Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Некоторые вопросы теории Морса гладких односвязных компактных многообразий малых размерностей . 20
1.1 Об алгебраическом подходе к построению минимальных функций Морса на трёхмерных многообразиях. 22
1.2 Построение минимальных топологических функций Морса на односвязных пятимерных кобордизмах . 34
1.3 О специальном классе шестимерных кобордизмов. Минимальные функции Морса на этом классе кобордизмов 46
ГЛАВА 2. Топологическая теория Морса (размерность > 5). 51
2.1 О приведении в общее положение собственного отображения PL многообразия в тор многообразие удвоенной (или большей) размерности 53
2.2 Точные функции Морса на компактных топологических кобордизмах 63
2.3 Минимальные и точные функции Морса на некомпактных кобордизмах 71
Список литературы 86
- Построение минимальных топологических функций Морса на односвязных пятимерных кобордизмах
- О специальном классе шестимерных кобордизмов. Минимальные функции Морса на этом классе кобордизмов
- О приведении в общее положение собственного отображения PL многообразия в тор многообразие удвоенной (или большей) размерности
- Минимальные и точные функции Морса на некомпактных кобордизмах
Введение к работе
Настоящая диссертационная работа посвящена некоторым вопросам конечномерной теории Морса. Теория Морса - теория функций на многообразиях - возникла в 30-х годах после того, как Марстон Морс заметил, что множество невыржденных критических точек функции на многообразии находится в непосредственной связи со структурой самого многообразия. Таким образом информация о критических точках различных индексов функции на многообразии позволяет делать выводы о многообразии в целом: например, если только на замкнутом многообразии существует функция с двумя критическими точками - максимумом и минимумом, - то такое многообразие является сферой.
Дадим некоторые определения. Кобордизмом между Уо и VJ. - многообразиями размерности п.-і - называется такое многообразие W" размерности П. , что . Заметим, что или Vt или оба могут быть пустыми. Если oV0 & Р , то потребуем, чтобы ОW \ ( ьлі Vo U t/гс Vi ) ,зыло изоморфно (диффеоморфно или гомеоморфно или кусочно линейно изоморфно в зависимости от рассматриваемой категории) 9V.O В этом случае W называется кобордизмом с краем.
Для обозначения категорий в этой работе приняты такие со кращения: D I F г - категория гладких многообразий и диф феоморфизмов между ними, Р L - категория кусочно линейных многообразий и кусочно линейных изоморфизмов между ними, ТОР - категория топологических многообразий и гомеоморфизмов между ними.
Рассмотрим функцию -f: (W\ V» VJ**[0. H. f () " V ,
ГШ-У*. .где (W^Vo.V,) - кобордизм с краем или без него. Точка X Є IV\ называется невырожденной крити- ческой точкой индекса Л функции , если в окрестности этой точки существует такая локальная система координат, что в ней «р имеет вид: f(xlf ...., Xh) »f (О) + 3Cj 4.. .+ Х* - Х*.Г.. .-X*
Точка X Є W*1 называется регулярной точкой функции , если в окрестности X существует такая локальная система координат, что в ней f имеет вид: f (Х4> ,.,,Xh) я ^ (о) + Хи функция f.. cwh, Vo, vO - год], f "Vo)=v0, f Yi)=v;, регулярная всюду на W , за исключением невырожденных критических точек (различных индексов), лежащих во внутренности многообразия VV , называется функцией Морса на кобордизме ( Wf^Vo VI) Морсом было показано, что на любом гладком кобордизме существует такая функция.
Первоначально техника работы с критическими точками требовала сложных технических рассуждений, связанных с векторными полями - градиентно-подобными векторными полями функции f Позднее Смейлом и Уоллесом была разработана теория ручек, которая более удобна при доказательстве теорем. Основная идея заключалась в следующем: кобордизм (W**1 \ Vi) с еДИНСТБенной критической точкой индекса А гомеоморфен фактормногообразию V,* СоД] U, DAx Dn_A -где S:^Dn"4 d*.\^ *{!} диффеоморфизм на образ. Приклейка D * D*~ вдоль «$*л~4х )к~ к верхнему краю кобордизма и называется приклейкой ручки индекса А . Используя процедуру сглаживания углов (см. С 5] ) получаемое многообразие можно считать гладким, что позволяет теории ручек быть весьма полез- дам инструментом и в категории DIFE . Язык теории ручек позволил существенно упростить доказательства ранее известных фактов и получить новые.
Из первых важных результатов в теории Морса было доказательство неравенств (D Nx ( f) »/ (Н, (W, V0)) + уи (Том HV1(W, V,)) где /Уілт) - число критических точек индекса А произвольной функции Морса f на кобордизме (W t Vo, Vi) , /l/l(G) - минимальное число образующих группы G , Tors G кручение группы G . Зти неравенства называются неравенствами Морса. Функция Морса, для которой неравенства (I) превращаются в равенства для каждого индекса,называется минимальной функцией Морса. Дадим также определение точной функции Морса. Пусть F( Wj *. пространство всех функций Морса на многообразии W, f\(WJ - функции Морса, у которых число критических точек индекса Л минимально. Функция, f такая, что f Є nf^iW) называется точной функцией Морса, т.е. -f точная функция Морса на кобордизме (W"; Vo, V^) » если /^ (f )= irun Аїх(%) .
Заметим, что минимальная функция Морса автоматически является точной. ...........
Смейлом в конце пятидесятых годов была доказана теорема: на кобордизме (У\РДДі) , Ь >, 6 , ГЧ( V0) =7Ч(Х) = существует минимальная функция Морса (см. C50J). Доказательство этой теоремы основывалось уже на теории ручек. Используя этот результат, Смейл решил обобщённую гипотезу Пуанкаре - показал, что односвязная гомологическая сфера размерности больше 4 гомеоморфна стандартной сфере. В размерности 4 этот результат получен Фридманом в 1981 году (см. [331 ) При доказательстве использовались весьма тонкие рассуждения и филигранная техника (см. [ 9, 33, 48,43] ).
Теория гладких односвязных многообразий размерности > 5 была практически завершена работой СП. Новикова в 1964 году (см. Г ИЗ ). Для гладких односвязных многообразий невыясненными остались вопросы лишь в размерностях 3,4 и 5.
Основные трудности в теории многообразий малых размерностей состоят в том, что в них несправедливо основное техническое утверждение - лемма Уитни, которая позволяет избавиться от точек пересечения подмногообразий дополнительных размерностей (см. Г123 ). Зто обстоятельство вынуждает искать специальный подход к решению вопросов в каждой из размерностей.
В размерности 3 - см. [9, 2Г, 41, 42 3 , в размерности 4 - см. С 3, 3 2, 33, У<8, 43] , в размерности 5 - см. 3, Z&] . Отметим существенные черты каждого из подходов: размерность.3 - это либо изучение разветвлённых накрытий над о с узлом в качестве множества точек ветвления,либо комбинаторно - групповой подход,либо исчисление линков; размерность 4 - это техника, связанная с доказательством ослабленной леммы Уитни - точки пересечения подмногообразий разъединяются при помощи топологической изотопии, а не гладкой; размерность 5 - это приём Бардена, редуцирующий возникающие трудности к изучению шестимерных кобордизмов.
В размерности 3 решение гипотезы Пуанкаре пока остаётся открытым. Можно сказать, что, в некотором смысле, это самая трудная размерность.
В размерности 4 существенные результаты (в том числе и решение гипотезы Пуанкаре) получены в 1981 году, однако вопросы построения минимальных функций Морса на пятимерных кобордизмах остались открытыми (чтобы строить минимальную функцию Морса на пятимерном кобордизме (W , Vi> ,V$.) приходится в основном работать в многообразии уровня- -f~ ( t) , t Є [0,1] , которое является четырёхмерным многообразием).
В размерности 5 - классификация пятимерных замкнутых одно-связных многообразий была проведена Барденом в 1965 году (см. С 2 8] ).
Топологическая теория Морса - теория Морса в категории ТОг - была существенно продвинута в работах Кёрби.и Зибен-мана в конце шестидесятых - начале семидесятых годов. Эти результаты подытожены в книге С 3 61 , вышедшей в 1975 году. В строгой форме топологическая версия теоремы об Ь -кобордизме - одного из основных результатов теории Морса - появилась в работе Окабе (см. Ї401 ). Впервые минимальная топологическая функция Морса рассматривалась в работе В,В. Шарко (см. [5 3] ). ( Заметим, что все понятия в топологической теории Морса определяются точно также как и в гладком случае, только вместо гладких функций следует рассматривать непрерывные и вместо гладких замен координат - непрерывные замены координат. )
Основные трудности топологической теории Морса состоят в том, что, во-первых, требуется специальное доказательство существования функций Морса (на кобордизмах размерности > 5 оно дано в -Г 3 6] , на пятимершх замкнутых многообразиях -в 441 , а в размерности 4 построено замкнутое односвяз-ное топологическое многообразие, на котором не существует функции Морса (см.[32,33]); во-вторых, требуется теория трансвер- сальности (теория общего положения) (см. [36] ) и, в-третьих, теория простого гомотопического типа для неодносвязных многообразий (см. [36] )
Особо следует сказать о теории Морса для неодносвязных многообразий. В основном она развита в работах С 19, 2.4, 2.5, 26> #6, V7J - Главной трудностью здесь является привлечение весьма сложного алгебраического аппарата. Основные результаты по теории неодносвязных гладких компактных многообразий размерности > 5 получены В.В. Шарко. Отметим, что многообразия малых размерностей доставляют существенно больше осложнений; например, в размерности 3, 4 или 5 не выполняется теорема об 3 -кобордизме (см. L 461 ). Заметим, что на неодносвязных многообразиях могут не существовать минимальные функции Морса и, поэтому, на них изучаются точные функции
Морса.
Вопросами, связанными с изучением некомпактных кобордизмов, занимались Куин, Зибенман, Уолл (см. 42>f44f 41,52.] ) и другие. Построение точных функций Морса для некомпактных кобордизмов размерности > 5 проведено в работе автора (см.ГіЗЗ).
Теперь, после краткого исторического обзора, остановимся на результатах полученных в диссертации. Первая глава посвящена исследованию функций Морса на гладких многообразиях малых раз мерностей. В первом параграфе изучаются трёхмерные многообразия. Основной техникой, которая здесь применяется, являются методы комбинаторной теории групп. Применение последних объясняется следующим обстоятельством: всякое гладкое трёхмерное замкнутое многообразие W может быть представлено в виде разложе- ния на ручки, прчём сначала приклеиваются ручки индекса I, а потом - индекса 2 (см. [10] ), причём из двойственности Пуанкаре (см. [3] ) следует, что -/^.=-/^ . Поскольку фундаментальная группа клеточного комплекса совпадает с фунда ментальной группой его 2-остова, то 7ї± (W5,) — 7ц. ( D U (1-ручки) U (2-ручки)) . Тогда известно (см.[211) что имеет копредставление (2) <а1; . ...,а4: R1? .,.., Rs > где &„ .....Ct5 -образующие, задаваемые І-ручками, а Rt .... Rs - соотношения, вносимые 2-ручками.
Теория ручек позволяет делать с соотношениями следующие преобразования: (1) Заменить Rj. на R± (замена ориентации на обратную как в срединном так и в ко срединном дисках ручки) (2) R^ заменить на 1^ К^ (сложение ручек)
Переставить Rt и R \ (перегруппировка ручек)
Заменить R^ на о R Q (изменение базисной точки)
Вычеркнуть образующий (Х1 и соотношение СЬ± (уничтожение ручек) (6). Внести образующий СЦ4І и соотношение &$+< (добавление пары взаимно уничтожающихся ручек) ......
Операции 1-5 называются движениями Зндрюза-Кэртиса, а операции 1.-6 - расширенными движениями Зндрюза-Кэртиса (см. С 2.7] ). Таким образом, если.копредставление (2) - некоторое копредставление .тривиальной группы и мы знаем, что движениями 1-6- его можно.привести к тривиальному, .то на многообразии, построенному по этому копредставлению, существует функция Морса с одним максимумом и одним минимумом, т.е. это многообразие - стандартная сфера. Так что из гипотезы А ~ С вытекает гипотеза Пуанкаре. Гипотеза Л*С (предположение о том, что от любого копредставления тривиальной группы с равным числом образующих и соотношений можно при помощи движений 1-5 перейти к тривиальному копредставлению) выдвинута в работе С 2 7] . Гипотеза А~С -это гипотеза А - С без предположения о том, что число образующих равно числу соотношений. Копредставление, в.котором число образующих не равно числу соотношений, называется несбалансированным.
В 1.1 настоящей работы изучаются несбалансированные ко-представления тривиальной группы. Это объясняется тем, что в таком виде полученные результаты могут быть применены не. только к построению функций на многообразиях, но и к теории двумерных клеточных комплексов.
Автором доказаны следующие теоремы:
ТЕОРЕМА I.I. Пусть с*^ ; <*,< -базис свобод- ной группы ранга К - FK » ut-(t4;.-..,t^) , *М* в Сі . Если і* g l± , то от CL движениями
1-4 можно перейти к tl - 0*1, ffg, ...., 21*,) . без Некоторого %1
ТЕОРЕМА 1.2. Для справедливости гипотезы А "С необ ходимо и достаточно, чтобы для любого LL .= (и±, . - , tC^c FK\Ui.t. <.>U,m\ - Jp^ существовал примитивный элемент р такой, что р є Vbp(lC) , где Gp(tl') - группа, порождённая набором ZL , и каждый ZL получен из CLдвижениями 1-4 и объединение берётся по всем таким LL( GpCZt,/ рассматриваются как подмножества Гк ).
Если бы в теореме I.I удалось доказать, что её заключение справедливо при любом Г , то тем самым была бы решена .-.-гипотеза А "С (гипотеза А "С для несбалансированных непредставлений). .
Теорема 1.2: устанавливает эквивалентность гипотезы А"С более простому утверждению), которое может быть использовано для поиска контрпримера.
Наиболее интересные результаты в этом направлении получены светской школой математиков (см. 154] ), а также японскими математиками (см. [35J ).
Во втором параграфе главы I строятся минимальные, но уже топологические, функции Морса на односвязных гладких компактных пятимерных кобордизмах. Хотя построенная функция Морса и является топологической, Iно строится она(на гладком-кобордизме и. -при.помощи.техники, которая существенно использует гладкую структуру многообразия. Ввиду этого автор счёл целесообразным включить этот результат в первую главу.
Для построения минимальных функций Морса в этом случае ис- пользуется сложная и весьма тонкая техника Кассона и Фридмана, которая содержится в работах ...[ 9,32,3 Ъ f Чо , f/ 9 J .
Аппарат, развитый в.этих работах, как уже отмечалось, позволил Фридману решить гипотезу Пуанкаре для гладких четырёхмерных многообразий.
Основная теорема 1.2 .- это .. ТЕОРЕМА 1.3. . На гладком компактном односвязном пятимерном кобордизме существует минимальная функция Морса. - В. последнем параграфе главы! получен аналог теоремы Жубра для многообразий с краем (см. СП ). Здесь также улучшен „; один из результатов Бардена (см. [281 ).
ТЕОРЕМА 1.4. Если (VV^Vo, Vi) шестимерный ко бордизм, «4(V.) -Яі (v;) = *4(W), ;„.%с,w и U'.v«.c*w индуцирует изоморфизм вторых групп гомологии, то . ... . Вторая глава диссертации посвящена исследованию топологи ческих функций Морса, заданных на многообразиях высокой размер ности (больше 5).
В первом параграфе изучаются вопросы общего, положения для топологической категории. Кроме того,.что. :ни необходимы . для применения в других параграфах работы, эти результаты име* ют и самостоятельное значение. .ТЕОРЕМА 2.1. Пусть - f:(^m9Mm)^(Wh,3i\/h) - соб-твенное отображение PL многообразия в ТОР многообразие; f (9іЧ)с9і\Г и Ъъ2гп , если же т-2 , то П 7,5 і пусть,также, -f трансверсально в окрестности V(C) » где
С - замкнутое множество С С fsf .
Тогда для любого компакта D С J\f ш любой окрестности V(C)cV*(C) найдётся '7?1>0 такеє, что для любого >С , и любого rHz> V± суще<зтвует -гомотогощ F^.! М, —> Р/ , t. СОД] , для. которой F0 - f * Fi трансверсально в V(C ) U%(D) и SBff Ft С У7г ( b s VCCJ)
Эта теорема отличается от обычных, теорем об общем положении в категории. TUP тем, что первоначальное отображение не предполагается, обладающим какими -.либо свойствами, кроме непрерывности. Заметим, что образ такого отображения может иметь внутренние точки даже в том случае, если +:W - V и m>U . Отметим ещё, что теорема становится неверной, если рассматривать отображения диска D в обобщённое многообразие (см. [ЗІ]). В этой работе построено такое обобщённое многообразие М. размерности П. ( Н, - любое натуральное число), что если задано отображение f 1 $* - M.n , то любое продолжение этого отображения F D2 "* 1А* , Р\ъ$г 5 Т имеет в образе внутренние точки. Так что говорить о каком-либо естественном определении "общего положения" не представляется возможным.
Дадим определение трансверсального пересечения подмного образий в категории DIFF . Два подмногообразия Р и Gl многообразия М. трансвереально пересекаются в точке
, если касательное пространство Тх М. порождается касательными пространствами 7^ Р и T^Q ли^ же х^ PnQ .
Отсутствие понятия касательного пространства в категории 1 С/г делает "общее положение" в этой категории весьма деликатным понятием . Существует два определения общего положения для подмногообразий - трансверсальность для микрорасслоений и стабильная трансверсальность (см. [36] ). Автором.в этой pa- . боте используется понятие-трансверсальности для микрорасслоений, которая в нашем случае является просто.трансверсальностью.для оснащённых.подмногообразий. Подмногообразие Р называется оснащённым, если оно имеет окрестность, гомеоморфную J? * D Гомеоморфизм, при котором Р*{0} переходит в Р и называется оснащением.
При доказательстве используются теорема о выпрямлении локально плоского вложения ( см. [Зо, ^5J ) и несколько громоздкие технические рассуждения.
Теорема 2.1 носит весьна общий характер. Для применений гораздо более удобны следствия из этой теоремы:
СЛЕДСТВИЕ 2.І.І. Пусть f: (К ЭМ) - (ЛГ* ЗА/) отображение компактного PL многообразия в ТОР многообразие, Тп >, 2ТП ; если m = 2 , то ҐІ Ъ 5 . Тогда -f как отображение пар -гомотопно трансверсальному отображению.
СЛЕДСТВИЕ 2.1.2. В предположениях следствия 2.I.I, если -f является вложением на ЭМ , то б -гомотопию Ft из предыдущего утверждения можно считать постоянной на ОЇА ,
СЛЕДСТВИЕ 2.1.3. Пусть отображение $: (М, ЗМ.) ~* (Wn ЗЛО ТОР многообразия в ТОР многообразие, находится в условиях теоремы, но потребуем ещё, чтобы для любой точки DC Є D существовала окрестность У| (.X) такая, что f (V> СЭС),) лежит в несвязном объединении карт на многообразии №. ', тогда для такого -f справедливо заключение теоремы. .. . СЛЕДСТВИЕ 2.1.4. Если f: 5 "* SW" - локально плоское вложение, п^2 . .,. Ґ] ф Ч t и если-. . гомотопно нулю в Vv , то существует локально плоское вложение:
2:(D*aD2)-»(W,3W) о 2\Ъйг = $
В основном в этой работе-используется следствие 2.1.4, которое позволяет построить теорию I С/г функций Морса, совершенно аналогичную гладкому случаю, правда,лишь в размер- ностях больше пяти.
Второй параграф главы 2 данной работы посвящен изложению топологической реории Морса для компактных многообразий. При помощи следствия 2.1.4 автором переносятся результате из категорий Die Г и PL , изложенные в работах [12] и С 2 3] , в категорию ТОР .
Доказаны шгадующие теоремы:
ТЕОРЕМА 2.2. . На кобордизме (Wh,A ,V±) , П >, 6 существует точная функция Морса "с таким числом критических точек индекса А : ' - ^ =у« (НД W, V.JJ +ум(Tors и,., (w, Z)).
ТЕОРЕМА 2.3. ( «S -кобордизм) Кобордизм. (Wh, Ve-,Vl)v» л >* 6 , гомеоморфен ( V; к J, V0 х {О] Д х І і] ) тогда и только тогда, когда Ш# (Wh V"o) = fl? и кручение Уайтхеда (W, Y0) Є Wh ( Z f ^1 ( WJ J ) равно нулю.
ТЕОРЕМА 2.4. На кобордизме" fW^ Vo , Vt) » * ^ 6 ^1 CW) ={l] » существует точная функция Mo pea с таким числом . критических точек индекса Л '
М^О , 'М,.!=0 ;
А/ = о . если V0 * 0 ; //о = 1 з) л^= о . еели 14 * ^ ; /4 = 1 причём М, ~уи ( Кг С W * Vo)), Л/3 =у" №гСW", V0» ч- -/t(Hn.г(w^Vo;))y^(т0^sHh.,(wh,v;;2)),
В третьем, и последнем, параграфе второй главы доказывается существование слабо точных функций Морса на некомпактных кобордизмах (размерность > 5).
Понятия функции Морса и точной функции Морса для некомпактных многообразий потребуют уточнений. Если рассматривать функции Морса в их стандартном определении, то на некомпактном кобор-дизме не по всякой функции Морса возможно построить разложение на ручки, пусть даже с бесконечным числом ручек. Под функцией Морса в данной работе мы понимаем только те функции Морса, которые допускают ассоциированное с ними разложение на ручки. Конечной функцией Морса на кобордизме (W ,^>f м) назовём функцию Морса с конечным числом критических точек. Слабо точной назовём такую функцию Морса -f , что V^ ( f) s tnin ^(з) » где О . - произвольная конечная функция Морса на (W ,V0)Vij (мы предполагаем, что на (W,Vo,Vi) существует конечная функция Морса). . - - Заметим, что не на всяком некомпактном кобордизме сущест вует функция Морса в сильном смысле,-пусть .даже бесконечная. Факт существования такой функции требует специального доказа тельства. .. .......
Автору в 2.3 удалось выделить класс некомпактных кобор-дизмов, допускающих конечное разложение на ручки и доказать существование слабо точных функций Морса на выделенном классе.
Основной результат 2.3:
ТЕОРЕМА 2.5. Рассмотрим одну из категорий DIFF , PL или ТОР . Пусть (W y^>,V) - кобордизм и cUmW= П. >6. Если I) Vo = v/ У о , где Vo - компактные подмногообразия и V0K с Lnivr1:
2)2C^i.(Voj] - о-кольцо для любого К ; вложения i0 \ V0 с-^ W и l^\ Y± Є-* W* индуцируют изоморфизмы 5t и ЗТ^-систем на бесконечности; вложение l0 : \f c-^W удовлетворяет условию (&*.)оо либо (Н*)оо» либо (Не)оои (С*)с*> вместе;
0%о( С ь0 1) = <Г00СГ^о])= О ; (W,V.,VO имеет конечное кручение Уайтхеда равное нулю.
Тогда на \YlyYe tVi) существует слабо точная функция Морса.
Отметим также следствия из этой основной теоремы.
СЛЕДСТВИЕ 2.5.1. Рассмотрим одну из категорий DIFF , PL или ТОР . Пусть (W^VoYiJ - кобордизм И ПУ/Ь . Если
1) W , Vo , Vi - односвязны; вложения индуцируют изоморфизмы T6t -систем на бесконечности; вложение to'"% ^^W удовлетворяет одному из условий -(Я*)<*либо (Н^оо,либо (Не)^ и (С*)<*, вместе;
Ю СҐ«о([М)=Тоо(Іо)вО.
Тогда H*.(W,Vo) конечно порождены и на (W ,^,^) существует минимальная функция Морса.
СЛЕДСТВИЕ 2.5.2. Рассмотрим одну из категорий PL или ТО Р . Пусть (WJVo.VO - кобордизм и К. ^ 6 односвязны и односвязны на бесконечности;
2) вложение l0 : Vo » W удовлетворяет одному из условий (Й*)оО ЛИбо (Н*)^ , ЛИбо (Неуоо И (Cjf)^ Вместе.
Тогда H*(W,%) конечно порождены и на (W,\/a,"Vi) СУ~ ществует минимальная функция Морса.
Эти следствия интересны тем, что в них устанавливается существование минимальных функций Морса, несмотря на то, что многообразия W , "Vo t У± - некомпактны.
Отметим также, что полученные результаты не являются обобщениями уже известных теорем в категории DIFF или PL .
В доказательстве используются техника Зибенмана при исследовании некомпактных кобордизмов (см. [47] ), теория Шарко о минимальных цепных комплексах (см. [2 5] ), его же результаты о компактных неодносвязных кобордизмах (см. [26] ) и конструкции, развитые в 2.1 и 2.2 настоящей работы (см. также [49] ).
Основные результаты данной работы опубликованы в [13~19] .
Результаты диссертации докладывались на Международной топологической конференции в Ленинграде (1982 г.), УІІІ школе по теории операторов в функциональных пространствах в Риге (1983 г.), XIУ Воронежской зимней математической школе (1979 г.), Летней математической школе в Кацивели (1980 г.), на научных семинарах МГУ и Института математики АН УССР.
В заключение автору хочется выразить благодарность своему научному руководителю Ю. К). Трохимчуку за постоянное внимание к работе, а также В.В.Шарко за огромное число информативных и стимулирующих бесед, которые позволили автору в достаточной степени овладеть методами современной теории Морса.
Построение минимальных топологических функций Морса на односвязных пятимерных кобордизмах
Эти следствия интересны тем, что в них устанавливается существование минимальных функций Морса, несмотря на то, что многообразия W , "Vo t У± - некомпактны.
Отметим также, что полученные результаты не являются обобщениями уже известных теорем в категории DIFF или PL .
В доказательстве используются техника Зибенмана при исследовании некомпактных кобордизмов (см. [47] ), теория Шарко о минимальных цепных комплексах (см. [2 5] ), его же результаты о компактных неодносвязных кобордизмах (см. [26] ) и конструкции, развитые в 2.1 и 2.2 настоящей работы (см. также [49] ).
Результаты диссертации докладывались на Международной топологической конференции в Ленинграде (1982 г.), УІІІ школе по теории операторов в функциональных пространствах в Риге (1983 г.), XIУ Воронежской зимней математической школе (1979 г.), Летней математической школе в Кацивели (1980 г.), на научных семинарах МГУ и Института математики АН УССР. В заключение автору хочется выразить благодарность своему научному руководителю Ю. К). Трохимчуку за постоянное внимание к работе, а также В.В.Шарко за огромное число информативных и стимулирующих бесед, которые позволили автору в достаточной степени овладеть методами современной теории Морса.
Теория маломерных многообразий существенно более сложна, чем теория многообразий больших размерностей (больше пяти). Одной из причин возникающих осложнений является то, что в размерности меньше пяти несправедлив основной технический результат - лемма Уитни - о возможности гладкого уничтожения точек пересечения разных знаков подмногообразий дополнительных размерностей (P,Q С/Л.;р+ = Ш ). Несправедливость этого результата влечёт за собой невозможность общего подхода к гладкому уничтожению ручек дополнительных индексов с алгебраическим индексом пересечения ІІ на кобордизмах размерности меньше шести. Заметим, что вопрос о гладком уничтожении ручек в этом случае пока является открытым (в размерности четыре это вопрос о том:будет ли ручка Кассона диффеоморфна стандартной открытой ручке?). А это, в свою очередь, значительно усложняет классификацию многообразий малых размерностей (3, 4, 5) с точностью до диффеомрфизма (таковой ещё нет ко времени написания работы для многообразий размерности 3 и 4). Отметим, что результаты Фридмана (см. СЬЗ] ) позволили классифицировать четырёхмерные гладкие за исключением одной точки многообразия с точностью до гомеоморфизма. В размерности же 3 отсутствует вообще какая-либо классификация.
Одним из инструментов классификации многообразий является теория Морса. В этой главе будет рассмотрен алгебраический подход к построению минимальной функции Морса на односвязных трёхмерных многообразиях (т.е. к решению гипотезы Пуанкаре) и получены частичные результаты в этом направлении, построены минимальные функции Морса, но уже топологические, на пятимерных гладких односвязных кобордизмах, доказана теорема о шестимерных кобордизмах, позволяющая устанавливать диффеоморфность пятимерных многообразий в предположениях более слабых, чем П -кобордантность.
Об алгебраическом подходе к пострению минимальных функций Морса на трёхмерных многообразиях. Пусть ri - замкнутое гладкое трёхмерное многообразие. Известно, что на Гл существует функция Морса с одним миниму» мом, одним максимумом и равным между собой числом критических точек индекса I и индекса 2 (см 110] ).
О специальном классе шестимерных кобордизмов. Минимальные функции Морса на этом классе кобордизмов
Доказательство,этого следствия, как и следствия I.4.I. достаточно очевидно. Заметим,, что функция Морса типа В автоматически является минимальной функцией Морса.
Развитие теории функций на топологических многообразиях -это не просто тенденция к обобщениям. Значительное число многообразий, которые возникают на практике - в механике, например,-гладкими не являются. Однако, для этих многообразий нужно решать те же вопросы, что и в гладком случае. На некоторые из них позволяет ответить топологическая теория Морса.
Определение функции Морса в топологическом случае совпадает с определением в гладком, только вместо гладких замен координат следует рассматривать непрерывные замены (см. {."01 Основные трудности, которые не позволяют непосредственно перенести всю гладкую теорию на топологические многообразия это теорема о существовании разложения на ручки ( доказана Кирби и Зибенманом в размерности 5 для кобордизмов,(см.С36]), Куином для пятимерных кобордизмов (см. fW] ), а из результа тов Фридмана вытекает существование замкнутого компактного односвязного четырёхмерного топологического многообразия не допускающего разложения на ручки (см. ГЗЗ] )), а также вопросы общего положения, развитые в основном, в работе Г36] . Заметим, что характерной чертой всех теорем об общем положе нии является то, что отображение уже предполагается обладаю щим некоторыми хорошими свойствами - например, является вложе нием. В условиях же теоремы 2.1 настоящей работы на исходное отображение не накладываются никакие условия, кроме собствен ности (прообраз компакта - компакт). Теорема 2.1 позволяет переносить практически без усложнений результаты из категории DIFF или FL в категорию ТОР (размерность 5). В 2.2 автором доказаны теоремы о компактных топологических кобордизмах. В 2.3 доказаны утверждения о некомпактных кобордизмах. Заметим, что аналога таких теорем не было в категориях DIFF и PL и, таким образом, Теорема 2.5 и следствия из неё являются новыми результатами как в категории ТОР , так и в категориях DIFF „ PL . 2.1 0 приведении в общее положение собственного отображения PL многообразия в ТОР многообразие удвоенной (или большей) размерности.
В этом параграфе изучаются собственные (прообраз компакта-компакт) отображения PL многообразий в ТОР многообразия удвоенной (или большей) размерности, а также некоторые классы собственных отображений ТОР многообразий в ТОР многообразия при таких же размерностных ограничениях. В этом случае удаётся избежать введения микро- или блокрасслоений, однако необходима теорема о выпрямлении локально плоского вложения (см. ЪЬ ,У5}).
О приведении в общее положение собственного отображения PL многообразия в тор многообразие удвоенной (или большей) размерности
Доказательство. Так как г гомотопно нулю, то существу ет отображение F Р Wh с РІ гчг f Согласно следствию 2.1.2 Г гомотопно вложению пар, причём гомотопия постоянна на 3D . Полученное таким образом отображение из F и является искомым 9; Следствие 2.1.3 применимо к довольно широкому классу отображений. Например, к тем отображениям, у которых прообраз точки -конечный набор точек. Заметим, что образ такого отображения может иметь внутренние точки. Ясно, что в условиях следствиядостаточно потребовать, чтобы на -Р (Ні) можно было ввести PL структуру, но это условие довольно труд но проверять. Следствия 2.I.I и 2.1.2 очевидным образом обобщаются на случай отображений ТОР в ТОР с приведенными выше ограничениями на отображение. Отметим, что теорема 2.1 становится неверной, если рассмат-ривать отображения диска D в обобщённое многообразие (см. С 31] ). По-видимому, в предположениях теоремы можно снизить раз-мерностные ограничения до ГЛ h-3 , понимая под трансверсальностью отображения гомеоморфный образ его общего положения в PL случае.
В этом параграфе рассматривается трансверсальность для микрорасслоений (в категории ТОР есть ещё одно понятие трансверсальности - стабильная трансверсальность - см. [36] ), которые в нашем случае будут просто оснащениями. Подмногообразие V является оснащённым, если оно имеет окрестность, гомеоморфную V IR , структура произведения на окрестности, задаваемая гомеоморфизмом, при котором Vх {0} переходит в V и называется оснащением. В теореме о ТОР трансверсальности для микрорасслоений по существу возникают размерностные ограничения (более подробно по этому вопросу см. С36І ). В работе Г36] дано указание как можно проводить доказательство теорем об Л- ( S -) кобордизме, но оно.сравнительно легко реализуется в размерности больше шести (см. LH01 ), а в размерности шесть возникают определённые трудности. Оуть их сводится к следующему: пусть -р; S - иУпГ локально плоское вложение и т гомотопно нулю в Vv , то существует ли локально плоский диск D в W с
Этот, результат (следствие 2.1.Л) даёт возможность перенести все утверждения о точных функциях Морса в категориях DIFF и PL в категорию ТОР (размерность 5). Все отображения, если не оговорено противное, предполагаются непрерывными, а многообразия - топологическими. Строгие определения топологических функций Морса и обоснование топологической теории Морса см. [ 0] Нами будут доказаны такие теоремы: f - произвольная функция Морса на (W, , VJL) , Л/Л(т) -число критических точек индекса А. функции f } А3 0,1,...; ї\.
Для доказательства теорем 2.2, 2.3, 2.4 необходимы следующие факты: существование разложений на ручки (см. ГЬ&] ), общее положение [ там же ] , уничтожение ручек индекса 0 и I, перегруппировка ручек различных индексов (см. [ /0] ), сокращение пары ручек с геометрическим индексом пересечения 1 Г 40 , Тп. 4.6 ] , лемма Уитни, сложение ручек [12] - рассуждения в точности такие же как ив PL случае, поскольку локально плоский диск (любой размерности) допускает оснащение (см. [37] ), а срединная и косрединная сферы имеют оснащения, наследуемые из ручки; и для теоремы 2.3 - теория простого гомотопического типа (см. [5 6] ). При наличии всех этих фактов доказательства теорем 2.2, 2.3, 2.4 становятся повторениями соответствующих доказательств в гладком или кусочно линейном случае. Заметим, что недоказанными из всего вышеприведенного списка остаётся уничтожение ручек, индекса I (индекса 0 точно так же как ив PL случае (см. [12] )) и лемма Уитни, Уничтожение ручек индекса I проводится практически так же как и в категории PL (см. лемма 6.15 в [12] ) лишь с незначите ль ными у точне ниями.
Минимальные и точные функции Морса на некомпактных кобордизмах
Ясно, что в V существует изотопия, неподвижная на О у , разъединяющая точки пересечения (здесь применима глад кая версия леммы Уитни). Перенесём эту изотопию с V на мы получим требуемое утверждение.!
Теперь, учитывая, что все многообразия, которые возникают при доказательстве теорем 2.2-2.4 - это либо срединные и ко-срединные сферы, которые имеют оснащения, наследуемые из ручки, либо диски Уитни, которые имеют оснащения в силу теорем из[37], мы можем проводить доказательства теорем этого параграфа практически слово в слово повторяя DIFF или PL версии. Проведём, например Доказательство теоремы 2.2. Выберем произвольную функцию Морса на Это можно сделать, используя теорему о существовании разложения на ручки (см. [3 6] ). В силу теорем об уничтожении ручек индекса 0 и I, можно считать, что ручек индекса 0 и І, П-i и П нет (ручки ин декса 0 и. И могут быть по одной штуке, если соответствующий край пуст) (см. [123. ). Рассуждения соответствуют PL версии, только нужно воспользоваться теоремой из [37J о том, что локально плоский диск имеет, оснащение и заменить Г L общее положение на ТОР общее положение для оснащённых под многообразий. . . Мы можем считать, что все критические точки одного индекса новой функции лежат на одном уровне, т.е. { X X - критическая точка индекса Xj с j ( — у (см. [10] ). Рассмотрим цепной комплекс (СЛ , Ох), СЛ = Н vWK, W J и Од - гомоморфизм, который в базисах С» , соответствую щим ручкам, задаётся матрицей индексов пересечений срединных и косрединных сфер ручек дополнительных индексов. При этом HA(W Wx-i) " свободная группа ранга Л/ ( f ) ( f выбранная функция Морса). Таким образом комплекс (Сх Э ) имеет вид: Воспользовавшись теоремой сложения ручек (см. [ЦО] ), мы можем привести матрицы гомоморфизмов Эд к виду: Рассмотрим сферы, пересекающиеся с алгебраическим индексом пересечения I. Пользуясь леммой Уитни мы сможем построить такое новое разложение на ручки для функции \ , что соответствующие срединные и косрединные сферы будут пересекаться в одной точке. Теперь применим теорему из [401 и уничтожим эти ручки. В результате получим функцию Морса с дует из того, что гомологии (СА,Эх) изоморфны гомологиям H (W»"V ) (см ПО] ), а базис конечной группы, в котором порядок каждого элемента делит порядок последующего, является минимальным (см. С 6 J ).1 Доказательство же теоремы 2.4 является повторением соответствующей гладкой версии (см. [2 3] ), только для выбора оснащённых образующих tfcCW, Vo) и 2. CW1 \ ) применим следствие 2.1.4, а затем теорему о существовании оснащения у локально плоского диска (см. С3 7] ).! 2.3 Минимальные и точные функции Морса на некомпактных кобордизмах. Теория некомпактных кобордизмов, точнее h и S -кобор дизмов, развита в работах Г 471 , Г 3] , L ЧЧ1 Однако невыясненным остался вопрос: когда некомпактный кобор дизм с конечными относительными гомологиями имеет минимальное (точное) разложение на ручки? Чтобы ответить на поставленный вопрос уже недостаточно использовать гомотопический тип или простой гомотопический тип, а необходимо применять теорию простого собственного гомотопического типа. Кроме этого ряд понятий требует уточнений. Например, не по всякой функции Мор са можно построить ассоциированное с ней разложение на ручки. Мы же будем рассматривать только такие функции Морса, которые допускают такое разложение на ручки. Конечной функ цией Морса назовём такую функцию, у которой суммарное число критических точек конечно.
