Сопряженные тригонометрические ряды функций обобщенной ограниченной вариации Редкозубова, Елена Юрьевна

Содержание к диссертации

Введение

1 Сопряженный ряд Фурье и функции ограниченной Л-вариации одной переменной 17

1.1 Сходимость сопряженного ряда Фурье функций ограниченной гармонической вариации 18

1.2 Случай функций ограниченной Л-вариации 22

2 Двойные сопряженные ряды и функции ограниченной гармонической вариации двух переменных 35

2.1 Вспомогательные результаты 35

2.2 Сходимость двойного тригонометрического ряда, сопряженного по совокупности переменных к ряду Фурье 48

Список литературы 55

• Сходимость сопряженного ряда Фурье функций ограниченной гармонической вариации
• Случай функций ограниченной Л-вариации
• Вспомогательные результаты
• Сходимость двойного тригонометрического ряда, сопряженного по совокупности переменных к ряду Фурье

Введение к работе

Структура работы

Работа состоит из введения, двух глав, списка основных обозначений и списка литературы из 36 наименований.

В данной работе формулы, леммы и теоремы будут иметь номера из двух чисел, первое из которых — номер главы, а второе — номер формулы (леммы, теоремы) в этой главе. Определения нумеруются сквозным образом. Результаты других авторов нумеруются сквозным образом латинскими буквами.

Основные определения

Данная работа посвящена исследованию сходимости и расходимости тригонометрических рядов, сопряженных к рядам Фурье функций одного и двух переменных классов ограниченной Л-вариации.

В первой главе рассматриваются 27г-периодические функции одного действительного переменного, а во второй 27г-периодические по каждому аргументу функции двух переменных, определенные соответственно либо на Т = [-7Г, тг], либо на Т² = [-7Г, 7Г]².

Через D_n(x) будем обозначать одномерное ядро Дирихле:

ад = ==* (і)

А через D_n(x) — сопряженное ядро Дирихле:

cos | — cos(n + \)х

_{ад = —^-т^г——. (2)}

2sin|

Далее везде:

2tg| t '

5Й = ^т-:, (3)

G_n{i) = g{t) cos nt — - sin nt , (4)

ВВЕДЕНИЕ

H_n(t) = g{t) sin nt-\- - cos nt , (5)

Отметим, что g(t) непрерывна на T = [—7Г, 7г].

Элементы М² иногда будут обозначаться как векторы, например, х =

(х_ьх₂).

Через С и С(-) обозначаются, соответственно, положительные постоянные и положительные величины, зависящие лишь от перечисленных в скобках аргументов, разные, вообще говоря, в различных случаях.

При оценке различных интегралов для краткости будут вводиться обозначения вида J, Jfc, Jk,i и т. п. Такие обозначения вводятся заново в каждом доказательстве, если не оговорено противное.

Определение 1. Сопряженным рядом к тригонометрическому ряду

S = — + 2_\ ^ап ^cs пх + b_n sin пх

² п=\

называется ряд

S = 2_\ ~Ъп cos пх + а_п sin пх.

п=1

Ряды S и S являются, соответственно, действительной и мнимой частью

степенного ряда Yl n^zn\ о = if > Сп — ^ап — ib_n, п = 1,2,3,..., z = ге^гх при г=1.

Пусть f(x) —2тг периодическая интегрируемая по Лебегу функция. Ряд Фурье функции f{x) будем обозначать S[f], а сопряженный к нему ряд —

Исследования сходимости и суммируемости ряда S[f] привели к понятию сопряженной функции.

Определение 2. Сопряженной функцией к функции f(x) называется

ВВЕДЕНИЕ интеграл

Л«>~;/

1 ff(x + t)-f{x-t) 2tg|

dt =

₌ нш -I /fl* + *)-f(*-*)fl₌ l_im /_M). (6)
<5-я-о Try 2tg| J->+(T^v ' ' ^w

Пусть теперь /(аг, у) — 27г-периодическая по каждому аргументу интегрируемая по Лебегу на Т² функция.

Определение 3. Двойной тригонометрический ряд

5= YJ Х_тп(а_тп cos rnx cos пу+ b_mn sin тпх cos пу + emu cos rnx sin пу+

m,n=0

+ d_mn sin mx sin ny)

называется двойным тригонометрическим рядом Фурье S(f; х, у) функции f(x,y), если коэффициенты ряда определяются по формулам

ж ж

_І//Л-»)

amn = —о / / Дя» 2/) ^cs "га; cos пг/ dxdy,

—ж —ж ж ж

?//'<*»>

-ж —ж ж ж

bmn = —о Л^ж> У) sinmx cos ny dxdy,

(7)

Cmn = ~2 f(^X' У) ^{COS тХ Sin П}У ^dy,

—ж —ж ж ж

dmn = -J / / f {х, у) sin mx sin ny dxdy,

-ж —ж

ВВЕДЕНИЕ

^mn — ^

1/4, т = п = 0;

1/2, m = 0, п > 0 или п = 0, т > 0;

1, т > 0, п > 0.

Тогда ряды

5^Х(/; х, у) = 2, ^mn(^_&mn cos mx cos ny + a_mn sin ma; cos ny—

m,n=0

—mn cos тж sin ny + c_mn sin гаж sin ny),

5²(/; x,y)= ^ ^mn{-Cmn cos тх cos ny - d_mn sin mx cos ny+

m,n=0

+a_mn cos mx sin n?/ + b_mn sin тж sin ny),

S³(f]x,y) = V^ (d_mn cos ma; cos пг/ — c^ sin тж cos ny—

m,n=Q

—b_mn cos mrc sin ny + a_mn sin mx sin njy)

называются сопряженными к ряду Фурье, соответственно, по переменной х, по переменной у и по совокупности переменных х и у.

Для кратных рядов рассматривают много различных типов сходимостей. Мы будем рассматривать ограниченную сходимость прямоугольных частных сумм и их сходимость по Припгсхейму. Подробнее о различных типах сходимости кратного ряда см. [19], гл. 1, 6, и [1] введение, п.З.

Определение 4. Прямоугольной частичной суммой ряда Фурье называется

М N

Sm,n(I; ^х^у) = ^2^2 ^rnn(a_mn cos mx cos ny + b_mn sin mx cos ny+

771=0 П=0

+Cmn cos mx sin ny + d_mn sin mx sin ny).

ВВЕДЕНИЕ

Аналогично определяются прямоугольные частные суммы сопряженных ря-дов S^l(f;x,y), S²(f;x,y),S^s(f_]X,y).

Определение 5. Будем говорить, что двойной ряд Фурье S(f;(x,y)) функции f(x, у) сходится в точке (х, у) в смысле ограниченной сходимости (или ограниченно сходится), если существует

lim S_m,_n{f;(x,y))

т,п—юо

Т? ТП

по всем номерам т, п таким, что отношения ^ и ^ ограничены.

Сходимость при условии т = п называется сходимостью по квадратам, а сходимость без ограничений на отношения компонент — сходимостью по прямоугольникам (по Прингсхейму).

Для сопряженных рядов Фурье рассматривают аналогичные типы сходимости.

Нам еще понадобится определение модулей непрерывности функции.

Определение 6. Модулем непрерывности функции / Є С(Т²) называется функция от 6 > 0, определяемая формулой

u(f,5) = sup sup \f(x + Я) - /(f)|.

ХЄІ² hEM?:\\h\\&

Если в этом определении ограничиться теми h, у которых лишь к-я компонента отлична от нуля, то мы получим определение частного модуля непрерывности Uk(f,5).

Обзор предшествующих результатов

Систематическое изучение свойств сопряженных тригонометрических рядов начинается с опубликованной в 1911 году работы У. Юнга [29], в которой была установлена связь ряда S[f], сопряженного к ряду Фурье, с выражением

ВВЕДЕНИЕ

/(x + t)-/(»z*l_dti

2tg|

которое впоследствии и стали называть (см. определение 2) сопряженной функцией f(x) к данной функции f{x).

В работе У. Юнга доказана следующая теорема.

Теорема А. Пусть f — 2тт-периодическая функция ограниченной вариации с рядом Фурье S[f]. Для сходимости сопряженного ряда S[f] в точке х необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовала функция f{x), то есть существовал интеграл как предел:

^{.„ .; | МЬ|М!,,}

_4/

<5->+0 7Г J 2 tg |

который и представляет тогда сумму ряда S[f].

В 1913 г. Н.Н. Лузин показал, что сопряженная функция существует почти всюду для функций с суммируемым квадратом [13], [14]. В 1918 г. И.И. Привалов [15] показал, что сопряженная функция существует почти всюду для любой 27Г-периодической интегрируемой функции. При этом им отмечалось, что имеет место суммируемость сопряженного ряда S[f] методом средних арифметических или методом Абеля-Пуассона к f(x) почти всюду.

Теорема Юнга обобщалась различными авторами на классы обобщенной ограниченной вариации функций одного и многих переменных. Б.И. Голу-бов [5] получил обобщение этой теоремы на классы функций ограниченной Ф-вариации в одномерном и двумерном случаях.

Теорема В. Пусть Ф(и) и Ф(іі) дополнительные в смысле У. Юнга функции, f(x) — 2л-периодическая функция ограниченной Ф-вариации и выпол-

ВВЕДЕНИЕ няется условие

п=1

Тогда

а) для сходимости сопряженного ряда S[f] в точке х необходимо и доста-
точно существования в этой точке функции f(x),

б) утверждение пункта а) теряет силу, если

> Ф -) оо, a lira ^ ч =g < »
^ Vn/ ^ «-и-о Ф(2и) ^У 2

п=1 ^ч '

В первой главе диссертации рассматривается задача обобщения теоремы Юнга ( теорема А) для классов функций ограниченной Л-вариации (функций одного переменного).

оо ^ п=1^Лп

Для отрезка I = [a,b] через Q(I) обозначим множество всех конечных систем попарно неперекрывающихся отрезков {In}-, таких что I_n = [a_n, b_n] С /. Для любой функции / и отрезка / = [а, 6] пусть /(/) = /(6) — f(a). Через L обозначим множество таких неубывающих последовательностей Л положительных чисел Л_п, что Л_п —> оо и

(В дальнейшем рассматриваются только Л Є L.)

Определение 7. Функция f(x) называется функцией ограниченной Л-вариации на промежутке /, если конечна величина

V_A(f,I)= sup Ю

{i_n}em _п к

которая в этом случае называется Л-вариацией функции / на отрезке /. Через ABV(I) будет обозначаться множество функций ограниченной Л-вариации на данном промежутке / (класс Ватермана).

В частности, для последовательности Л = {п} (обозначим ее Н) будут употребляться обозначения / Є HBV(I) и V#(/;7).

ВВЕДЕНИЕ 10

Понятие ABV-функций было введено Д. Ватерманом [28]. Он доказал, что функция из класса ABV(I), как и функция ограниченной вариации, может иметь лишь устранимые точки разрыва и первого рода, и установил следующее обобщение теоремы Дирихле—Жордана ([31], с. 98, 104; [2], с. 121) о сходимости ряда Фурье S[f]:

Теорема С. Пусть / Є HBV(T). Тогда в каждой точке х Є Т ряд Фурье функции / сходится к величине \{f{x -J- 0) + f(x — 0)), и сходимость равномерна на каждом отрезке из интервала непрерывности. Если HBV{T) есть собственное подмножество ABV{T), то найдется функция f Є ABV(T), ряд Фурье которой расходится в точке.

Замечание 1. Определение функции ограниченной Л-вариации, данное Д. Ватерманом в качестве основного, несколько отличается от определения 7, но в [28] им же доказана эквивалентность его определения и опредления 7.

Другие свойства функций ограниченной Л-вариации одного переменного изучались Д. Ватерманом и М. Шраммом в работах [23], [28].

Во второй главе диссертации исследуется сходимость сопряженного по совокупности переменных ряда Фурье функции двух переменных ограниченной гармонической вариации.

Вопросы сходимости и суммируемости сопряженных рядов функции двух переменных также привели к понятию сопряженных функций двух переменных.

Определение 8. Интегралы

_{= ,im -i (} ^fix_n^+s_;^y) _ч,,

Є-++0 7Г J 2tgf

7\i \ ¹ ff(^{x + s} j

= lim -i f ^{J v}"',^y ; "' dt,

rrf+o тс J 2tg|

—7Г —7Г

ВВЕДЕНИЕ

/(ж + s, у + *) 2tg2tg|

7Г 7Г

'(-.гі-І//

—7Г —Я"

p{*,y)=-j ^J^.:^yz:^jdsdt=

= lim ~2

тг^УУ 2tgf2tg| SgW*.fl W

называют сопряженными функциями, соответственно, по переменной X, по переменной у и по совокупности переменных х и у.

Впервые двойные сопряженные ряды Фурье и сопряженные функции были рассмотрены Л. Чезари [21]. Он исследовал вопрос равномерной суммируемости этих рядов двойным методом средних арифметических для функций из класса Липшица 0 < а ^ 1. И.Е. Жак установил признак равномерной сходимости двойных сопряженных рядов Фурье [8]. К. Сокол-Соколовский [24], А. Зигмунд [31], Л.В. Жижиашвили ([9], [10], [11], [12]) исследовали суммируемость кратными методами (С, 1) и Абеля-Пуассона сопряженных рядов 5¹, 5², 5³.

В. Шапиро [25] в 1971 году доказан многомерный аналог теоремы Юнга для функций ограниченной вариации. Об определениях функций двух переменных ограниченной вариации см., например, [20]. Как уже отмечалось выше, в двумерном случае для функций ограниченной Ф-вариации аналог теоремы Юнга для рядов 5¹, 5², S³ был получен Б.И. Голубовым [5].

Рассмотрим обобщение понятия Л-вариации для функций двух переменных.

Впервые классы ограниченной Л-вариации для функции двух и более переменных определили К. Гоффман и Д. Ватерман в работе [22] и доказали для этих классов теоремы локализации прямоугольных частичных сумм рядов Фурье.

ВВЕДЕНИЕ 12

А.А. Саакян [16] дал другое определение Л-вариации функции двух переменных, в котором на функцию накладывается условие, более жесткое по сравнению с определением К. Гоффмана и Д. Ватермана. Он обобщил теорему Дирихле-Жордана для функций двух переменных ограниченной гармонической (Л = Н = {п}) вариации.

Модификации определения А.А. Саакяна вводились и рассматривались рядом авторов, в частности А.И. Саблиным [17], и М.И. Дьяченко [7].

Мы введем здесь понятие Л-вариации, взяв за основу определение из [17]. Различия между этим определением и определением А.А. Саакяна были рассмотрены А.Н. Бахваловым [3]. Для функций заданных на замкнутом прямоугольнике определения А.А. Саакяна и А.И. Саблина эквивалентны.

Пусть / = [a, b], J = [а,/3]. Для функции двух переменных обозначим

1{1,Уо) = f{b,yo) - f(a,y₀),

/(^o, J) = fi^xo, fi) - f(x₀, a),

f(I x J) = /(6,(3) - /(a, p) - f(b, a) + /(a, a).

Введем вначале два вспомогательных определения.

Определение 9. Пусть / — функция двух переменных. Л-вариацией функции / относительно переменной х по промежутку / при у = уо называется

VlU{x,y_a);I)= sup .W-»>I

{/„}cfi(/)V ^Лп

Аналогично Л-вариацией функции / относительно переменной у по промежутку J при х = xq называется

\f(x₀,J_k)\

Wcn(J) h

Vl(f(xo,y); J)= sup 23

ВВЕДЕНИЕ 13

Определение 10. Пусть Л¹ = {Л^}, Л² = {ЛІ²⁾} последовательности из L. Двумерной компонентой (Л¹, Л²)-вариации функции / по прямоугольнику А = I х J называется величина

^W;/XJ)_^>,??^«

\f(In X J_k)\ _{¹};'}сЬ"(7) к,п ^лп ч

Величины

Ift(/;A) = sup 1ф(/(*,уо);J), Т^(/;A) = sup У/₂(/(*о,

будем называть одномерными компонентами (Л¹,Л²)-вариации.

Теперь мы дадим основное

Определение 11. Скажем, что функция f(x,y) имеет ограниченную (Л¹, Л²)-вариацию на А = / х J, если конечна величина

14.д*(/; Д) = V5f_A2(/; Д) + У5(/; Д) + V«,(f; А).

Множество функций ограниченной Л-вариации на данном прямоугольнике А (класс Ватермана) будет обозначаться через (Л¹,Л²)БУ(А).

Отметим, что если Л¹ = Л² = Л, то будем писать вместо (Л¹, A²)BV(A) — ABV(A), а если Л¹ = Л² = Я, то вариацию будем называть гармонической вариацией.

Обозначим Л_п = {\_n+k}kLv

Определение 12. Функция / Є (Л¹, Л²)ВV(A) называется непрерывной по (Л¹,Л²)-вариации, если компоненты вариации

VAif-Л), VZ,(f;A), ^у/;Д), ^_Л,(/;Д)

стремятся к нулю при п —> со.

Множество таких функций обозначим С'(A¹, A²)V(А).

В двумерном случае понятие непрерывности по Л-вариации было рассмотрено О.С. Драгошанским [6]. Им получены условия совпадения классов

ВВЕДЕНИЕ 14

функций ограниченной Л-вариации и функций, непрерывных по Л-вариации, из которых, в частности, следует что HBV(A) — C(H,H)V(A).

Обзор результатов по главам

Первая глава состоит из двух параграфов.

В первом параграфе доказывается обобщение теоремы Юнга ( теорема А) для класса функций ограниченной гармонической вариации. Для этого доказана вспомогательная лемма.

Теорема 1.1. Если f(x) — 2л-периодическая функция ограниченной гармонической вариации, то для сходимости сопряженного ряда Фурье S[f] в точке х необходимо и достаточно, чтобы существовал интеграл

1 }f(_x + t)-f(x-t)

dt =

2tg|

_/w-~/

= ш -І //(' + <)-/(*-«)_{д= lim} j_(x,_5l

6->+0 7Г./ 2tgf 6-4+0 ^{JK h}

который представляет тогда сумму ряда S[f].

Отметим, что с помощью этой теоремы автоматически получается теорема В, так как при условии (8) (как показано в [27]) функция ограниченной Ф-вариации является HBV-функіщей.

Во втором параграфе исследуется окончательность вопроса сходимости в точке сопряженного ряда Фурье к значению сопряженной функции класса ограниченной Л-вариации для произвольной последовательности Л Є L.

Приведен пример такой непрерывной f(x) Є ABV(T), ABV(T) 2 HBV(T), что сопряженная функция существует всюду на Т, а сопряженный ряд S[f] расходится в точке х = 0 (теорема 1.2).

Показано, что если сопряженная к непрерывной функции / функция /

ВВЕДЕНИЕ 15

в точке не существует, то сопряженный ряд обязательно расходится в этой точке.

Вторая глава также состоит из двух параграфов.

В первом параграфе доказываются четыре вспомогательные леммы, во втором — доказываются основные результаты главы.

Теорема 2.1. Пусть f(x,y), f^l{x,y), f²(x,y) — непрерывные 2тг-перио-дические по каждому аргументу функции ограниченной гармонической вариации на Т² = [—7г, 7г]². Тогда разность

^m,n(/; я, у) - Рл.±{х, 2/)-+0 при т, п -+ со

в каждой точке (х, у).

Следующая теорема, являющаяся двумерным обобщением теоремы У. Юнга, выводится из теоремы 2.1.

Теорема 2.2. Пусть f(x,y), f^l(x,y), f²(x,y) — непрерывные 2тт-перио-дические по каждому аргументу функции ограниченной гармонической вариации на Т² = [—7г, 7г]². Тогда тригонометрический ряд S³(f;x,y), сопряженный по обеим переменным к ряду Фурье функции f, сходится в смысле ограниченной сходимости в тех и только тех точках, где существует f³(x, у), которая и является тогда суммой ряда S^s(f] х, у), причем /³(я, у) понимаем как lim р_єт1{х,у) с условием, что отношения | и % ограничены.

Основные результаты данной диссертации опубликованы в работах автора [32] - [36].

Они докладывались в МГУ им. М.В. Ломоносова на семинаре по теории ортогональных рядов под руководством чл. - корр. РАН, проф. П.Л. Ульянова, проф. М.К. Потапова и проф. М.И. Дьяченко, на семинаре по теории функций действительного переменного под руководством проф. Т.П Лука-

ВВЕДЕНИЕ 16

шенко, проф. В.А. Скворцова и м.н.с. А.П. Солодова, на семинаре по теории ортоподобных систем под руководством проф. Т.П. Лукашенко и доц. Т.В. Родионова, асе. В.В. Галатенко; на международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова (Ростов-на-Дону, 2004); на Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (2005).

В заключение приношу глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Т.П. Лукашенко за постановку задач и всестороннюю помощь в подготовке работы.

Сходимость сопряженного ряда Фурье функций ограниченной гармонической вариации

Понятие ABV-функций было введено Д. Ватерманом [28]. Он доказал, что функция из класса ABV(I), как и функция ограниченной вариации, может иметь лишь устранимые точки разрыва и первого рода, и установил следующее обобщение теоремы Дирихле—Жордана ([31], с. 98, 104; [2], с. 121) о сходимости ряда Фурье S[f]:

Теорема С. Пусть / Є HBV(T). Тогда в каждой точке х Є Т ряд Фурье функции / сходится к величине \{f{x -J- 0) + f(x — 0)), и сходимость равномерна на каждом отрезке из интервала непрерывности. Если HBV{T) есть собственное подмножество ABV{T), то найдется функция f Є ABV(T), ряд Фурье которой расходится в точке.

Замечание 1. Определение функции ограниченной Л-вариации, данное Д. Ватерманом в качестве основного, несколько отличается от определения 7, но в [28] им же доказана эквивалентность его определения и опредления 7.

Другие свойства функций ограниченной Л-вариации одного переменного изучались Д. Ватерманом и М. Шраммом в работах [23], [28].

Во второй главе диссертации исследуется сходимость сопряженного по совокупности переменных ряда Фурье функции двух переменных ограниченной гармонической вариации.

Вопросы сходимости и суммируемости сопряженных рядов функции двух переменных также привели к понятию сопряженных функций двух переменных.

Определение 8. Интегралы называют сопряженными функциями, соответственно, по переменной X, по переменной у и по совокупности переменных х и у.

Впервые двойные сопряженные ряды Фурье и сопряженные функции были рассмотрены Л. Чезари [21]. Он исследовал вопрос равномерной суммируемости этих рядов двойным методом средних арифметических для функций из класса Липшица 0 а 1. И.Е. Жак установил признак равномерной сходимости двойных сопряженных рядов Фурье [8]. К. Сокол-Соколовский [24], А. Зигмунд [31], Л.В. Жижиашвили ([9], [10], [11], [12]) исследовали суммируемость кратными методами (С, 1) и Абеля-Пуассона сопряженных рядов 51, 52, 53.

В. Шапиро [25] в 1971 году доказан многомерный аналог теоремы Юнга для функций ограниченной вариации. Об определениях функций двух переменных ограниченной вариации см., например, [20]. Как уже отмечалось выше, в двумерном случае для функций ограниченной Ф-вариации аналог теоремы Юнга для рядов 51, 52, S3 был получен Б.И. Голубовым [5].

Рассмотрим обобщение понятия Л-вариации для функций двух переменных. Впервые классы ограниченной Л-вариации для функции двух и более переменных определили К. Гоффман и Д. Ватерман в работе [22] и доказали для этих классов теоремы локализации прямоугольных частичных сумм рядов Фурье.

А.А. Саакян [16] дал другое определение Л-вариации функции двух переменных, в котором на функцию накладывается условие, более жесткое по сравнению с определением К. Гоффмана и Д. Ватермана. Он обобщил теорему Дирихле-Жордана для функций двух переменных ограниченной гармонической (Л = Н = {п}) вариации.

Модификации определения А.А. Саакяна вводились и рассматривались рядом авторов, в частности А.И. Саблиным [17], и М.И. Дьяченко [7].

Мы введем здесь понятие Л-вариации, взяв за основу определение из [17]. Различия между этим определением и определением А.А. Саакяна были рассмотрены А.Н. Бахваловым [3]. Для функций заданных на замкнутом прямоугольнике определения А.А. Саакяна и А.И. Саблина эквивалентны.

Случай функций ограниченной Л-вариации

Оценим его норму: при п — оо. По теореме Банаха—Штейнгауза существует такая функция что разность неограниченна. Следовательно, неограниченна и разность

Заметим, что непрерывные ЛВУ-функции сами образуют банахово пространство, так как из сходимости последовательности по норме пространства ABV следует равномерная сходимость этой последовательности (см. [28]). Модифицируя функции fn(x), построенные выше, так, чтобы они стали непрерывными, получаем требуемое утверждение. Лемма доказана.

Покажем, что случай, когда для функции ограниченной Л-вариации сопряженная к ней функция f(x) не существует в точке х, а сопряженный ряд Фурье сходится в этой точке невозможен. Нам понадобится следующая лемма. Лемма В. ([2] с. 524; [30] с. 154)

Если функция f(x) удовлетворяет в точке х условию S[f] суммируется методом средних арифметических в точке х к конечному значению М тогда и только тогда, когда сопряженная функция f(x) в этой точке существует и ее значение также равно М.

Доказательство.

Рассмотрим разность am(x) — /(ж; S) при m со. Тогда, так как в точке непрерывности функции при m — со, то, учитывая лемму В, получаем, что в каждой точке непрерывности функции сопряженный тригонометрический ряд S[f] суммируется методом средних арифметических к значению сопряженной функции в этой точке. Теорема доказана.

Следствие 1. Если fix) не существует в точке непрерывности функции f, то сопряженный ряд S[f] в этой точке не суммируется методом средних арифметических и, значит, расходится.

Замечание 1.1. Если в условии леммы o(t) заменить на 0(t) при t — О, то разность cfm(x) — f(x, ) = 0{1) при m — со. Можно сделать вывод, что в точке разрыва первого рода, в которой ряд S[f] расходится к ±со (см. [2] с. 128), функция f{x) не существует.

Теорема 1.2. Если последовательность Л = {Ап} Є L такова,что N 1 (N l\ E = E-J P N OO, (1.4) то существует такая непрерывная In-периодическая функция f{x) ограниченной А-вариации на Т, что сопряженная к ней функция f{x) существует всюду, а сопряженный тригонометрический ряд S[f] расходится в точке 0. Доказательство.

Чтобы доказать теорему, построим пример такой функции. Для построения мы используем элементы конструкции примера Лебега непрерывной функции на отрезке с расходящимся в точке рядом Фурье ([2] с. 133).

Пусть— последовательность натуральных чисел, которые мы подберем позже. Положим Обозначим I}. = ( 2 -, 2 г k = 1,2, — Выберем позже последовательность положительных чисел Q, пока будем предполагать, что ( - 0 при к — со. Тогда, так как f(x) — 0 при х — 0, /(ж) непрерывна в нуле и на всем отрезке [—7г, 7г].

Пусть Л = {Ага} Є L последовательность, удовлетворяющая условию (1.4), в этом случае, как показано в работе [26], класс HBV есть собственное подпространство ABV.

Определим условия на числа cj- и пк, при которых f(x) есть функция из класса ABV[—7Г, 7г]. Для подсчета Л-вариации воспользуемся леммой А. Так как функция / на Ik имеет приращение 2ск на 2пк — 1 интервалах монотонности и на двух интервалах приращение ск, ее вариация на Ik оценивается следующим образом

Вспомогательные результаты

Множество функций ограниченной (Л1,Л2)-вариации на данном прямоугольнике А будем обозначать через (Л1, A2)BV(A), а если Л1 = Л2 = Л, то будем писать ABV(A) и вариацию будем обозначать V\(f; А).

Отметим, что если / Є ABV(A), то для любых (жі, у\), (х2, У2) Є А имеет место неравенство /(жі,2/і) — /(#2,2/2)! VA(/; А) и, следовательно, функция / ограничена на А. Чуть позднее данная лемма была им же обобщена для функций га-пере-менных [4]. Лемма D. [8] Пусть р(х,у) интегрируемая по Лебегу функция на Т2, h(x, у) —измеримая и ограниченная функция на Т2 и обе они 27г-периоди-ческие по каждому аргументу. Тогда коэффициенты Фурье ат,п, Ът п, Ст,п, dm,n (см- Введение, формулы (7)) функции iji(s,t) — ip{x + s, у + t)h(s,t), зависящей от параметров х иу, равномерно пох и у стремятся к нулю, если по крайней мере один из индексов m или п стремится к бесконечности.

Теорема F. ([2] с. 583; [30] с. 419) Пусть f(x) — функция одного действительного переменного. Если функции f(x) и сопряженная к ней f(x) интегрируемы по Лебегу, то сопряженный тригонометрический ряд есть ряд Фурье сопряженной функции S[f] = S[f].

Для доказательства основного результата нам понадобятся следующие леммы. Лемма 2.1. Пусть U(x,y) — 2-п-периодическая по каждому аргументу непрерывная функция на Т2 = [—7г, 7г]2, l-ft s)! тп для 0 s и Pn{t) есть либо Gn(t), либо Hn(t) (см. Введение, формулы (4), (5)).

Сходимость двойного тригонометрического ряда, сопряженного по совокупности переменных к ряду Фурье Теперь мы можем приступить к доказательству основных результатов главы. Теорема 2.1. Пусть f(x,y), fl(x,y), f2(x,y) — непрерывные 2-к-периодические по каждому аргументу функции ограниченной гармонической вариации на Т2 = [—7г, 7г]2. Тогда разность

Интеграл As стремится к нулю по лемме 2.1. Если мы pxy(s, t) представим в виде суммы и разности выражений fl(x ± s, у ± t) — /1(а;, у), то интеграл А2 является интегралом вида / из леммы 2.4, к интегралам А$, A-j применима лемма 2.2, a AI,AQ,AW стремятся к нулю по лемме 2.3. Заметим, что интегралы А4 = 0(1) и А9 = О( ), интеграл Аи = 0(), А12 = О( ) при т,п — оо, a Ag стремится к нулю по лемме D.

Теорема 2.2. Пусть f(x,y), р(х,у), f2(x,y) — непрерывные 2тг-перио-дические по каждому аргументу функции ограниченной гармонической вариации на Т2 = [—7г, 7г]2. Тогда тригонометрический ряд S3(f;x,y), сопряженный по обеим переменным к ряду Фурье функции /, сходится в смысле ограниченной сходимости в тех и только тех точках, где существует Р(х, у), которая и является тогда суммой ряда Ss(f; х, у), причем Р(х, у) понимаем как lim pV(x,y) с условием, что отношения и % ограничены.

Сходимость двойного тригонометрического ряда, сопряженного по совокупности переменных к ряду Фурье

Работа состоит из введения, двух глав, списка основных обозначений и списка литературы из 36 наименований.

В данной работе формулы, леммы и теоремы будут иметь номера из двух чисел, первое из которых — номер главы, а второе — номер формулы (леммы, теоремы) в этой главе. Определения нумеруются сквозным образом. Результаты других авторов нумеруются сквозным образом латинскими буквами.

Основные определения

Данная работа посвящена исследованию сходимости и расходимости тригонометрических рядов, сопряженных к рядам Фурье функций одного и двух переменных классов ограниченной Л-вариации.

В первой главе рассматриваются 27г-периодические функции одного действительного переменного, а во второй 27г-периодические по каждому аргументу функции двух переменных, определенные соответственно либо на Т = [-7Г, тг], либо на Т2 = [-7Г, 7Г]2.

Через С и С(-) обозначаются, соответственно, положительные постоянные и положительные величины, зависящие лишь от перечисленных в скобках аргументов, разные, вообще говоря, в различных случаях.

При оценке различных интегралов для краткости будут вводиться обозначения вида J, Jfc, Jk,i и т. п. Такие обозначения вводятся заново в каждом доказательстве, если не оговорено противное.

Для кратных рядов рассматривают много различных типов сходимостей. Мы будем рассматривать ограниченную сходимость прямоугольных частных сумм и их сходимость по Припгсхейму. Подробнее о различных типах сходимости кратного ряда см. [19], гл. 1, 6, и [1] введение, п.З.

Определение 5. Будем говорить, что двойной ряд Фурье S(f;(x,y)) функции f(x, у) сходится в точке (х, у) в смысле ограниченной сходимости (или ограниченно сходится), если существует по всем номерам т, п таким, что отношения и ограничены.

Сходимость при условии т = п называется сходимостью по квадратам, а сходимость без ограничений на отношения компонент — сходимостью по прямоугольникам (по Прингсхейму).

Для сопряженных рядов Фурье рассматривают аналогичные типы сходимости. Нам еще понадобится определение модулей непрерывности функции. Определение 6. Модулем непрерывности функции / Є С(Т2) называется функция от 6 0, определяемая формулой Если в этом определении ограничиться теми h, у которых лишь к-я компонента отлична от нуля, то мы получим определение частного модуля непрерывности Uk(f,5).

Обзор предшествующих результатов

Систематическое изучение свойств сопряженных тригонометрических рядов начинается с опубликованной в 1911 году работы У. Юнга [29], в которой была установлена связь ряда S[f], сопряженного к ряду Фурье, с выражением которое впоследствии и стали называть (см. определение 2) сопряженной функцией f(x) к данной функции f{x).

Теорема А. Пусть f — 2тт-периодическая функция ограниченной вариации с рядом Фурье S[f]. Для сходимости сопряженного ряда S[f] в точке х необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовала функция f{x), то есть существовал интеграл как предел:

В 1913 г. Н.Н. Лузин показал, что сопряженная функция существует почти всюду для функций с суммируемым квадратом [13], [14]. В 1918 г. И.И. Привалов [15] показал, что сопряженная функция существует почти всюду для любой 27Г-периодической интегрируемой функции. При этом им отмечалось, что имеет место суммируемость сопряженного ряда S[f] методом средних арифметических или методом Абеля-Пуассона к f(x) почти всюду.

Теорема Юнга обобщалась различными авторами на классы обобщенной ограниченной вариации функций одного и многих переменных. Б.И. Голу-бов [5] получил обобщение этой теоремы на классы функций ограниченной Ф-вариации в одномерном и двумерном случаях.

Похожие диссертации на Сопряженные тригонометрические ряды функций обобщенной ограниченной вариации

Многомерные классы функций ограниченной вариации и их применение в теории рядов и интегралов ФурьеБахвалов, Александр Николаевич

О вложениях классов функций Н w в классы функций ограниченной обобщенной вариации и некоторые вопросы теории аппроксимации функцийМедведева Мария Викторовна

Приближение функций обобщенной ограниченной вариацииВолосивец, Сергей Сергеевич

Представление аналитических функций рядами по элементарным решениям уравнения сверткиКомаров, Александр Владимирович

Достаточные множества для пространств целых функций; Представление функций рядами экспонент Рахимкулов Наиль Исмаилович

Представление функций рядами Уолша и коэффициенты сходящихся рядов УолшаЛукомский, Сергей Федорович

Некоторые методы регуляризации коэффициентных функций ряда для матрицы рассеяния в квантовой теории поля Манн Гюнтер

Вопросы единственности представления функций рядами и интегралами в теории классических ортогональных системСворовска Татьяна Александровна

Представление целых функций рядами экспонент с показателями на конечном числе лучей Иванов Михаил Степанович

Линейные средние рядов Фурье функций нескольких переменных Нахман Александр Давидович