Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1 Теоремы сложения 15
1. Теоремы сложения и функциональное уравнение Леви-Чивиты 15
2. Равномерно-сегментное движение 29
3. Теоремы сложения для векторнозначных и опера-торнозначных функций 37
4. Тангенциальные теоремы сложения 46
ГЛАВА 2. Представления груш и устойчивость функциональных уравнений 62
5. Предварительные сведения и обозначения 62
6. Аппроксимация в G-модулях 66
7. Неизометрические представления и неограниченные функции 74
ГЛАВА 3. Функциональные уравнения в обобщенных функциях 82
8. Теорема сложения для обобщенных функций 82
9. Обобщение теоремы Березина-Карпелевича 89
Список литературы 98
- Теоремы сложения для векторнозначных и опера-торнозначных функций
- Тангенциальные теоремы сложения
- Неизометрические представления и неограниченные функции
- Обобщение теоремы Березина-Карпелевича
Теоремы сложения для векторнозначных и опера-торнозначных функций
Классические функциональные уравнения и привлекали и привлекают постоянное внимание многих математиков, начиная с работ Коши, установившего, что непрерывные их решения -это, соответственно, линейные функции и экспоненты. Среди направлений, в которых эти результаты обобщались, можно выделить следующие: 1) рассмотрение функций на абстрактных (топологических) группах и полугруппах, 2) рассмотрение измеримых решений с ослаблением условий до выполнимости почти всюду, 3) изучение свойств неизмеримых решений, 4) ограничение области определения или области выполнения соответствующих равенств (в частности, на открытые подмножества в группах), 5) изучение соответствующих неравенств (полуаддитивные функции), 6) векторнозначные решения (сюда относятся, в частности, операторнозначные решения на R+ уравнения (2), изучение которых составляет теорию полугрупп операторов, имеющую совершенно необозримый спектр приложений). Достаточно полный обзор этих направлений содержится в работах Мосида ИЗ, Хилле и Филлипса [23, Голдстейна [3]. Сравнительно недавно стали рассматриваться вопросы устойчивости уравнений (1) и (2), т.е. свойства функций, которые, в том или ином смысле "почти" удовлетворяют уравнениям (спрашива ется: верно ли, что они "мало" отличаются от решений уравнений?). Первые результаты здесь были получены в 1941 году Хайерсом [41 который, отвечая на вопрос Улама, показал, что непрерывное ото бражение (где X . Y банаховы пространст ва ), удовлетворяющее условию lf(x )-f(x)-f(y)l 6 , не более, чем на б отличается от линейного отображения. Позднее Бейкер [5] доказал, что для непрерывных отображений полугруппы в банахову алгебру условие где О гомоморфизм. Отметим различие в этих результатах: прежде всего, речь в них идет о разных классах функций, кроме того, второй не носит "количественного" характера. Перенести результат Хайерса на произвольные полугруппы, как выяснилось, невозможно [6 ], так же, как и доказать его "бейкеровскую" модификацию ішр f (xtf) -f(x)-(p - = бор I f (x) -І (Х)Ц± ) даже для скалярнозначных функций. Правильный клаоо полугрупп здесь выделяется условием аменабельности. Основной результат для аменабельных групп (и аменабельных банаховых алгебр, соответственно) был получен Д.Кажданом [7] и Б.Джонсоном [8 ]. Наиболее общие результаты можно найти у А.С.Штерна [6,93. Продолжением результатов Коши об уравнении (1) является и теория коґомологий топологических групп (см.[10]). В самом деле, решения (1) - это одномерные коциклы стандартного коцегшого комплекса (со скалярными коэффициентами). В частности, известные теоремы Ван Эста [11] и Мостова [12] о совпадении гладких, непрерывных и измеримых когомологий, являются прямыми обобщениями результатов о совпадении соответствующих классов аддитивных функций. Основной целью настоящей работы является изучение решений функциональных уравнений вида и некоторых более общих (см. ниже). Здесь I , &i , о с - неизвестные функции на некоторой полугруппе, скалярнозначные или принимающие значения в банаховой алгебре; в последней главе рассматриваются, также, обобщенные функции. Такие уравнения рассмотрены (для абелевых полугрупп) Секелехиди [13] под названием уравнений Леви-Чивиты (см. [15 ],[35], а также [14], где исследуется, как они возникают в краевых задачах для уравнений математической физики); частные случаи уравнения (3) часто изучаются под названием "теорем сложения" (см., например, С161). Взгляд на (3) как на теорему сложения предполагает характеризацию функций f , ДЛЯ КОТОрЫХ Существуют &І ,0с Такие, ЧТО выполняется (3)J по существу, однако, принципиальных различий в этих подходах нет. Несколько слов о связи (3) с (1) и (2). Различие здесь не только в более сложной правой части, но и в числе неизвестных.
Тангенциальные теоремы сложения
В случае "уравнения Пексиде" (4) очевидно, что оно эквивалентно своей специализации (1). Для (2) и уравнения {(х+и) - а(х)-о(і/) это также справедливо, если функции ска-лярнозначны; в операторной ситуации отличия могут быть значительными (см. 3). Как бы то ни было, явное описание решений общего уравнения сильно облегчает задачу исследования его специализаций ( которая уже сводится к нахождению дополнительных зависимостей между параметрами, входящими в общее решение).
Основным методом, систематически применяемым в работе, является использование понятий и объектов теории представленийj позволяющее выявить геометричесісий смысл соответствующих аналитических задач.
В особенности полевным такой подход оказался в вопросах устойчивости (глава 2), которые, таким образом, свежсь к оценке поперечников инвариантных множеств через расстояние до инвариантных подпространств. Опишем содержание работы по главам. В первой главе рассматриваются свойства функций, являющихся решениями уравнений Леви-Чивиты. Основным результатом первого параграфа является Теорема 1.1, устанавливающая, что решения уравнений Леви Чивиты на полугруппе От это в точности матричные функции конечномерных представлений. Для коммутативного случая этот результат был получен в [13]. Его следствием является теорема Леви-Чивиты 135] о решениях уравнения (3) на IR (они являются квазимногочленами). Исследуются такие свойства решений, как ограниченность и непрерывность, и устанавливается их связь с соответствующими свойствами представлений. Здесь же рассматриваются функции, удовлетворяющие уравнениям !(ху) = Ь(а(х),1(у)), (5) где 5 , ь функции со значениями в ЛТП X » Y » а В непрерывная билинейная форма. (Случай уравнения Леви Чивиты включается в (5): он соответствует конечномерным X , ] ). В случае, когда X , Y гильбертовы пространства, а & компактная абелева группа, этот класс функций допускает особенно простое описание: он совпадает с алгеброй всех функций, имеющих абсолютно сходящийся ряд Фурье. Пусть & полугруппа с инволюцией; рассмотрим следующую специализацию уравнения (5) (для гильбертова или эвклидова X = Y ) Теорема 1.12 первого параграфа утверждает, что решения (6) это наборы ( , Z ), где {(X) = (%(&\ , "р , ( ) = Й(аО ., ЇҐ -К-представление G ,а - его циклический вектор. При различных выборах -полугрупп мы получаем описание положительно определенных,или экспоненциально выпуклых функций. В 2 приводится одно "механико-геометрическое" приложение теории уравнений Леви-Чивиты: задача о равномерно-сегментном движении. Рассматривается движение по плоской кривой, при котором за равные промежутки времени проходятся сегменты одинаковой площади. Возможность такого движения является внутренним свойством кривой (в отличие от движения с постоянной секториальной скоростью). Используя результат о непрерывных решениях уравнения Леви-Чивиты на отрезке, удается доказать, что равномерно-сегментное движение возможно лишь по кривым второго порядка (и по прямым). В 3 рассматриваются теоремы сложения для функций со значениями в банаховом пространстве. Пусть j. G- Z (где Z банахово пространство) удовлетворяет условию где Ё билинейное отображение из X х Y в Z Если при этом dim X - d/swi \- У\ , то будем говорить, что допускает теорему сложения длины И Как показывает Теорема 3.1, функция допускает Т.е. длины И тогда и только тогда, когда \(зе)= /І Ті (х) , где % представление G в некотором пространстве К (dim\ К И )-, е К , А линейный оператор из Специализацией уравнения (Т) является уравнение Показывается, что решение этого функционального уравнения связано -с выделением ассоциативных подалгебр неассоциативных алгебр. Пусть Е » Г банаховы пространства, j. - функция на G-со значениями в X (Е, F) , непрерывная в какой-нибудь из операторных топологий. Условимся называть функцию допускающей операторную теорему сложения (О.Т.С.), если существует банахово пространство L и функций Д G-\(/,,F) и В &- Х(Е,) такие, что 1(ху) = й(0С)Б(ц). Естественный класс примеров функций, допускающих 0.Т.С.,составляют "операторные матричные элементы", то есть функции вида где Т (эс) представление полугруппы & в некотором банаховом пространстве L , є X ( Е , /С), Д є X( О Эта конструкция, вообще говоря, не универсальна, однако любую функцию, допускающую О.Т.С., можно представить в виде (8), если рассматривать и представления неограниченными операторами (Теорема 3.6). Заключительная теорема параграфа показывает,что если функция, о которой идет речь в Теореме 3.6, ограничена, то представление Т (}) также можно считать ограниченным.
Неизометрические представления и неограниченные функции
В данной работе Т.Т.С. изучаются путем исследования наборов { ;]-i [2;j и т.д., то есть (9) рассматривается как функциональное уравнение. Вводятся понятия совместно независимых и совместно квадратично независимых систем функций. Основной результат 4 составляет следующее утверждение ( Теорема 4.3 ): Пусть семейства j LUjoj. и І Ш=І совместно линейно независимы. Тогда либо семейства (Ч:]С-І И {2$]І совместно квадратично зависимы, либо, с точностью до множителя, они являются отношениями квазимногочленов, и функция J. также отношение квазимногочленов.
В наиболее важном для приложений случае И = YY\ - Z исследуются квадратично зависимые решения. Устанавливается, что характер квадратичной связи может быть произвольным. Получен общий вид матрицы, обеспечивающий существование линейно независимых систем решений (с квадратичной зависимостью).
Во второй главе рассматривается устойчивость функционального уравнения Леви Чивиты и некоторые связанные с ней вопросы теории представлений.
Пятый параграф содержит предварительные сведения об амена-бельных группах и носит вводный характер. В 6-7 для доказательства устойчивости урьвнвішй л»им=% виты строятся ковариантные аналоги некоторых понятий теории приближений в банаховых пространствах. Пусть X - банахово пространство, в котором определено ограниченное действие локально компактной группы От . Как известно, ft -поперечником произвольного подмножества Д пространства X называется точная нижняя грань ри (/О его расстояний до И -мерных подпространств. Определим ковариантный И-поперечник р ( А) как нижнюю грань расстояний от /1 до & -инвариантных подпространств, размерности которых не превосходят И Ясно, что pn(/0 ph(A) Оказывается (в этом состоит Теорема 6.1). что в случае аменабельной & справедлива оценка противоположного типа: для любого 0 найдется такое о 0 что если (т -инвариантное подмножество Д единичного щара банахова пространства X удовлетворяет условию рп(А) 0 , то 0п (Ю Это влечет устойчивость уравнения (3) в классе ограниченных функций на аменабельной группе, (Теорема 6.3). Абстрактная аппроксимационная схема может быть расширена таким образом, чтобы содержать, в качестве следствия, теорему об устойчивости уравнения (3) для неограниченных функций. Для этого рассматриваются инвариантные подмножества банаховых G-пространств, в которых действие G уже не является ограниченным, но его сужение на некоторое кофинитное подпространство ограничено. Доказывается (Теорема 7.1), что если орбита какого-то элемента содержится в сумме конечномерного и ограниченного подпространств, то она содержится также в сумме ограниченного и G--инвариантного конечномерного подпространства. Как следствие, получается (Теоремы Т.З, 7.4-0, что функция, дающая ограниченную »«не-вязку" при подстановке в (3), отличается от некоторого решения (3) на ограниченное слагаемое. Отметим также, что в случае рефлексивности пространства X предположение об аменабельности Сг можно опустить, используя известный результат Джонсона о когомологиях групповых алгебр (опирающийся, в свою очередь, на теорему Рыль-Нарджевского о неподвижной точке). В Главе 3 рассматриваются решения некоторых функциональных уравнений в классах обобщенных функций. Как обычно, для любой области Л =: [R через ft(JZ) и t) (5Г) обозначаются соответственно пространства основных (финитных бесконечно дифференцируемых) и обобщенных функций. Если (U(J20, о е)С#Л то под а(х)?(у) мы будем понимать функцию р й ( 1 Й1), определенную условием для любых lffc S(J?О-Аналогичный смысл ( обобщенной функции в $і $і ) придается термину f(oc+y) есж [$fJ2) , где J? Sl Sli то через [(ос+сЛ мы обозначаем обобщенную функцию Г б й (ЙііРі)такую что Введенные обозначения позволяют придать смысл равенству (3) как уравнению относительно обобщенных функций J. , &с , 0 і В 8 показано, что всякая обобщенная функция, допускающая теорему сложения типа (3), является квазимногочленом. В 9 обобщается теорема Ф.А.Березина и Ф.М.Карпелевича (см. [21]), классифицирующая ассоциативные алгебры функций на К, инвариантные относительно сдвигов. Центральную роль в доказательстве полноты предложенной ими классификации играло следующее утверждение: каждая функция f 6 С ((R. R ) , удовлетворяющая условию где В(зс,и)- антисимметричная билинейная форма, п ССК1). Этот результат дает явное описание группы Z (К. ,С)гладких 2-коциклов группы (R с комплексными коэффициентами. Мы получаем аналогичное описание обобщенных функций, удовлетворяющих (10), и, в качестве следствия, описание непрерывных и локально ограниченных измеримых функций, удовлетворяювдх втому условию. Это снимает и ограничение гладкости в теореме Березина-Карпелевича. По теме диссертации опубликованы работы.
Обобщение теоремы Березина-Карпелевича
Пусть Е » Г банаховы пространства, j. - функция на G-со значениями в X (Е, F) , непрерывная в какой-нибудь из операторных топологий. Условимся называть функцию допускающей операторную теорему сложения (О.Т.С.), если существует банахово пространство L и функций Д G-\(/,,F) и В &- Х(Е,) такие, что 1(ху) = й(0С)Б(ц). Естественный класс примеров функций, допускающих 0.Т.С.,составляют "операторные матричные элементы", то есть функции вида где Т (эс) представление полугруппы & в некотором банаховом пространстве L , є X ( Е , /С), Д є X( О Эта конструкция, вообще говоря, не универсальна, однако любую функцию, допускающую О.Т.С., можно представить в виде (8), если рассматривать и представления неограниченными операторами (Теорема 3.6).
Заключительная теорема параграфа показывает,что если функция, о которой идет речь в Теореме 3.6, ограничена, то представление Т (}) также можно считать ограниченным.
В 4 рассматриваются функции Г JR.- (П 9 допускающее і апгьн-циальную теорему сложения (Т.Т.С.), то есть такие, что для некоторых iu,u.i, Z:, Uj 1R — С и всех t, S IR Примерами таких функций являются отношения квазимногочленов, эллиптические функции Якоби, некоторые решения уравнения Ламе (см. [19], [20]). В данной работе Т.Т.С. изучаются путем исследования наборов { ;]-i [2;j и т.д., то есть (9) рассматривается как функциональное уравнение. Вводятся понятия совместно независимых и совместно квадратично независимых систем функций. Основной результат 4 составляет следующее утверждение ( Теорема 4.3 ): Пусть семейства j LUjoj. и І Ш=І совместно линейно независимы. Тогда либо семейства (Ч:]С-І И {2$]І совместно квадратично зависимы, либо, с точностью до множителя, они являются отношениями квазимногочленов, и функция J. также отношение квазимногочленов.
В наиболее важном для приложений случае И = YY\ - Z исследуются квадратично зависимые решения. Устанавливается, что характер квадратичной связи может быть произвольным. Получен общий вид матрицы, обеспечивающий существование линейно независимых систем решений (с квадратичной зависимостью). Во второй главе рассматривается устойчивость функционального уравнения Леви Чивиты и некоторые связанные с ней вопросы теории представлений. Пятый параграф содержит предварительные сведения об амена-бельных группах и носит вводный характер. В 6-7 для доказательства устойчивости урьвнвішй л»им=% виты строятся ковариантные аналоги некоторых понятий теории приближений в банаховых пространствах. Пусть X - банахово пространство, в котором определено ограниченное действие локально компактной группы От . Как известно, ft -поперечником произвольного подмножества Д пространства X называется точная нижняя грань ри (/О его расстояний до И -мерных подпространств. Определим ковариантный И-поперечник р ( А) как нижнюю грань расстояний от /1 до & -инвариантных подпространств, размерности которых не превосходят И Ясно, что pn(/0 ph(A) Оказывается (в этом состоит Теорема 6.1). что в случае аменабельной & справедлива оценка противоположного типа: для любого 0 найдется такое о 0 что если (т -инвариантное подмножество Д единичного щара банахова пространства X удовлетворяет условию рп(А) 0 , то 0п (Ю Это влечет устойчивость уравнения (3) в классе ограниченных функций на аменабельной группе, (Теорема 6.3). Абстрактная аппроксимационная схема может быть расширена таким образом, чтобы содержать, в качестве следствия, теорему об устойчивости уравнения (3) для неограниченных функций. Для этого рассматриваются инвариантные подмножества банаховых G-пространств, в которых действие G уже не является ограниченным, но его сужение на некоторое кофинитное подпространство ограничено. Доказывается (Теорема 7.1), что если орбита какого-то элемента содержится в сумме конечномерного и ограниченного подпространств, то она содержится также в сумме ограниченного и G--инвариантного конечномерного подпространства. Как следствие, получается (Теоремы Т.З, 7.4-0, что функция, дающая ограниченную »«не-вязку" при подстановке в (3), отличается от некоторого решения (3) на ограниченное слагаемое. Отметим также, что в случае рефлексивности пространства X предположение об аменабельности Сг можно опустить, используя известный результат Джонсона о когомо- логиях групповых алгебр (опирающийся, в свою очередь, на теорему Рыль-Нарджевского о неподвижной точке).
