Введение к работе
Актуальность темы. Построение ""чтггиь^і теории поля и понимая»» физических и v»'»-.?-Гііііч-ких структур, требуемчг для се описания, было и остается пептралыюы nponire-.tcn. Приблемз описания конкретных моделей и взаимодействий і ребует понимания возможностей, возникающих при применении общих математических структур к конкретным моделям. Поэтому построение конкретных моделей дает возможность понять структуру сингулярностеи, возникающих в квантовой теории поля, и возможность более адекватного их описания.
Цель работы. Основной целью диссертации является исследование методов математического описания моделей квантовой теории поля. Целью диссертации является также построение на основе этих методов конкретных моделей взаимодействий квантовой теории поля как в двумерном пространстве-времени, так и в четырехмерном и в высших размерностях пространства-времени.
Методика исследования. Исследование проводится при помощи методов функционального анализа (гильбертовы и банаховы пространства, пространства обобщённых функций), теории мер на бесконечномерных пространствах, теории комплексных голоморфных функций, теории нелинейных эволюционных уравнений, теории представлений и физической интерпретации рассматриваемых конструкций.
Научная новизна. В диссертации изложены основные результаты работ автора по (математическому) построению моделей квантовой теории поля. В этих работах исследованы следующие вопросы.
-
Рассматриваются двумерные модели Р(*р)і, Юкаваз и Р(у>)г + Юкава^. Новым, по сравнению с другими [1], результатом является доказательство условий спектральности и пуапісаре-инвариантвюсти для >тих моделей (и технические летали, связанные с. необходимостью учета контрчленов для взаимодействия Юкава2).
-
Рассмотрены условия существования для (неперенормируемого) вэамодействия : ехр ір'.і в d-мерном пространстве-времени.
В первую очередь, показано, что прямолинейная аппроксимация (ультрафиолетовое и объемное обрезание без контрчленов) дает тривиальную теорию. Этот результат пезависимо был получен также Альбеверио и Хоэг-Кроном [2.3] и, кроме того, вызвал попытки получить аналогичный результат и для взаимодействия ф\, см. результаты Фрёлиха и Айзенмана [4,5,6] о тривиальности ф\ (а также работу Сигала и др. [7], указывающую на возможность нетривиальных аппроксимаций для взаимодействия ф\).
Далее, рассматривается возможный подход к построению квантовой теории поля со взаимодействием : ехр tp-.d Для квантового поля : ехр <р:і , принадлежащего классу Борхерса свободного поля ft, строится евклидова реализация ф, соответствующая формальной замене переменных :exp(:j- ф (здесь - гауссово свободное евклидово поле). Евклидова реализация ф строится с помощью аналога теоремы Хана-Банаха и продолжения функций Швингера для поля : ехр у :^, которые корректно заданы при несовпадающих аргументах. Доказывается существование (счетно-аддитивной евк-лидово-инвариантной) комплексной меры для поля ф с моментами, совпадающими с продолженными функциями Швингера для поля :expy:j Построенные евклидовы
реализации ф зависят от сингулярных контрчленов. С помощью такой евклидовой реализации для чисто мнимых значений константы связи получено интегральное выражение для порождающего функционала функций Швингера и/или статсуммы для экспоненциального (или полиномиального) взаимодействия без ультрафиолетового обрезания и в конечном объёме (/-мерного пространства-времени. Дальнейшее продвижение для континуального интеграла в евклидовой области требует получения условия типа интегрируемости экспоненты от лагранжиана взаимодействия с объемным и временным обрезанием. Этот вопрос остается открытым.
Аналогичная конструкция на уровне теорем существования возможна и для континуального интеграла типа интеграла Фейнмана. При этом, для записи на языке интеграла Фейнмана требуется условие интегрируемости мнимой экспоненты от лагранжиана взаимодействия. Так как при рассматриваемой замене возникающий лагранжиан вещественен, то мнимая экспонента от лагранжиана взаимодействия с объемным и временным обрезанием и интеграл от нее корректно определены. Однако местонахождение всей схемы в случае интеграла Фейнмана менее ясно и, кроме того, возникает вопрос о трансляционной и лоренц-инвариантности используемой меры.
3. Рассмотрена калибровочная модель в 2-, 4-, 8-мерном пространстве-времени.
Для четырехмерного случая она была предложена Альбеверио и Хоэг-Кроном [8,9]
и в четырехмерном случае ее можно рассматривать как модель нелинейного электромагнитного поля.
Основной пример соответствует полю Л = 5*С и является решением системы линейных стохастических дифференциальных уравнений в частных производных вида ЗА = . Здесь д дифференциальный оператор первого порядка, факторизующий лапласиан, Л и С дву-, четырех-, восьмимерные обобщённые случайные поля со значениями в комплексных числах, кватернионах и октавах, соответственно, и С, является негауссовым белым шумом. Используя решение этой системы уравнений, строятся (негауссовы и неультралокальные) случайные поля и, затем, с помощью аналитического продолжения - соответствующие вайтмановские функции, удовлетворяющие условиям релятивистской ковариантности, спектральности и локальности. В двумерном случае, выполняется и условие положительности (как следствие отражательной симметрии и марковского свойства).
4. Для решений классического релятивистского волнового уравнения с кубиче
ской нелинейностью вводится комплексная структура и рассматриваются ее свой
ства. Это позволяет рассмотреть квантовое волновое уравнение для (перенормиру
емой) четырехмерной модели квантового взаимодействия : ф\ :, в котором решение
определяется как билинейная форма, разложимая по полиномам Вика іп-поля, с со
ответствующим определением нелинейного члена. Такое рассмотрение было предло
жено Рончкой [10], см. также работу [11], частично исправившую просмотр Рончки.
Заметим, что хотя здесь, фактически, реализуется идея Сигала-Костанта [12, 13, 44] о комплексной структуре и квантовании, но комплексная структура для квантового поля на этом этапе используется лишь для когерентных векторов близких к вакууму.
Теоретическая и практическая ценность. Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации, относящиеся к построению моделей теории поля в высших размерностях, позволяют дать более последовательную и математически
и физически более адекватную трактовку нелинейным квантовым волновым уравнениям и описанию процессов рождения и уничтожения элементарных частиц.
Апробация работы. Основные результаты дасгег.^»—~- , ^„с иг іто.ту-ешя
докладывались на uav4HU" .— тг.^^«* итг»>ла ті лаоораюиии ~^:тлакііи ірязвкп, "ї'-ґ-ічиии т=ортттт вероятностей « г., t.Mj.1 и мягкой статистики, лаборатории функ-пр"««"лі,тіоі.и анализа, отдела анализа и геометрии Института математики СО РАН, на семинарах теоретического отдела Института ядерной физики РАН, на семинарах квантовой теории поля и отдела математической физики Математического института им. В.А. Стеклова РАН, на семинарах кафедр теории вероятностей, теории функций и функционального анализа механико-математического факультета МГУ, в теоретическом отделе Физического института РАН, на семинарах теоретического отдела ОИЯИ, г. Дубна, в Институтах математики и теоретической физики, г. Киев, в Курантовском институте математических наук, г. Нью Йорк, па математическом факультете Гарвардского университета, г. Кембридж, па факультете математики Массачуссетгкого технологического института, г. Кзмбридж, в Институте теоретической фтики Гегтингепского университета, г. Геттиш-ен, в Института математики Рурского университета, с. Бохум. на фиткчеоком факультете Ниелефельдского университета, на семинарах Исследовательского центра BiBoS, г. Ьиелефельд, в Математическом и Физическом институте Боннгкога университета, г. Бонн, на российских, союзных и международных конференциях, в том числе, на V международном симпошуме по теории информации, г. Тбилиси (СССР. 1978 г.), на Научной сессии Отделения ядерной физики АН СССР, г. Серпухов (СССР, 1980), на Международной конференции по обобщенным функциям и их применению в математической физике, г. Москва (СССР, !980). на Научной сессии Отделения ядерной физики АН СССР г. Москва (ССОР, 19S1), на Семинаре, по теории многокомпонентных случайные систем и Координационном совещании по применеи»го теории многокомпонентных систем в кибернетике, г. Ташкент) Кумышкчн) (ССОР. 1982), на Псесокнной школе молодых ученых ''Комплекгные методы в математической физике'', т. Донецк (СССР, 1981). на VI международном симпозиуме по теории информации, г. Ташкент (СССР, 1934), на X Всесоюзной школе по теории операторов в функциональных пространствах, г. Новосибирск (СССР, 1984), на международном конференции по алгебре памяти А.И. Мальцева, г. Новосибирск (СССР, 1989), на рабочем семинаре ''Квазигруппы и неассоциативные алгебры в физике", г. Тарту(Таравере) (СССР, 1989), на Ш сибирской школе "Алгебра и Анализ", бухта Песчаная близ г. Иркутска (СССР, 1989), на XVIII международном коллоквиуме по теоретико-групповым методам в физике, г. Москва (СССР, 1990), на конференции Национального фонда исследований по волновым процессам, г. Бостон (США, 1990), на международномсимдозиуме "Квантовые аспекты нелинейных систем", г. Нордкирхен (Германия, 1990). на 5-ой международной конференции по адронной механике и непотенциальному взаимодействию, г. Сидр Фоллс (США, 1990), на II Вигнеровском симпозиуме, г. Гослар (Германия, 1991), на 10 конгрессе Международной ассоциации математической физики г. Лейпциг (Германия, 1991), на конференции "Ренормгруппа 91", г. Дубна (СССР, 1991), на конференции в г. Кацивели (Украина, 1992), на конференции "Волновой анализ и приложения", г. Тулуза (Франция, 1992), на конференции "Нелинейные эволюционные динамические уравнения 92", г. Дубна (Россия, 1992), читались лекции ца школах: на школе-семинаре "Математические методы анализа сложных систем со
случайными компонентами", г. Миасс (СССР, 1989), на Всесоюзной школе "Алгебра и Анализ", с. Чернолучье близ г. Омска (СССР, 1990), на Всесоюзной школе "Методы функционального анализа", около г. Виноградово (СССР, 1990), на школе "Бесконечномерная геометрия в физике", г. Карпач (Польша, 1992) и других.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [15-44].
Структура и объём диссертации. Работа состоит из введения, девяти глав, разделенных на разделы с автономной нумерацией формул и утверждений по главам, заключения и списка литературы, содержащего 366 наименований. Общий объем диссертации 288 стр. В автореферате в нумерации утверждений первая цифра указывает на главу диссертации, содержащую это утверждение, а следующие совпадают с нумерацией этого утверждения в диссертации.
