Об алгебраических уравнениях и областях сходимости кратных гипергеометрических рядов Семушева Анастасия Юрьевна

Диссертация - 480 руб., доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Автореферат - бесплатно, доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Семушева Анастасия Юрьевна. Об алгебраических уравнениях и областях сходимости кратных гипергеометрических рядов : диссертация ... кандидата физико-математических наук : 01.01.01.- Красноярск, 2005.- 78 с.: ил. РГБ ОД, 61 06-1/27

Содержание к диссертации

Введение

1 Продолжение исследований Меллина о решении алгебраических уравнений 19

1.1 Формулировка результатов Меллина для главного решения 20

1.2 Идея исследования главного решения 23

1.3 Интегралы Меллина-Варнса и принцип разделяющих циклов 24

1.4 Доказательство Предложения 1.1 31

1.5 Голоморфное продолжение главного решения 32

1.6 Область сходимости степенного ряда (1.4) для главного решения 36

2 Области сходимости кратных гипергеометрических рядов 38

2.1 Формулировка теоремы Горна, униформизация Горна-Капранова 38

2.2 Доказательство теоремы Горна 43

2.3 Амебы алгебраических гиперповерхностей и их связь с областями сходимости степенных рядов 46

2.4 Области сходимости одного класса гипергеометрических рядов 48

3 Об областях сходимости рядов, представляющих периоды на многообразиях Калаби-Яу 60

3.1 Пример реализации многообразия Калаби-Яу в взвешенно-проективном пространстве 62

3.2 Пример реализации гиперповерхности Калаби-Яу в тори-ческом многообразии 69

Заключение 71

Список литературы 72

Интегралы Меллина-Варнса и принцип разделяющих циклов
Область сходимости степенного ряда (1.4) для главного решения
Амебы алгебраических гиперповерхностей и их связь с областями сходимости степенных рядов
Пример реализации многообразия Калаби-Яу в взвешенно-проективном пространстве

Введение к работе

Проблема решения алгебраических уравнений интересует математиков уже более двух тысячелетий. После того как Тарталья, Феррари и Кардано решили уравнения третьей и четвертой степени, появились надежды решить любое алгебраическое уравнение, причем в радикалах. Эти надежды серьезно поколебали Лагранж и Руффини и окончательно развеял Абель [15], доказав в 1824 году невозможность решения общего уравнения пятой степени в радикалах. Дальнейшие продвижения теория алгебраических уравнений получила в направлении трансцендентного анализа, поскольку после работ Абеля и Галуа „алгебра отказалась" заниматься этим вопросом. Идею аналитического решения уравнений подал Виет и лишь 275 лет спустя ее осуществили Эрмит [24] и Кронекер [28], в 1858 году доказав, что всякое уравнение пятой степени можно решить в модулярных эллиптических функциях. Затем опять потребовалось 126 лет для того, чтобы осуществить идею Кронекера о решении уравнения любой степени с помощью модулярных функций. В 1984 году Умемура [10] доказал, что это можно сделать с помощью тета-функций. Менее замеченной в истории алгебраических уравнений оказалась статья Меллина 1921 года [29], в которой общее уравнение решается с помощью гипергеометрических функций. В этой статье Меллина решения — 5 — уравнения представлены в виде интегралов с параметрами, которые сейчас принято называть интегралами Меллина-Барнса. С помощью таких интегралов Меллин получил разложение Тейлора в виде гипергеометрического ряда для ветви решения у(х) общего алгебраического уравнения у^п + х_1У^п* + + x_vt^v -1 = 0, (0.1) определенной условием у(0) = 1.

До сих пор оставался открытым вопрос об аналитическом продолжении указанной ветви (которую мы называем главным решением уравнения (0.1)) и вопрос об областях сходимости всевозможных разложений Пюизо для ветвей уравнения (0.1). Областям сходимости многомерных гипергеометрических рядов была посвящена классическая работа Горна [25]. Однако, следует заметить, что общий результат Горна не дает полную информацию об областях сходимости конкретных гипергеометрических рядов, встречающихся во многих приложениях, в частности, - рядов для общих алгебраических функций и рядов, представляющих фундаментальные периоды на многообразиях Калаби-Яу.

Цель настоящей диссертационной работы состоит в исследовании аналитических продолжений интегралов Меллина-Барнса, представляющих общую алгебраическую функцию и фундаментальные периоды некоторых многообразий Калаби-Яу, а также в получении более совершенных, чем у Горна, описаний областей сходимости кратных гипергеометрических рядов.

Отметим, что важный шаг на пути исследования проблемы сходимости гипергеометрических рядов был сделан в статье Пассаре и Циха [30], где на примере решения уравнения (0.1) описана связь областей сходимо- сти для различных ветвей решения с амебой дискриминанта уравнения. Таким образом, в [30] была привлечена конструкция амебы алгебраического множества (точное определение см. в параграфе 2.3), введенная в известной книге И.М. Гельфанда, М.М. Капранова, А.В. Зелевинского [22], а также понятие униформизации Горна-Капранова [27] и ее связь с сингулярностями гипергеометрических функций [4], [31]. Методика исследования диссертации основана на указанных понятиях амебы алгебраической гиперповерхности, униформизации Горна-Капранова, а также на принципе разделяющих циклов [11], [32].

Перейдем к изложению основных результатов диссертации.

Первая глава представляет собой продолжение исследований Мел-лина о решении алгебраических уравнений. Основными результатами здесь являются Теорема 3 о рядах Пюизо для ветвей решения уравнения (1) и Теорема 5 об области сходимости главного решения.

В Теореме 3 получены формулы аналитического продолжения для главного решения у (х) и его степени у^(х) в виде рядов по дробным степеням (рядов Пюизо) переменных xi,... ,х_р. Таких формул р + 1 штук, одна из которых есть формула Тейлора для главного решения с центром в точке х = 0, полученная ранее Меллином [29]. Например, для квадратного уравнения (когда, в (0.1) п = 2, п\ = 1, Х\ = х) у² + ху-1 = 0, главное решение явно выписывается в радикалах: X I/Х\2 **) = -2 + V(2) ⁺¹'

Функция у(х) имеет особенности лишь в точках х = ±2г, поэтому она раскладывается в ряд Тейлора в круге \х\ < 2 и в ряд по отрицательным степеням (в ряд Лорана) вне этого круга. В общем случае справедлива следующая

Теорема 3. Существует р различных аналитических продолсисений

У]{х), j = 1,... ,р главного решения у{х) уравнения (0.1) для степеней yj(x) (р > 0) которых справедливы разложения в ряды ^ХР { ^nj\k\>i W'/ Wv W>/ J

1*1-1 ( _Л\Щ П (^ + r&ifci + ...+ rcfcj + ... + п_рк_р - srij)

ЛЗ ₌ У~¹) *=1 ^fc fcx!...jy n/l"¹

Степень j/q (rr) ряда Тейлора главного решения у — уо(х) вычисляется по этим же формулам, где нужно положить j = 0, щ = п.

Ряды Пюизо в Теореме 3 представляются конечными суммами однотипных гипергеометрических рядов (их определение см. ниже).

Для описания области сходимости гипергеометрического ряда для главного решения уо(х) напомним, что областями сходимости р-кратных степенных рядов являются полные >-круговые логарифмически выпуклые области [13]. Полнота области сходимости G С С^р данного степенного ряда с центром в нуле обеспечивается леммой Абеля [13] и состоит в том, что вместе с каждой точкой (#5,..., х^) Є G область G содержит поликруг

Ы < \^х% ---А^хр\ < \^х% Это обстоятельство позволяет характеризовать область G ее образом \G\ С R+ при сопоставлении точке (х\,..., х_р) Є G вектора (\х\\,... ,\х_р\) — 8 — из модулей ее координат. При описании границ dG и \dG\ полезную роль играет понятие сопряженных радиусов сходимости ряда [13]: величины Г\,...,г_р составляют сопряженные радиусы сходимости, если в поликруге \х\\ < г\,... ,\х_р\ < г_р ряд сходится, но в любом большем поликруге - расходится. Теорема 4. Для любого q Є М+ величины

Ш = ^ и-. (О-²) (Ш91 + ... + n_pq_pr^/n(n[_qi + ... + n_pQp)ⁿ-'ⁿ s — 1,... ,р являются сопряженными радиусами сходимости ряда Тейлора для главного решения у(х). Будучи однородными функциями нулевой степени (r_s(Xq) = r_s(q)) функции (0.2) параметризуют гиперповерхность в MP, являющуюся граничной к области сходимости \G\ указанного ряда.

Теорема 4 является непосредственным следствием основного результата второй главы - Теоремы б (см. ниже). Утверждение Теоремы 4 впервые было доказано при р — 2 в совместной работе диссертанта и А.К. Циха [37]. Затем оно было распространено для произвольного р ^ 2 в статье [30].

Для того, чтобы нагляднее представить области сходимости ряда Тейлора для главного решения у = у${х) и его рядов Пюизо, представленных в Теореме 3, удобно воспользоваться понятием амебы Лу алгебраической гиперповерхности V [4]: это образ V при логарифмическом проектировании (х_и ...,х_р)-> (log |zi|,..., log \х_р\).

В нашем случае алгебраическая функция у(х) имеет особенности в точности на дискриминантной поверхности V = {А(а;) = 0}. Например, в случае кубического уравнения у³ + х₂у² + xiy - 1 = О дискриминант А равен

А(х) = 27 + 4хі³ - 4х₂³ + 18жі2г₂ - iV-

Амеба дискриминантной кривой А(ж) = 0 изображена на Рис. 1, а на Рис. 2 по мере возрастания жирности обозначены области сходимости ряда Тейлора для уо(х) и рядов Пюизо для у\(х), у₂(х).

Рис. 2

Рис. 1

Отметим, что одновременно и независимо, Штурмфельс [36] получил ряды для решения уравнения (0.1), исходя из несколько другого понятия гипергеометричности в смысле Гельфанда-Капранова-Зелевинского [4].

Во второй главе мы приводим распространение теоремы Горна об областях сходимости кратных гипергеометрических рядов на некоторые более общие ряды и выделяем один случай рядов, для которых удается получить более совершенное описание областей сходимости.

Существует несколько определений гипергеометрических функций [3]. Видимо, самым простым и универсальным из них является определение гипергеометрического ряда, данного Горном в 1889 году [25]: степенной ряд (ряд Лорана) ^2ф)х³= Y^⁽P(^sb---^nW^l...x_n^Sn (0.3) seZⁿ seZⁿ называется гипергеометрическим, если отношения соседних коэффициентов представляют собой рациональные функции переменных s: ^^ = ,ВД, г = 1,...,п, (0.4) здесь е; = (0,..., 1,..., 0). Согласно теореме Оре-Сато [34] общий вид для коэффициентов гипергеометрического ряда следующий: nr«^,_s) + _Q) ф) = R(s) t^s -!=! ; (0.5) здесь R{s) - рациональная функция, t Є (С \ {0})", Г - гамма-функция Эйлера, Aj, Bj Є Zⁿ, Q, dj Є С, наконец, (,) - знак скалярного произведения. —11 —

Отметим одно важное обстоятельство. Ряд (0.3) с коэффициентами вида (0.5) далеко не всегда сходится, если суммирование брать по всей решетке Ъ^п (это легко усмотреть, например, для ряда ]Г) X^s). Сам ряд s=—oo (0.3) следует считать формальным, из которого можно строить неформальные (с непустой областью сходимости) каким-либо естественным выбором массива суммирования S Є I/¹ (см. [33], [31], [22], [4], [3]).

Н(х_ъх₂) = Y2 ^(⁵b⁵2)i^Sltf₂^S2, где, по определению гипергеометричности, фі +1, s₂) , , hs₂ + l)лі (si, s₂) := -. r—, H₂{si, s₂) := г— являются рациональными фунциями от si и s₂. В [25] вводятся пределы

Фі(2l) Ф₂(<2і, q₂) = Hm R₂(qil, q₂l)

1—+0O I—too и отмечается, что функции Ф; рациональны и однородны степени нуль, т. е. фактически зависят от отношения qi : q₂. С помощью этих функций и вычисляется область сходимости G ряда Н{х\,х₂). А именно, хорошо известно, что области сходимости степенных рядов являются областями Рейнхардта [13], т. е. полностью определяются модулями \х\\, \х₂\ переменных и, согласно результату Горна, если точка (|жі|, |а;2І) лежит на границе изображения Рейнхардта |G| для области сходимости G, то она лежит или на прямой -12 — St: N *і(1,0) или на прямой

03: Ы = ф₂(о,і) или на кривой 65, параметризованной в виде $1(91,92) ^2(51,)

51,92 ^ 0. (0.6)

Более точная формулировка результата Горна заключена в следующих двух утверждениях.

Утверждение 1. Если точка (х^х) лежит вне бикруга ^{= [ы} _{, ы} _< либо для некоторого положительного направления q\ : 52 $1 (91,9г)

, \Х\> $2(91,) то степенной ряд Н(х\,Х2) расходится в точке (х^х). Утверждение 2. Если точка (xi, х%) лежит в бицилиндре А и для всех положительных направлений q\ : 0/2 выполняется хотя бы одно из неравенств

1*!1< \4\ < $2(91,92) $i(9i,92) шо ряд Н(хі,Х2) сходится в точке (х^х).

Теперь рассмотрим n-кратный гипергеометрический ряд, с суммированием по положительному октанту, где, по определению гипергеометричности, выполняются равенства (0.4) и, следовательно, коэффициенты (p(s) имеют вид (0.5). Множитель R(s) в (0.5) не дает существенного влияния на область сходимости ряда Н, а множитель t^s лишь влияет растяжением на область сходимости (\t\\ раз по переменной х\, ... ,|_п| раз по переменной х_п). Поэтому мы будем вести речь о рядах вида H(x_h...,x_n) = Yl ^(^sb ,s_n)xi^ai...x_n*ⁿ, (0.7) si,...,s„^0 у которых коэффициенты имеют вид

ПГ«Д,з) + сО >« = ^ . (0.8) ^{Пг«в,-,*) + <у}

На самом деле, мы не только распространяем результат Горна на произвольное число переменных, но и обобщаем его на случай, когда векторы Ai₁ Bj вещественные. Следуя Горну, введем для коэффициента (p(s) вида (0.8) пределы

, , \ ,. vis + еЛ.

Ф»(9і, , Чп) = Jim рг— |_e=j₉, г = 1,..., п, составленные для произвольного вектора g = (gi,.. .,п) Є ^+ \ {0}-Функции Фі(^) однородны степени нуль; они рациональны, если А{, Bj целочисленные, и выражаются в радикалах, если А{, Bj имеют рациональные координаты. С помощью функций Ф_г-(

Обозначим / = {1,...,п} и для произвольного непустого подмножества J С / мощности \J\ определим вектор-функции Aj) = &(Qj,Qi\j))_jj ^+ -> R^¹, где (gj, Од,/) - вектор с п координатами, у которого на местах с номерами j Є J стоит #j, а на всех остальных местах - нуль.

Теорема 5. Область сходимости G ряда (0.7) представляет, собой пересечение областей G= f] Gj, где Gj состоит из всехх — (х\, , 2-п) таких, что для любого qj є Ш_^ выполняется хотя бы одно из неравенств \Xj\ < j є J. l$i(gj,o_AJ)|

Рис. З

Существует класс гипергеометрических рядов, для которых граница области сходимости состоит лишь из куска параметризации (0.6) при п — 2, а при любом п ^ 2 естественно определяется отображением (1/Фі,..., 1/Ф,_г), которое называют параметризацией Горна-Капранова [27], [30]. Например, на Рис. 3 заштрихованная область сходимости ряда ограничена кусочно-гладкой кривой, которая есть лишь часть параметризации Горна-Капранова (в логарифмической шкале) при gj, q₂ > 0, а другая часть окаймляет маленький криволинейный треугольник и не соприкасается с границей области сходимости.

Нетривиальные области сходимости имеют только неконфлуэнтные ряды, т. е. ряды вида dp) Х\ ... х_п ^п . . ^ Г^^ + Щ.^ЩВ^ + Ьг) ' 8i\...3nl ' ^[ ^}

А\ Н V А_р = В\ Л Ь В_г + (1,..., 1) (условие неконфлуэнтности), a S С Ъ^п - так называемый носитель ряда. Носитель ряда представляет собой полиэдральное множество 5 в Z", на котором коэффициенты ряда (p(s) ненулевые, а в дополнение к S они продолжаются нулевым образом с сохранением разностных соотношений (0.4) (детали формирования носителя см. в [31] и [33]). Специально выбранные в знаменателе (0.9) множители Sj\ — T(sj + 1) дают мотивацию к выбору положительного октанта Z" в качестве носителя ряда, поскольку для отрицательных целых Sj функция nv+n равна нулю. Интересующие нас ряды с „правильной" областью сходимости - это ряды вида (0.9), где р = г = 1 и ^Г((А,а) + о) х^ ... х_п^

2-j TV/R «Л-и/Л ' «J «.! ' ^ ^U) r((A,s) + g) x^...x_n^s ^T{(B,s) + b)' _Sl\...s_n\ ' причем мы не будем требовать целочисленности А и В, полагая А, В Є Rⁿ. Заметим, что ряды вида (0.10) представляют интерес в математической физике [8], [16], [19], где они появляются в теории суперструн в качестве периодов на многообразиях Калаби-Яу. Основной результат второй главы составляет Теорема 6. Если в ряде (0.10) каждый из векторов

А = (а_ь...,а_п), В = (&_Ь...,6_П) имеет координаты одного знака, то граница области сходимости этого ряда задается параметризацией Горна-Капранова: (|ан|,...,|Е_п|) где

9ЄКЇ,

Фі(я) ' '' Ыя) Фі(д) = дҐ(Ад)^аі(В,д)-^ь\ і = 1,..., п

Из этой теоремы непосредственно вытекает справедливость Теоремы 4 первой главы. Она обобщает результаты о сходимости рядов для общих алгебраических функций [37], [30].

В главе 3 найдены области сходимости гипергеометрических рядов, представляющих фундаментальные периоды некоторых многообразий Калаби-Яу. При этом выбраны примеры, которые не охватываются Теоремой 6. В качестве одного из примеров рассматривается многочлен

Р{у) = Уо⁷ + У і⁷ Уз + Уз³ + У2УА + У4³,

ОПредеЛЯЮЩИЙ ВО ВЗВешеННОМ ПрОеКТИВНОМ Пространстве 1Р(з2 2 77) ^ги~ перповерхность Калаби-Яу. В подходящих координатах х\, х₂ (которые мономиально выражаются через модули деформации поверхности Р(у) = 0), фундаментальный период гиперповерхности представляется рядом Горна [19] _sf^₀ T²(si + l)r²(2si + s₂ + l)si!s₂! Теорема 7. Граница области сходимости ряда (0.11) задается параметризацией: flail, \х₂\) = (Фійь q₂), Ф₂(₉і, q₂)), q = (q_u ft) Є Ш²₊ \ {0}, — 17 — _lT, _f ч <7i³(24 _lT, , . ft(22^фі(9і.2) = ₇ , Фі(ді,ft) = з- (7gi + 3ft) (7ft + 3ft)

Граница области сходимости ряда (0.11) задается также уравнением

7⁷|^₁|³-3³-7⁵|_Ж1|²|^₂|²+

2² t\x_x\²\x₂\ - 2⁴|ап|² + 2 З⁶ 7²И|х₂|⁴- (0.12)

З³ 5²|zi|N³ + 2³|a:i||^2|² + 3⁹|z₂|⁷-

3⁷|х₂|⁶ + 3⁴|х₂|⁵ - |ж₂|⁴ = 0. Это уравнение получается исключением параметров ft, ft (точнее параметра t := ^, ввиду однородности степени нуль параметризации Ф(д)) из параметризации Горна-Капранова . I ft³(2ft + ft)⁴ . , ft(2ft + ft)²(7ft + 3ft) (7ft + 3g₂)

Отметим, что если в уравнении (0.12) убрать знаки модуля, то мы получим уравнение сингулярной комплексной кривой для суммы ряда (0.11): A := 7³ - З³ 7⁵*i V+

2² 7 - 2² + 2 - З⁶ 7²х_хх₂^А- (0.13)

З³ 5³ + 2*х_хх₂² + 3х₂⁷-3⁶ + 3⁵ - х₂^А = 0.

Параметризация границы области сходимости, указанная в Теореме 7, в логарифмической шкале на Рис. 4 представляет собой кусок кривой гиперболического типа, асимптоты которой параллельны координатным осям. В целом, на Рис. 4 изображена амеба сингулярной кривой для многозначной функции, определенной аналитическим элементом дом (0.11).

, . . 5 * * I

Г - .1.1 - . -g. --

Рис.4 - 19 —

Апробация работы: результаты диссертации докладывались на

Международной конференции „Математические модели и методы их исследования" (Красноярск, август 1999 г.);

Международной научной студенческой конференции (Новосибирск, апрель 2000 г.);

Международной конференции по кубатурным формулам (Красноярск, август 2001 г.);

Международной конференции „Комплексный анализ и его приложения" (Краснодар, сентябрь 2005 г.);

Красноярском городском семинаре по многомерному комплексному анализу (1999-2005).

Интегралы Меллина-Варнса и принцип разделяющих циклов

Менее замеченной в истории алгебраических уравнений оказалась статья Меллина 1921 года [29], в которой общее уравнение решается с помощью гипергеометрических функций. В этой статье Меллина решения уравнения представлены в виде интегралов с параметрами, которые сейчас принято называть интегралами Меллина-Барнса. Такие интегралы имеют достаточно большую область сходимости, и это обстоятельство позволяет их интерпретировать как „глобальные объекты" в сравнении со степенными рядами для алгебраической функции, выступающими как „локальные объекты".

Рассмотрим общее алгебраическое уравнение и свободный член ap+i отличен от нуля, так как нас интересуют лишь ненулевые решения уравнения. Делением на (—ap+i) и „растяжением" переменной u = (—ар+і) "у указанное уравнение сводится к следующему: Мы будем исследовать решения этого уравнения как ветви алгебраической функции переменных коэффициентов хі,...,хр. Пусть у(х) = у{х\,...,хр) - решение уравнения (1.1) с условием у(0) = 1 (по терминологии Меллина у(х) - главное решение). Нетрудно видеть, что все остальные решения yj(x) получаются из главного по формуле где Sj - первообразные корни из единицы степени п (т.е. j = 1). Таким образом, достаточно исследовать основную ветвь у(х) вблизи х = 0 и ее аналитические продолжения. Следуя Меллину [29], приведем интегральную формулу не только для решения у{х) уравнения (1.1), но и для любой ее положительной степени у(хУ, fi 0. Эта формула следующая ([29], [18]): Множество интегрирования представляет собой мнимое подпространство iW в пространстве Ср переменных z, сдвинутое на вектор 7 = (7i,..., 7р) Є №?, взятый из симплекса Интеграл (1.2) сходится равномерно по крайней мере в области Заметим, что на самом деле полная область равномерной сходимости интеграла (1.2) может быть шире указанной (см., например, формулу 2.4 в [5]); скажем, для интеграла (1.6) истинная область сходимости есть полуплоскость jargrr , в то время как область (1.3) для этого интеграла представляет собой сектор arg ж . В любом случае, из (1.3) мы видим, что область сходимости интеграла (1.2) непустая и, более того, неограниченная, поскольку на модули \хк\ нет ограничений. Приведем ряд Тейлора для степени у(х)(г главного решения у{х) уравнения (1.1). Поскольку у{х) можно рассматривать как неявную функцию, ее ряд Тейлора также носит название „разложение Лагранжа" и оно может быть найдено различными способами (см. [18], [14]). Наш вывод основан на вычетной формуле для интеграла Меллина-Барнса, с помощью которой мы также получим другие ряды Пюизо для у(х). Итак, упомянутое разложение Тейлора, также полученное Меллином [29], следующее: Предложение 1.1. Ряд Тейлора для степени у{хУ главного решения у{х) уравнения (1.1) имеет вид где коэффициенты А определяются по формуле о причем в случае \к\ = 1 произведение J"J полагается равным 1. Наше доказательство этого утверждения будет дано в параграфе 1.4 в качестве иллюстрации принципа разделяющих циклов, изложенного в параграфе 1.3. Поясним идею нашего исследования главного решения у{х) на примере квадратного уравнения когда решение явно выписывается в радикалах:

Функция у{х) имеет особенности лишь в точках х = ±2г, поэтому она раскладывается в степенной ряд в круге \х\ 2 и в ряд по отрицательным степеням (в ряд Лорана) вне этого круга. Эти разложения легко выписать в данной ситуации, когда решение предъявлено явно. Однако указанные разложения можно получить, имея для решения лишь представление Меллина (см. формулу (1.2) при р = 1, // = 1) в виде интеграла Меллина-Барнса. Этот интеграл сходится при всех значениях параметра х из правой полуплоскости Rex О (см., например, [7]). В нем множество интегрирования - вертикальная прямая Rez = 1/2 разделяет полюсы гамма-функций Эйлера T(z) и Г(-Цр). Если интеграл вычислять как сумму вычетов в полюсах z = —к, к — 0,1, 2,... (происходящих от T(z) и расположенных слева от контура интегрирования), то получим.

Область сходимости степенного ряда (1.4) для главного решения

Аналогично, вычисляя интеграл (1.2) как сумму вычетов в точках пересечения полюсов функции Г(гі), ... [j]..., T(zp), Г( - 2і-.. .- ,), приходим к разложению В ряд ПО Степеням Xi/Xjni/ni,. . . ,l/Xjn/n ,. .., xp/xjn,plnj с коэффициентами AJk, отличающихся от Ак перестановкой 1.6 Область сходимости степенного ряда (1.4) для главного решения Один из фундаментальных результатов теории степенных рядов от р переменных гласит [13], что их областями сходимости являются полные р-круговые логарифмически выпуклые области. Полнота области сходимости G С Ср данного степенного ряда с центром в нуле обеспечивается леммой Абеля и состоит в том, что вместе с каждой точкой (#1,..., Хр) Є G область G содержит полицилиндр Это обстоятельство позволяет характеризовать область G ее образом G С М+ ПРИ сопоставлении точке (жі,..., хр) Є G вектора (#i,... ,\хр\) из модулей ее координат. При описании границ 8G и \dG\ полезную роль играет понятие сопряженных радиусов сходимости ряда [13]: величины т\,...,Гр составляют сопряженные радиусы сходимости, если в полицилиндре \х\\ гі,... ,\хр\ гр ряд сходится, но в любом большем полицилиндре - расходится. s = 1,... ,р являются сопряженными радиусами сходимости ряда (1.4). Будучи однородными функциями нулевой степени {rs{Xq) = rs(q)) функции (1.15) параметризуют гиперповерхность в W, являющуюся граничной к области сходимости \G\ ряда (1-4) Теорема 4 является непосредственным следствием основного результата главы 2 - Теоремы б (см. ниже). Утверждение Теоремы 4 впервые было доказано при р = 2 в совместной работе диссертанта и А.К. Циха [37]. Затем оно было распространено для произвольного р 2в статье [30].

Существует несколько определений гипергеометрических функций [3]. Видимо, самым простым и универсальным из них является определение гипергеометрического ряда, данного Горном в 1889 году [25]: степенной ряд (ряд Лорана) называется гипергеометрическим, если отношения соседних коэффициентов представляют собой рациональные функции переменных s: здесь е; = (0,..., 1,..., 0). Согласно теореме Оре-Сато [34] общий вид для коэффициентов гипергеометрического ряда следующий: здесь R(s) - рациональная функция, t Є (С \ {0})п, Г - гамма-функция Эйлера, А{, Bj Є Zn, СІ, dj Є С, наконец, (,) - знак скалярного произведения.

Отметим одно важное обстоятельство. Ряд (2.1) с коэффициентами вида (2.3) далеко не всегда сходится, если суммирование брать по всей решетке Ъп (это легко усмотреть, например, для ряда ]Г) Xs). Сам ряд (2.1) следует считать формальным, из которого можно строить неформальные (т. е. с непустой областью сходимости) каким-либо естественным выбором массива суммирования S Є Ъп (см. [33], [31], [22]).

В работе [25] Горн привел рецепт для описания области сходимости гипергеометрических рядов двух и трех переменных, рассматривая в качестве массива суммирования положительные ортанты 1?+ и Ъ\. Приведем результат Горна для двукратных рядов « Н{хъх2) = Yl (p{sus2)xiSlx2S2, где, по определению гипергеометричности, R\{S\, s2) = -f ч—, Щ&1, s2) -= 7 являются рациональными фунциями от Si и s2. В [25] вводятся пределы фі(?ь 92) = Hm Ri{qil, и отмечается, что функции Ф; рациональны и однородны степени нуль, т. е. фактически зависят от отношения qi : q2- С помощью этих функций и вычисляется область сходимости G ряда Н(х\,Х2). А именно, хорошо известно, что области сходимости степенных рядов являются областями Рейнхардта [13], т. е. полностью определяются модулями жі,:с2І переменных и, согласно результату Горна, если точка (\х\\, \х2\) лежит на границе изображения Рейнхардта С? для области сходимости G, то она лежит или на прямой.

Амебы алгебраических гиперповерхностей и их связь с областями сходимости степенных рядов

В настоящей главе будут рассмотрены примеры вычисления областей сходимости для гипергеометрических рядов, не имеющих вида (2.12), предполагаемого в Теореме 6. Однако, те же самые идеи, что и в доказательстве Теоремы 6 позволяют описать области сходимости рядов в терминах параметризации Горна-Капранова. Приведенные здесь примеры рядов представляют фундаментальные периоды на некоторых многообразиях Калаби-Яу.

Эти многообразия играют большую роль в современной математической физике (см., например, [19]). Они выделяются в классе комплексных аналитических многообразий тем, что их первый класс Черна тривиальный и среди голоморфных дифференциальных форм на них нетривиальными могут быть лишь формы максимальной степени, пространство которых одномерно. Удачные реализации многообразий Калаби-Яу были получены в виде гиперповерхностей (или полных пересечений) в ториче-ских многообразиях [17], в частности, в взвешенных проективных пространствах. Одна из основных задач предполагает изучение фундаментального периода голоморфной формы максимальной степени на модульном семействе (деформации) фиксированного многообразия Калаби-Яу. Например, если многообразие Калаби-Яу М задано в виде гиперповерхности в взвешенно-проективном пространстве Р/ о к к ч = Fk с однородными координатами у = (уо Уъ..., 2/JV), то рассматривается деформация полинома Ро{у) для которой коэффициенты ро и {(рр} параметризуют комплексные структуры многообразия М. Фундаментальный период на М можно задать интеграло где контур интегрирования 7 представляет собой декартово произведение N + 1 окружностей \yj\ = 1, j = 0,1,..., N. Как функция на пространстве модулей этот период является гипергеометрической функцией, а именно, представляется рядом Горна, сходящимся для больших значений выделенного модуля ро. В статье [8] была описана процедура аналитического продолжения периода в другие области пространства модулей. Как уже говорилось, в настоящей главе рассматриваются два примера многообразий Калаби-Яу и вычисляются области сходимости двойных гипергеометрических рядов, представляющих периоды этих многообразий.

Как и в доказательстве Теоремы 6, осталось заметить, что в условиях выпуклости поверхности log (q), прямая {q,loga;) = (q,\og (q)), граничная к полуплоскости (3.3), является опорной к поверхности log\I/(g) в направлении q. Поэтому Ф(д) параметризует границу области сходимости ряда (3.2) в логарифмических координатах. Теорема доказана. Граница области сходимости ряда (3.2) задается также уравнением Это уравнение получается исключением параметров qi, q2 (точнее параметра t := , ввиду однородности степени нуль параметризации Ф( ?)) из параметризации Горна-Капранова Отметим, что если в уравнении (3.4) убрать знаки модуля, то мы получим уравнение сингулярной комплексной кривой для суммы ряда (3.2).

Область сходимости ряда (3.2) изображена на Рис. 12, а параметризация границы области сходимости, указанная в Теореме 7, в логарифмической шкале на Рис. 13 представляет собой кусок кривой гиперболического типа, асимптоты которой параллельны координатным осям. В целом, на Рис. 13 изображена амеба сингулярной кривой для многозначной функции, определенной аналитическим элементом - рядом (3.2).

Пример реализации многообразия Калаби-Яу в взвешенно-проективном пространстве

Отметим, что важный шаг на пути исследования проблемы сходимости гипергеометрических рядов был сделан в статье Пассаре и Циха [30], где на примере решения уравнения (0.1) описана связь областей сходимости для различных ветвей решения с амебой дискриминанта уравнения. Таким образом, в [30] была привлечена конструкция амебы алгебраического множества (точное определение см. в параграфе 2.3), введенная в известной книге И.М. Гельфанда, М.М. Капранова, А.В. Зелевинского [22], а также понятие униформизации Горна-Капранова [27] и ее связь с сингулярностями гипергеометрических функций [4], [31]. Методика исследования диссертации основана на указанных понятиях амебы алгебраической гиперповерхности, униформизации Горна-Капранова, а также на принципе разделяющих циклов [11], [32].

В Теореме 3 получены формулы аналитического продолжения для главного решения у (х) и его степени у (х) в виде рядов по дробным степеням (рядов Пюизо) переменных xi,... ,хр. Таких формул р + 1 штук, одна из которых есть формула Тейлора для главного решения с центром в точке х = 0, полученная ранее Меллином [29]. Например, для квадратного уравнения (когда, в Функция у(х) имеет особенности лишь в точках х = ±2г, поэтому она раскладывается в ряд Тейлора в круге \х\ 2 и в ряд по отрицательным степеням (в ряд Лорана) вне этого круга. В общем случае справедлива следующая Теорема 3. Существует р различных аналитических продолсисений У]{х), j = 1,... ,р главного решения у{х) уравнения (0.1) для степеней yj(x) (р 0) которых справедливы разложения в ряды Ряды Пюизо в Теореме 3 представляются конечными суммами однотипных гипергеометрических рядов (их определение см. ниже). Для описания области сходимости гипергеометрического ряда для главного решения уо(х) напомним, что областями сходимости р-кратных степенных рядов являются полные -круговые логарифмически выпуклые области [13]. Полнота области сходимости G С Ср данного степенного ряда с центром в нуле обеспечивается леммой Абеля [13] и состоит в том, что вместе с каждой точкой (#5,..., х ) Є G область G содержит поликруг Это обстоятельство позволяет характеризовать область G ее образом \G\ С R+ при сопоставлении точке (х\,..., хр) Є G вектора (\х\\,... ,\хр\) из модулей ее координат. При описании границ dG и \dG\ полезную роль играет понятие сопряженных радиусов сходимости ряда [13]: величины Г\,...,гр составляют сопряженные радиусы сходимости, если в поликруге \х\\ г\,... ,\хр\ гр ряд сходится, но в любом большем поликруге - расходится. Теорема 4. Для любого q Є М+ величины s — 1,... ,р являются сопряженными радиусами сходимости ряда Тейлора для главного решения у(х). Будучи однородными функциями нулевой степени (rs(Xq) = rs(q)) функции (0.2) параметризуют гиперповерхность в MP, являющуюся граничной к области сходимости \G\ указанного ряда. Теорема 4 является непосредственным следствием основного результата второй главы - Теоремы б (см. ниже). Утверждение Теоремы 4 впервые было доказано при р — 2 в совместной работе диссертанта и А.К. Циха [37]. Затем оно было распространено для произвольного р 2 в статье [30]. Для того, чтобы нагляднее представить области сходимости ряда Тейлора для главного решения у = у${х) и его рядов Пюизо, представленных в Теореме 3, удобно воспользоваться понятием амебы Лу алгебраической гиперповерхности V [4]: это образ V при логарифмическом проектировании.

Об алгебраических уравнениях и областях сходимости кратных гипергеометрических рядов Семушева Анастасия Юрьевна

Интегралы Меллина-Варнса и принцип разделяющих циклов

Область сходимости степенного ряда (1.4) для главного решения

Амебы алгебраических гиперповерхностей и их связь с областями сходимости степенных рядов

Пример реализации многообразия Калаби-Яу в взвешенно-проективном пространстве

Похожие диссертации на Об алгебраических уравнениях и областях сходимости кратных гипергеометрических рядов