Введение к работе
Актуальность темы. Необходимость исследования асимптотичес-ого поведения последовательности коэффипиентов Тейлора стиму-ирована многочисленными вопросами современной математики и еоритической фшики. В частности, задача комбинаторного анали-а об оценке сложности алгоритма требует для своего решения выделения асимптотики коэффициентов Тейлора определенного клас-
ахождения решения х Є 5ті-і системы уравнении
< х,Фіх >= =< x,<5?fcX >= О,
де Ф} — положительно определенные матрицы размерности пх п, озникают алгебраические функции
let-i/2 (1-2^)=1+ Я(тъ...,тк)^...^^
\ J = l / гп] ,...,mt>0
оэффидиенты Тейлора q{m) которых обладают асимптотіїческими войствами, обеспечивающими необходимую скорость сходимости .лгоритма (смотри, например, статью " Barvinok A.I. Feasibility test-ng for systems of reaJ quadratic equations// Proc. 24 Symp. Theor. :omput. ACM Press, 1992. PP 126-132").
Вторым аспектом, вьізьшаюштішпкрс-скэтой проблематика, лв-іяется теория устойчивости Ш1фровых рекурсивных фильтров (см. Даджион Д., Мерсеро О. Цифроваяобработкамногомерныхсигна-юв. М: Мир, 1988."). Такие фильтры определяются своей переда-
очттой ф;тпспией G(zi , zn) следующим образом: входной сигнал.
гредставляюший собой кратную последовательность х = х{к\...., ;„), преобразуется в выходной сигнал у = y(ki,..., к„) в соответ-:твии с равенством Y = G X, где X и Y — производящие функции юследователъностей х{к\,..., кп) и у(к\,..., кп), a G X — про-ізведение степенных рядов. Фильтр называется устойчивым, если >н всякую ограниченную последовательность преобразует в ограниченную же последовательность. Достаточно, легко доказать, что
фильтр устойчив тогда и только тогда, когда сходится ряд
\g(ki,...,kn)\
ки...,кп>0
юмодулейкоэффидиентов Тейлора кп) передаточной фу шш G(zi, ...,zn). Тем самым, вопрос об устойчивости фильтра с дитсяк проблеме асимптотических оценок коэффициентов g(ki,. <кп). Первые шаги в исследовании этой проблемы были сделаны Дуанкаре и продолжены в работах Гуда (I. J. Good, 1957), Ш.А. , утова (1981), А.И. Макосия (1985), А.К. Лиха (1991).
Цель настоящей диссертации состоит в исследовании асимпто ческого поведения коэффициентов Тейлора д{к\, > кп) алгебр, ческих и мероморфных функпий, составляющих важный подклас классе голоморфных функций с аналитическими множествами о бенностей.
Методика исследования. Применительно к мероморфным функ
ям исследование основано на многомерном аналоге следующего ф
та для функций одного переменного (п = 1): асимптотика пос
довательности д(к) определяется вычетами подынтегральной дрі
G(z)/zk+1 в ближайших к точке 2 = 0 полюсах функции G{z). 1
многозначных алгебраических функций вклад в асимптотику ко
фициентов д(к) также дают интегралы по контурам вблизи ближ
ших особых точек, сводящиеся к эталонному интегралу леммы В
сона. Стартуя от интегрального представления Коти для козфі
циентов Тейлора,, в диссертации доказываются две общие теорс
(теоремы 3.1 и 7.1), позволяющие свести n-мерный интеграл Кс
к .
(I) (п—1)-мерномуинтегралу, представляющемусобойинтег] вычет-формы Л ере по росткам полярных множеств в ближ ших точках в случае однозначных функций; (II) (п — 1)-мерному интегралу, который определяется разло нием Пюизо исходной функции, если она многозначна.
Указанные (га — 1)-мерные интегралы приводятся к осциллир; щим интегралам с многомерным параметром к = (к\,...,кп)ш. их исследования использованы:
— связь асимптотики осциллирующего интеграла и геометри»
ких характеристик многогранника Ньютона его фазы;
— специально разработанный метод асимптотической оцеї
кратных осциллирующих интегралов, зависящих от многомерн
араметра, согласно которому исследование асимптотического по-едения интеграла необходимо проводить вдоль одномерных парабо--тчгетлтх кривых—лежащих в области значений параметра. Данный іідход был предложен А.К. Ііихом для одномерных интегралов. 3rt-исяших от двумерного параметра.
С помощью этих теорем описана структура асимптотического по-.едения коэффициентов Тейлора мероморфных и алгебраических іуккшій. найдены условия абсолютной сходимости рядя из кочффи-іиентов Тейлора для некоторых классов таких фугасний, т.е. условие ходимости ряда (1).
мгпгсгияя кинпзт. 7j — г- - '"*"* ""m,"»4" vcnnmul яб-
'олютной сходимости р.~д* ич m.^jnLi^i^^Zcr: Тс?*"*"р^ .тл? »иг»^ітіи-
гческих функций двух переменных. Полученные асимптотические шенки для коэфкниентоз Тейлора алгебраических функций двух переменных и мероморфных -функций многих переменных в "пэраболи-іеских областях" являются новыми. Обобщен асимптотический ме-год А.К. Циха вычисления одномерных интегралов, зависящих от гвумерного параметра на кратные осциллирукипие интегралы, зашедшие от многомерного параметра.
Практическая и тсоритическая ценность. Полученные результаты могут быть использованы в теории устойчивости цифровых рекурсивных фильтров, з комбинаторном анализе — опенка сложности ілгоритма. в теории дифференциальных уравнешій — поиск асим-ітотических решений.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на следующих международных конференциях: — Студент и научно-технический прогресс - Новосибирск., 1992
Теория потешпталп — Кадкврлпи. 1Q9?.
Уизультаты диссертации также неоднократно докладывались иь научных семішарах Красноярского Государственного Университета и Института Физики им, Л.В. Киренского (1988-1994 гг.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах jl-4].
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, предварительных сведений и основного текста — глав 1 гг 2. Каждая глава разбита на шесть параграфов. Диссертационная работа изложена на 87 страницах. Библиография содержит 40 наименований отечественной и зарубежной литературы.
