)k2{t\ то регуляризирующая переменная имеет вид Здесь пока не регуляризован интегральный член Для его регуляризации введем пространство U, в котором каждый элемент y[t,T) представлен в виде Интегральный член (1.35) асимптотически инвариантен относительно пространства С/ (1.46) Решение уравнения (1.43) определяем в виде ряда теории возмущений y{t,T,s)= S куЛит). =-1 к (1.47) Используя регуляризацию (1-46) интегрального члена J y{t s\ получаем следующую расширенную задачу: y(t,T,)-Jy(t,T) = h(t). (1.48) Данное уравнение уже регуляризовано, поэтому поставляя (1.47) в (1.48). получим следующие итерационные задачи: (1.50) Данное уравнение является уравнением Вольтерра второго рода: оно имеет единственные решение УQ (t)eC [0,Т]. Переходим к решению уравнения \ }. Приравнивая в нем свободные члены и коэффициенты при е\ получаем уравнения: При этом уравнение (1-51) имеет единственные решение Для вычисления функции у{ ЧО приравниваем коэффициенты при Є в уравнении \ у. (2) Kit) к (t) (Q) к (0 2 Ь(0 М) Для разрешимости этого уравнения в классе С[0,Т] необходимо и достаточно, чтобы Если h{0) - 0 , то главный член асимптотики у (/) не содержит отрицательных ди точек спектра ЛД0] нет чисто мнимых. Если предположить, что ReAj(t) = 0 при некоторых t є [О, Т] , то в общий ситуации предельный переход отсутствует (из-за наличия в (1.32) первого слагаемого, содержащего отрицательную степень е ). Даже если h(0) = 0, что повлечёт за собой отсутствие в (1.32) отрицательных степеней є, быстро осциллирующее слагаемое образом, даже в случае существования решения y(t) предельный системы (1.36) (Л(0)=0 ) не всегда можно установить наличие предельного перехода y(t,e)- y(t). Однако если h(0) = h(0) = 0 , то указанный предельный переход существует. Точнее, справедливо следующий результат. Теорема 1.3. Пусть Н(0) = 0, выполнены условия 1)-3) и спектр \Xt (/)j диагонального ядра K(t.t) таков, что существования предельного перехода достаточно, чтобы Доказательство. Поскольку А(0) = 0, то а "(О=0 (см. (1.33)) и в (1.32) отсутствуют члены, содержащие є] . Далее, дифференцируя (1.34) по t и полагая в полученном уравнении t=0 (см.1.21), найдем что /Д0,0)у(0\0) = -МО). Обратимся теперь к уравнению (1.28). Так как yy\t) а 0, # _1 (/) = 0, (0,0) (0) = ЯДО) (О), то это уравнениие преобразуется к виду Значит, для существования предельного перехода y(t,e)-y(t) - 0 (є - +0) необходимо и достаточно выполнение условий (1,37). Теорема доказана. Следствие. Если все Re ЯД/) = 0 (V/є [0,т]} и выполнены условия теореме а достаточно, чтобы //(О) = 0. Действительно, в этом случае в решении „ ФИ) системы (1.2) первая сумма содержит только быстро осциллирующие слагаемые, поэтому для существования передела (/,)- y{t) (є - +0) при каждом, V7e[0,7j необходимо и достаточно, чтобы все aj0,(/) = 0 (We [0,7J),_/ -\,n. Это i о эквивалентно тому /z(0) = 0. С другой стороны, если А(0) = 0, то первая сумма в (1.40) отсутствует и равномерный предел у(г,є)- y(t)(s - +0) на всем отрезке [0,Т] очевиден. Используя разработанный выше алгоритм, построим для него регуляризованное асимптотическое решение и покажем, что при некоторых h\t) это решение является точным (т. е. соответствующий ряд сходится в обычном смысле). Так как собственное значение X (t) совпадают в данном случае с диагональным ядром K\tJ)= kx\t)k2{t\ то регуляризирующая переменная имеет вид Здесь пока не регуляризован интегральный член Для его регуляризации введем пространство U, в котором каждый элемент y[t,T) представлен в виде Интегральный член (1.35) асимптотически инвариантен относительно пространства С/ (1.46) Решение уравнения (1.43) определяем в виде ряда теории возмущений y{t,T,s)= S куЛит). =-1 к (1.47) Используя регуляризацию (1-46) интегрального члена J y{t s\ получаем следующую расширенную задачу: y(t,T,)-Jy(t,T) = h(t). (1.48) Данное уравнение уже регуляризовано, поэтому поставляя (1.47) в (1.48). получим следующие итерационные задачи: (1.50) Данное уравнение является уравнением Вольтерра второго рода: оно имеет единственные решение УQ (t)eC [0,Т]. Переходим к решению уравнения \ }. Приравнивая в нем свободные члены и коэффициенты при е\ получаем уравнения: При этом уравнение (1-51) имеет единственные решение Для вычисления функции у{ ЧО приравниваем коэффициенты при Є в уравнении \ у. (2) Kit) к (t) (Q) к (0 2 Ь(0 М) Для разрешимости этого уравнения в классе С[0,Т] необходимо и достаточно, чтобы Если h{0) - 0 , то главный член асимптотики у (/) не содержит отрицательных степеней Є , и поэтому Докажем следующий результат. и вектор-функции //(/, г), P{t, г) Q(t,T).U. Тогда для разрешимости системы (2.32) в У необходимо и достаточно, чтобы Эта система при дополнительных условиях Определяя решение системы(2.32) в.виде элемента (2.6) пространства U получим (после приравнивания коэффициентов) равенства которые показывают, что для разрешимости система (2.32) в U необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия (2.35). При этом система (2.32) будет иметь решение где функции у,(t) є С ([О, Т], С"), / = 0,«, произвольны, а функция уп+1 (О определяется однозначно в виде Определяя ее решение в виде суммы Приравнивая здесь коэффициенты при " » получим систему Это совпадает с условиями (2.36). Приравнивая в (2.41) коэффициенты при с получим системы для разрешимости которых в пространстве С \[0, ГJ, С J необходимо и достаточно, чтобы v7(0? ;(0j-0 Vf є [0, Г], у = 1,л. Это совпадаег с условиями (2.37). При этом У]\Ч вычисляются в виде где й;(/)єС ([О, Г], С J- произвольные функции, начальные значения для которых определяются из системы (2.42). Приравнивая в (2.41) свободные члены, приходим к системе из которой однозначно находим функцию Итак, в решении (2.6) системы (2,32) найдены однозначно коэффициенты известная вектор-функция. Эти уравнения вместе с начальными данными CtjlO), найденными из (2.42), определяют однозначно функции aj(t), участвующие в решении (2.43) системы (2.32). Теорема полностью доказана. Воспользуемся теоремой 2.1 и найдем решения Поставляя их в указанные системы, получим тождества Умножим эти тождества на , ,...., соответственно и сложим полученные результаты. Будем иметь (аргумент (/, Т) опускаем ) ё (в котором прибавили и вычли интегральный член). По определению оператора Rr выражение в квадратных скобках представляется в виде достаточно мало). Таким образом, функция Л„(0 удовлетворяет уравнению (2.2) с точностью до Е , а невязка решение системы (2.2), -уравнению о Чтобы оценить невязку, докажем два вспомогательных утверждения. Лемма 2.1.Пусть матрица простои структуры и ее спектр {/?Д0} лежит в полуплоскости Re/? 0 (Vte[0,T]). Тогда фундаментальная матрица решений системы равномерно ограничена, т. е. Докаэательство. Сделаем в (2.46) преобразование У = T(t)Z, приводящее матрицу B(t) к диагональной форме: Получим систему Перейдем к эквивалентной интегральной системе Отсюда и из того, что Re /? О V/ є [О, Т\, j - 1, /7, получаем Используя неравенство Горнуолла-Беллмана (см., например. [42, стр. 108]), будем иметь а значит, и матрица Y(t, s,) равномерно ограничена при Рассмотрим теперь интегро-дифференциальную систему 0 (2.47) и попробуем вывести оценку ее решения через правую часть Лемма 2.2. Пусть A(t) є -матрица простои структуры, ядро G(t,s)Gc(o s t T,C"2} правая часть Н(ї,є) є с([0,Т\С") при \/ЄЄ(0,Є0\, Пусть, кроме того, спектр A,.(7)j оператора A(t) лежит в полуплоскости Re Я 0 при каждом t є [0,7і], а спектральное значение //(/) ядра интегрального оператора удовлетворяет требованиям; (2.44) и (2.40), а коэффициенты У j\4 в виде (2.43), где функции cCj(t) определены однозначно пока лишь в точке = 0 (см. (2.42)). Окончательно функции СС,- (t) будут найдены из условия (2.38). В самом деле, определяя решение системы (2.34) в виде суммы-Qj{t)-Mj{t). Для разрешимости этой системы в С ЦО, 7"], С ) необходимо и достаточно, чтобы -Это совпадает с условиями (2.38). Имея в виду формулы (2.43), перепишем последние равенства в виде где Q: (t) — известная вектор-функция. Эти уравнения вместе с начальными данными CtjlO), найденными из (2.42), определяют однозначно функции aj(t), участвующие в решении (2.43) системы (2.32). Теорема полностью доказана. Воспользуемся теоремой 2.1 и найдем решения Поставляя их в указанные системы, получим тождества Умножим эти тождества на , ,...., соответственно и сложим полученные результаты. Будем иметь (аргумент (/, Т) опускаем ) ё (в котором прибавили и вычли интегральный член). По определению оператора Rr выражение в квадратных скобках представляется в виде достаточно мало). Таким образом, функция Л„(0 удовлетворяет уравнению (2.2) с точностью до Е , а невязка решение системы (2.2), -уравнению о Чтобы оценить невязку, докажем два вспомогательных утверждения. Лемма 2.1.Пусть матрица простои структуры и ее спектр {/?Д0} лежит в полуплоскости Re/? 0 (Vte[0,T]). Тогда фундаментальная матрица решений системы равномерно ограничена, т. е. Докаэательство. Сделаем в (2.46) преобразование У = T(t)Z, приводящее матрицу B(t) к диагональной форме: Получим систему Перейдем к эквивалентной интегральной системе Отсюда и из того, что Re /? О V/ є [О, Т\, j - 1, /7, получаем Используя неравенство Горнуолла-Беллмана (см., например. [42, стр. 108]), будем иметь а значит, и матрица Y(t, s,) равномерно ограничена при Рассмотрим теперь интегро-дифференциальную систему 0 (2.47) и попробуем вывести оценку ее решения через правую часть Лемма 2.2. Пусть A(t) є -матрица простои структуры, ядро G(t,s)Gc(o s t T,C"2} правая часть Н(ї,є) є с([0,Т\С") при \/ЄЄ(0,Є0\, Пусть, кроме того, спектр A,.(7)j оператора A(t) лежит в полуплоскости Re Я 0 при каждом t є [0,7і], а спектральное значение //(/) ядра интегрального оператора удовлетворяет требованиям; a)ju(t) 0, Re//( ) 0 Угє[0,Г]; Из второго равенство (2.54) следует, что если й(/) 0, то !)(0 0. Если предположить, что все Re (0 0 V/e[0, Г], то при / є [5, Т] (S 0) все экспоненты е =е равномерно стремятся к нулю при - +0, а значит третьего равенства (2.54) следует, что у0 /, - -1- (0 при - +0 (равномерно \ ) по /e[j,т], при условии, что Re (/) 0 V7e[0,г]). Переходя в (2.53) к пределу при - +0 , получаем что на любом отрезке [, т] с [о, г], на котором h(t) 0,точное решение _К?,) системы (2) стремится к бесконечности, поэтому конечный предельный переход в системе (2) при є - +0 невозможен. Однако предельный переход можно описать в несколько обобщенном смысле, выбрав в качестве «предельного» режима у{ї,є) простейшую вектор-функцию вида которая при є - +0 и к 1 стремиться к бесконечности и тем не менее неограниченно сближается с функцией у(і.є) на любом отрезке [$, Т]а [О. Г].При этом функции gt(t) в (2.56) не завесят от є. Дадим точное описание такого предельного режима. Определение 2. Будем говорить, что функция (2.56), в которой #Д/) не завесят от є. является асимптотическим предельным режимом системы (2) при є -» +0 , если для любого 5 Q(S Т) имеет место предельный переход y(t,)-y(t4) - 0 (Є- +0), c\t .l\ где у it,є) -точное решение системы (2). Можно показать, что асимптотический предельный режим единственен (если, конечно, он существует). Например, для уравнения точное решение которого имеет вид s2 J асимптотическим предельным режимом является функция в чем нетрудно убедиться после двукратного интегрирования по частям в у {(.є). Значит, на любом отрезке [5, Т] с [О, Т] точное решение y{t,e). неограниченно сближается с функцией у it,є), которая выглдит значительно проще, чем у{(,є). Для выделения асимптотического предельного режима из (2.53) необходимо потребовать, чтобы все ЯеЯД/) 0, Re//(/) 0 Vt є [о, т]. Тогда, отбросив в (2.53) все члены, содержащие экспоненты е Е , j = \, я + 1, получим асимптотический предельный режим: Каким образом, не вычисляя асимптотику (2.53), можно получить (2,57), используя только уравнение (2)? Займемся этим вопросом. Продифференцируем уравнение (2) по / ; получим систему z(Ote) = й(0). Если в системе (2.58) существует асимптотический предельный режим (2.57). то функция z(t) = gi(t) является предельным решением (в обычном смысле) задачи (2.59), т. е. z = z(t) удовлетворяет предельной системе или видим что z(t) = у{0 ]) (t), т.е. коэффициент gt(t) в (2.59) находится из системы, предельной по отношению к (2.59). Далее, сделаем в (2.59) замену z = sw + z; получим систему Чтобы выделить предельное решение этой системы, проинтегрируем по частям второй интеграл; получим систему В самом деле, для любой функции G(t,t) имеем Полагая здесь G(/,A-)=—-? -- , будем иметь Учтем теперь, что Будем иметь Равенство (2.62) показано, значит w(t) совпадает с у{00)(1), поэтому g(l(/) = w(/). Итак, асимптотический предельный режим (2.54) исходной системы (2) (или эквивалентной ей системы (2.58) или (2)) определяется в виде Доказан следующий результат. Теорема 2.3. Пусть выполнены условия 1)-3), причем ЯеЯД/) 0 V/e[0, Т], j-\.n. Тогда система (2) имеет асимптотический предельный режим вида (2.63), где z(j)- предельное решение системы (2.59), а w(t)- предельное решение системы (2.61). При этом система (2.59) получена из системы (2.58) эквивалентной (2) заменой ey±z,a система (2.61)—заменой є у = SW+Z . Рассмотрим сингулярно возмущенную систему интегральных уравнений где /л(0= M= соп& отрицательное число, а собственные значения "диагонального" ядра K(tj) постоянны: //,(0 = -1, ft2{t) = -2. Согласно развитой выше теории, вводим регул яризирующие переменные Соответствующее пространство U итерационных задач (см. ниже) имеет вид Для регуляризации исходной системы (2.64) надо прежде всего произвести регуляризацию интегрального операторе используя в качестве пространства, инвариантного относительно операторе J, класс функций U ,,,- Подставляя элемент (2.66) в Jw(t,), получим следующие интегралы: (2.68) с коэффициентами wk(t,T) ЄІІ, то, используя выписанные выше формулы для интегралов Jо и Jр получим следующие расширение интегрального оператора a Wyt T) произвольный элемент (2.66) пространства U. Теперь легко построить задачу, расширенную по отношению к исходной системой (2.64). Поставляя сюда ряд (2.68) и приравнивая коэффициенты при одинвковых степенях є\ получим следующие системы: Решения итерационных систем (2.71) -(2.74) будем определять в виде вектор- функций из пространства U: Wp"n(f), wf_h(0» vv, (t)-произвольныефункции. Перейдем к системе (2.72). Вычисляя ее решение в виде суммы (2.75) (где к=0) и приравнивая отдельно свободные члены и коэффициенты при одинаковых экспонентах е1, получим системы: Система (2.77) имеет решение wj 1)(0 = о: ; "(О у» г «J- Ч0 произвольное функции класса С О, 7j, С1). Подставляя найденные решения систем (2.76) и (2.77) в правую часть системы (2.78), будем иметь У-=1 Iі і М Полагая здесь t=0, получим систему (о,о) -п(0)у у (аоК- Чо) = 0 А J=I Vj Отсюда находим значенияРазрешимость первой итерационной системы
Предельный переход в системе (1.2)
Однозначная разрешимость общей итерационной системы
Предельный переход в системе (2.2)
Похожие диссертации на Метод регуляризации для сингулярно возмущенных интегральных уравнений
