Введение к работе
"", ""-'-> Актуальность темы. Хорошо известно,
что голоморфные функции от матриц определяемые по ВеЗерштрас-
су с помощыэ рядов, нашш широкие применения к теории ли
нейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений (И.А.
Лапло-Данилевскпа1^, Н.П.Еругин2^, Н.Е.Кочин, Д.М.Шифнер,
Б.Л.Крылов и др.). Бурное развитие комплексного анализа на
матричных областях в последние годы связан прендё всего с
дреиененЕяші'в математической физике (теория поля), теории
электрических цепей. Об этом СЕадетвльствувт работы В.С.Вла-
ДЕНпрова, А.Г.Сергеева, Р.Пенроуза, В.Рула, Л.В.Щимова,
В.П-.Потапова, Е.Бедфорда, Й.Дадака я других авторов. Прикид
ки таких применений подробно дзлоаенн в монографии
П.Н.Боголюбова, А.А.Логунова п др. . Отаетпм Такяе, что
для скалярных функций от матриц в известной монографии Хуа-
Ло-кена построен гармонический анализ в классических облас-
2ЯХ. . . *- .
1) Лаппс-ДанзлевскянИ.А. Применение функций от матриц к
теории линейных систеу обыкновенных дифференциальных уравнений. П.: Гос. изд-во техннко-теоретяческоЗ литературы. 1957. 4560.
2) Еругин Н.П. Метод Лапію-Данилевского в теории линейных
дифференциальшх; уравнений. И.: Изд-во ЛГУ. I95S. 108 с.
3) Боголюбов Н.Н., Логунов А.А. п др. Общие принципы кван-
. гозоЗ теории поля. И.: Наука. '.І987*.'6І6 с.
При решении некоторых задач нсыользоваше голоморфных функций от матриц в рамках определения во ВеЛерштрассу наталкивается на принципиальные трудности, связанные прежде всего с переходом от локальных рассмотрений к глобальным. К таким рассмотрениям относится задача о голоморфном расширении областей, например, задача о голоморфной выпуклос-тп расширенной JT - точечной трубы будущего. Глобальные рассглотрензя необходима такае в важных интерпсшяционных задачах в юатрячншс областях.
Одним из основных методов изучения голоморфных функций является разлокёнив функций в произведение Бляшке.' Отсутст-, вне прямого аналога классического произведения Бляшке в fine позволяет неренести в Ф- некоторые утверждения из кда снческого комплексного анализа. Как с точки зрения теории функций от матриц так и с.точка зрения возможных приложений, задача построения матричных произведений Бляшке (для. обобщенного единичного круга, обобщенной верхней полуплоскости и т.д.) представляет большой интерес в теории функции от матриц.
С учетом сказанного развитие теории функций (отобраке-нпй) от матриц как в локальном так и глобальной рассмотрении, введение в рассмотрение матричного произведения Бдяпкв является восьма актуальным.
Ц в л ь - р а б от и - развить теорию функций от одиой в нескольких матриц, иэуяя»'--- ыатричнке области . голоморфности, их свойства логар^мическоЗ выпуклости.
кроно того, рассмотреть интерполяпионше задачи коїш-лексиого аналиаа в матричных -областях.
Общая методика исследования. Используются метода теории матриц, совреиевного многомерного комплексного анализа и интегрального представления го-ломорфных функций от матриц.
Научная новизна, и практическая ценность исследования заключена в следующих основных результатах диссертации:
-
Решена задача Невандинны-Пика для голоморфных функций от матрац в классе Каратоодоря.
-
Олясана область сходимости кратного степенного рада 05 нескольких катрнц самого общего вида.
-
Подтверждена известная гипотеза: полная матричная область Рейвхарта является областью голоморфности тогда я только тогда,когда она логарифмически выпукла в (П [ttixffl].
-
Изучена задача КаратводоригФейера в пространствах
-
Введены матричные произведения Бляшке для, обобщенного единичного круга и для обобщенной верхней полушіоско-стя, которые применены.к экстраполяция голоморфных функций от матриц.
-
Получена формула Карлемана для функций от матриц в связи о применением к некорректным задачам комплексного анализа. .., ' :,-/:,
7. Получен критерий для голоморфного продолвения
в обобщенный единичный круг функций, заданных на куске ее границы Шилова. ,
А п р о б а ц и я работ ы. 'Результаты работы докладывались: на семинаре отдела математической физики в . 4 Ш вм.В.А.Стекдова АН СССР (рук. - академик В.С.Владими- / . рова); на семинаре отдела ТФКЦ в МИАН (рук. академик А.А.Гончар); на семинаре по комплексному анализу в МГУ им. . Ы.Б.Ломоносова (руководители: дроф. Щабат Б.В. и доктор физ.-ыат.наук Е.М.Чирка). Отдельные результаты докладывались на Международной конференции по комплексному анализу (Галле, ГДР, 1980), на летней математической школе (Кациведи, 1976, 1984, 1985), на Всесоюзном семинаре-совещании по гео- . метрической теории функций (Ташкент, 1975), на Всесоюзном семинаре молодых ученых "Актуальные вопросы комплексного ана-. лиза" (Ташкент, 1985, 1989), на конференциях по приложениям методов комплексного.анализа (Черноголовка, 1979, 1983), на конференции "Комплексный анализ и математическая физика": (Красноярск, 1987), на третьем - интернациональном симпозиуме по комплексному анализу (Іерцег-Новн, Югославия, '. 1988). '.-
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [Г. - 21 і .часть из. них вошла в монографию 1'.А.А1звнберга "Формулы Кардемана в комплексном анализе". Н.: Наука. 1990.
Структуре.1 об ь е М' д и с с е р т а- ц в в. Диссертация .оостоит из введения и четырех глав,
разделенных,на 12 параграфов (в том чиоде вводный 0 ); параграфы разбиты на 40 пунктов с самостоятельныии назва-и ниаыи. Объем диссертации 209 машинописных страниц, список цитированной литературы содержит 101 наименований.
