Содержание к диссертации
Введение
1 Ортогональные полиномы с производящей функцией экспоненциального типа в одномерном случае 22
1.1 Объединяющий подход к ортогональным полиномам с производящей функцией экспоненциального типа и их мер ортогональности 22
1.2 Операторы рождения и уничтожения в одномерном случае 34
2 Ортогональные полиномы с производящей функцией экспоненциального типа в бесконечномерном случае 40
2.1 Взаимодействующее пространство Фока T-q^H) 41
2.2 Поля Якоби, связанные с производящими функциями экспоненциального типа 52
2.3 Производящая функция 73
2.4 Пространство основных функций (V) 81
2.5 Оператор дх 84
2.6 Дуальное пространство (Т>) и оператор д\ 90
Литература 96
- Объединяющий подход к ортогональным полиномам с производящей функцией экспоненциального типа и их мер ортогональности
- Операторы рождения и уничтожения в одномерном случае
- Поля Якоби, связанные с производящими функциями экспоненциального типа
- Производящая функция
Введение к работе
Теория ортогональных полиномов находится в тесной связи со многими важными областями анализа, см., например, [14, 15]. Ортогональные полиномы связаны с тригонометрическими, бесселевыми и эллиптическими функциями, с непрерывными дробями, важными проблемами интерполирования, а также встречаются в теории дифференциальных и интегральных уравнений. Ортогональные полиномы играют важную роль в теории вероятностей, математической статистике и квантовой механике.
Некоторые классические системы полиномов, такие как полиномы Эрмита, Шарлье, Лагерра, Эйлера, Бернулли и Кравчука, имеют производящую функцию экспоненциального типа, т.е. вида G(x, z) = exp(xty(z))f(z). В современной литературе такие полиномы называются полиномами Шеффера, а в случае, когда ^(z) = z — полиномами Аппелля.
В 1934 году Й. Мейкснер (J. Meixner) доказал, что существует в точности пять классов ортогональных полиномов с производящей функцией экспоненциального типа. Это полиномы Эрмита, Шарлье, Лагерра, Мейкснера и Мейксиера Поллачека, которые ортогональны отно- сительно, соответственно, гауссовской меры, пуассоновской меры, гамма меры, меры Паскаля и меры Мейкснера. Следует также отметить недавнюю работу И. Кубо (I. Kubo) (2004), в которой, в частности, был предложен новый подход к решению проблемы нахождения полиномов с производящей функцией экпоненциального типа, которые ортогональны относительно некоторой вероятностной меры fi на R.
Все пять систем ортогональных полиномов с производящей функцией экспоненциального типа нашли широкое применение в бесконечномерном анализе. Здесь, в первую очередь, следует упомянуть гаус-совский бесконечномерный анализ, в частности, анализ белого шума.
В основе бесконечномерного гауссовского анализа лежит изоморфизм Винера-Ито-Сигала между симметрическими пространством Фока и пространством функций, суммируемых с квадратом относительно гауссовской меры. Этот изоморфизм получается с помощью разложения произвольной функции из Ь2-пространства по бесконечномерным ортогональным полиномам Эрмита.
Как известно, матрицей Якоби называется бесконечная симметрическая матрица, у которой только три центральные диагонали являются ненулевыми. В работах Ю. М. Березанского и В. Д. Кошманенко (1969) классическое понятие матрицы Якоби было обобщено до понятия ноля Якоби, т.е. семейства самосопряженных операторов в пространстве Фока, которые имеют трех-диагоиальную структуру. Примером ноля Якоби является семейство нолевых операторов, т. е. сумма операторов рождения и уничтожения.
Преобразования Фурье по обобщенным совместным собственным векторам коммутирующего поля Якоби дает унитарный изоморфизм между пространством Фока и пространством функций на бесконечномерном пространстве, суммируемых с квадратом относительно спектральной меры поля Якоби. Такой подход был предложен Ю. М. Бе-резанским в 1991 году и активно развивался на протяжении последних лет. С помощью этого подхода удалось получить обобщение гауссов-ского анализа белого шума на случай некоторых негауссовских мер, в частности, пуассоновской меры.
Отметим также другой подход к построению негауссовского анализа белого шум, предложенный Ю. Л. Далецким в 1991 году и развитый в работах С. Альбеверио (S. Albeverio), Ю. Л. Далецкого, Ю. Г. Кондратьева, Л. Штрайта (L. Streit), Ж. Яна (J. Yan), Г. Ф. Уса и др. В основе этого подхода лежит построение пространства основных функций с помощью системы (вообще говоря, неортогональных) бесконечномерных обобщенных полиномов Аппелля и построение пространства обобщенных функций с помощью дуальной системы (не являющейся, вообще говоря, полиномами). При этом обобщенная система полиномов Аппелля имеет производящую функцию экспоненциального типа.
В работе Л. Аккарди (L. Accardi), Й. Г. Лу (Y. G. Lu) и И. В. Воло-вича (1997) было введено понятие взаимодействующего пространства Фока, т.е. пространства типа пространства Фока, но с нестандартным скалярным произведением. В работе Ю. Г. Кондратьева и др. (1998) было доказано, что с помощью ортогональной системы бесконечпо- мерных полиномов Лагерра можно получить унитарный изоморфизм между /^-пространством, построенным по гамма мере, и некоторым взаимодействующим пространством Фока. Бесконечномерный анализ, связанный с гаммой мерой, а также с мерой Паскаля и мерой Мейкс-нера, развивался в дальнейшем в работах 3. И. Хуанга (Z.Y. Huang), Й. By (Y. Wu), Ю. Г. Кондратьева, Ю. М. Березанского, Д. А. Миер-жевского, Н. А. Качановского.
Поскольку система полиномов Эрмита на действительной прямой является системой Аппелля, то соответствующий оператор уничтожения является оператором дифференцирования. Кроме того, было известно, что оператор уничтожения, построенный по полиномам Шар-лье является разностным оператором. Однако явная формула действия оператора уничтожения в остальных случаях ортогональных полиномов с производящей функцией экспоненциального типа оставалась неизвестной.
До настоящего времени оставалось также невыясненным существует ли взаимосвязь между системами ортогональных полиномов, описанными Мейкснером. В частности, не было известно, существует ли общая формула для производящей функции экспоненциального типа, приводящей к ортогональным полиномам. Также не было изучено, существует ли общая формула для преобразования Фурье соответствующих мер ортогональности. Наконец, не была известна взаимосвязь между действием операторов уничтожения, соответствующих различным ортогональным полиномам с производящей функцией экснонен- циального типа.
До настоящего времени во всех работах, связанных с бесконечномерными ортогональными полиномами с производящей функцией экспоненциального типа строился анализ, связанный исключительно со стационарными процессами с независимыми значениями, в то время как нестационарные процессы оставались неизученными. Однако случай нестационарных процессов является важным как для абстрактного анализа, так и для его приложений (например, в финансовой математике).
Кроме того, отсутствовал единый подход к изучению анализа белого шума, связанного с ортогональными бесконечномерными полиномами с производящей функцией экспоненциального типа.
Основной целью работы является построение с единой точки зрения анализа, связанного с ортогональными полиномами с производящей функцией экспоненциального типа в одномерном и бесконечномерном случаях; в частности, построение производящей функции этих полиномов и преобразования Фурье меры ортогональности; в бесконечномерном случае — построение соответствующего поля Якоби во взаимодействующем пространстве Фока, построение преобразования Фурье но обобщенным совместным собственным векторам этого поля Якоби, построение пространства основных и обобщенных функций, а также описание действия соответствующих операторов рождения и уничтожения в функциональной реализации.
В работе используются методы современного бесконечномерного ана- лиза, в частности, бесконечномерного комплексного анализа, а также спектральной теории семейств коммутирующих самосопряженных операторов.
Все основные результаты диссертации являются новыми. Среди них можно выделить следующие наиболее важные: І. В одномерном случае:
Все производящие функции экспоненциального типа для систем ортогональных полиномов, а также преобразования Фурье соответствующих мер ортогональности приведены к единому виду.
Получены и приведены к единому виду явные формулы действия операторов рождения и уничтожения, построенных по системам ортогональных полиномов с производящей функцией экспоненциального типа.
II. В бесконечномерном случае:
Построено новое гильбертово пространство, удовлетворяющее аксиомам взаимодействующего пространства Фока, названное ^-пространством Фока, и в нем построено коммутирующее поле Якоби.
По обобщенным совместным собственным векторам этого поля Якоби построено преобразование Фурье, являющееся унитарным изоморфизмом / между і]- пространством Фока и пространством функций, определенных на ко-ядерном пространстве и суммируемых с квадратом по вероятностной мере [I.
Описано преобразование Фурье меры /і.
Доказано, что унитарный изоморфизм / может быть получен о помощью разложения произвольной функции из ^-пространства по системе ортогональных полиномов с производящей функцией экспоненциального типа.
5. Получены явные формулы действия соответствующих операторов рождения и уничтожения в функциональной реализации.
Работа имеет теоретический характер. Полученные результаты дают основу для дальнейшего развития бесконечномерного анализа, связанного с классом вероятностных мер, изучаемых в диссертации. Они также могут использоваться для моделирования финансовых рынков типа Блэка-Шоулса, в которых вместо экспоненциального броуновского движения используется экспоненциальный (нестационарный) процесс с независимыми приращениями, ведущий себя в каждый момент времени как гауссовский или пуассоновский или гамма процесс или процесс Паскаля или Мейкснера.
Результаты диссертации докладывались на международной научной конференции International Gnedenko Conference (Киев, 2002), на международной научной конференции "Топологические и вариационные методы нелинейного анализа и их приложений" (Воронеж, 2005), на семинаре Академика НАН Украины Ю.М. Березанского Института математики НАН Украины (Киев, 2005), на семинаре физико-математического факультета Белгородского государственного университета (Белгород, 2005).
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [12], [13], [51], [52], [53].
Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых на восемь параграфов и списка литературы.
Первая глава посвящена описанию ортогональных полиномов на R с производящей функцией экспоненциального типа и их мер ортогональности с единой точки зрения, а также изучению соответствующих операторов рождения и уничтожения.
В первом параграфе описывается классический результат теории ортогональных полиномов, полученный Мейкснером, и доказывается, что все приведенные Мейкснером формулы являются частными случаями общих формул.
Предположим, что функции f(z) и Ф(^) являются аналитическими в некоторой окрестности нуля в С и /(0) = 1, Ф(0) =0, и Ф'(0) = 1. Тогда, выражение вида G(x, z) := ехр(я;Ф(г))/(г) = \± zn (1.1.1) п=0 П- порождает систему полиномов Р(п\х), п Є Z+ := {0,1,2,...}, с коэффициентом при старшем члене равным 1. Функция G(x,z) называется производящей функцией экспоненциального типа, а полиномы, удовлетворяющие (1.1.1), называются полиномами Шеффера или полиномами с производящей функцией экспоненциального типа. Определим числа а, /З Є С такие, что а+0=-\, aP = rj, (1.1.5)
Основным результатом этого параграфа является теорема, показывающая, что все, полученные Мейкснером формулы, являются частными случаями некоторых общих формул, имеющих место для всех параметров а и (3.
Теорема 1.3 Для любых параметров а и (3 имеют место следующие выражения: преобразование Фурье меры /і имеет вид: эи-2 , ап-3 exp(iux)dii(x) (а(3)т-1 = exp і к Y^ {-г)пип рп-г+рп-*а + ... + 0; производящая функция имеет вид: G(x, z) = exp Ф+т «"-' + ---+/3 - fc 5^ — ( a"-2 + a""3^ + + /?n_2 u функции ^(z), Ф ^z) имеют вид:
00 n / ф(г) = ;г + ^-Га"-і + ... + /7 -"- (-5^)(-- lfc n~n+l -/9)n2
Все, выше перечисленные формулы, справедливы для всех х Є Ш и всех z из некоторой окрестности нуля.
Во втором параграфе исследуется действие операторов рождения и уничтожения, заданных с помощью соответствующих ортогональных полиномов.
Рассмотрим линейные операторы д и д\ определенные на функциях от а; Є К. следующим образом: і (&Р(п))(х) := пР^п~1\х), п Є N, {дР^){х) := О, (1.2.1) (д^Р^)(х) := P(n+1)(z), п Є Z+. (1.2.2) д^ и 9 называются, соответственно, оператором рождения и уничтожения.
Обозначим через х- оператор умножения на переменную х. Согласно формулам (1.1.5), (1.2.1) и (1.2.2) мы имеем следующее представление х- через операторы д и д^: х- = 8і + Хд^д + ф^д2 + кд.
Обозначим через D дифференциальный оператор ^. Хорошо известно, что в гауссовском случае имеет место равенство д = D и соответственно д^ = х — D. Основным результатом второго параграфа является получение явных формул действия операторов dud** в общем случае.
Теорема 1.4 Для а и /3, заданных выше, определим вероятностную меру z>(a, (3) на R через её преобразование Фурье ехр(гих)й(а, (3, dx) = exp ( — iu(a + /?) (-і)пип + 2a(3j2 „,_i L „ о
В частности, если а(3 = ц > 0, то и{а,(3) является мерой ортогональности полиномов с производящей функцией экспоненциального типа (полиномов Шеффера), которые удовлетворяют следующему рекуррентному соотношению: хР(п\х) = Р{п+1){х) -{а + р){п+ 1)Р(п)0) + а/3п(п + 1)р(п-1}(а;), и если (3 = 0, то й(а, (3) = є_а — мера Дирака в точке —а. Тогда (а/)И = ff^ + ^-fixK(a,p,ds). (1.2.6)
Заметим, что в гауссовском случае, при а = (3 = 0 и йа^ = 0, правая часть выражения (1.2.6) понимается как f'{x).
Далее, выписывается явное действие оператора рождения д^. Сначала доказывается следующая теорема:
Теорема 1.5 Для любого z из некоторой окрестности нуля в Ж, имеем: dVz = ехг, _ e-z(a-fi) Л + « (ez(a-/J) _ Л \ _J_ (е*(«-0) _ ^ V а — рк /) а — рх у (1.2.12) где ггрм а = (3 формула понимается в предельном смысле.
Определим линейные операторы Va и Ua, а Є Ш, а =4 0, следующим образом: (Vo/)(x) := /(*+»)-/(*), (Uaf)(x) := f(x - а). (1.2.16)
Следствие 1.1 В гауссовском случае, при а = (3 = О д] = х - D, (1.2.17) в пуассоновском случае, при а ф О, /в = О af = x(aVa + 1)- Va, (1.2.18) в -гамма случае, при а = (З ф О д* = x(D - I)2 - D(D - 1), (1.2.19) и, наконец, в случае Паскаля и Мейкснера, при а Ф (3, а(3 ф О, tf = х{1 + aVa-tfUa-fi -(1 + aVa^)Va-pUa.p. (1.2.20)
Вторая глава посвящена описанию ортогональных полиномов с производящей функцией экспоненциального типа и их мер ортогональности, а также изучению соответствующих операторов рождения и уничтожения в бесконечномерном случае.
В первом параграфе строится новое пространство типа пространства Фока, которое мы называем 77-пространством Фока, и показывается, что это пространство является взаимодействующим пространством Фока.
Пусть X — полное, связное, ориентированное, С (некомпактное) риманово многообразие и В(Х) — борелевская сг-алгебра на X. Предположим, что а — неатомарная, невырожденая мера Радона на (X, В(Х)). Введем обозначение 7i := L2(X,a). Зафиксируем произвольные гладкие, ограниченные функции а:Х^Си,8:1->С такие, что \{х) := -а(х) - /3(х) Є R,
1){х) := а(х)Р(х) Є К, т](х) > 0 для всех х Є X.
С помощью функции 7] мы вводим над пространством 7Ї новое пространство ^(Н), которое называем //-пространством Фока. В случае, когда г) = 0, пространство Т^І^Н) совпадает со стандартным пространством Фока.
Обозначим через V ядерное пространство всех действителыю-знач-ных бесконечно дифференцируемых функций на X с компактным носителем. Пусть Т>с обозначает комплексификацию пространства Х>, а <8>. — симметрическое тензорное произведение. Тогда топологическая прямая сумма пространств Т>^п, п Є Z+, которую мы обозначаем ^finC^), образует плотное множество в ТЦ^К). Ha^fin(P) стандартным способом вводим оператор рождения а+() Є V. Далее доказываем, что сопряженный оператор к а+()> обозначаемый а~(Оі содержит в своей области определения T&n(V) и, более того, в~(0 = аГ(0+О2"К)> где аї() является стандартным оператором уничтожения, а оператор из (0 определяется как (МО/(П))(*Ь ,*„-!) = п(п - 1) (r](xi)^(xi)f{n)(xh хих2,..., ж„_і))~, где f^ Є Dn, а (")~ обозначает симметризацию функции. Оператор а_() можно интерпретировать как оператор уничтожения в пространстве ^(Н). Далее доказывается,что пространство tF^i^i) является вза-имодействуюпщм пространством Фока.
Во втором параграфе вводится поле Якоби специального вида на 77-пространстве Фока Тт)(Щ) и строится преобразование Фурье по обобщенным совместным собственным векторам этого поля Якоби.
Для любого Є Х>, введем стандартным способом нейтральный оператор а() на .Т^пО^)- Далее, на пространстве FfaSP) определим семейство операторов а(0:=а+(0 + а(АО+а-(0, Є Є Р. Доказана следующая теорема:
Теорема 2.2 Операторы а(), Є Т>, с областью определения J-&n{T)) являются существенно-самосопряженными в пространстве Tv{l-C) и их замыкания а~() образуют семейство коммутирующих самосопряженных операторов, где коммутация понимается в смысле коммутации их разложений единицы.
Семейство операторов [сГ{^))^ту называется нолем Якоби во взаимодействующем пространстве Фока J-^CH).
Теорема 2.3 (і) Существует единственная вероятностная мера ц на пространстве (T>r,Ca(V')), где Са(ТУ) — цилиндрическая о-алгебра на ТУ и единственный унитарный оператор
I: ^{Н) -+ L2{V ->С,/л) такой что, для любого Є Т>, образ а~() при действии оператора I является оператором умножения на функцию (,) в L2(V' —> С,//) u/Q=l, где Q :=(1,0,0,...). (ii) Унитарный оператор І задаётся на плотном множестве Т^п(ТУ) формулой ^n(^) э / = (/W)-0 ~ // = (/ям = x>en:, /(n))' где :ujn: є ) n определяется следующей рекуррентной формулой :^(^+1): = :^(^):(^,...,^+0 = (:шп:(жь ..., хп)ш(хп+і))~ - n (:0/^^:(^1,..., xn-i)l{xn)5(xn+i - хп)У - п(п - l)n(xn)(:ujin~V:(xi,.. .,хп-і)д(хп - хп-і)6(хп+і - ж„))~ - X(xn)n(:ujn:(xh ..., xn)5(xn+i - ж„))~, ., ,o. _ 1 .. ,i. _ ,, .Ct/ . — 1, .U/ . — Lu.
Здесь 6(-) обозначает дельта-функцию в нуле.
Для простоты обозначений в дальнейшем комплексное пространство 1?{Т>' —» С,/і) будем обозначать L2(X>',/z).
Теорема 2.4 Преобразование Фурье меры /і из Теоремы 2.3 имеет следующее представление Леви-Хинчина: = ехр / / (е"«*) _ 1 _ iS{x)) v(a{x), /3(х), ds)do~(x) L Jx J ж Є >. Здесь v(a,(3,ds) := -^i>(a,l3,ds), а мера ї>(а,Р, ) определяется также, как в Теореме 1.4.
Преобразование Фурье меры ц задаётся в некоторой окрестности нуля следующей формулой: ^е^>фИ=ехр[^ (Х{а - ( 1<2 + Х{«/о,/?=о} ( e~iat - 1 + іаП а'2 ( 1 , (ae-W - (Зе~іа^ + xw,*m) { - -p ig| ^ / OO / o\m_l / oo + x{«=nm ( - ^ + —2 lQg (1 + *а0))d(T (a^)m-7f H)T L,/Atr=1 4n=2 (Г2 + Г3« + - + ап-2) da (2.2.17)
Наконец, получаем следующий результат, являющийся стандартным, с точки зрения теории полей Якоби.
Следствие 2.1 Имеет место следующее равенство:
Здесь V(T>') обозначает мноэюество непрерывных полиномов на ТУ. Пусть 7-^,7((2^) обозначает замыкание множества Vn(T>') в L2(V,fi), и пусть (L2) обозначает ортогональную разность W^eViW eL2(V',u). Тогда, ^,/0 = 0(^.)-
Наконец, пусть Р^п обозначает ортогональный проектор l?((D',[i) на {L2). Тогда, для любого /^ Є Т)^п, выполняются следующие ра- венства: P,A(-0nJ(n))) = (---^-,1^) /"**
I(jf\H)) = (Ь%п).
В третьем параграфе второй главы получена производящая функция полиномов (:ып:, п), Є V.
Теорема 2.5 Имеет место следующее выраэюение: ^n! L Jx V + Х{а^о,/з=о} ( - —2 bg (1 - а) - - J + X{a^0}(^log(l-^)+(I3^) + X{f^^}—log [{1_а^/а))d + (^, Х{а=р=0} + Х{а^0,/3=0} ( ~ ~ bg(l - О J (2.3.1) + (^+Z) п (аП-1+а"_2/?+' *'+^1-1)
Здесь для любого фиксированного г Є Т, существует такая окрестность нуля в Х>с, что (2.3.1) справедливо для всех и Є 7і-Т и всех
Аналогично (2.2.17), (2.3.1) найдены формулы для функций Ф(-) и
Целью четвертого параграфа является построение ядерного пространства (Т>) основных функций на V, которое является топологически вложенным в Ь2(Т>',ц).
В пятом параграфе получена явная формула действия оператора уничтожения дх. Который для любого х X определяется следующим образом: дх(:и;т:, /W) := п{^^1\ f{n)(x, )>, /(п) Є >Jf
Теорема 2.6 Для всех ф Є (D) и и Є V: (адм=/*^«іМ5(а(і),№)іЛ)і где x Є X и мера v определена как в Теореме 1.4.
В шестом параграфе второй главы описываем пространство (D)*, дуальное к (V), и получаем явные формулы действия оператора рождения 0|. Эти формулы являются бесконечномерными обобщениями формул (1.2.12)-(1.2.20).
Объединяющий подход к ортогональным полиномам с производящей функцией экспоненциального типа и их мер ортогональности
Рассмотрим следующую задачу: предположим, что функции f(z) и Ф(г) являются аналитическими в некоторой окрестности нуля в С и /(0) = 1, Ф(0) = 0, и Ф (0) = 1. Тогда, выражение вида порождает систему полиномов Р(п\х), п Є Z+ := {0,1,2,...}, с коэффициентом при старшем члене равным 1. Определение 1.1 Функция G(x, z) = ехр(жФ(z)) f (z) называется производящей функцией экспоненциального типа, а полиномы, удовлетворяющие (1.1.1), называются полиномами Шеффера или полиномами с производящей функцией экспоненциального типа.
Определение 1.2 В случае, когда Ф(-г) = z, система полиномов Шеффера называется системой полиномов Аппелля. Используя современную терминологию, сформулируем следующую задачу, которая была поставлена и решена Мейкснером в [46]: найти все полиномы, которые ортогональны относительно некоторой вероятностной меры fi на (H&,#(]R)), где Б(Ш) — борелевская сг-алгебра на R. Напомним классическую теорему Фавара (см., например, [1, 27]). Теорема 1.1 (Фавар) Система полиномов Р п\х), п Є Z+J с коэффициентом при старшем члене равным 1, является ортогональной относительно вероятностной меры на (R, /3(М)) тогда и только тогда, когда она удовлетворяет следующей рекуррентной формуле: где an, n Є Z+, — любые действительные числа, bn, п Є N, — любые положительные числа. Следующая теорема была доказана в [46] (см. также [42]). Теорема 1.2 Система полиномов Шеффера Р№(х), п Є Z+, является ортогональной, относительно некоторой вероятностной меры /І на (Ж, В(Ш)) тогда и только тогда, когда эти полиномы удовлетворяют следующей рекуррентной формуле: Легко видеть, что если / = 0 в уравнении (1.1.3), то соответствующая мера ц - центрированная, т.е. ее первый момент равен нулю: fRxd[i(x) = 0, тогда как I ф 0 соответствует сдвигу меры // на /.
В дальнейшем мы будем рассматривать только центрированные меры, т.е., случай, когда 1 = 0. Далее, определим числа a, J3 Є С как решения уравнения или, что эквивалентно, где в случае п = 0 и Л ф 0 мы полагаем а = —А и (3 = 0. Очевидно, что условие А I, г; 0 выполняется тогда и только тогда, когда или а, (З Є К и а, (3 — одного знака, или Гт(о;) 0 и а, /? — комплексно-сопряженные числа. Можно выделить следующие пять случаев [46] (заметим, что некоторые из ниже приведенных формул, мы сразу записываем в удобной для нас форме): I. (Гауссовский случай) а = /3 = 0 (что соответствует Л = г) = 0). В этом случае /І. является центрированной гауссовой мерой Преобразование Фурье этой меры задается следующем выражением и функция Ф( ) задается как Полиномы (Р(")(:г))10 являются полиномами Эрмита и их производящая функция имеет следующий вид: Заметим также, что и полиномы Эрмита принадлежат к классу полиномов Апиелля. II. (Пуассоновский случай) а ф 0, (3 = 0 (что соответствует Л Ф 0 и 7; = 0).
Сейчас /х — центрированная мера Пуассона где для любого aGlo обозначает меру Дирака с массой в точке а. Преобразование Фурье меры Пуассона її суть а Далее, в некоторой окрестности нуля (Р(п\х))=0 в данном случае полиномы Шарлье, имеющие производящую функцию следующего вида: III. (Гамма случай) a = (3 ф 0 (что соответствует Л = —2« є Ш, г] = си2 0). /І является центрированной гамма-мерой /і в некоторой окрестности нуля задается следующей формулой: где предполагается, что Im(o;) Im(/3). Выражения для преобразова-пия Фурье меры /і, функции {z), Ф-1(г) и G(x, z) имеют ту же форму, что и в случае IV, но с комплексно-сопряженными о;, (3. (Р (X))%LQ полиномы Мейкснера второго типа или, используя другую терминологию, полиномы Мейкснера- Поллачека. Важно отметить, что в каждом из выше описанных случаях, в некоторой окрестности нуля, функция f(z) в (1.1.1) равняется 1/L(ty(z)), где L(z) преобразование Лапласа меры ортогональности /і: (Заметим, что L(z) определяется формальной заменой ги в соответствующих формулах преобразования Фурье меры /І на z.) Таким образом, Как мы видим, формулы для преобразования Фурье меры /і, производящей функции G(x,z) и функций Ф( ), Ф-1( ) при качественно различных значениях параметров а и /3 принимают различные формы. Тем не менее, в следующей теореме мы покажем, что все приведенные выше формулы являются частными случаями некоторых общих формул, имеющих место для всех параметров а и (3.
Операторы рождения и уничтожения в одномерном случае
Рассмотрим линейные операторы д и д\ определенные на функциях от х Є Ж следующим образом: Мы подробно не останавливаемся на точном определении класса функций, на которых действуют операторы д и д (это легко можно сделать но аналогии с бесконечномерным случаем, см. Главу 2). Операторы д и д играют роль оператора уничтожения, соответственно, рождения в одномерном случае. Согласно формулам (1.1.1) и (1.2.1), получаем Более того, из выражения (1.1.19) вытекает, что для z из некоторой окрестности нуля, выполняется следующее соотношение откуда получаем Обозначим через D оператор дифференцирования . Тогда, согласно формуле (1.2.3), мы неформально имеем Замечание 1.1 Очевидно, что формула (1.2.4) справедлива для любой системы полиномов Шеффера.
В частности, для любой системы полиномов Аппелля мы имеем д = D. Часто полиномы Аппелля определяются посредством последнего равенства. Более того, в гауссовском случае хорошо известно, что д = х — D. Сейчас мы хотели бы записать явные формулы действия операторов д к д в общем случае. Теорема 1.4 Для а и (5, заданных выше, определим вероятностную меру й(а, /3) на R через её преобразование Фурье В частности, если aft r) 0, то й(а,/3) является мерой ортогональности полиномов с производящей функцией экспоненциального типа (полиномов Шеффера), которые удовлетворяют следующему рекуррентному соотношению: и если Р = О, то г (а, Р) = Є-а. Тогда Замечание 1.2 В гауссовском случае, при а = (3 = 0 и = Q, правая часть выражения (1.2.6) понимается как f (x). Доказательство Теоремы 1.4. Пусть f(x) = exz, где zGR. Тогда мы имеем (1.2.7) Согласно формулам (1.2.3) и (1.2.7), для того, чтобы доказать утверждение теоремы, достаточно показать, что В гауссовском случае, при а = (3 = 0, очевидно, что правая часть выражения (1.2.8) равна z, что есть Ф_1(,г:). В иуассоновском случае, при а ф 0, /? = 0, получаем (1 — е_а2)/о;, что есть Ф_1(г). Наконец, в случае о Р 0 мы поступим следующим образом. Согласно [50], имеем Дифференцируя последнее соотношение по z, мы получаем (1.2.8), что и завершает доказательство теоремы.
Рассмотрим оператор умножения на переменную х, который будем обозначать через х-. Из формулы (1.1.3) с Z = 0 получаем хР(п\х) = P{n+1\x)+n\P{n){x) + (nk+rin(n-l))P{n-l)(x), п Є Z+. (1.2.10) Отсюда, согласно формулам (1.1.4), (1.2.1) и (1.2.2), мы имеем следующее представление х- через операторы уничтожения д и рождения Теорема 1.5 Для любого z из некоторой окрестности нуля в Ш, имеем: (1.2.12) где при а = (3 формула понимается в предельном смысле. Доказательство. Используя (1.1.4) и (1.2.11), можем записать оператор умножения на
Поля Якоби, связанные с производящими функциями экспоненциального типа
Определим, так называемый, нейтральный оператор а(), ЄЕ Т , на rfin( )) следующим образом: Легко видеть, что нейтральный оператор а() является эрмитовым оператором в ТЦ{ К). Теперь мы можем определить следующее семейство операторов на ЙП ). По доказанному выше, операторы а() является эрмитовым оператором в FTJCH) Теорема 2.2 Операторы а(), Є , с областью определения п(Т ) являются существенно-самосопряженными в пространстве J- Ti) и их замыкания а () образуют семейство коммутирующих самосопряженных операторов, где коммутация понимается в смысле коммутации их разложений единицы. Доказательство. Покажем, что каждый f(n Є Т п является аналитическим вектором для любого а(), т-е- РЯД вида сходится при некотором положительном t 0. Пусть / ") Є J= \U), тогда где для функции /:1иС мы обозначаем /оо := suPxex 1/0 01-Следовательно, і=і здесь каждый оператор Yj,m() является композицией п операторов, каждый из которых есть или а+() или а() или а (). Согласно формулам (2.2.3)-(2.2.5) получаем: Ряд в правой части (2.2.6) сходится при О t (maxCf)-1. Используя критерий Нельсона об аналитических векторах (см., например, [11, Раздел Х.б]), мы заключаем, что операторы а() являются существенно-самосопряженными. Далее, покажем, что операторы а() коммутируют на Т&п(Т ). Стандартные операторы рождения a+(i) и a+fa) очевидно коммутируют. Следовательно, коммутируют и их сопряженные операторы a (i) и а (&)
Далее, нейтральные операторы a(i) и а0(2) коммутируют, поскольку операторы умножения на Ai и А г коммутируют на Т . Сейчас мы покажем, что Последнее выражение симметрично относительно і и г- Таким образом, произвольные a(i) и а( ) коммутируют. Так как операторы а () являются существенно-самосопряженными на гйп(1)), множество (ад для любого i, г Є Р, оператор имеет плотное множество аналитических векторов. Таким образом, согласно [3, Глава 5, Теорема 1.15], операторы а (), Є V, коммутируют в смысле разбиения единицы.
Следуя терминологии Березанского, см., например, [21, 23, 24, 25], семейство операторов (а ())Єх будем называть полем Якоби во взаимодействующем пространстве Фока ТЧ((Н). Нашей следующей задачей является построение преобразования Фу-рье по обобщенным совместным собственным векторам поля Якоби (а (ОЫ . Напомним некоторые факты из спектральной теории семейств самосопряженных коммутирующих операторов, подробнее см. [3]. Зафиксируем ядерную цепочку комплексных пространств Ф Э Н Э Ф и ядерную цепочку действительных пространств Ф ЭСЭФ. Пусть А — (А єф — семейство самосопряженных коммутирующих операторов в Н, которые существенно самосопряжены на Ф. Полагаем, что Ф С Dom(A ), f Є Ф, А$ \ Ф : Ф Ф непрерывно. Предположим, что существует ПбФ- сильный циклический вектор семейства (А еф, т.е. множество {А1Й)Ат (б).--A"(n)ft, пєМ, mi,...,mnGZ+J Є Ф} является тотальным множеством в Ф, т.е. его линейная оболочка плотна в Ф. Пусть для любых / Є Ф и Є Ф — линейное непрерывное отображение. , Напомним, что цилиндрической (Т-алгеброй на Ф , обозначаемой че- Тогда па пространстве (Ф ,Са(Ф )) существует вероятностная мера v такая, что для і/-почти всех Ф существует единственный обобщенный совместный собственный вектор Р{ф) Ф семейства самосопряженных коммутирующих операторов А — (Л ) Єф с собственным значением (ф, ), т.е. для любых / Є Ф, Є Ф, (Р(Ф),АШ) = (ф,ц)(Р(ф),!), такой, что (Р(ф),0) = 1; и существует оператор X: Н - 2(Ф - С, и) такой, что для любого / Є Ф С if, Є Ф X расширяется по непрерывности до унитарного оператора. Более того, имеем: где (-,)" — оператор умножения на (,) Таким образом, подводя итог всему вышесказанному, можем заключить, что существует единственная вероятностная мера v на пространстве (Ф , ССТ(Ф )) и единственный унитарный оператор X : Н —» Ь2(Ф — С, і/) такой, что для любого Є Ф оператор А() при действии оператора X переходит в оператор умножения на функцию (, f) ві2(Ф»иІО = 1. Применяя вышеизложенные классические результаты в случае нашего поля Якоби (а ())Єх , получаем следующую теорему. Теорема 2.3 (і) Существует единственная вероятностная мера fi па пространстве (V,Ca(T) )) и единственный унитарный оператор такой, что для любого Є Т , образ а () при действии оператора I является оператором умножения на функцию (,) в L2(V —» С,//) и Л7= 1, gdeft := (1,0,0,...). (ii) Унитарный оператор I задаётся на плотном множестве Т&п(Т ) формулой Здесь 6(-) обозначает дельта-функцию в нуле. Для простоты обозначений в дальнейшем комплексное пространство L2(V — С,/І.) будем обозначать L2(D ,/x). Замечание 2.2 Как будет видно из доказательства Теоремы 2.3, унитарный оператор I является преобразованием Фурье по обобщенным совместным собственным векторам семейства самосопряженных коммутирующих операторов (а ())Єр. Замечание 2.3 Учитывая Теорему 2.3, для любого / = (/ ) L0 е Trfti) через J2=o(:u;n:i / ) будем обозначать элемент пространства L2(V,/J), определяемый как //. Доказательство Теоремы 2.3. Так как функции Л и 77 гладкие на X, мы делаем вывод, что для любых Є Т и п Є N операторы а+(), а(А) и а () действуют непрерывно из п в V Sn , Т П, Т с , соответственно. Следовательно, для любого Є Т , а() действует непрерывно на TfcSV). Далее, для любого фиксированного / Є finC ), отображение является линейным и, очевидно, непрерывным. Наконец, а+() является обычным оператором рождения.
Следовательно, согласно [47], утверждение (і) верно, и более того, унитарный оператор / является преобразованием Фурье по обобщенным собственным векторам семейства коммутирующих операторов (а ())Є , см. ниже. Обозначим через п(Т ) дуальное пространство к J-an(2 )- Поскольку ТйпФ) — топологическая прямая сумма пространств Т п, пространство йп(Т ) — топологическое произведение дуальных пространств Т п (см., например, [3, Глава 2, 5]), т.е. каждый элемент F Є Т п{Т ) имеет вид F = (F ) lo гДе F \fn и дуальное спаривание между F и произвольным / = (/(п)) 0 Є Р пф), обозначаемое через ((F, /)), задается формулой Напомним, что согласно проекционной спектральной теореме для /z-п.в. и Є V существует единственный с точностью до множителя F(u) Є РЦР) такой, что РХО/» = w,0« /», / Є Яь( ), (2.2.12) т.е. F(u) является обобщенным совместным собственным вектором семьи самосопряженных коммутирующих операторов (а ( )) ех . Более того, оператор / задается на FfoSP) формулой Поскольку Ш = 1, мы заключаем из (2.2.13), что F()(o ) = 1 для /І-П.В. а; Є О, что однозначно определяет F(CJ). Далее, поскольку а() переводит действительные элементы пространства J-ftnCD) в действительные элементы, из (2.2.12) следует, что F(u) — действительный элемент пространства п(Т)).
Производящая функция
До настоящего времени оставалось также невыясненным существует ли взаимосвязь между системами ортогональных полиномов, описанными Мейкснером. В частности, не было известно, существует ли общая формула для производящей функции экспоненциального типа, приводящей к ортогональным полиномам. Также не было изучено, существует ли общая формула для преобразования Фурье соответствующих мер ортогональности. Наконец, не была известна взаимосвязь между действием операторов уничтожения, соответствующих различным ортогональным полиномам с производящей функцией эксноненциального типа. До настоящего времени во всех работах, связанных с бесконечномерными ортогональными полиномами с производящей функцией экспоненциального типа строился анализ, связанный исключительно со стационарными процессами с независимыми значениями, в то время как нестационарные процессы оставались неизученными. Однако случай нестационарных процессов является важным как для абстрактного анализа, так и для его приложений (например, в финансовой математике). Кроме того, отсутствовал единый подход к изучению анализа белого шума, связанного с ортогональными бесконечномерными полиномами с производящей функцией экспоненциального типа. Основной целью работы является построение с единой точки зрения анализа, связанного с ортогональными полиномами с производящей функцией экспоненциального типа в одномерном и бесконечномерном случаях; в частности, построение производящей функции этих полиномов и преобразования Фурье меры ортогональности; в бесконечномерном случае — построение соответствующего поля Якоби во взаимодействующем пространстве Фока, построение преобразования Фурье но обобщенным совместным собственным векторам этого поля Якоби, построение пространства основных и обобщенных функций, а также описание действия соответствующих операторов рождения и уничтожения в функциональной реализации.
В работе используются методы современного бесконечномерного анализа, в частности, бесконечномерного комплексного анализа, а также спектральной теории семейств коммутирующих самосопряженных операторов. Все основные результаты диссертации являются новыми. Среди них можно выделить следующие наиболее важные: І. В одномерном случае: 1. Все производящие функции экспоненциального типа для систем ортогональных полиномов, а также преобразования Фурье соответствующих мер ортогональности приведены к единому виду. 2. Получены и приведены к единому виду явные формулы действия операторов рождения и уничтожения, построенных по системам ортогональных полиномов с производящей функцией экспоненциального типа. II. В бесконечномерном случае: 1. Построено новое гильбертово пространство, удовлетворяющее аксиомам взаимодействующего пространства Фока, названное -пространством Фока, и в нем построено коммутирующее поле Якоби. 2. По обобщенным совместным собственным векторам этого поля Якоби построено преобразование Фурье, являющееся унитарным изоморфизмом / между і]- пространством Фока и пространством функций, определенных на ко-ядерном пространстве и суммируемых с квадратом по вероятностной мере [1. 3.]
Описано преобразование Фурье меры /І. 4. Доказано, что унитарный изоморфизм / может быть получен о помощью разложения произвольной функции из -пространства по системе ортогональных полиномов с производящей функцией экспоненциального типа. 5. Получены явные формулы действия соответствующих операторов рождения и уничтожения в функциональной реализации. Работа имеет теоретический характер. Полученные результаты дают основу для дальнейшего развития бесконечномерного анализа, связанного с классом вероятностных мер, изучаемых в диссертации. Они также могут использоваться для моделирования финансовых рынков типа Блэка-Шоулса, в которых вместо экспоненциального броуновского движения используется экспоненциальный (нестационарный) процесс с независимыми приращениями, ведущий себя в каждый момент времени как гауссовский или пуассоновский или гамма процесс или процесс Паскаля или Мейкснера. Результаты диссертации докладывались на международной научной конференции International Gnedenko Conference (Киев, 2002), на международной научной конференции "Топологические и вариационные методы нелинейного анализа и их приложений" (Воронеж, 2005), на семинаре Академика НАН Украины Ю.М. Березанского Института математики НАН Украины (Киев, 2005), на семинаре физико-математического факультета Белгородского государственного университета (Белгород, 2005). Основные результаты диссертации опубликованы в работах [12], [13], [51], [52], [53]. Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых на восемь параграфов и списка литературы. Первая глава посвящена описанию ортогональных полиномов на R с производящей функцией экспоненциального типа и их мер ортогональности с единой точки зрения, а также изучению соответствующих операторов рождения и уничтожения. В первом параграфе описывается классический результат теории ортогональных полиномов, полученный Мейкснером, и доказывается, что все приведенные Мейкснером формулы являются частными случаями общих формул. Предположим, что функции f(z) и Ф( ) являются аналитическими в некоторой окрестности нуля в С и /(0) = 1, Ф(0) =0, и Ф (0) = 1. Тогда, выражение вида
