Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Анизотропные нормы ядер Дирихле и тригонометрических полиномов с монотонными по каждому индексу коэффициентами 19
1.1. Оценки норм ядер Дирихле 19
1.2. Полиномы с монотонными коэффициентами 27
Глава 2. Сходимость и расходимость рядов и интегралов Фурье функций, определенных на плоскости, при поворотах системы координат, в которой записаны эти функции 34
2.1. Пример первый (ни основе примера Феффермана) 34
2.2. Пример второй (на основе одной теоремы Лузина) 56
Глава 3. Непрерывность по Л-вариации функций двух и более переменных 66
3.1. Совпадение классов ABV и CAV бб
3.2. Несовпадение классов ABV и CAV 82
Список литературы 94
- Полиномы с монотонными коэффициентами
- Пример первый (ни основе примера Феффермана)
- Пример второй (на основе одной теоремы Лузина)
- Несовпадение классов ABV и CAV
Введение к работе
Сначала введём некоторые обозначения.
Пусть R, R+, Z и N — множества действительных, положительных действительных, целых и натуральных чисел, соответственно, а Г — это полуинтервал (—7Г, яг]. Элементы множества Ж (т-компонентные вектора) мы будем по возможности обозначать ''жирными" символами: х, t, ..., а для обозначения их компонент мы будем использовать тот же символ, написанный обычным шрифтом, с индексом снизу: х = (^1,^2,---,жт),
Если х и у Є Я"\ то будем писать: х ^ у (х > у), если х}- ^ у}- [х3- > у3) при j — 1.. .т. Обозначим через
т т
ху = ^2x0j, П(х) = Д(|^| + 1), Пі(х) = \хі ... хт\.
Если число о Ш, то через [а] обозначим целую часть о, а через а - вектор из 1$, все координаты которого равны о.
Далее, если даны М— некое подмножество Ж, действительное число о, а также вектор р = (pi, - - - ,pm)? то вполне естественны обозначения
аМ = {ох : х Є М} и М — р = {х — р:хЄ М}.
Если Лі,..., Rm — некие неотрицательные числа, то обозначим через IIr, = Пдь...(ят параллелепипед (в двумерном случае прямоугольник)
[—R\,Ri] х [—R2,R2] х ... х [—Rjn, Rjn].
Пусть функция /(х) = /(a?i,..., жт) от m переменных определена на IS, 27Г-периодична по каждому аргументу и интегрируема на кубе Т — (—7Г, 7г]т. Сопоставим ей формально записанный ряд
an(/)eiDX, (0.1)
где числа
«*.(/)= A/ e-"»/(x)dx ?
— коэффициенты Фурье функции /. Этот ряд называется рядом Фурье функции /(х).
Если /(х) определена лишь на некотором кубе
(—7Г + Oi, 7Г + а{\ X (—7Г + 02, 7Г + Ог] X .. . X (—7Г + Ош, 7Г + От]
и интегрируема на нём, то тогда мы можем доопределить её периодически и рассмотреть ряд Фурье получившейся функции.
Если W — некое ограниченное подмножество R"1, то величина
Sw(f,x)= У^Орв
называется частичной суммой ряда (0.1), соответствующей множеству W, в точке х. В частности, если W есть прямоугольник П^ = IIjvb...jvm с целыми iVi,..., 7Vm, то соответствующая частичная сумма
^,.„,jvm(/,x) = SN(/,x)= J3 опег
n=-N
называется прямоугольной, а если все iV,- одинаковы, то^иквадратной ча- ^ стичной суммой.
Как нетрудно показать, справедливо представление:
Sw(f,x) = -^/ /(x + t)ZV(t)dt, где Dw(t) = ± е''
ngWnZ"»
— ядро Дирихле, соответствующее множеству W.
Далее, для функций /(х) Є -Li(Rm) определим преобразование Фурье, так, как это делается в книге [24]:
mm=/(в) = ті / /w e-ixsdx.
Соответственно, частичный интеграл Фурье функции / по ограниченному измеримому множеству М С К"1 запишется так:
/*(/(.), х)= / 7(s)eixsds.
Опять-таки, если множество М есть прямоугольник Пя1,...гдт, то мы получаем частичный прямоугольный интеграл Фурье функции /, обозначаемый как
Jrx ,...,^ (/,х) = Jr(/,x) = ЛДі_Дто(/,х).
Скажем, что интеграл (ряд) Фурье функции /(х) сходится в точке х к числу S по прямоугольникам, если
jRi,.,Rm (/>х) —> S ПРИ min{-Ri,. - -, Rm} -* +00
[SNlt...)Nm(/,х) —> S при min{JVb ..., Nm} -* +00 J
Аналогично, интеграл (ряд) Фурье функции /(х) сходится в точке х к числу S по квадратам, если
7д,...,я(/,х) >S ПРИ Д->+00
(Sw,...,jv(/, х) —> 5 при JV -+ +оо)
Существуют и другие виды сходимости, но в этой работе мы будем рассматривать лишь сходимость по прямоугольникам.
Через С, С(...), ... мы будем обозначать некие константы, зависящие лишь от величин, указанных в скобках после символа С (например, С(т, &, I) зависит лишь от га, к и /). При этом эти константы, обозначаемые одинаковым образом, не обязательно совпадают (к примеру, законна запись: С (а) < (1/2)С(а)).
Настоящая диссертация состоит из введения и трёх глав. Во введении изложена история вопроса, а также кратко освещены результаты автора по данной теме. В главах 1-3 содержатся собственно результаты автора.
Внутри глав изложение разбивается на параграфы. Нумерация параграфов, определений, доказываемых теорем, лемм, замечаний, формул двойная: первое число — номер главы (для введения это ноль), второе — внутренняя нумерация (отдельная для каждого из перечисленных типов объектов). Так, ссылка на формулу (3.27) означает двадцать седьмую формулу третьей главы. Теоремы, доказанные другими авторами, нумеруются сквозным образом заглавными латинскими буквами.
Обзор предшествующих результатов.
Состояние исследований по различным проблемам теории кратных тригонометрических рядов описано в книгах Л. В. Жижиашвили [23, 21] и в статьях М. И. Дьяченко [17], Ш. А. Алимова, В. А. Ильина и Е. М. Никишина [2, 3], Л. В. Жижиашвили [22], Б. И. Голубова [15], Ш. А. Алимова, Р. Р. Ашурова и А. К. Пулатова [1].
1. Глава 1 посвящена оценкам норм тригонометрических полиномов с коэффициентами, монотонными по каждому индексу, в частности, многомерных ядер Дирихле, в анизотропных пространствах Lp. Это пространства определяются так.
Если дан вектор р Є К с компонентами р,- [1,+оо) при і — l...m, то через Lp обозначим пространство функций /, определенных на Т, для которых анизотропная норма
/ Г \ Pa/Pl \ Pm/Pm-l \ 1/Рт
... Ц |/(Х)Г dxX J ... ^т_!J rf*m J
конечна.
Через Лі обозначим класс ограниченных непустых множеств U С №", которые вместе с каждой точкой к содержат в качестве подмножества множество Ът П ЩііIіЛ']-
Рядом авторов изучалась следующая задача. Пусть S С К — открытое ограниченное множество, такое, что если х Є В и а Є [—1,1] , то ах Є В. Требовалось найти асимптотику величины
L{rB) = ||Д.#(х)||і приг-*оо.
В.А.Юдин в [35] установил, что если верхняя поверхностная мера Мин-ковского границы В конечна, т.е. ц{х К"1 : р{х, дВ) < є} ^ Се, то
L(rB) = (^-1)) при г -> оо.
Л.Кользани и П.Соарди [37] распространили этот результат для метрики Lp (р ^ 1). Они доказали, что при тех же условиях на множество В
' 0(r>»-i)) При1^р<^,
А*(*)||р=< 0(rXm- ^(Inr)1^) Прир=^,
^ О^1"?)) при ^ < р < оо,
при г —> оо. Известно, что если В — шар, то все три оценки точны. Следует также отметить результат, принадлежащий А.А.Юдину и В.А.Юдину [34] и Э.С.Белинскому [10] для га = 2 и И.Р.Лифлянду [26] для га ^ 2. Пусть множество
Вг = {xeWn:Tll(x)^rm гф,|^гт npuj=l,...1 га}
Тогда
L(BT) х r{m~l)/2 при г -> оо.
М.И.Дьяченко в статье [18] доказал следующее утверждение.
Теорема А. Пусть множество U Є A\, а число p = тах(П(п))1'т. Тогда при р Є [1, j^+f) справедлива оценка
В параграфе 1.1 мы получим такое обобщение это утверждения на случай метрики Lp.
Теорема 0.1. Пусть множество U Є А\, а вектор р = (pi,...,pm)
таков, что все его компоненты pi,^ 1, і = 1,..., т, среднее гармоническое
чисел Pi
„ т 2т
l/pi +... + l/pm m + 1 и для каждого j Є {1, - - -, m} имеем
El m
Тогда при любом j число pj лежит в интервале (1,2) (что сразу вытекает из условий, наложенных на р), и если положить числа
j = 1,..., m,
-(-;)/(-Ss)
Р=п—; г-п—<
и р = maxfn?1 ...n"m),
пег/v '
то справедливо неравенство
pVMIIp^Cfom),^-1)/2.
Из этой теоремы легко выводится
Следствие 0.1. Пусть множество U Є А\, а вектор р = (pi,... ,pm) таков, что для все его компоненты pj лежат в интервале (1,2), а их среднее гармоническое
~ т 2т
l/pi +... + l/pm ra+l"
Тогда найдутся числа ctj > 0, j = 1,..., т, сумма которых равна единице,
такие, что для
о = тахГгс?1... 71%")
net/ v 1 т '
верно
|Аг(х)||р^С(р|т)//т-1)/2.
Р=п—: т—<
Замечание 0.1. В случае, если все компоненты вектора р одинаковы и равны р, где число р лежит в интервале (2(га — 1)/т, 2т/(т + 1)), теорема 0.1 дает тот же результат, что и изотропная теорема А. Поскольку для изотропной теоремы условие р < 2т/(га +1) существенно (например, когда U = т\В, где В— единичный шар), то теорема 0.1 неулучшаема в том смысле, что 2т/(т -f 1)— критическое значение для р.
Используемый метод доказательства не позволяет оценить ||Di/(x)||p, когда какое-либо из pi ^ 2. Неизвестно, насколько существенно это ограничение.
Параграф 1.2 посвящен оценке анизотропных норм тригонометрических полиномов из некоторого класса.
Из многомерной теоремы Харди-Литтльвуда следует, что для любого полинома
5(x) = ^oke
ilex
k=i
при р Є [2, со) справедлива оценка
/ М v 1/р
||5(х) ||р ^ С(р, т) ( Y, ЫР (Щк)Г2 ) , (0.2)
а при р Є (1,2] — оценка
||5(х)||, С(р,т)(|акГ(П(к)Г2) . (0.3)
Я.С.Бугров [13] получил анизотропный аналог теоремы Харди-Литтльвуда в части неравенства (0.3). Он выяснил, что для любого вектора р К такого, что 1 < рт ^ Pm-i ^ ... ^ pi ^ 2, для любой функции / Є L(Tm) справедливо неравенство
+QO / +оо ^ _m_ \Pi\P2/pi \l/Pm
((м/)1П(М+1>,--*и) ) .-)
^ С(Р) (1т"'{ітІ/(Х)|Л ^1)^ Й ''' **»")
Пусть Mi - множество таких 771-кратных конечных или бесконечных'последовательностей {оп}п=1 неотрицательных чисел, что если п ^ к, то ап ^ ак.
Теперь мы будем рассматривать тригонометрические полиномы
tint;
n=l
Q(x) = $^ane*
с коэффициентами {о} Є Мі.
М.И.Дьяченко в статьях [19], [38] и [18] установил, что для таких полиномов при 2 < р < со выполняется оценка, обратная (0.2):
м чі/р
(м k=i
а при ^^- < р < 2 верно неравенство, обратное к (0.3):
М ч 1/р
^:
С<Р,т) ^о(П(к)Г2) . (0.4)
В 1.2 мы докажем следующую теорему, обобщающую последнее утверждение в части, касающейся неравенства (0.4), на случай анизотропных норм для размерности т = 2.
Теорема 0.2. Пусть размерность т — 2, а вектор р = {риРо) таков, что для числа р = max{pi,p2>2} справедливо неравенство
(0.5)
с коэффициентами {ап} Є Мі справедлива оценка:
||Q(x)||p^C(p)Jp(a),
м2 / Mi v Р2/Л ч 1/р.
(
іиз іиі \ pa/Pi \
П2=1 Пі
Отсюда сразу вытекает
П2=1 \ц=1 ' '
Следствие 0.2. Если при т — 2
оо п=1
— ряд с коэффициентами {а} Є М\, и при некотором р = (рі,Рг)> удовлетворяющем условиям теоремы 0.2, имеем «7Р(о) < оо, то этот ряд является рядом Фурье функции /(х) Є Lp.
Замечание 0.2. Если обе компоненты вектора р не превосходят 2, то условие на р становится таким:
~_ 2 4
Р " 1/Р1 + I/pa ^ З-
Поэтому при Pi = рг = Р ^ 2 теорема 0-2 дает тот же результат, что и ее изотропный аналог. Поскольку для изотропной теоремы условие р > 2т/(т + 1) = 4/3 существенно (например, для ядра Дирихле Д-в, где В— единичный шар), то теорема 0.2 неулучшаема в том смысле, что 2m/(ra-j-l)— критическое значение для р.
Отметим, что преимуществом теорем 0.1 и 0.2 перед их изотропными аналогами является то, что их можно применять для таких р, у которых некоторые компоненты pi больше (теорема 0.1) или меньше (теорема 0.2) критического значения 2m/(m-f 1).
2. В главе 2 мы будем изучать влияние поворотов системы координат на сходимость рядов и интегралов Фурье. Вообще, вопрос о том, как влияет замена независимой переменной х —> х' на сходимость ряда Фурье функции f(x) = f(x(x')), затрагивается в работах многих авторов. (Под заменой переменной мы понимаем гомеоморфизм тора Т или всей плоскости W1 на себя.)
Изучался вопрос о том, как с помощью замены переменной добиться того, чтобы полученная функция имела равномерно сходящийся ряд Фурье. В одномерном случае хорошо известна
Теорема В (Г.Бор). (см., например, [б]). Для любой непрерывной 2ж-периодической функции f(x) существует такой гомеоморфизм г полуинтервала Т = (—7Г, 7г] на себя, что ряд Фурье f(r(x)) сходится равномерно на Т.
А.А.Саакян [29] обобщил этот результат на многомерный случай. Им была доказана
Теорема С. Для любого натурального т и произвольной функции /(х), непрерывной naW" и 2эт-периодической по каждой переменной, существует такой гомеоморфизм т(х) тора Т на себя, что ряд Фурье функции /(т(х)) равномерно сходится по прямоугольникам.
Ставился также вопрос о том, какие замены не выводят функции, принадлежащие некоему классу W", за пределы этого класса. Относительно класса А(Т) функций, непрерывных на Г и имеющих абсолютно сходящиеся ряды Фурье, известно такое утверждение.
Теорема D (Бёрлинг, Хелсон). (см., например, [25]). Пусть <р : Т —> Т — произвольная измеримая функция, обладающая тем свойством, что композиция f(
ip(x) = arg(e^nx+^) для всехх.
Пусть размерность га = 1 или 2. Нас будут интересовать классы Vm и Um ограниченных и интегрируемых на R функций, имеющих, соответственно, почти всюду и равномерно сходящиеся интегралы Фурье. Мы также рассмотрим классы Vm и Um ограниченных измеримых функций на Ш^, носитель которых лежит в открытом кубе (—7Г, 7г)т, имеющих, соответственно, почти всюду и равномерно сходящиеся ряды Фурье. Под разложением в ряд Фурье функции /(х) с таким носителем мы, естественно, понимаем разложение функции с урезанной до (—7Г, 7г]т областью определения
/Ml W 1-
Мы будем рассматривать лишь линейные (точнее, аффинные) замены независимых переменных, то есть, замены вида х == Ау -+ Ь, где А — невырожденная матрица. Любая такая замена есть композиция поворотов (напомним, что размерность у нас не превышает двойки) вида
/ \ гг / \ Г х\ — у\ cos(a) - 2/2 sin(a) f Л.
(Хі,Х2) = Та(уі1У2) ' S - / >. ) \ (0.6)
v *t «v» і»у уХ2 — у!Sin(a) + т/2cos(a), v '
и замен вида х = Dy + b, где D- диагональная матрица.
В одномерном случае нетрудно показать, что если линейное преобразование х = ay + 6 оставляет носитель функции /(ж), которая принадлежит какому-либо из классов V\ или Ui, в интервале (—7Г, тг), то функция f(x(y)) будет принадлежать тому же самому классу, и что любое линейное преобразование переводит классы Vj и U\ в себя. Почти очевидно также, что в
многомерном случае замена х = Dy -+- b, где D— диагональная матрица, переводит классы Vm и Um в себя.
Мы воспользуемся следующим утверждением, доказанным И. Л. Бло-шанским [12].
Теорема Е (о равносходимости двойных рядов и интегралов Фурье). Пусть функция /(х) принадлежит классу LP(R2) при некотором р > 1 и пусть /i(x) = /(х)Хта(х). Тогда разность RT(x) = Jr(/,x) — 5[г](/і,х) стремится к нулю для почти всех х Є Г2.
Из этой теоремы вытекает, что если такая замена х = Dy + b оставляет носитель функции /(х) Є Рг в кубе (—7Г,7г)2, то функция /(х(у)) будет также принадлежать классу V2.
Оказалось, что замена вида (0.6) не обладает такими свойствами. Следующая теорема показывает, что (в двумерном случае) преобразование поворота на угол а ф kn/2, к Є Z, может испортить равномерную или почти всюду сходимость ряда и интеграла Фурье.
Теорема 0.3. Существует функция двух переменных С?(я, у), непрерывная и интегрируемая на плоскости К2 и обладающая тем свойством, что интеграл Фурье функции G(x, у) расходится по прямоугольникам всюду, но для произвольного угла а R\{k7r/2 : к Є Щ после поворота системы координат на этот угол, (х,у) = Та(,г]), интеграл Фурье полученной функции G^\^,rj) = (Go Та)(f,rj) сходится по прямоугольникам к равномерно «aR2.
Существует также функция двух переменных G(x7y), непрерывная на плоскости R2, имеющая носитель, лежащий в круге {х2 + у2 < 7Г2} и обладающая тем свойством, что ряд Фурье функции G(x,y)\ , ,
расходится по прямоугольникам всюду на носителе G(x,y), но для произвольного угла а Є Л \ {кп/2 : к Є Щ после поворота системы координат на этот угол, (х,у) = Та(,г}), ряд Фурье полученной функции G (> v)\t ef—тгтгі = (G^^oXfjf/)!*- ЄҐ-7Г7ГІ схо^игпся по прямоугольникам к G^ равномерно на (—7Г, 7г]2.
Эта теорема интересна ещё и тем, что она связана с примером Феф-фермана непрерывной функции на Т2, имеющей всюду расходящийся по прямоугольникам ряд Фурье.
В одномерном случае, согласно результатам Л. Карлесона и Р. Ханта [36, 42], справедлива
Теорема F. Если при некотором р > 1 2л-периодическая функция f(x) принадлежит LP(T), то её ряд Фурье сходится почти всюду.
В многомерном случае ситуация существенно отличается для сходимости по квадратам и сходимости по прямоугольникам. Н.Р.Тевзадзе [33] установил следующее утверждение.
Теорема G. Если функция двух переменных f(x, у) принадлежит классу 1/2(Т2), mo её ряд Фурье сходится по квадратам почти всюду.
Теоремы F и G обобщались в работах Ч.Феффермана [39], П.Шёлина [44], Н.Ю.Антонова [4, 5].
Что касается сходимости по прямоугольникам, то здесь известен такой результат Ч.Феффермана [40]:
Теорема Н. Существует непрерывная и 2п-периодическая функция от двух переменных, ряд Фурье которой расходится по прямоугольникам всюду.
Функция G(x,y) при доказательстве теоремы 0.3 строится наподобие примера Феффермана; грубо говоря, мы получаем, что расходимость на множестве положительной меры в случае примера Феффермана неустойчива к поворотам системы координат.
Появляется такой вопрос: а может ли быть так, что функция имеет сходящийся (в каком-то смысле) интеграл (ряд) Фурье, но после любого нетривиального поворота системы координат эта сходимость нарушается. В параграфе 2.2 докажем следующее утверждение, которое даёт положительный ответ для случая равномерной сходимости по прямоугольникам.
Теорема 0.4. Существует функция G{x, у), непрерывная на R2 и равная нулю при х2 + у2 ^ тг2/2, такая, что её интеграл Фурье, а также ряд Фурье функции G(x,y)\x ^, , сходятся по прямоугольникам равномерно, но для произвольного угла а ф kn/2, к Є Ъ, после замены переменных (х,у) = Та(,7}) интеграл Фурье полученной функции G^(^T}) = (G оТа)(,7}) и ряд Фурье функции G^a\^7})\, ,_^, расходятся по прямоугольникам во всех точках отрезка I, который в координатах (х,у) записывается как
{(x,y):y = 0,\x\^3ir/8},
а в координатах (, ту) — как
{(,7/): f = tcosa, п = -tsina, t Є [-Зтг/8,Зтг/8]}.
Естественно, возникает такая задача (которую более естественно формулировать для интегралов Фурье): существует ли непрерывная функция / на R2 с компактным носителем, для которой существует множество А С К
положительной меры, что при повороте системы координат на любой угол а Є Л интеграл Фурье полученной функции /а = / оТа расходится по прямоугольникам на множестве положительной меры?
3. В главе 3 мы будем рассматривать классы функций ограниченной А-вариации. Прежде чем определить эти классы, мы введём некоторые обозначения.
Пусть функция f(x) определена на каком-то промежутке действительной оси. Если А = [с?і,с?г] — это отрезок, содержащийся в области определения функции /, то через /(А) мы обозначим разность /(сЦ — /№).
В соответствии с этим, если функция /(х, у) определена на квадрате [О, I]2, а числа а1, о2 и отрезки A1 = [d{, dj], A2 = [df, df| содержатся в [0,1], то тогда естественны следующие обозначения:
/(о1, А2) = /(а1,d2) - /(а1, d2), /(А1, а2) = /(4 а2) - /(dj, а2),
/(A1, A2) = f(di А2) - f(d\, A2) = /(A1, d2) - /(A1, d?) =
= /(4, dl) - f(d\, eg) - f(dl d\) + f(d\, d2).
Вообще, если для функций д(х\,..., xm-i) от m — 1 переменных уже определено смешанное приращение д(Аъ..., Am_j), то для функций от га переменных полагаем
/(A1,...,Am) = /(Ab...,Am_i,(^)-/(A1,...,Am_1,d^),
гдеАт=№,с^].
Все отрезки мы будем считать невырожденными.
Далее, для заданного отрезка / через ^(/) мы обозначим совокупность всех конечных систем {/„} попарно неперекрывающихся отрезков, содержащихся в /. Пусть задана неубывающая последовательность положительных чисел Л = A = {Aj}^0. А-вариацией функции /(), определенной на отрезке /, называется величина
Var/(.)= sup Ш1.
Это определение было дано Д.Ватерманом [45]. Им также был введён класс ЛБУ = ABV(I) функций одного переменного, имеющих ограниченную А-вариацию на отрезке /.
На последовательность А в этом определении естественно наложить требование
оо 1
ТТ = < (0-7)
*"=0 *
поскольку в противном случае любая ограниченная функция будет иметь конечную А-вариацию. Поэтому в дальнейшем мы будем рассматривать лишь последовательности, для которых условие (0.7) выполнено.
Рассмотрим функцию /, определенную на некотором параллелепипеде J = /і х ... х Іт. Если даны т неубывающих последовательностей положительных чисел {А^}^=1 = {А'}^! = {{AJI^q}^!, для каждой из которых выполнено условие (0.7), то m-мерной (А1, А2,..., Ат)-вариацией функции / (на параллелепипеде /) называется величина
Var /(,...,)= sup > ... > .. г-г—.
Далее, (А1,..., А*)-вариацией функции / относительно набора из к переменных (^1,..-,2^), обозначаемой как V^/1'Л*у*(/), мы назовем точную верхнюю грань fc-мерной (А1,...,А*)-вариации / (как функции от ж^,...,^), при всевозможных значениях остальных переменных.
Полной (А1,..., Ат)-вариацией функции / мы будем называть сумму
vXK.Mf)=Е Е К*.:;^)-
k=l l^ji
Множество функций, для которых эта сумма конечна, называется классом (Л1,..., Am)BV. В случае, когда все последовательности А' совпадают, скажем, A1 = ... = Am = А, мы будем писать просто ABV.
Классы ABV применяются для изучения сходимости рядов и интегралов Фурье. Результаты о различных видах сходимости рядов Фурье, сформулированные в терминах принадлежности разлагаемых функций классам ABV получали Д.Ватерман [45] (сходимость одномерных рядов Фурье), А.А.Саакян [30] (сходимость по прямоугольникам в двумерном случае), А.И.Саблин [31, 32] (сходимость по прямоугольникам в кратном случае) М.И.Дьяченко [20, 16] (сферическая и ад-сходимость в двумерном случае), А.Н .Бахвалов [8, 9] (прямоугольная сходимость в многомерном случае и сходимость по ромбам).
Далее, для данной последовательности А через Ап+ обозначим ее подпоследовательность, начинающуюся с гс-го номера, то есть
\^n+)i = Ап+», і = 0,1... . 15
Определим также функцию
п—1 -
А(») = Ег
Скажем, что функция f(x) одного переменного, принадлежащая классу ABV, непрерывна по А-вариации, если величина
limVar/(.)
n-юо Лп+
стремится к нулю при п —> со. Класс таких функций обозначим через CAV. Вопрос о соотношении между классами ABV и CAV был поставлен в работе [46] Д.Ватерманом. Впервые пример неограниченной последовательности А, для которой классы ABV и CAV не совпадают, был построен Фо-раном и Флейсснером [41]. Некоторые достаточные условия для совпадения или несовпадения этих классов были получены в работах А. И. Саблина [31, 32]. Точнее, им были установлены следующие утверждения.
Теорема I. Пусть последовательность А такова, что предел
Вт *№ = 2.
п-»оо Л(гс)
Тогда классы CAV и ABV не совпадают.
Теорема J. Пусть последовательность А такова, что существует предел
lim ^ = 27.
n-Юо Ап
В таком случае классы CAV и ABV совпадают тогда и только тогда, когда 7 > 0.
Замечание 0.3. Отметим сразу тот простой факт, что если последовательность А положительна и монотонно неубывает, и для какого-то числа а > 1 справедливо предельное соотношение
Нт ^Ы = ат, (0.8)
п-*х> Ап
то найдется такая последовательность А;, эквивалентная А (то есть, 0 < Ci (а) ^ An/Ajj ^ С2{сх) < со при всех п), что для нее соотношение (0.8) будет выполнено уже при всех а > 1. То же самое верно для верхних и нижних пределов.
Необходимое и достаточное условие совпадения одномерных классов ABV и CBV было установлено Ф. Прус-Вишневски [43]. Оно заключается в следующем.
Теорема К. Классы CAV и ABV совпадают тогда и только тогда, когда верхний предел
П-ЮО А{П)
Естественное обобщение понятия непрерывности по Л-вариации на многомерный случай состоит в следующем. Скажем, что функция /(жi,..., хт) непрерывна по (А^.-^А^-вариации, если для любого набора переменных (xjlt Xj2,...,Xjk) ее (Л1+,..., А*+)-вариация относительно этого набора стремится к нулю, когда хотя бы одно из чисел пі,..., njt стремится к бесконечности. Класс таких функций мы обозначим через С(Л1,..., Am)V.
Следующий результат, принадлежащий А. Н. Бахвалову [8], дает хорошее описание этих классов.
Теорема L. Функция f Є С (A1,..., Am)V тогда и только тогда, когда существуют такие неубывающие последовательности неотрицательных чисел fi1,.. -,1*, что при к -» со для всех г выполнено fik = о(Хк), и f Є
В той же работе А. Н. Бахвалов получил следующую теорему о соотношении между классами (Л1,..., Am)BV и C(Al,..., Am)V, применимую для размерности т ^ 3.
Теорема М. Пусть неограниченные положительные неубывающие последовательности Л1,...,Лт, для которых выполнено (0.7), таковы, что для некоторого р Є {1,..., га} выполнено условие
j=0 кфр і
Тогда в классе (Л1,...,Am)BV существует непрерывная функция f, не принадлежащая классу С (A1,..., Am)V.
В главе 3 мы попытаемся выяснить возможность перенесения теоремы J на случай произвольной размерности, большей единицы, при этом мы будем брать последовательности А* одинаковыми, т.е., А1 = А2 = ... = А. По аналогии с теоремой J, мы получим критерий совпадения или несовпадения классов CAV и ABV в том случае, когда существует предел отношения АгпАп при п -> оо. Этот критерий звучит так.
Теорема 0.5. Пусть неубывающая последовательность положительных чисел \, для которой выполнено условие (0.7), такова, что существует предел отношения А2П/АП при п—їоо, равный 27.
В таком случае классы CAV и ABV для размерности т ^ 2 совпадают тогда и только тогда, когда выполнены все из нижеперечисленных условий.
(і), т = 2;
(И), число 7 > 1/2;
(ш). сумма .
с» .J і=0 Лі
При доказательстве мы воспользуемся теоремой М.
Текст диссертации насчитывает 97 страниц.
Общий список литературы состоит из 46 наименований. Из них рабо- > тами автора, непосредственно относящимися к теме диссертации, являются работы [47]-[51].
Результаты настоящей диссертации докладывались автором на семинаре по теории ортогональных и тригонометрических рядов в МГУ под руководством член-корр. РАН, проф. П. Л. Ульянова, проф. М. К. Потапова и проф. М. И. Дьяченко и на семинаре по теории функций действительного переменного под руководством член-корр. РАН, проф. П. Л. Ульянова, проф. Б. С. Кашина, на конференциях "Теория приближений и гармонический анализ" (Тула, 26-29 мая 1998 года), "Современные проблемы теории функций и их приложения" (Саратов, 27 января - 2 февраля 2000 года) и "Современные проблемы теории функций и их приложения" (Саратов, 27 января - 2 февраля 2002 года).
Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору М. И. Дьяченко за постановку задач и постоянное внимание к работе.
Полиномы с монотонными коэффициентами
Поэтому при Pi = рг = Р 2 теорема 0-2 дает тот же результат, что и ее изотропный аналог. Поскольку для изотропной теоремы условие р 2т/(т + 1) = 4/3 существенно (например, для ядра Дирихле Д-в, где В— единичный шар), то теорема 0.2 неулучшаема в том смысле, что 2m/(ra-j-l)— критическое значение для р.
Отметим, что преимуществом теорем 0.1 и 0.2 перед их изотропными аналогами является то, что их можно применять для таких р, у которых некоторые компоненты pi больше (теорема 0.1) или меньше (теорема 0.2) критического значения 2m/(m-f 1).
В главе 2 мы будем изучать влияние поворотов системы координат на сходимость рядов и интегралов Фурье. Вообще, вопрос о том, как влияет замена независимой переменной х — х на сходимость ряда Фурье функции f(x) = f(x(x )), затрагивается в работах многих авторов. (Под заменой переменной мы понимаем гомеоморфизм тора Т или всей плоскости W1 на себя.)
Изучался вопрос о том, как с помощью замены переменной добиться того, чтобы полученная функция имела равномерно сходящийся ряд Фурье. В одномерном случае хорошо известна
Теорема В (Г.Бор). (см., например, [б]). Для любой непрерывной 2ж-периодической функции f(x) существует такой гомеоморфизм г полуинтервала Т = (—7Г, 7г] на себя, что ряд Фурье f(r(x)) сходится равномерно на Т.
А.А.Саакян [29] обобщил этот результат на многомерный случай. Им была доказана Теорема С. Для любого натурального т и произвольной функции /(х), непрерывной naW" и 2эт-периодической по каждой переменной, существует такой гомеоморфизм т(х) тора Т на себя, что ряд Фурье функции /(т(х)) равномерно сходится по прямоугольникам.
Ставился также вопрос о том, какие замены не выводят функции, принадлежащие некоему классу W", за пределы этого класса. Относительно класса А(Т) функций, непрерывных на Г и имеющих абсолютно сходящиеся ряды Фурье, известно такое утверждение.
Теорема D (Бёрлинг, Хелсон). (см., например, [25]). Пусть р : Т — Т — произвольная измеримая функция, обладающая тем свойством, что композиция f( p(x)) принадлежит А(Т) для любой функции f(x) Є Л{Т). Тогда существуют целое число п и действительное число а такие, что. Пусть размерность га = 1 или 2. Нас будут интересовать классы Vm и Um ограниченных и интегрируемых на R функций, имеющих, соответственно, почти всюду и равномерно сходящиеся интегралы Фурье. Мы также рассмотрим классы Vm и Um ограниченных измеримых функций на Ш , носитель которых лежит в открытом кубе (—7Г, 7г)т, имеющих, соответственно, почти всюду и равномерно сходящиеся ряды Фурье. Под разложением в ряд Фурье функции /(х) с таким носителем мы, естественно, понимаем разложение функции с урезанной до (—7Г, 7г]т областью определения
Мы будем рассматривать лишь линейные (точнее, аффинные) замены независимых переменных, то есть, замены вида х == Ау -+ Ь, где А — невырожденная матрица. Любая такая замена есть композиция поворотов (напомним, что размерность у нас не превышает двойки) вида и замен вида х = Dy + b, где D- диагональная матрица. В одномерном случае нетрудно показать, что если линейное преобразование х = ay + 6 оставляет носитель функции /(ж), которая принадлежит какому-либо из классов V\ или Ui, в интервале (—7Г, тг), то функция f(x(y)) будет принадлежать тому же самому классу, и что любое линейное преобразование переводит классы Vj и U\ в себя. Почти очевидно также, что в многомерном случае замена х = Dy -+- b, где D— диагональная матрица, переводит классы Vm и Um в себя. Мы воспользуемся следующим утверждением, доказанным И. Л. Бло-шанским [12]. Теорема Е (о равносходимости двойных рядов и интегралов Фурье). Пусть функция /(х) принадлежит классу LP(R2) при некотором р 1 и пусть /i(x) = /(х)Хта(х). Тогда разность RT(x) = Jr(/,x) — 5[г](/і,х) стремится к нулю для почти всех х Є Г2. Из этой теоремы вытекает, что если такая замена х = Dy + b оставляет носитель функции /(х) Є Рг в кубе (—7Г,7г)2, то функция /(х(у)) будет также принадлежать классу V2. Оказалось, что замена вида (0.6) не обладает такими свойствами. Следующая теорема показывает, что (в двумерном случае) преобразование поворота на угол а ф kn/2, к Є Z, может испортить равномерную или почти всюду сходимость ряда и интеграла Фурье. Теорема 0.3. Существует функция двух переменных С?(я, у), непрерывная и интегрируемая на плоскости К2 и обладающая тем свойством, что интеграл Фурье функции G(x, у) расходится по прямоугольникам всюду, но для произвольного угла а R\{k7r/2 : к Є Щ после поворота системы координат на этот угол, (х,у) = Та(,г]), интеграл Фурье полученной функции G \ ,rj) = (Go Та)(f,rj) сходится по прямоугольникам к равномерно «aR2. Существует также функция двух переменных G(x7y), непрерывная на плоскости R2, имеющая носитель, лежащий в круге {х2 + у2 7Г2} и обладающая тем свойством, что ряд Фурье функции G(x,y)\ , , расходится по прямоугольникам всюду на носителе G(x,y), но для произвольного угла а Є Л \ {кп/2 : к Є Щ после поворота системы координат на этот угол, (х,у) = Та(,г}), ряд Фурье полученной функции G ( v)\t ef—тгтгі = (G oXfjf/)! - ЄҐ-7Г7ГІ схо игпся по прямоугольникам к G равномерно на (—7Г, 7г]2. Эта теорема интересна ещё и тем, что она связана с примером Феф-фермана непрерывной функции на Т2, имеющей всюду расходящийся по прямоугольникам ряд Фурье. В одномерном случае, согласно результатам Л. Карлесона и Р. Ханта [36, 42], справедлива Теорема F. Если при некотором р 1 2л-периодическая функция f(x) принадлежит LP(T), то её ряд Фурье сходится почти всюду. В многомерном случае ситуация существенно отличается для сходимости по квадратам и сходимости по прямоугольникам. Н.Р.Тевзадзе [33] установил следующее утверждение.
Пример первый (ни основе примера Феффермана)
В этой главе мы докажем теоремы 0.3 и 0.4. В параграфе 2.1 мы сформулируем и докажем некое уточнение первой из этих теорем. Доказательству второй посвящен 2.2.
Напомним некоторые обозначения. При всех значениях угла а у нас определено преобразование поворота Для всех неотрицательных R\ и . через Пдьд2 мы обозначаем прямоугольник [-RuRi] х [-#2, #2].
Введем одно новое обозначение: пусть П Нз = Га(Пдьд2) — это прямоугольник Пдьд2, повернутый на угол а против часовой стрелки. Под сходимостью рядов или интегралов Фурье в этой главе мы будем понимать сходимость по прямоугольникам. Пример Феффермана [40, 7] непрерывной на Т2 функции с расходящимся почти всюду рядом Фурье строится с использованием последовательности функций вида {егНкХу}, где числа Н достаточно быстро растут. То же самое справедливо и в нашем случае. Функция (р(х,у), участвующая в следующей теореме, напоминает пример Феффермана. Теорема 2.1. Пусть функция двух переменных р(х,у), х,у Е R, есть сумма равномерно сходящегося ряда: где числа Нь — 22к, а "смещение" 6к равно остатку от деления числа к на 3. Далее, пусть непрерывная и интегрируемая на R2 функция ф(х,у) такова, что для ее преобразования Фурье ф(и, v) справедливо неравенство Обозначим через Ф множество точек (х, у), в которых ф(х, у) = 0. Тогда для функции G(x,y) = Ф{х,у)ір(х,у) справедливы следующие утверждения: (і). Интеграл Фурье функции G(x, у) сходится по прямоугольникам к 0 на множестве точек Ф (сходимость равномерна на любом ограниченном подмножестве ), и расходится во всех остальных точках. В частности, если функция ф нигде не обращается в нуль, то интеграл Фурье G расходится по прямоугольникам всюду. С другой стороны, для произвольного угла а Є R\ {ктг/2 : к Є Z} после поворота системы координат на этот угол, (х,у) = Та(, 77), интеграл Фурье полученной функции C? (f, 77) = (C7oT0)(f, 77) схо дится по прямоугольникам к равномерно на R2. (ii). Предположим дополнительно, что носитель функции ф(х, у) лежит в круге {(х, у) : х2 + у2 (п — б)2}, где число 5 Є (0,7г). Тогда ряд Фурье функции G{xty)\x ,_ сходится по прямоугольникам к нулю равномерно на множестве Ф П (—я-, 7г]2 и расходится всюду на дополнении (—7Г, 7г]2 \ Ф. Однако при повороте системы координат (х,у) = Та(, 77) на произвольный угол a $. {kir/2 : к Z} ряд Фурье полученной функции G(a) ( 77)1 (-7 1= (СГоТа) ,77 ле(-7г,7г] годится по прямоугольникам к G равномерно на квадрате (—7г, я-]2. Для доказательства этой теоремы нам понадобится несколько лемм. Лемма 2.1. Пусть интегрируемая на R2 функция ф(х,у) такова, что ее преобразование Фурье ф(х7у) также интегрируемо на R2. Определим при произвольном Н О функцию /(ж, у) = егНхуф(х7 у). Тогда ее преобразование Фурье f есть свертка: ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим пространства «S(R) и S(R2) бесконечно дифференцируемых быстроубывающих вместе со всеми своими производными функций на R и R2, а также соответствующие пространства обобщенных функций медленного роста S (R) и S (R2) (см., например, [14, глава II]). Мы используем тот факт, что для преобразования Фурье обобщенной функции медленного роста е справедливо равенство Из этого следует, что при любом положительном Н преобразование Фурье Значит, для преобразования Фурье обобщенной функции медленного роста є з от двух переменных: х и у — справедлива формула [е-4—1] (Є, ч) = 2 я« -V. Если мы теперь сделаем замену переменных {х у1) = Tl O y), то форма хп—уп превратится в ху/2, и, в силу инвариантности преобразования Фурье относительно поворотов системы координат, мы получим:
Пример второй (на основе одной теоремы Лузина)
Определим при к = 0,1,2,... числа а = 1 — (l/(fc+ 1)). Рассмотрим функцию г(у), определенную на действительной оси, равную нулю при у = 0 и у = 1, единице при у = 1/2, линейную на отрезках [0,1/2] и [1/2,1] и периодическую с периодом 1. Положим для натуральных N г#(у) = r(Ny). Рассмотрим также последовательность функций {%(х)}/ 1, определенных следующим образом: функция qk{x) равна нулю при х [0, Ojt-i]U[ofc+i, 1], единице при х = ajt и линейна на отрезках [а к-иак] и [оьш]- Определим так же, как и ранее, при N О числа Положим при к 1 Є = l/2fc. Построим последовательность натуральных чисел {iVJt}fco и строго убывающую последовательность чисел {Uk}k 0i лежащих в интервале (0,1), обладающие следующими свойствами.
При всех к 1 для любого семейства неперекрывающихся отрезков {А?} )1 содержащихся в отрезке [0,1], справедливо неравенство: (Hi). При к 1 справедливо: 1/(2ЛГ ) t/)t-i (iv). При fc 1 выполнено: Nk JV"(e: , 7), где N — то число, существование которого доказывается в лемме 3.2. (vi). При всех к 1 для любого семейства неперекрывающихся отрезков {А } ,1, содержащихся в отрезке [0,1], справедливо неравенство: Вначале мы положим, естественно, UQ = 1/2 и NQ = 1. Предположим, что при некотором fc 1 все числа С//, JVj с номерами / к уже построены. Покажем, что при достаточно больших Nk требование пункта (ii) будет выполняться. Действительно, возьмем произвольный набор неперекрывающихся отрезков {AJ}? Q, содержащихся в [0,1]. Тогда количество тех отрезков Aj-, длина которых не меньше Uk-i, не превосходит [l/Uk-i] + 1, а величина Поэтому мы будем иметь: Поскольку число C/)t_i у нас фиксировано, а, в силу условия (3.34), при N — со величина A(N) стремится к бесконечности, то требование (ii) действительно выполняется, когда Nk достаточно велико. Значит, мы можем выбрать Nk таким, чтобы для данного к выполнялись условия (ii), (iii), (iv) и (v). Снова возьмем набор неперекрывающихся отрезков {Aj} и рассмотрим выражение, оцениваемое в пункте (vi). Поскольку при любых yi и у і верно \rNk(yi) - 7 ivAG/2) 2ІУА2/і - 2/2, а сумма длин Д, 1, то мы имеем: Поскольку последовательность {І/Aj} невозрастает, точная верхняя грань в последнем выражении достигается, когда Поэтому верно неравенство: По условию теоремы, последовательность {1/Aj} стремится к нулю, следовательно, выражение также стремится к нулю при Uk — +0. Величина 2Nk/A(2Nk) у нас фиксирована. Значит, W может быть сделано сколь угодно малым при уменьшении C/fc. Выберем Uk Hiin{7fc_i, l/(2Nk)} таким, чтобы величина W не превосходила Єк, и тогда требования пунктов (vi) и (vii) будут выполнены. Так мы построим все члены последовательностей {Nk} и {Uk}-Приступим к построению функции / в случае (а). Мы определим f(x,y) как сумму ряда В силу условия (v) этот ряд сходится равномерно на квадрате [0,1]2 к непрерывной функции. Поскольку rjvfc(0) = gjt(0) = 0, то функция f(x,y) обращается в нуль, когда хотя бы один из ее аргументов равен нулю. Поэтому для того, чтобы доказать, что / принадлежит классу (Л, A)BV, достаточно показать, что ее двумерная (Л, А)-вариация конечна. Пусть {6i}f Q и {AJ}? Q — две системы отрезков, в каждой из которых отрезки не перекрываются и содержатся в [0,1]. Рассмотрим при к 1 множество Qk всех отрезков из семейства {А }, длина которых удовлетворяет неравенству Uk-\ Aj Uk- Пусть Lk — это сумма длин всех отрезков из множества fijt- Ясно, отрезки из Qk не перекрываются между собой, а также с отрезками из П# при всех к ф к, а потому к \ Оценим А-вариационную сумму функции /, соответствующую паре систем отрезков ({,}, Величину Нк мы оценим следующим образом: Из условий (и) и (vi) вытекает, что Щ є и щ є . Далее, величина r,/v4(Aj) min{l, 2iV)tAj}, поэтому мы имеем: Рассуждая так же, как и при доказательстве неравенства (3.41), мы получаем: (в последнем переходе мы воспользовались условием (iv) и леммой 3.2). В итоге мы имеем: Оценим сумму Gk. Пусть при к 1 множество Ок состоит из номеров всех тех отрезков 5{, у которых хотя бы один конец принадлежит интервалу (a _i,ajt+i), а і(к) — это наименьший элемент Ок. Тогда мы будем иметь: Подставляя оценки (3.43) и (3.44) в неравенство (3.42) и учитывая то, что сумма ]Г) єк С, мы получаем: Поскольку для любого номера г как правый, так и левый конец отрезка 5,-принадлежит самое большее двум интервалам вида (ak-i, ajt+i) то это і может принадлежать не более, чем четырем множествам Ок при разных к. Значит, в последовательности {i(k)}k i каждый номер і участвует не более четырех раз. Поэтому, вспоминая о том, что сумма величин L не превосходит единицы, мы получаем: Итак, вариационная сумма не превосходит константы, не зависящей от систем ({,}, {Aj}) следовательно, функция / действительно принадлежит классу (Л, A)BV. Теперь возьмем натуральное число N и зафиксируем его- Рассмотрим при всех к 1 систему неперекрывающихся отрезков {AJ ) 71, заданную следующим образом:
Несовпадение классов ABV и CAV
Ясно, что функция /(ж, у) обращается в нуль, когда хотя бы один из ее аргументов равен нулю. Поэтому для того, чтобы доказать, что / принадлежит классу (Л, Л)БУ, достаточно показать, что ее двумерная (Л, А)-вариация конечна.
Пусть {А },=()" и {А} JQ — две системы отрезков, в каждой из которых отрезки не перекрываются и содержатся в [0,1]. Рассмотрим при к 1 и 5 = 1,2 множество Щ всех отрезков из семейства {А?}, длина которых удовлетворяет неравенству Uk-i А Uk- Пусть Lsjg — это сумма длин всех отрезков из множества Щ. Так же, как и в предыдущем примере, при 5 = 1,2 справедливо неравенство
Оценим (А, А)-вариационную сумму функции /, соответствующую паре систем отрезков ({А?}, {А}): Действуя так же, как и при оценке величины Нк в предыдущем примере, мы получаем: Следовательно, для величины V справедлива оценка: (мы воспользовались неравенством Коши-Буняковского). Ясно, что сумма квадратов ек не превосходит единицы. Так как число у 1/2, то степень 2(1 — j) 1, следовательно, с учетом того, что при s = 1,2 величины Ls,k 1 мы получаем: Итак, вариационная сумма не превосходит константы, не зависящей от систем ({Д},{Д}), следовательно, функция / действительно принадлежит классу (Л, A)BV. Теперь возьмем натуральное число N и зафиксируем его. Рассмотрим при всех к 1 пару ({Aj J-J2}"1» {A/ l ijjv"1) систем неперекрывающихся отрезков, заданных следующим образом: Оценим соответствующую двумерную (Л, Алг+)-вариационную сумму функции/ ,-). Длина любого из отрезков A,- , AJ равна l/(2iVjj), а это число, в силу неравенств (iii) и (vii), не принадлежит интервалу (U Ui-i) при 1фк. Следовательно, ввиду условий (ii) и (vi), справедливы неравенства: Далее, при всех г, j величины г (Аг- ) = nvk(A ) = 1, поэтому, вспоминая определение чисел A(2JV)t), мы получаем: ,2Nk-\2Nk-\ v . оо x - (E )/h(2m -\=\- VA(2jVt) Сумма 5 у нас фиксирована, а величина A(27VJt) стремится к бесконечности при к — -f оо. Значит, справедливо соотношение: 1/2 Jim W(k) Var /(., ), Л-Юо (A,AJV+) и последняя величина не стремится к нулю при iV —» 00. Поскольку функция /(х, у) симметрична по переменным а; и у, то ее двумерная (Ajv+, А)-вариация также не стремится к нулю при N — со. Теорема доказана. В завершении этой главы мы обратимся к случаю размерности т 2. Из только что доказанной теоремы 3.2, а также теоремы М, мы легко получим следующее утверждение, которое и завершит доказательство основной теоремы 0.5. Теорема 3.3. Пусть размерность т 2, а последовательность А такова, что существует предел отношения А2П/АП при п - оо. Тогда существует такая непрерывная функция /(#i, - - , хт) от т переменных, что feABV\CAV. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Действительно, пусть существует предел Пусть 7 1/2. В таком случае применима теорема 3.2. Пусть д(х,у)— это та функция, о существовании которой говорится в ней. Тогда функция /(я?і,..., хт) = д{хи х2) будет искомой. Если же 7 1/2, то взяв число У (1/2,7)» мы будем иметь: і=Ш Как следствие, условие (0.9), которое в нашем случае выглядит так: с» j=0 з будет выполнено. Применение теоремы М завершает доказательство.
