Вариационные меры в теории интеграла Жеребьёв Юрий Александрович

Содержание к диссертации

Введение

1 Вводные понятия. 32

1.1 Дифференциальные базисы 32

1.2 Производные и производные числа относительно дифференциальных базисов 39

1.3 Некоторые сведения из общей теории меры 43

2 Вариационные меры . 51

2.1 Определение вариационной меры и некоторые её свойства 51

2.2 (J-конечные вариационные меры 59

2.3 Абсолютно непрерывные вариационные меры 75

2.4 Теоремы Радона-Никодима для вариационных мер 97

3 Приложения вариационных мер в теории интеграла . 116

3.1 Вариационные меры и классы функций ACG* и VBG* 116

3.2 Интегралы хенстоковского типа 126

3.3 Дескриптивная характеристика интегралов хенстоковского типа с помощью вариационных мер 131

Список литературы. 145

• Производные и производные числа относительно дифференциальных базисов
• Некоторые сведения из общей теории меры
• Абсолютно непрерывные вариационные меры
• Интегралы хенстоковского типа

Введение к работе

Данная работа является исследованием в области теории меры и интеграла. В настоящей диссертации изучаются различные свойства вариационных мер (сг-конечность, абсолютная непрерывность, теоремы Радона-Никодима и др.), а также обобщённо абсолютно непрерывные функции множества — так называемые BACGs-фушщт. При помощи полученных результатов выводятся как известные, так и новые дескриптивные характеристики некоторых кратных интегралов хенстоковского типа. Эти интегралы являются более общими по сравнению с интегралом Лебега и находят применение в теории ортогональных рядов в связи с задачей восстановления коэффициентов всюду сходящихся рядов Фурье по различным ортогональным системам. С обзора исследований, связанных с поиском дескриптивных характеристик указанных интегралов, начинается данная диссертация.

В 1901г. в заметке [74] А. Лебег определил, а затем в своей диссертации [75] и монографии [148] развил понятие интеграла Лебега, которое во многом определило дальнейшее развитие анализа 20 в. Столь широкое распространение в анализе интеграл Лебега получил благодаря совокупности всех своих свойств, выгодно выделяющих его среди остальных концепций интегрирования. Но вместе с тем суммирование по Лебегу обладает некоторыми недостатками, один из которых был выявлен довольно быстро после появления самого интеграла. Выяснилось, что, несмотря на большую общность по сравнению с определённым интегралом Римана, интеграл Лебега не решает задачу восстановления неизвестной первообразной по известной производной, не охватывая тем самым интеграл Ньютона (неопределённый интеграл). Задача о восстановлении первообразной заключается в следующем. Известно, что функция /: [а, Ь] —У Ж является точной производной некоторой, вообще говоря, неизвестной, функции F: [a,b] -> R. Требуется построить такой процесс интегрирования функции /, который бы восстанавливал первообразную F на отрезке [а, 6] с точностью до константы. Стандартные примеры, показывающие, что интеграла Лебега для решения этой задачи недостаточно, основаны на построении всюду дифференцируемой функции, не являющейся абсолютно непрерывной. Рассмотрим функцию

^{

2 . 7Г , ,

arsnw при \х >0; х^{2 У} ' ' О при х=0.

Она, очевидно, дифференцируема всюду на отрезке [—1,1], поэтому всякая функция вида F+ С, где С — некоторая константа, является первообразной

для производной

. 7Г 27Г 7Г . .

arsin—г cos-г при \х >0;

/(*)=**(*)=

ж"¹ ж х¹

О при я = 0.

Вместе с тем функция / не суммируема на отрезке [—1,1], так как не суммируема функция ! cos Дг. Поиск интегралов, решивших бы задачу восстановления первообразной, породил в начале 20 в. ряд исследований, выделившихся в итоге в отдельную ветвь действительного анализа под названием "теория интеграла".

В 1912 г. А. Данжуа в заметке [21] предложил процесс интегрирования, названный им тотализацией, решающий поставленную задачу. Кратко опишем, в чём заключается тотализация по Данжуа. Сначала, основываясь на понятии интегрируемости в несобственном смысле по Гарнаку ([44]), по правилу, описанному Данжуа, строится трансфинитная последовательность интегралов {D_a}_a^u_l+i, где ш\ в соответствии с общепринятой символикой обозначает порядковое число, соответствующее множеству всех порядковых чисел, отвечающих конечным либо счётным множествам (см. [147, гл. 1, 4]), причём Do-интеграл является интегралом Лебега. В итоге оказывается, что каждый последующий Da-интеграл является более общим по отношению ко всем предыдущим интегралам из указанной последовательности. Затем даётся определение функции, тотализируемой по Данжуа. Оно фактически заключается в наложении определённых требований на структуру множества точек несуммируемости¹ тотализируемой функции /, позволяющих в конечном счёте построить трансфинитную последовательность {Р_а}_а<$_Ші+і вложенных замкнутых множеств P_Q, каждое из которых представляет собой множество точек Da-неинтегрируемости функции /, причём множество Рр нигде не плотно во всех множествах Р_а при а<р. Далее при помощи принципа стационарности Кантора-Бэра (см. [155], [156]) доказывается, что, начиная с некоторого 7, все множества Р_а (у^а^игН) пустые. Это обеспечивает D^+1-интетрируемость функции /. Значение D^+i-интеграла функции / сам Данжуа называл тоталом функции /. D^+i-интеграл называется узким интегралом Дапоісуа, а приведённое определение интегрируемости (то-тализируемости) — конструктивным определением узкого интеграла Данжуа. Во второй заметке [22] А. Данжуа сформулировал основные свойства построенного им интеграла: непрерывность неопределённого интеграла, равенство производной неопределённого интеграла значению тотализируемой функции почти всюду на отрезке [а, Ь], а также главное свойство — всякая точная конечная производная тотализируема, причём неопределённый узкий интеграл Данжуа этой производной является её первообразной. Таким

'т.е. тех точек отрезка действительной прямой, в любой окрестности которых функция не суммируема

образом, интеграл, построенный французким математиком, решает задачу восстановления первообразной по точной конечной производной. Доказательства результатов, сформулированных в заметках [21] и [22], содержатся в работах [23] и [24]. Несмотря на то, что узкий интеграл Данжуа восстанавливает первообразную по точной конечной производной, конструктивное определение обладает существенным недостатком. Оно громоздко и использует достаточно специфический аппарат теории множеств. Это обстоятельство сильно осложняет дальнейшую работу с этим интегралом, а значит, ограничивает область приложения данного интеграла в анализе.

В том же 1912 г. Н.Н. Лузин в заметке [96] охарактеризовал класс функций, являющихся неопределёнными узкими интегралами Данжуа.

Определение А. Функция /: [а, Ь] —» R называется АС*-функцией па множестве Ес[а,Ь], если для любого є > О существует ц > О, такое, что для

любого конечного набора неперекрывающихся отрезков {[и_г-, г>г]}-₌₁ с конца-

v ми щ,У{(Е.Е суммарной длины Y^i^vi ~ ^иг)<^г1 справедливо неравенство

г=1

Y;v{f,[^uh^vi\)<>

где w(/, [uj,Vi]) обозначает колебание функции / на отрезке [wj,Vj]. Если множество Е пусто либо одноточечно, то по определению считается, что / является АС*-функцией на Е. Непрерывная функция /: [а, Ъ] -> Ж называется АСЄ*-функцией па отрезке [а,Ь], если справедливо представление

+ 00

[a, b)=\J Е_п, где / является ЛС*-функцией на каждом множестве Е_п.

71=1

Лузин вводил класс ЛСС*-функций несколько другим способом, не содержащим в явном виде понятия абсолютной непрерывности. Определение А является в настоящее время общепринятым в теории интеграла определением указанного класса функций и эквивалентно первоначальному лузинс-кому определению. Оно было предложено С. Саксом в монографии [158] и основано на подходе А.Я. Хинчина [63] к введению понятия обобщённой абсолютной непрерывности.

Теорема А (Лузин, [96]). Функция F: [а,Ь] —> R является неопределённым узким интегралом Данжуа в смысле конструктивного определения тогда и только тогда, когда F является АСС*-фупкцией па отрезке [а, Ъ].

Теорема А позволяет дать следующее эквивалентное определение.

Определение В. Функция /: [а, Ь] —> R, принимающая значения из расширенной действительной прямой R, интегрируема по Данжуа в узком смысле (0*-иитегрируема), если существует АССг*-функция F: [а,Ь] —> R, такая, что F'{x) = f(x) почти всюду на отрезке [а, 6]. Функция F называется неопределённым 0*-интегралом функции /, а её приращение F(b) — F(a) — Б*-иитегралом функции f по отрезку [а,Ь].

Из определения В вытекает, что всякая Р*-интегрируемая функция необходимо конечна почти всюду. Определение В называется дескриптивным определением и именно оно будет взято за основное определение узкого интеграла Данжуа на отрезке, поскольку гораздо проще конструктивного определения. Доказательство теоремы А изложено в диссертации Н.Н. Лузина, опубликованной в книгах [151] и [152].

Вообще определения или утверждения, описывающие класс неопределённых интегралов функций, интегрируемых в каком-либо смысле, в теории интеграла называются дескриптивными. Этого правила мы будем придерживаться в настоящей диссертации.

Другой интеграл, решающий задачу восстановления первообразной, был определён в работах О. Перрона и О. Бауэра. В отличие от Данжуа О. Перрон положил в основу своего определения интеграла формулу Ньютона-Лейбница. Идея Перрона состояла в том, чтобы неизвестную первообразную, которую нужно найти по известной точной конечной производной, сколь угодно точно приблизить при помощи других функций, называемых мажорантами и минорантами.

Определение С. Функция М: [a, b] -> R называется мажорантой функции /: [а, Ь] —> R, если:

1. М(а) = 0;

2. М!(х)> —оо для всех хє[а,Ъ]\

3. М'(ж) ^/(х) для всех х Є [а, Ь].

Соответственно функция т: [а,Ь] -ї R называется минорантой функции /: [а, 6] —> R, если функция — т является мажорантой для —/.

Определение С принадлежит С. Саксу [158, гл. 6, 3]. Следует отметить, что понятия мажоранты и миноранты встречаются уже у Ш.-Ж. Валле-Пуссена [73] в связи с изучением свойств интеграла Лебега (см. рус. пер. [141, т. 1]). Перрон же определял мажоранту как непрерывную функцию, удовлетворяющую условиям 1) и 3) ([111]), а Бауэр мажорантой называл непрерывную функцию, удовлетворяющую условиям 1)-3) ([4]). В 1914 г. О. Перрон в работе [111] показал, что всякая миноранта ограниченной функции не превосходит всякой мажоранты. Это позволило ему ввести следующее определение: ограниченная функция /: [а, Ъ] — R интегрируема на отрезке

[a,b], если она имеет хотя бы одну непрерывную маоїсоранту и хотя бы одну непрерывную миноранту в смысле Перрона и

—оо < inf М{Ь) = sup m(b) < +00,

где infimum берётся по всем непрерывным мажорантам функции f в смысле Перрона, a supremum — по всем непрерывным минорантам такоісс в смысле Перрона. Общее значение называется интегралом функции f по отрезку [а,Ь]. В 1915 г. 0. Бауэр, изучив процесс интегрирования, предложенный Перроном, распространил определение интеграла Перрона на функции, принимающие значения из расширенной действительной прямой R.

Определение D (Bauer, [4]). Функция /: [а, 6] -> R P^Q-интегрируема па отрезке [а, Ь], если она имеет хотя бы одну непрерывную мажоранту, хотя бы одну непрерывную миноранту в смысле определения С и

-оо < inf М(Ь) = sup т(Ь) = Р < +оо,

где infimum берётся по всем непрерывным мажорантам функции /, a supremum — по всем непрерывным минорантам. Общее значение Р называется Р -интегралом функции f по отрезку [а,Ь].

Из предложенного Бауэром определения вытекает, что всякая точная конечная производная Р-интегрируема, и её неопределённый Р-интеграл является первообразной этой производной. Таким образом, выяснилось, что интеграл Перрона-Бауэра также решает задачу восстановления первообразной. Кроме того, Бауэром в той же работе [4] было доказано, что всякая Р-интегрируемая функция необходимо конечна почти всюду на отрезке [а, Ь], и значение Р -интеграла не зависит от значений интегрируемой функции на множестве меры нуль. Последнее позволило ему сформулировать эквивалентные определения Р-интегрируемости, в которых накладываются более слабые условия на классы мажорант и минорант по сравнению с определением С. Наконец, Бауэр доказал, что всякая ограниченная Р-интегрируемая функция суммируема. Р-интегрируемость суммируемой функции была доказана Валле-Пуссеном в [73]. Таким образом, Р-интеграл существенно шире интеграла Лебега, при этом значения Р-интеграла и интеграла Лебега всякой ограниченной измеримой функции совпадают. В 1921 г. Г. Хаке в работе [43], основываясь на конструктивном определении узкого интеграла Данжуа, доказал, что всякая )*-интегрируемая функция Р-интегрируема, и значения соответствующих интегралов совпадают. Доказательства результата Хаке, основывающиеся на дескриптивном определении узкого интеграла Данжуа, можно найти в [42, гл. 11, теорема 11.1] и [158, гл. 8, 3, теорема 3.9]. Наконец, в 1924 г. П.С. Александров [1], [2] и независимо в 1925 г. X. Луман [93] доказали обратное утверждение. Таким образом, справедлива следующая теорема.

Теорема В (Hake, [43]; Александров, [1], [2]; Looman, [93]). Функция f: [a, b] -> R И*-интегрируема на отрезке [a, b] тогда и только тогда, когда она Р-интегрируема, и значения соответствующих интегралов совпадают.

Теорема В называется в теории интеграла теоремой Хаке-Александрова-Лумана. В 1933 г. С. Сакс определил интеграл Перрона следующим образом.

Определение Е (Saks, [158, гл. 6, 6]). Функция /: [a, b] -» R интегрируема по Перрону (Р-интегрируема) на отрезке [а, 6], если она имеет хотя бы одну мажоранту, хотя бы одну миноранту и

-со < inf M(b) = sup m(b) = P< +00,

где infimum берётся по всем мажорантам функции /, a supremum — по всем её минорантам. Общее значение Р называется интегралом Перрона (Р-интегралом) функции / по отрезку [а, 6].

Именно определение, данное Саксом, в настоящее время чаще всего принимают за определение интеграла Перрона на отрезке. С. Сакс первым стал различать Р-интегрируемоеть и Р-интегрируемость. Им же был введён термин "Р⁰-интеграл^м для обозначения интеграла, определённого О. Перроном и О. Бауэром, и доказана эквивалентность определений D и Е ([158]).

Теорема С (Saks, [158, гл. 8, 3, теоремы 3.9, 3.11]). Функция /: [a, b] -» R Р-интегрируема на отрезке [а, Ъ] тогда и только тогда, когда она Р-интегрируема, и значения соответствующих интегралов совпадают.

Различные доказательства теоремы С даны также в работах [49, теорема 2], [91], [94], [122, теорема 2]. Необходимо отметить, что в работах [49, стр. 57] и [91, стр. 338] были допущены неточности при доказательстве теоремы С, способ устранения которых указан в работе [122]. Доказательство Сакса можно также найти в [42, гл. И, теоремы 11.1, 11.2]. Другие эквивалентные определения интеграла Перрона, получающиеся посредством наложения условий на мажоранту, подобных условиям 1)-3) определения С, можно найти в работах [42, гл. 8, определение 8.21], [53] и [119].

Ещё одно полезное определение интеграла перроновского типа принадлежит А. Варду. Его идея заключалась в том, чтобы заменить неравенство 3) на нижнюю производную мажоранты в определении С неравенством на приращение мажоранты. Это позволило Варду в 1936 г. построить интеграл, объединяющий в себе 2 различные концепции интегрирования: интегрирование по Перрону и интегрирование по Полларду (одно из обобщений интеграла Стилтьеса). Сам Вард называл свой интеграл интегралом Перрона-Стилтьеса. Здесь для простоты изложения ограничимся описанием частного случая конструкции Варда применительно к интегралу Перрона.

Определение F (Ward, [136]). Функция M: [а, Ь] -> R называется мажорантой функции / : [а, Ь] —> R в смысле Варда, если М(а) = 0, и для каждого х Є [а, Ь] найдётся 8(х) > О, такое, что для любого у Є (х—6(х), х + 5(х)) П [а, Ь]

M{y)^M(x)+f{x)(y-x) при ж<у<ж + (я;) M(y)^.M(x)+f(x)(y-x) при л-фХл^а;.

Соответственно функция т: [а, 6] —> R называется минорантой функции f: [а, Ь] —> R в смысле Варда, если функция —m является мажорантой для —/ в смысле Варда.

Вард показывает, что всякая миноранта конечной функции в смысле определения F не превосходит всякой мажоранты. Это позволяет ввести следующее определение.

Определение G (Ward, [136]). Функция /: [a, b] -» R интегрируема в смысле Варда на отрезке [а,Ь], если она имеет хотя бы одну мажоранту Варда, хотя бы одну миноранту Варда и

-оо < inf М(Ь) = sup m(b) = W< +оо,

где infimum берётся по всем мажорантам Варда функции /, a supremum — по всем её минорантам Варда. Общее значение W называется интегралом Варда функции f по отрезку [а,Ь].

Из этого определения, очевидно, вытекает, что всякая конечная функция, интегрируемая в смысле Варда, интегрируема по Перрону, причём соответствующие интегралы совпадают. Обратное утверждение доказывается в [136, теорема 4].

Теорема D (Ward, [136]). Функция f:[a,b]—tM. интегрируема в смысле Варда на отрезке [а, Ь] тогда и только тогда, когда она интегрируема по Перрону, и значения соответствующих интегралов совпадают.

При построении конкретной мажоранты иногда бывает гораздо проще вывести неравенство на её приращение, чем неравенство на нижнюю производную. В этих случаях определение Варда оказывается удобнее перроновс-кого определения. Хотя определение интеграла Варда даётся в предположении конечности функции /, интегрирование по Варду легко распространяется на функции, конечные почти всюду. Можно доказать, что интеграл Варда не зависит от значений интегрируемой функции на множестве меры нуль. Тогда интеграл Варда от функции g: [a, b] -> R, конечной почти всюду на отрезке [а, Ь], можно определить как интеграл Варда от конечной функции

,/ v і 9{х), если

f(^x) = S _п

О, если

9{х) 9{х)

Таким образом, в сущности никакого сужения класса интегрируемых функций при рассмотрении интеграла Варда по сравнению с интегралом Перрона не происходит.

Итак, выяснилось, что концепции интегрирования, предложенные А. Дан-жуа, Перроном-Бауэром, С. Саксом и А. Бардом, эквивалентны. В связи с этим узкий интеграл Данжуа в литературе называют ещё интегралом Данэюуа-Перрона, а названия "интеграл Перрона-Бауэра", "интеграл Перрона", "Р-интеграл", "Р-интеграл", "интеграл Варда", несмотря на описанную выше эквивалентность, употребляются специально, чтобы подчеркнуть, какой именно вариант перроновского определения имеется ввиду. Хотя определения Лузина, Перрона (точнее Перрона-Бауэра-Сакса) и Варда проще конструктивного определения, признать их удовлетворительными для подсчёта первообразной на практике вряд ли возможно. Так дескриптивное определение, равно как и определение Ньютона неопределённого интеграла, не указывает никакого универсального способа подсчёта первообразной по известной точной производной. Оно лишь описывает класс неопределённых интегралов, получающихся применением операции тотализации ко всем функциям, интегрируемым по Данжуа в узком смысле. А определения Перрона и Варда фактически сводят задачу подсчёта первообразной к не менее трудной задаче нахождения последовательности мажорант или минорант, сходящейся, хотя и равномерно, к искомой первообразной. И. Марцинкеви-чем было показано, что в случае интеграла Перрона достаточно найти одну непрерывную мажоранту и одну непрерывную миноранту (см. [158, гл. 8, 3, теорема 3.13], [167]), что тоже непросто, однако для некоторых других более общих интегралов перроновского типа: симметричного, симметричного аппроксимативного, двоичного интегралов Перрона, 5СР-интеграла Бёр-киля это уже неверно ([125, теорема 3], [162, теорема 3], [166]). Подобные недостатки данных определений послужили причиной дальнейшего поиска более конструктивных способов восстановления первообразной.

Третий, вариационный, подход к введению интеграла, восстанавливающего первообразную, связан именами с А.Н. Колмогорова и Р. Хенстока. В 1930 г. А.Н. Колмогоров ввёл понятие дифференциальной эквивалентности функций множества ([65, гл. 2, 3]). В 1960 г. Р. Хенсток, основываясь на понятии дифференциальной эквивалентности, названной им вариационной эквивалентностью, в работе [46] определил вариационный интеграл. Конечное множество пар {(х{_: [щ,щ])}_{=1 называется разбиением отрезка [а,Ь], согласованным с функцией 5: [а,Ь] -> (0,+оо), если Х{Е[щ,У{] С (х{ — 6(хі),

Хі+5(хі)) П [a, b] для всех і = 1,... ,р, отрезки [щ, уЦ попарно не перекры-

р ваются и [a, b} = (J[iij, v_z-]. Утверждение о существовании разбиения всякого

г=1

отрезка [а, 6], согласованного с любой функцией 5: [а,Ь] - (0,+оо), факти-

чески доказывается уже в работе [19]. Вместе с тем, Б. Томсоном в [131, гл. 1, 5, пример 5.3] отмечается, что данное утверждение, возможно, имеет гораздо более древнюю историю, однако в современной теории интеграла за ним закрепилось название "лемма Кузена".

Определение Н (Henstock, [46]). Функция /: [а, Ь] -> К вариационно интегрируема на отрезке [а,Ъ], если существует функция V: [а,Ь] —> Ш, такая, что для любого є>0 найдётся функция 5: [а,Ъ] -> (0,+оо), такая, что

р .

^sup _{2Z \f(}^Xi_{) (}^щ _~~^и_{^ ~ (}^v _{W ~} ^v₍^Ui₎₎

1=1

где supremum берётся по всем разбиениям {(#;, [щ,щ])}^₌₁ отрезка [а,Ь], согласованным с 8(-), при этом приращение V(b)—V(a) называется вариационным интегралом функции f по отрезку [a, ft].

Теорема Е (Henstock, [46]). Функция /: [a, ft] -> Ж вариационно интегрируема на отрезке [а, ft] тогда и только тогда, когда она интегрируема в смысле Варда, и значения соответствующих интегралов совпадают.

Наконец, четвёртый, римановский, подход к введению интегралов, восстанавливающих первообразную, связан с именами Я. Курцвейля и Р. Хенстока. В 1957 г. Я. Курцвейль в работе [68], рассматривая одно обобщение задачи Коши в самой простейшей её постановке, фактически определил следующий интеграл римановского типа.

Определение I (Kurzweil, [68, определение 1.2.1, лемма 1.2.1.]).

Функция /: [а, 6] —> Ж интегрируема по Курцвейлю-Хенстоку на отрезке [а, 6], и действительное число / называется её интегралом Курцвейля-Хеис-тока по отрезку [а, ft], если для любого є > О существует функция 5: [а, ft] -> (О, +оо), такая, что для любого разбиения {(х{, [щ, vi\) )^ отрезка [a, ft], согласованного с 5(-), справедливо неравенство

^f(xi)(Vi-Ui)-I i=l

Нетрудно заметить, что определение интеграла Курцвейля-Хенстока отличается от определения интеграла Римана лишь тем, что положительное число 5 заменено положительной функцией 5(-). Как показал в 1961 г. Р. Хен-сток, это приводит к сильному расширению класса интегрируемых функций.

Теорема F (Henstock, [47]). Функция /: [а,Ь] -> Ж интегрируема по Курцвейлю-Хенстоку на отрезке [а, 6] тогда и только тогда, когда она вариационно интегрируема, причём неопределённый интеграл Курцвейля-Хенстока и неопределённый вариационный интеграл функции f совпадают.

Теорема F играет ключевую роль во всей теории интегралов хенстоковско-го типа. В настоящее время она носит название "лемма Сакса-Хенстока". При её доказательстве Хенсток использовал некоторые идеи С. Сакса и А.Н. Колмогорова ([65], [117]), что нашло своё отражение в названии данной леммы. В сущности это обстоятельство определило то, что в настоящее время за интегралом, введённым Я. Курцвейлем, закрепилось название "интеграл Курцвейля-Хенстока". В литературе можно также встретить другие названия данного интеграла: "интеграл Хенстока", "интеграл Хенстока-Курцвейля", "обобщённый интеграл Римана", "ЛС-интеграл"² и др. Таким образом, из теорем D-F вытекает эквивалентность интегралов Перрона и Курцвейля-Хенстока. Необходимо также отметить работы Р. Гордона [38] и [40], в которых впервые были приведены прямые доказательства эквивалентности определения интеграла Курцвейля-Хенстока дескриптивному определению (в более ранней работе [80] было опубликовано ошибочное доказательство данного результата).

В дальнейшем выяснилось, что интеграл Лебега, подобно интегралу Перрона, также допускает римановское определение. В 1969 г. Э. Мак-Шейн определил ещё один интеграл римановского типа на отрезке и доказал его эквивалентность интегралу Лебега. Конечное множество пар {(х{, [щ,щ])}_і=1 называется разбиением Мак-Шейна отрезка [а, Ь], согласованным с функцией 5: [а,Ь] —> (0, +оо), если [wj,Vj]c (хі — 5(хі),Хі + 5(хі)) П[а,Ь] для всех

р і = 1,...,р, отрезки [щ, vi\ попарно не перекрываются и [a, b] = \J [щ, иЦ. Су-

ществование разбиения Мак-Шейна всякого отрезка [а, Ь], согласованного с любой наперёд заданной функцией 5: [а,Ь] —> (0,+оо), гарантируется леммой Кузена, поэтому имеет смысл следующее определение.

Определение J (McShane, [100]). Функция /: [a,b] -> R интегрируема
по Мак-Шейну па отрезке [а,Ь], и действительное число М называется её
интегралом Мак-Шейна по отрезку [а, 6], если для любого є>0 существует
функция 5: [а, Ь] -> (0,+со), такая, что для любого разбиения Мак-Шейна
{(:Tj, [ui,Vj-])}?₌₁ отрезка [а, Ь], согласованного с 5(-), справедливо неравен
ство _р

J2f(xi)(vi-Ui)-M <є.

Теорема G (McShane, [100]). Функция /: [a, b] —> R интегрируема no Мак-Шейну на отрезке [a, b] тогда и только тогда, когда она суммируема, и соответствующие интегралы совпадают.

По поводу различных доказательств теоремы G см. [27, 2.4, 2.5], [42, гл. 10, теорема 10.11], [67, теоремы 1, 2], [76, гл. 1, 5; гл. 4, 16], [79, гл. 3, 3.9,

²от англ. Riemann complete integral

теорема 3.9.4; гл. З, 3.12, теорема 3.12.5], [88, теоремы 1, 2], [99], [100], [101], [102], [103], [104, теорема 1], [113, ч. 2, гл. 9, 9.3, теорема 9.3.7], [135] и [139, т. 1, гл. 5, 5.7, теорема 5.7.14]. Стоит также отметить работы [20] и [50], в которых даны прямые доказательства того, что суммируемость функции влечёт её интегрируемость по Курцвейлю-Хенстоку и равенство соответствующих интегралов.

Определение интеграла Курцвейля-Хенстока гораздо проще всех предыдущих определений. Именно эта простота позволила по мере дальнейшего развития теории интеграла распространить большинство одномерных результатов, установленных ещё в начале 20 в. в отношении интеграла Данжуа-Перрона, на многомерный случай, а также существенно упростить доказательства уже имевшихся многомерных результатов, полученных на основе конструктивного, дескриптивного и перроновского подходов к интегрированию. Несмотря на описанное преимущество определению I присущи также свои недостатки. В книге [139, т. 1, стр. 489] высказано справедливое замечание о том, что определение интеграла Курцвейля-Хенстока нельзя признать в полной мере удовлетворительным для практического подсчёта первообразной по известной конечной производной. Неконструктивность данного определения заключается в том, что не ясна природа функции 5(-). Она, вообще говоря, может быть любой положительной функцией. В самом определении не указан какой-либо способ построения функции 5(-) при наличии информации об интегрируемой функции /, а это означает, что мы фактически лишены какого-либо алгоритма вычисления римановских сумм, отличающихся от значения интеграла Курцвейля-Хенстока на достаточно малое є, хотя и знаем, что, в принципе, для какой-то положительной функции 5(-) такие суммы существуют. В связи с этим стоит упомянуть о проблеме П. Бюллена. В 1987 г. П. Бюлленом был поставлен вопрос: можно ли каким-либо образом сузить класс функций, из которого выбираются функции 5(-) в определении интеграла Курцвейля-Хенстока, не потеряв при этом в общности самого интеграла ([14]). В настоящее время существует достаточное количество работ, посвященное исследованиям в данном направлении, основная суть которых заключается в том, что функцию 5(-) в определении I можно считать измеримой ([12], [13], [36], [39], [42], [71], [76], [83], [84], [89], [112]). Наиболее существенным продвижением в этом направлении на настоящий момент является результат работы [12], утверждающий, что если функция / интегрируема по Курцвейлю-Хенстоку на т-мерном интервале, то функцию 5(-) можно выбрать полунепрерывной сверху почти всюду. Окончательного ответа, позволяющего указать наиболее узкий класс положительных функций 5(-) так, чтобы интегрируемость в этом новом смысле была бы эквивалентна интегрируемости по Курцвейлю-Хенстоку, пока не дано.

Таким образом, к середине 20 в. в теории обобщённых интегралов было

построено несколько концепций интегрирования, приводящих к восстановлению первообразной по известной точной конечной производной, и все они в конечном итоге оказались эквивалентными.

Помимо уже описанных недостатков большинство утверждений в построенной теории существенно использовало специфику действительной прямой, что сильно ограничивало возможности приложения данных интегралов в анализе по сравнению с определённым интегралом Римана и уж тем более с интегралом Лебега. Более того, попытки распространить указанную теорию на многомерный случай, исходя из конструктивного и дескриптивного определений узкого интеграла Данжуа, а также перроновского определения, сопровождались слишком большими трудностями, чтобы можно было говорить о применении данных конструкций где-то ещё. В качестве примера можно привести работы [32], [33], [61], [62], [66], [92], [97], [171] среди множества других работ первой половины 20 в. в этом направлении. Появление римановского определения для указанных интегралов позволило существенно упростить доказательство многих результатов теории кратного интеграла Перрона, например, таких, как теорема Фубини ([69], [79, гл. 6, 6.6, теорема 6.6.3], [97, гл. 2, (78)], [108, гл. 3, 3.2, теорема 3.2.1]), а также распространить на многомерный случай известные одномерные результаты. Например, существование внутри всякого m-мерного интервала, на котором функция интегрируема по Перрону, порции, на которой данная функция суммируема; представимость интеграла Курцвейля-Хенстока функции, интегрируемой на m-мерном интервале, как предела значений интегралов Лебега данной функции по некоторой возрастающей последовательности замкнутых подмножеств и т.д. ([11], [32], [33], [42, гл. 9, теорема 9.18, следствие 9.19], [57, теорема 2.10], [81, теорема 3.1], [82, теорема 3.10], [85, теорема 3.4], [86, теорема 5], [87, теорема 1], [90, теорема 3], [95, лемма 2], [106, теорема 5]).

Перейдём к изложению основных многомерных результатов современной теории интеграла. В отличие от интеграла Курцвейля-Хенстока, определение которого, подобно определению интеграла Римана, безо всяких изменений переносится на многомерный случай, определение кратного интеграла Перрона требует некоторых комментариев, прежде всего связанных с тем, какого рода функции следует рассматривать в качестве мажорант, и что следует понимать под нижней производной мажоранты. В настоящее время за определение кратного интеграла Перрона принимается определение, данное в 1952 г. Я. Маржиком. Функция m-мерного интервала F называется супераддитивной, если для любых двух неперекрывающихся т-мерных интервалов I и J, объединение которых также является m-мерным интервалом, выполняется неравенство F(I)+F(J)^.F(Il)J).

Определение К (Мапк, [97, гл. 2, (41)]). Функция m-мерного интервала U называется маоїсораитой функции /:/—> R, заданной на m-мерном ин-

тервале IcW¹, если:

4. функция U супераддитивна;

5. D^sU(x) > —со для всех хЄР,

6. D^sU(x)^f(x) для всех хЄІ;

где D_^sU(x) обозначает нижнее сильное производное число функции U в точке х в смысле Сакса (см. [158, гл. 4, 2]). Функция m-мерного интервала V называется минорантой функции /: / -> R, если функция — V является мажорантой для —/.

В силу [158, гл. 6, 3, теорема 3.1] всякая миноранта в смысле определения К не превосходит любой мажоранты, поэтому имеет смысл следующее, определение.

Определение L (Mafik, [97, гл. 2, (47)]). Функция /: / -> R называется интегрируемой по Перрону (Р-интегрируемой) на т-мерном интервале I сМ^т, если она имеет хотя бы одну мажоранту и хотя бы одну миноранту в смысле определения К и

-оо < inf U{I) = sup V (I) = Р < +оо,

где infimum берётся по всем мажорантам функции /, a supremum — по всем её минорантам. Общее значение Р называется интегралом Перрона (Р-интегралом) функции f по интервалу I.

Из определения L вытекает, что всякая Р-интегрируемая функция необходимо конечна почти всюду. Если теперь в неравенствах 2) и 3) определения К нижнее сильное производное число функции U заменить нижним р-регулярным производным числом в смысле Сакса (см. [158, гл. 4, 2]), то определённый при помощи таких супераддитивных мажорант и субаддитивных минорант интеграл перроновского типа называется р-регулярным интегралом Перрона или Рр-интегралом (рЄ(0,1]). Если на указанные мажоранты, аналогично тому, как это делалось в определении D, наложить ещё требование непрерывности в точке (см. определение 2.4), то получатся кратные P^Q- и Рр-иитегралы. Наконец, если в определении С вместо нижней производной функции точки рассмотреть нижнюю двоичную (нижнюю Р-ичную) производную функции точки, то получится двоичный (V-ичный) интеграл Перрона на отрезке. Если теперь в определении К вместо нижнего сильного производного числа рассмотреть нижнее двоичное (нижнее Р-ичное, нижнее р-регулярное двоичное, нижнее р-регулярное "Р-ичное) производное число, то получится кратный двоичный (кратный V-ичный, р-регулярный двоичный, р-регулярный V-ичный) интеграл Перрона. Двоичный интеграл Перрона будет кратко называться P^d-интегралом, Р-ичный интеграл Перрона — P^v-интегралом, р-регулярный двоичный интеграл Перрона — Рр-интегралом и р-регулярный Р-ичный интеграл Перрона — Pj-интегралом.

Наконец, под Р$-иптсгралом будет пониматься двоичный интеграл Перрона, определённый посредством мажорант и минорант, непрерывных на двоичных интервалах в смысле определения 2.4.

.Ро'-интеграл на отрезке был определён В.А. Скворцовым в 1968 г. в связи с решением задачи вычисления коэффициентов Фурье всюду сходящегося ряда по системе Хаара ([160]). Корректность определения этого интеграла была доказана также В.А. Скворцовым в 1969 г. в работе [161]. В дальнейшем выяснилось, что этот интеграл решает задачу восстановления коэффициентов Фурье всюду сходящегося ряда не только в случае системы Хаара, но и в случае системы Уолша (см., например, [120], [123], [142]). Затем в работе [121, стр. 169] без доказательства было высказано утверждение об эквивалентности определений Р$- и Р^-интегралов, однако доказано оно было только в 1996 г. [107, теорема 2] (см. также [8, теорема 5.2]).

Необходимо также упомянуть следующие проблемы, связанные с определением кратных интегралов перроновского типа:

(Marik, [60, (9.1)]): Существует ли функция двух переменных, интегрируемая по Перрону в смысле определения L, но не интегрируемая интегралом Перрона, определённым посредством аддитивных мажорант и минорант? (Kartak, [60, (9.2)]): Можно ли в определении интеграла Перрона мажоранты и миноранты предполагать непрерывными?

(Henstock, [49, стр. 50, (3)]): Охарактеризовать класс функций, интегрируемых по Перрону, для которых мажоранты и миноранты в определении интеграла можно выбрать аддитивными и непрерывными одновременно (Р. Хенсток сформулировал данный вопрос в связи с вариационным интегрированием, но в силу эквивалентности вариационного интеграла интегралу Перрона на языке перроновского подхода к интегрированию вопрос Хенсто-ка звучит именно так).

(Skvortsov, [15, стр. 202]): Доказать или опровергнуть, что интеграл Перрона относительно абстрактного дифференциального базиса, определённый посредством мажорант и минорант, непрерывных относительно данного базиса, эквивалентен интегралу Перрона относительно того же базиса, определённому при помощи мажорант и минорант без предположения об их непрерывности. В случае отрицательного ответа описать класс базисов, для которых справедлива указанная эквивалентность (по поводу определения абстрактного дифференциального базиса см. [108, гл. 1, 1.1]).

Проблема Картака была решена в 1996 г. М. Наварро и В.А. Скворцовым в отношении Р- и Рр-интегралов, а годом позже Б. Бонжорно, Л. Ди Пьяццей и В.А. Скворцовым в отношении кратных Р- и Р-интегралов.

Теорема Н (Navarro, Skvortsov, [107]). Функция f: [a,b] -> R Р^-ин-гпегрируема на т-мериом интервале IcW⁴ тогда и только тогда, когда она Рр-иитегрируема, и значения соответствующих интегралов совпада-

wm (ре (0,1]).

Теорема I (Bongiorno, Di Piazza, Skvortsov, [7]). Функция f:[a,b]->R P^Q-интегрируема па т-мериом интервале IС M^m тогда и только тогда, когда она Р-интегрируема, и значения соответствующих интегралов совпадают.

Утвердительный ответ на проблему Хенстока в одномерном случае вытекает из результата С. Сакса (теорема С). В многомерном случае положительный ответ на вопрос Хенстока фактически дан в работе [7]. Для этого необходимо в доказательстве теоремы 5 указанной работы вместо Р-интеграла рассмотреть интеграл перроновского типа, определённый при помощи мажорант и минорант, непрерывных и аддитивных одновременно, а также заметить, что ^-вариация V(.7-^,(3, Т, ), участвующая в доказательстве этой теоремы, в данном случае оказывается не только супераддитивной, но и аддитивной непрерывной функцией т-мерного интервала. Отсюда вытекает отрицательный ответ на вопрос Маржика. Наконец, частичный ответ на вопрос, поставленный Скворцовым, фактически был дан также в работе [107, теорема 2], но только в отношении Р^-интегралов относительно дифференциальных базисов Перрона и Витали В, обладающих свойством Витали, к которым, в частности, относятся р-регулярный базис, р-регулярный двоичный и р-регулярный Р-ичный базисы (по поводу этих определений см. 1.1 и определения 3.6, 3.7 настоящей диссертации). В общем случае проблема Скворцова остаётся открытой.

Совершенно аналогично определениям К и L на многомерный случай распространяется понятие интеграла Варда.

Определение М. Функция т-мерного интервала U называется маоїсоран-той Варда функции f: I -> R, заданной на m-мерном интервале / С R^m, если функция U супераддитивна и для каждого х Є I найдётся 6(х) > 0, такое, что для любого т-мерного интервала ІєВ(х,5{х)) ПІ, содержащего точку х, справедливо неравенство

U(J)>f(x)\J\,

где В (х, Ь~{х)) обозначает открытый шар в Ж^т с центром в точке х радиуса S(x), a \J\ — объём m-мерного интервала J. Соответственно функция V называется минорантой Варда функции /: I —> R, если функция — V является мажорантой Варда для —/.

В силу [158, гл. 6, 3, теорема 3.1] любая миноранта Варда не превосходит любой мажоранты Варда, поэтому имеет смысл следующее определение.

Определение N. Функция /: 7 -> R называется интегрируемой в смысле Барда па т-мерном интервале 7cR^m, если она имеет хотя бы одну мажоранту Варда, хотя бы одну миноранту Варда и

-оо

где infimum берётся по всем мажорантам Варда функции /, a supremum —. по всем её минорантам Варда. Общее значение W называется интегралом Варда функции / по интервалу I.

В 1977 г. в заметке [109] А. Пакеман определил двоичный интеграл Курц-вейля-Хенстока на отрезке [0,1] и изучил его основные свойства. С развитием теории дифференциальных базисов сначала Б. Томсон в своей монографии [131] предложил определение интеграла Курцвейля-Хенстока относительно произвольного дифференциального базиса на прямой, а затем К. Осташевский, основываясь на идеях Томсона и Хенстока, в своей диссертации [108] развил теорию интегралов хенстоковского типа (/СН#-интегра-лов) относительно абстрактных дифференциальных базисов В. В той же диссертации были определены: вариационный интеграл, интеграл Перрона (Рв-интеграл), а такоісе интеграл Варда относительно абстрактного дифференциального базиса В ([108, определения 1.5.4, 2.1.2, теоремы 1.6.1, 2.1.1]). Поскольку соответствующие определения достаточно громоздкие и носят абстрактный характер, мы не будем приводить их во введении, отсылая читателя к 1.1 настоящей диссертации, посвященному рассмотрению различных классов дифференциальных базисов и примеров конкретных базисов, а также к определениям 3.3 и 3.6, в которых сформулированы понятия /СТ^-интеграла и Р#-интеграла соответственно. Не вдаваясь в подробности, отметим лишь, что в обозначениях 1.1 кратный интеграл Курцвейля-Хенстока соответствует /СНя-интегралу относительно полного базиса В^кп, кратный двоичный интеграл Курцвейля-Хенстока — КИъ-интегралу относительно двоичного базиса B^d, кратный Р-ичный интеграл Курцвейля-Хенстока — /СН^-интегралу относительно Р-ичного базиса B^v, кратный интеграл Перрона — Р#-интегралу относительно полного базиса кратный двоичный интеграл Перрона — Р^-интегралу относительно двоичного базиса B^d, кратный Р-ичный интеграл Перрона — Pg-интегралу относительно Р-ичного базиса В^г, /^-регулярный двоичный интеграл Перрона — Р#-интегралу относительно р-регулярного двоичного базиса B^d, а р-регулярный Р-ичный интеграл Перрона — Pg-интегралу относительно р-регулярного Р-ичного базиса В^ (рЄ(0,1]).

В 1985 г. К. Осташевский, обобщая идеи Варда и Хенстока, в упомянутой диссертации [108] для широкого класса абстрактных дифференциальных базисов В, включающего в себя большинство известных примеров конкретных дифференциальных базисов в том числе полный базис В¹, двоичный базис

B^d, Р-ичный базис В?', р-регулярный базис В¹, р-регулярный двоичный базис Вр и р-регулярный Р-ичный базис B^v_p (см. таблицу 1.1), доказал, что ІСНв-интегрируемость, Рц-иитегрируемость, вариационная интегрируемость и интегрируемость в смысле Барда относительно дифференциального базиса В эквивалентны, при этом соответствующие интегралы совпадают ([108, теоремы 1.6.1, 2.1.1]).

Наибольшие затруднения были связаны с поиском дескриптивных характеристик обсуждаемых многомерных интегралов, подобных той, что была установлена Н.Н. Лузиным для интеграла Данжуа-Перрона (теорема А). Первые попытки распространить дескриптивное определение на многомерный случай были предприняты в первой половине 20 в., однако в связи с возникшими серьёзными трудностями те идеи не получили дальнейшего развития. Так наиболее успешным продвижением того времени, по-видимому, является работа 1936 г. [61]. В ней, основываясь на понятии ACGr-функщт, С. Кемписты предложил некоторое дескриптивное определение интеграла, в одномерном случае эквивалентное лузинскому определению, и доказал эквивалентность введённого интеграла некоторому интегралу перроновского типа — так называемому интегралу Риддера, более узкому по сравнению с Рр-интегралом. Определение интеграла Кемписты является слишком сложным, при этом использует понятие интеграла Бёркиля, и вместе с тем охватывает достаточно специфический класс многомерных интегралов (см. также [108, гл. 4]). Видимо поэтому идеи Кемписты не получили дальнейшего развития в теории интеграла. В 1955 г. К. Картаком была сформулирована задача.

(Kartak, [60, (9.5)]): Охарактеризовать класс аддитивных функций т-мерного интервала, являющихся неопределёнными интегралами Перрона. Собственно говоря, основной проблемой в задаче поиска дескриптивной характеристики кратных интегралов Курцвейля-Хенстока (или что то же самое кратных интегралов Перрона) является поиск такого определения обобщённой абсолютной непрерывности функции т-мерного интервала, которое бы не зависело от размерности пространства, было бы шире понятия абсолютной непрерывности функции интервала, охарактеризовывало бы все неопределённые интегралы Курцвейля-Хенстока, а также в одномерном случае было бы эквивалентно определению ЛС(?*-функции. Во второй половине 20 в. подобные исследования были предприняты рядом авторов ([6], [18], [28], [34], [38], [40], [41], [42], [48], [56], [57], [76], [77], [78], [80], [108], [ИЗ], [114], [163]). Наиболее удачными определениями, позволившими в конечном итоге охарактеризовать все неопределённые интегралы Курцвейля-Хенстока, явились понятие об ACGs-функции и понятие об SL-условии Лузина. Последнее представляет собой ни что иное, как условие абсолютной непрерывности некоторой меры, называемой вариационной, о которой ниже пойдёт речь.

Конечное множество пар {(^і, J{)} ₌₁ называется разбиением на непустом множестве EcR^m, согласованным с функцией 5: Е —у (0,+оо), если точки XitEnJi для всех і = 1,... ,р, каждый m-мерный интервал J{ содержится в открытом шаре В(хі,5(хі)) и все J{ попарно не перекрываются.

Определение О (Henstock, [48]). Функция m-мерного интервала F является ACs-функцией на непустом множестве ЕсШ.^т, если для любого є > 0 существуют функция S: Е —У (0, +со) и ц > 0, такие, что для любого

разбиения {(хі, Ji)}_=l на множестве Е, согласованного с 5(-), для которого р J] |Jj|

_5>м|<е-

х=1

По определению всякая функция m-мерного интервала является ЛС^-функ-цией на пустом множестве. Функция m-мерного интервала F является ACG$-функцией на множестве Е С R^m, если справедливо представление

+00

Е — U Е_п, где F является АС<$-функцией на каждом множестве Е_п. Накопи

нец, функция точки /: [а, Ь] —У Ж является АС$-фупкцией (AC G$-функцией) на множестве Ес[а,Ь], если аддитивная функция F([u,v]) = f(v) — f(u) является ЛС^-функцией (ACGs-фуикщей) на этом множестве.

В 1990 г. Чу Туан Сенг и Р. Гордон независимо получили следующий результат.

Теорема J (Chew Tuan Seng, [18]; Gordon, [40]). Функция F:[a,b]-yR является ACGs-функцией на отрезке [a, b] тогда и только тогда, когда она является ACG*-функцией па [а,Ь].

Эта теорема позволяет сформулировать ещё одно дескриптивное определение узкого интеграла Данжуа, эквивалентное определению В.

Определение Р. Функция /: [а, Ь] —У Ш называется В*-иптегрируемой па отрезке [а, 6], если существует ЛСС^-функция F: [а,Ь] -У Ш, такая, что F'(x) = f(x) почти всюду на [а, Ь]. Функция F называется неопределённым В*-иитегралом функции /, а её приращение F(b) — F(a) — В*-иптегралом функции f по отрезку [а,Ь].

Из определения Р также вытекает, что всякая )*-интегрируемая функция в смысле этого определения необходимо конечна почти всюду. В той же работе [18] Чу Туан Сенг частично распространил теорему J на р-регулярный интеграл Курцвейля-Хепстока, представляющий собой /С%#-интеграл относительно р-регулярного базиса Вр^П (см. 1.1 и определение 3.3).

Теорема К (Chew Tuan Seng, [18]). Аддитивная функция т-мерного р-регулярного интервала F является неопределённым р-регулярным интегралом Курцвейля-Хенстока функции /:/—> R тогда и только тогда, когда F является ACG&-функцией на т-мериом р-регуляриом интервале I, дифференцируемой в р-регуляриом смысле почти всюду на I, причём р-регулярная производная D_pF(x)=f(x) почти всюду па І (рЄ(0,1]).

Подобного рода теоремы называются частичными дескриптивными характеристиками, поскольку предполагают априорную дифференцируе-мость функции т-мерного интервала почти всюду, в то время как теоремы, подобные теореме Лузина (теорема А), называются полными дескриптивными характеристиками, поскольку они лишены подобного недостатка.

Доказательства Гордона и Чу Туан Сенга основываются на дифференцируемое неопределённого р-регулярного интеграла Курцвейля-Хенстока в /9-регулярном смысле почти всюду и на теореме Витали о покрытии. Однако известно, что даже уже неопределённый интеграл Лебега может не иметь сильной производной (в смысле Сакса) всюду на m-мерном интервале при т^2 ([16], [118], [144, гл. 4, 2, теорема 2.1]). Кроме того, известен пример X. Бора покрытия Витали, состоящего из замкнутых прямоугольников, для которого теорема Витали неверна ([17], [144, гл. 4, 1, теорема 1.1]). Этот пример показывает, что условие регулярности интервалов в теореме Витали отбросить нельзя. Таким образом, доказательства Гордона и Чу Туан Сенга не распространяются на случай кратного интеграла Курцвейля-Хенстока, поэтому потребовались принципиально другие идеи для доказательства указанной дескриптивной характеристики в многомерном случае.

Эти идеи обязаны своим появлением в связи с развитием пятого подхода к введению интеграла, продолжающим дескриптивный взгляд на обсуждаемые интегралы. Родоначальником этого подхода является Р. Хенсток. В 1963 г. в своей монографии [48] он определил вариационную меру.

Определение Q (Henstock, [48]). Пусть задана действительнозначная функция двух переменных точка-интервал h(x,J). Функция множества

р V(B^m,h,E)=misupY^\^h(^xi^i)l

г'=1

где supremum берётся по всем разбиениям {(ж;, Jj) }^р₌₁ на множестве Е С М^т, согласованным с 5(-), a infimum — по всем функциям 8: Е —> (0, +оо), называется вариационной мерой, построенной по функции h, относительно полного базиса В^.

В той же монографии Хенстоком было доказано, что вариационная мера является внешней метрической, а значит, по теореме Каратеодори — боре-левской мерой в Ш.^т. У Хенстока понятие вариационной меры возникло как

логическое продолжение идей, связанных с вариационным интегрированием. Однако рассмотрение вариационных мер, построенных только по функциям множества, подобно тому как строятся внешняя мера Лебега или хаусдорфо-ва мера, явилось тем самым ключевым соображением, обусловившим развитие теории вариационных мер в отдельное направление, тесно связанное с теорией интеграла ([52], [98], [128]-[130]). В дальнейшем теория вариационных мер была развита Томсоном относительно произвольного дифференциального базиса на прямой ([131]). Подобное сужение класса функций, по которым строятся вариационные меры, оказалось очень плодотворным, поскольку обнаружило новые связи свойств вариационных мер с известными классами функций. Пусть задана функция точки /: [a, b] -» R. Тогда запись V(#*^, /, ) обозначает, что рассматривается вариационная мера, построенная но аддитивной функции отрезка F(Ju, v\j =f(v)—f(u). Под абсолютной непрерывностью вариационной меры V(23^,/i, ) будет пониматься абсолютная непрерывность относительно меры Лебега, т.е. V^B^⁴,!!, ) абсолютно непрерывна на множестве Е С R^m, если Vi^B^^h^X) = 0 для всякого множества ХсЕ меры Лебега ц(Х) = 0. В 1979 г. Р. Хенстоком была доказана следующая теорема.

Теорема L (Henstock, [52]). Пусть задана функция /: [а, Ь] -> R. Тогда

следующие утверждения эквивалентны:

1) / является VBG*-функцией на миооїсестве Ее [а,Ь], непрерывной в

каждой точке этого мноэюеетва, и fi(/(-Б)) =0;

2)V(Bf,E)=0.

С помощью теоремы Банаха-Зарецкого ([42, гл. б, теорема 6.16]) из теоремы L, очевидно, вытекают 2 следствия.

Следствие L.I. Если функция /: [а, Ь] —> R является ACG*-функцией на множестве ЕС [й,Ь], то вариационная мера V (В^, f, ) абсолютно непрерывна на Е.

Следствие L.2. Если вариационная мера V(В^^, f, ), построенная по функции /: [a,b] -> R, абсолютно непрерывна на мноэюеетве Ес[а,Ь], то f является ACG*-функцией на всяком замкнутом множестве ХсЕ меры Лебега fi(X) = 0.

Наличие соотношений между а-конечными вариационными мерами и VBG*-функциями, подобных следствиям L.1 и L.2, было установлено Б. Томсоном (см. [129], [130], [132], [133]). Позже прояснилась более глубокая взаимосвязь между классами абсолютно непрерывных вариационных мер и ACG*-функций. В 1987 г. Я. Курцвейлем и И. Ярником была установлена следующая частичная дескриптивная характеристика интегралов Курцвейля-Хеистока на отрезке.

Теорема М (Jarnik, Kurzweil, [56]). Функция F: [a,b] -> R является неопределённым интегралом Курцвейля-Хенстока функции /: I —» R тогда и только тогда, когда F дифференцируема почти всюду, причём F'(x) = f(x) почти всюду на [а, Ь], и вариационная мера V(#*^,F, ) абсолютно непрерывна на [а, 6] (см. также [77, теорема 4], [ИЗ, гл. 6, 6.4, теорема 6.4-4], [1Ц> теорема 12]).

В 1991 г. теорема М была перенесена на р-регулярный интеграл Курцвейля-Хенстока В. Юркатом, Р. Книзиа и независимо Я. Курцвейлем, И. Ярником.

Теорема N (Jurkat, Knizia, [59]; Jarnik, Kurzweil, [57]). Аддитивная функция т-мерного р-регулярного интервала F является неопределённым р-регулярным интегралом Курцвейля-Хенстока функции f: / —> R тогда и только тогда, когда F дифференцируема в р-регулярном смысле почти всюду, причём р-регуляриая производная D_pF(x) = f(x) почти всюду на I, и вариационная мера V(Bpⁿ,F,-) абсолютно непрерывна на т-мерном р-регулярном интервале I.

Необходимо отметить, что В. Юркат и Р. Книзиа доказывали свою теорему для р-регуляриого интеграла Перрона. Легко также понять, что их условие п/, фигурирующее в формулировке основной теоремы [59, теорема 4] является условием абсолютной непрерывности вариационной меры, записанным в несколько непривычной форме. Кроме того, в работе у Юрката и Книзиа р Є [|, 1), а у Курцвейля и Ярника р Є (0,1), хотя легко показать, что параметр регулярности р можно выбирать из полуинтервала (0,1].

Следующим шагом стал результат В. Эне 1994 г., усиливший теоремы L и М.

Теорема О (Епе, [28]). Вариационная мера У(В^Ш,/, ), построенная по функции f: [а, Ь] —> Ж, абсолютно непрерывна на отрезке [а,Ь] тогда и только тогда, когда f является ACG*-функцией на [а, 6].

Ввиду дифференцируемое АС6?*-функции почти всюду это означает, что условие дифференцируемое функции F почти всюду в теореме М можно отбросить. Таким образом, из упомянутых результатов вытекает следующая полная дескриптивная характеристика интегралов Курцвейля-Хенстока на отрезке.

Следствие 0.1. Функция F: [а, Ь] —> R является неопределённым интегралом Курцвейля-Хенстока тогда и только тогда, когда вариационная ме-paViB¹^⁴, F, ) абсолютно непрерывна на отрезке [а, Ь] (см. таксисе [6, теорема 3]).

Вслед за доказательством следствия 0.1 встал вопрос о его справедливости в отношении кратных интегралов Курцвейля-Хенстока. В 1995 г. К.-А. Фор доказал следующую частичную дескриптивную характеристику.

Теорема Р (Faure, [34]). Аддитивная функция т-мерного р-регулярного интервала F является неопределённым р-регулярным интегралом Курц-вейля-Хенстока тогда и только тогда, когда вариационная мера F, ) абсолютно непрерывна и а-конечна на т-мерпом р-регулярном интервале І (рЄ(0,1)).

При этом в [34, теорема 3.10] было показано, что а-конечность вариационной меры V(Bp^H, F, ) влечёт дифференцируемость функции F в р-регулярном смысле почти всюду для всех рє(0,1), т.е. из условий Фора (теорема Р) вытекают условия Юрката-Книзиа-Курцвейля-Ярника (теорема N). В той же работе Фор поставил вопрос:

(Faure, [34, стр. 562, 4)]): Дают ли аддитивные функции m-мерного интервала F, порождающие абсолютно непрерывные и tj-конечные вариационные меры V(#^, F, ), дескриптивное определение кратного интеграла Курцвейля-Хенстока?

В 2000 г. В.А. Скворцов и независимо в 2001 г. Л. Ди Пьяцца доказали, что из абсолютной непрерывности вариационной меры относительно р-регулярного базиса вытекает её <т-конечность. Это позволило им вывести полную дескриптивную характеристику р-регулярных интегралов Курцвейля-Хенстока, аналогичную следствию О.1.

Теорема Q (Скворцов, [165]; Di Piazza, [26]). Аддитивная функция т-мериого р-регулярного интервала F является неопределённым р-регулярным интегралом Курцвейля-Хенстока тогда и только тогда, когда вариационная мера V(Bpⁿ,F, ) абсолютно непрерывна на т-мерпом р-регулярном интервале І (рє(0,1)).

Вопрос о справедливости теоремы Q при р = 1 остаётся открытым и фактически связан с известной проблемой о справедливости теоремы Варда при р = 1 (см. [158, стр. 210]).

Так же, как и в случае с результатами Гордона и Чу Туан Сенга, доказательства В.А. Скворцова и Л. Ди Пьяццы в конечном итоге основаны на теореме Витали, а потому по описанным выше причинам не могут быть перенесены на кратный интеграл Курцвейля-Хенстока. В 2003 г. Ли Туо-Йеонг, основываясь на доказанной им теореме о производной Радона-Никодима вариационной меры ([82, теорема 4.2]), получил полную дескриптивную характеристику кратных интегралов Курцвейля-Хенстока, аналогичную следствию 0.1 и теореме Q.

Теорема R (Lee Tuo-Yeong, [82]). Аддитивная функция т-мерного интервала F является неопределённым кратным интегралом Курцвейля-Хенстока тогда и только тогда, когда вариационная мера V(S^,.F, ) абсолютно непрерывна на т-мерном интервале I.

Таким образом, была решена проблема Картака и получен положительный ответ на вопрос Фора. В той же работе [82] фактически было доказано, что класс аддитивных функций интервала, порождающих абсолютно непрерывные вариационные меры относительно полного базиса, в точности является классом всех аддитивных ACG^-функций (была доказана ключевая лемма [82, лемма 6.2], из которой этот результат вытекает). Однако эта теорема сингапурского математика была опубликована только в 2005 г.

Теорема S (Lee Tuo-Yeong, [85]). Аддитивная функция т-мерного интервала F является неопределённым кратным интегралом Курцвейля-Хепстока тогда и только тогда, когда F является ACGs-фупкцией па т-мерпом интервале I.

Таким образом, только в начале 21 в. было доказано, что класс аддитивных ЛС(?$-функций, определённый Р. Хенстоком, является тем самым классом обобщённо абсолютно непрерывных функций, характеризующим как в одномерном, так и в многомерном случаях, все функции интервала, являющиеся неопределёнными интегралами Курцвейля-Хенстока. Это означает, что определение Р является той самой формой дескриптивного определения кратного интеграла Курцвейля-Хенстока, инвариантной относительно размерности пространства.

При доказательстве теоремы R Ли Туо-Йеонг в конечном итоге основывался на следующем простом факте: при любом разбиении т-мерного интервала / на конечное число неперекрывающихся m-мерных интервалов Ji,...,J_p каждый интервал является 23^-интервалом (см. 1.1). В то же время уже не при всяком разбиении двоичного или Р-ичного интервала на конечное число m-мерных интервалов получатся двоичные или Р-ичные интервалы Jj. Таким образом, доказательство, данное Ли Туо-Иеонгом, существенно использует специфику полного базиса В¹ и не проходит для двоичного и 'Р-ичного базисов B^d и B^v. В связи с этим возникает закономерный вопрос о поиске дескриптивных характеристик кратных двоичного и 'Р-ичного интегралов Курцвейля-Хенстока, подобных теоремам R и S.

В 1991 г. Р. Гордоном в работе [41] было введено понятие ЛС^-функции, являющееся аналогом класса ЛС^-функций для двоичного базиса.

Определение R (Gordon, [41]). Функция /: [0,1] -» R является АС$-фуикцией на непустом множестве ЕС [0,1], если для любого є>0 существуют функция 6: Е —У (0, +оо) и ту > 0, такие, что для любого двоичного

разбиения {(хі, Ji)}^P_=l на множестве Е, согласованного с 5(-) (т.е. разбиения,

р в котором участвуют только двоичные отрезки Jj), для которого ]Г) | Jj| < 7/,

г'=1

справедливо неравенство

_Е1^М)|<е-

г=1

По определению всякая функция /: [0,1] —> R является АС^-функцией на пустом множестве. Функция /: [0,1] —> R является AC'Gd-функцией па мно-'

+00

эюестве Ес [0,1], если справедливо представление Е= [j Е_п, где / является

п=\

АС^-функцией на каждом множестве Е_п.

Совершенно аналогично определению О определения ACd- и АСб^-функции распространяются на подмножества единичного куба [0,1]^т. В той же работе [41] теми же методами, что и в [40], была получена частичная дескриптивная характеристика двоичных интегралов Курцвейля-Хенстока на отрезке.

Теорема Т (Gordon, [41]). Функция F: [0,1] -» R является неопределённым интегралом Курцвейля-Хенстока функции f: [0,1] —> R тогда и только тогда, когда F является ACGd функцией на отрезке [0,1], дифференцируемой в двоичном смысле почти всюду, причём двоичная производная F'_d(x) — f(x) почти всюду па [0,1] (определение двоичной производной см. 1.2).

Наконец, Гордоном были заданы вопросы:

7. Существует ли на отрезке [0,1] непрерывная функция, дифференцируемая всюду в двоичном смысле, но не дифференцируемая в обычном смысле на некотором более чем счётном множестве?

8. Всякая ли АСС^-функция дифференцируема в двоичном смысле почти всюду?

Частичный ответ на первый вопрос был опубликован В.А. Скворцовым в 1990 г. (на год раньше самого вопроса) в работе [121], в которой был построен пример непрерывной на отрезке [0,1] функции /, дифференцируемой в двоичном смысле всюду на [0,1], кроме некоторого не более чем счётного множества двоично-рациональных точек, которая не является У.?(7-функцией на [0,1]. Отсюда вытекает /, что заведомо не дифференцируема на некотором более чем счётном множестве, т.к. иначе по теореме [158, гл. 7, 10, теорема 10.1] она являлась бы 1^50*-функцией на отрезке [0,1]. Недавно в работе [9] был построен пример непрерывной на отрезке [0,1] функции, имеющей всюду конечную троичную производную, но не являющейся VBG-фуикцией на [0,1]. Эти результаты, в частности, показывают, что двоичный и "Р-ичный интегралы Курцвейля-Хенстока существенно шире интеграла Курцвейля-Хенстока (см. также [162]). Положительный ответ на второй вопрос Гордона был дан в работе [8]. В 2000 г. Л.В. Линьковым теорема Т была распространена на р-регулярный двоичный интеграл Курцвейля-Хенстока.

Теорема U (Линьков, [149]). Аддитивная функция р-регулярного двоичного интервала F является неопределённым р-регуляриым двоичным интегралом Кг)рцвейля-Хенстока функции f: I —> R тогда и только тогда,

когда F является ACGd-функцией на р-регулярном двоичном интервале I, дифференцируемой в р-регулярном двоичном смысле почти всюду на I, причём р-регуляриая двоичная производная D^dF(x)=f(x) почти всюду на /(РЄ(0,1]).

Наконец, в том же 2000 году Б. Бонжорно, Л. Ди Пьяцца и В.А. Скворцов в работе [8] распространили следствие 0.1 на некоторый класс абстрактных дифференциальных базисов на отрезке, включающий в себя двоичный базис.

Теорема V (Bongiorno, Di Piazza, Skvortsov, [8]). Пусть задан дифференциальный BF-базис Витали и Перрона В, составленный из отрезков действительной прямой и обладающий свойством разбиения и свойством Барда. Функция F: I -> R является неопределённым КНв-интегралом тогда и только тогда, когда вариационная мера V(B, F, ) абсолютно непрерывна на В-отрезке I (по поводу необходимых определений см. 1.1 и 1.2).

В дальнейшем выяснилось, что в указанный класс дифференциальных базисов 'Р-ичный базис B^v входит тогда и только тогда, когда последовательность натуральных чисел V—{pi]^ (рі>1) ограничена (см. [9, теорема4.1]). Таким образом, теорема V даёт полную дескриптивную характеристику V-ичных интегралов Курцвейля-Хенстока, определённых на Р-ичном отрезке, в терминах абсолютной непрерывности соответствующей вариационной меры для ограниченной последовательности V. В работе Л. Ди Пьяццы [26] теорема V обобщена на многомерный случай.

Теорема W (Di Piazza, [26]). Пусть задан дифференциальный ВF-базис Витали и Перрона В, составленный из т-мерных интервалов и обладающий свойствами разбиения, Витали и Барда. Аддитивная функция В-интервала F является неопределённым КНв-интегралом тогда и только тогда, когда вариационная мера V[B,F, ) абсолютно непрерывна па В-иитервале I (по поводу необходимых определений см. 1.1 и 1.2).

Поскольку "Р-ичные базисы ВР, где последовательность натуральных чисел V ограничена и рЄ(0,1), обладают всеми этими свойствами, то для них теорема W даёт полную дескриптивную характеристику р-регулярных Р-ичных интегралов Курцвейля-Хенстока в терминах абсолютной непрерывности соответствующих вариационных мер. Наконец, доказанная в 2004 г. в работе [176] теорема о производной Радона-Никодима вариационной меры относительно двоичного базиса (см. также теорему 2.15) позволила установить полную дескриптивную характеристику кратных двоичных интегралов Курцвейля-Хенстока, аналогичную теореме R.

Теорема X (Жеребьев, [177]). Аддитивная функция двоичного интервала F является неопределённым кратным двоичным интегралом Курцвей-

ля-Хенстока тогда и только тогда, когда вариационная мера V(B ,F,.-j. абсолютно непрерывна на двоичном интервале /С[0,1]^т.

В 2005 г. в работе [180] был введён класс BACGs-фупкщіл, обобщающий понятия ACG$- и ACGd-функции в отношении произвольного дифференциального базиса В в R^m, и для достаточно широкого класса дифференциальных базисов в R^m, включающего в себя все дифференциальные базисы, приведённые в таблице 1.1, было доказано, что класс функций, порождающих абсолютно непрерывные вариационные меры, относительно фиксированного базиса В в точности является классом всех BACGs-фушщії ([180, теоремы 3, 4]). Тем самым была установлена полная дескриптивная характеристика кратных двоичных интегралов Курцвейля-Хенстока, подобная теореме S.

Теорема Y (Скворцов, Жеребьев, [180]). Аддитивная функция двоичного интервала F является неопределённым кратным двоичным интегралом Курцвейля-Хенстока тогда и только тогда, когда F является ACGd-фуищией па двоичном интервале /с[0,1]^т.

Следует отметить, что дескриптивную характеристику в терминах вариационных мер допускает также интеграл Лебега. Так в 1997 г. В. Пфеффером в работе [114] было доказано, что функция f: [а, Ь] -> R абсолютно непрерывна на отрезке [а, Ь] тогда и только тогда, когда вариационная мера, построенная по этой функции, относительно базиса Мак-Шейна абсолютно непрерывна на [а,Ь] (определение базиса Мак-Шейна см. в 1.1). В 1998 г. В.А. Скворцов перенёс указанный результат на пространство IR^m.

Теорема Z (Скворцов, [164]). Аддитивная функция т-мерного интервала F является неопределённым интегралом Лебега тогда и только тогда, когда вариационная мера V(B^m,F,-), построенная по этой функции, относительно базиса Мак-Шейна В^т абсолютно непрерывна на т-мериом интервале I (см. также [26, предложение 1\).

Наконец, в настоящей диссертации на основе доказанной теоремы о производной Радона-Никодима вариационной меры относительно Р-ичного базиса B^v (теорема 2.15) рассуждениями, аналогичными работам [177] и [180], выводятся полные дескриптивные характеристики кратных Р-ичных интегралов Курцвейля-Хенстока, подобные теоремам X и Y, в предположении ограниченности последовательности натуральных чисел V. Главные результаты данной диссертации приведены в теоремах 3.7, 3.8 и формулируются следующим образом.

ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА. Пусть задана ограниченная последовательность натуральных чисел V = {pi}^ (pi > 1), V-ичный интервал /с[0,1]^т

и аддитивная функция V-ичного интервала F. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

9. функция F является неопределённым кратным V-ичным интегралом Курцвейля-Хепстока;

10. вариационная мера V[B^V,F,-) абсолютно непрерывна па V-ичпом интервале I;

11. F является VACG^-функцией на V-ичном интервале I.

Диссертация состоит из введения и 3 глав. В первой главе вводятся основные понятия, а также формулируются известные факты, необходимые для дальнейшего изложения. При рассмотрении интегралов хенстоковского типа за основу взят подход, предложенный Б. Томсоном в монографии [131] и К. Осташевским в диссертации [108], основанный на понятии дифференциального базиса. В связи с этим, следуя терминологии монографии [144] и работ [7], [8], [26], [107], [180], в 1.1 вводится понятие дифференциального, базиса, даются определения основных классов дифференциальных базисов (базисы Перрона, ВF-базисы, базисы Витали и др.), доказываются известные утверждения о свойстве разбиения некоторых дифференциальных базисов (лемма 1.1) и о соотношении между классом дифференциальных базисов, обладающих свойством разбиения, и классом базисов Витали (утверждение 1.1). В 1.2 даются определения различных видов производных и производных чисел функции множества относительно дифференциального базиса, фактически заимствованные из монографии [158]. В связи с обсуждаемыми понятиями даётся определение свойства Варда дифференциального базиса. Наконец, в 1.3 кратко приводятся определения и формулировки некоторых теорем общей теории меры, необходимые для дальнейшего изложения.

Вторая глава посвящена исследованию различных свойств вариационных мер. В 2.1 даётся определение вариационной меры, построенной по функции В-мпожсства, относительно дифференциального базиса В, заданного в метрическом пространстве, а также доказываются простейшие свой-. ства вариационных мер (теоремы 2.1, 2.2). Параграф 2.2 посвящен изучению свойств, связанных с <7-конечностыо вариационных мер. В частности, для дифференциальных базисов макшейновского типа доказано совпадение классов умеренных, сг-конечных и полуконечных вариационных мер, заданных в произвольном сепарабельном метрическом пространстве (следствие 2.3), что, вообще говоря, не так в общей ситуации при рассмотрении произвольных борелевских мер (см. 1.3). Следствие 2.3 усиливает одномерный результат, установленный для дифференциального базиса Мак-Шейна в [114, лемма 7]. Для достаточно широкого класса базисов перроновского типа доказано необходимое и достаточное условие сг-конечности вариационных мер относительно этих базисов (теорема 2.6), усиливающее резуль-

таты [134, теорема 1] и [180, теорема 2]. Параграфы 2.3 и 2.4 посвящены изучению свойств, связанных с абсолютной непрерывностью вариационных мер. В 2.3 в качестве следствий результатов 2.2 формулируются утверждения о том, что абсолютная непрерывность вариационной меры относительно дифференциального базиса В влечёт её конечность, полуумеренность либо сг-конечность в зависимости от пространства, на котором рассматривается вариационная мера, и от свойств дифференциального базиса В (следствия 2.5, 2.6). Доказывается вариационный аналог теоремы Банаха-Зарецкого, устанавливающий дополнительные условия, при выполнении которых из а-коиечности вариационной меры вытекает её абсолютная непрерывность (теорема 2.8). Наконец, главными результатами 2.3 являются теоремы, характеризующие абсолютно непрерывные вариационные меры, рассмотренные относительно базисов В макшейновского и перроновского типов, посредством класса BACGs-фушщй (теоремы 2.11, 2.12). Параграф 2.4 содержит доказательства теорем о производных Радона-Никодима вариационных мер относительно различных дифференциальных базисов, являющихся главными результатами всей второй главы данной диссертации. Основными результатами 2.4 являются теорема о производной Радона-Никодима абсолютно непрерывной вариационной меры относительно Р-ичного базиса B^v в R^m (теорема 2.15) и теорема о производных Радона-Никодима абсолютно непрерывных вариационных мер относительно некоторого класса базисов макшейновского типа (теорема 2.1С). Теорема 2.15, как уже было отмечено выше, обобщает результат [17G, теорема 3], полученный ранее для двоичного базиса B^d в R^m, а теорема 2.16 является новой. Приводится также упрощённое доказательство известной теоремы о производной Радона-Никодима абсолютно непрерывной вариационной меры относительно полного базиса В*"⁴ в R^m (см. [82, теорема 4.2]).

Наконец, третья глава касается приложений теории вариационных мер в теории интеграла. В 3.1 доказаны теоремы, характеризующие <т-конечные вариационные меры относительно полного базиса, заданные на отрезке действительной прямой, посредством подкласса функций обобщённой д-вариа-ции VBG*_q (q ^ 1) и, наоборот, класс всех У50*-функций охарактеризован с помощью некоторого класса вариационных мер, более широкого по сравнению с сг-конечными вариационными мерами (теоремы 3.3 и 3.4). Данные теоремы обобщают результаты Б. Томсона [129, теоремы 3.1, 3.2], [130, теорема 1], [132, гл. 4, 40, теорема 40.1]). Эти теоремы позволяют также доказать совпадение классов сг-конечных и полуумеренных вариационных мер, построенных по функциям специального вида, усиливая тем самым теоремы 2.6 и 2.7 параграфа 2.2 в некотором частном случае. В 3.2 вводится определение интеграла Курцвейля-Хенстока относительно произвольного дифференциального базиса В, обладающего свойством разбиения, {КМв-

интеграла), и доказываются свойства этого интеграла (леммы 3.4 — 3.6), необходимые для получения соответствующих дескриптивных характеристик. Наконец, 3.3 содержит главные результаты настоящей диссертации. В нём доказываются как уже известные дескриптивные характеристики кратных интегралов Курцвейля-Хенстока в терминах ВАСб^-функций и абсолютной непрерывности вариационных мер, так и новые дескриптивные характеристики кратного Р-ичного интеграла Курцвейля-Хенстока (следствия 3.5 — 3.8, теоремы 3.7, 3.8). Как уже было отмечено выше, теоремы 3.7, 3.8 являются новыми и усиливают результаты [177, теорема 2] и [180, следствие 2]. Приводится также упрощённое доказательство аналогичных результатов, полученных ранее в отношении кратного интеграла Курцвейля-Хенстока ([82, теорема 4.3], [85, теорема 4.4]).

Автор выражает благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Скворцову Валентину Анатольевичу за плодотворные обсуждения поставленных задач и постоянную поддержку.

Производные и производные числа относительно дифференциальных базисов

Понятие дифференциального базиса порождает 3 группы ключевых для дальнейшего изложения объектов: производные по базису, мера относительно базиса и интегрирование по базису. Иными словами, со всяким дифференциальным базисом, удовлетворяющим определённым условиям, связаны свои собственные теории дифференцирования и интегрирования, а также теория меры. Рассмотрению первой группы объектов будет посвящен этот параграф. Всюду здесь будут рассматриваться дифференциальные базисы 2, заданные на подмножествах евклидова пространства, 2-множества которых измеримы по Лебегу. Следующее определение производной по базису является естественным обобщением понятия производной в классическом смысле на произвольные дифференциальные базисы. Определение 1.11. Пусть дифференциальный базис 2, заданный на непустом множестве ЕсЖт, не игнорирует точку хЄЕ. Функция 2-миожества F: Ф — R имеет производную DzF(x) по базису 2 в точке х: если для любого є 0 существует элемент /ЗЕЕ, такой, что для любого Н-множества М, для которого (х,М)є/3[{х}], справедливо неравенство Таким образом, производная по базису Е в точке хЄЕ есть предел отношения -4щ по базе $ = {{М : (х, М) Є(3[{х}]}}„ . Функция 2-множества, имеющая конечную производную по базису Е в точке х, называется дифференцируемой в точке х по базису Е, а функция, дифференцируемая по базису 2 в каждой точке множества Е, — дифференцируемой на мпооїсестве Е по базису 2. Очевидно также, что необходимым условием дифференцируемое функции на множестве Е по базису 2 является условие того, чтобы дифференциальный базис 2 являлся базисом Витали. Дальнейшая специфика связана со структурой пространства Жт при т 1. Определение 1.12. Пусть число рє(0,1], и на непустом множестве EcRm задана функция р:Е-ї(0,1] и дифференциальный базис 2, такой, что множества {М: (х,М)є/3[{х}], reg М р} ф 0 для любого элемента (ЗбЕ. Тогда эти множества, очевидно, образуют базу Ър, предел отношения -bjf по которой называется р-регуляриой производной функции Е-мноэюества F в точке xGE по базису 2 и обозначается Д= F(x). Функция 2-множества дифференцируема в р-регулярном смысле по базису Е в точке ж, если р-регулярная производная в этой точке конечна. Функция Н-множества дифференцируема па множестве Е в регулярном смысле по базису Е с регулярностью р(-), если она дифференцируема в р(я:)-регулярном смысле по базису Е в каждой точке хЕ. Очевидно, в последнем случае базис

Е необходимо должен порождать регулярный базис Витали Ер регулярности /?(). Из сказанного в предыдущем определении вытекает, что дифференцируе-мость функции на множестве Е в регулярном смысле по базису Е с регулярностью р(-) равносильна её дифференцируемости по базису Ер на этом множестве, причём соответствующие производные совпадают. В частности, для регулярного базиса Витали регулярности р(-), заданного на непустом подмножестве пространства Жт, понятия производной и регулярной производной регулярности р(-) относительно этого базиса совпадают. В дальнейшем будут также использоваться производные числа по базам ЯЗ и Шр которые будут называться соответственно верхней, нижней, верхней р-регулярпой и нижней р-регулярпой производной функции F по базису Е в точке х. Следующее утверждение очевидно. Утверэ/сдеиие 1.2. ([108, гл. 1, 1.2, предложение 1.2.3]) Существование производной D F(x) (р-регулярпой производной D F(x)) в точке х по базису Е равносильно выполнению равенства D F(x) = D3F(x) = D F{x) Это утверждение позволяет ввести ещё один вид производной, занимающей промежуточное положение между производной и регулярной производной но базису. Определение 1.13. Пусть на непустом множестве EcRm задан дифференциальный базис Е, порождающий хотя бы один регулярный базис Витали Ер(.) некоторой регулярности р(-). Для функции Н-множества F рассмотрим величины FE(x) = sup DzpF(x) и F (x) = inf 1)= F(x), где supremum и infimum берутся no множеству всех регулярностей р(-), соответствующих всевозможным регулярным базисам Витали, порождённым базисом Е. Величина F-={x) называется верхней обычной производной функции F по базису Е в точке х, а величина F (ж) — нижней обычной производной функции F по базису Е в точке х. Общее значение Fi(x) этих величин называется обычной производной функции F по базису Е в точке х. Функция Н-множества дифференцируема в обычном смысле по базису Е в точке х, если обычная производная в этой точке конечна. Наконец, функция S-множества, дифференцируемая в обычном смысле по базису Е в каждой точке множества Е, называется дифференцируемой в обычном смысле по базису Е на множестве Е. Непосредственно из определений 1.11 — 1.13 вытекает, что при соответствующих предположениях о дифференциальном базисе Е между введёнными производными числами имеются следующие соотношения Из соотношений (2) вытекает, что существование сильной производной по базису Е влечёт существование обычной производной по этому базису, а существование обычной производной — существование р-регулярной производной.

Отсюда вытекает, что для регулярного базиса Витали регулярности /?(), заданного на непустом подмножестве пространства Rm, все три понятия производной относительно этого базиса совпадают. В частности, верно, что Лемма 1.2. Обычная производная FE(x) no базису E в точке x существует тогда и только тогда, когда существуют все рп-регулярные производные Д F(x) в этой точке для некоторой последовательности pn\inf Л(х), п-»+оо; где Л(х) = {р(х): Ер — дифференциальный базис, порождённый базисом Е и не игнорирующий точку х]. Доказательство. Необходимость вытекает из неравенств (2), причём все Рп-регулярные производные по базису Е равны обычной производной по это му базису. Обратно, в силу утверждения 1.2 и неравенств (2) из существо вания всех рп-регулярных производных вытекает их равенство друг другу. Следовательно, Fjz(x) = FE(x), что в соответствии с определением 1.13 озна чает существование обычной производной Fi(x). Лемма доказана. Перейдём теперь к рассмотрению базисов В (см. 1.1). Определение производной относительно таких базисов перепишется тогда следующим образом: функция -множества F имеет производную DBF{x) по базису В [или

Некоторые сведения из общей теории меры

В данном параграфе приводятся некоторые понятия и факты общей теории меры, необходимые для дальнейшего изложения. Система S подмножеств множества Е называется п-системой, если она замкнута относительно конечных пересечений, т.е. для всяких множеств A, BES пересечение АПВєБ. 7Г-система 21 подмножеств множества Е называется алгеброй, если ЕєЯІи ААВєЯІ для всяких множеств А, В Є21, при этом само множество Е называется единицей алгебры 21. Наконец, алгебра А называется а-алгеброй, если для всяких множеств А\, А ±, Лз,.. .Є.А их объ единение (J АпєА. Множества, принадлежащие сг-алгебре А, называются измеримыми. Пара (Е,А), где А — т-алгебра, а Е — единица сг-алгебры А, называется измеримым пространством. Наряду с сг-алгебрами будут рассматриваться более широкие классы множеств — так называемые А-системы. Система V подмножеств множества Е называется Х-системой, если: 1) EeV; 2) для всяких множеств А, ВєТ , таких, что В С А, разность А\ВєТ ; . . 3) для всякой последовательности А\ С Аі С А$ С ... множеств Ап V при этом множество Е также будет называться единицей \-системы V. Следующие утверждения очевидны. Утверждение 1.3.

Система множеств А является а-алгеброй тогда и только тогда, когда она является одновременно -к-системой и Х-системой. Утверждение 1.4. Пересечение любого семейства -к-систем (алгебр с единицей Е, а-алгебр с единицей Е, Х-систем с единицей Е) является 7г-системой (алгеброй с единицей Е, а-алгеброй с единицей Е, Х-системой с единицей Е). Пусть задан некоторый класс /С подмножеств множества Е. Наименьшей 7г-системой, содержащей класс К, (или 7Г-системой, порождённой классом /С), называется такая 7Г-система 5(/С), что JCcS(JC)cS для всякой -системы S, содержащей класс /С. Аналогично определяются понятия наймень- тих алгебры, а-алгебры и Х-системы, содержащих класс К подмножеств множества Е. Для всякого такого класса /С из утверждения 1.4 вытекает существование наименьших 7г-системы, алгебры, сг-алгебры и Л-системы, содержащих /С, а именно это есть пересечение всех 7г-систем, алгебр, сг-алгебр и Л-систем, содержащих данный класс, соответственно. То, что 7г-системы, алгебры, сг-алгебры и Л-системы, содержащие класс К,, существуют вытекает хотя бы из того, что множество всех подмножеств множества Е является такой сг-алгеброй. Наименьшая сг-алгебра, содержащая все открытые подмножества некоторого топологического пространства, называется борелевской, а множества, ей принадлежащие, — борелевскими. Справедлива следующая теорема ([139, том 1, гл. 1, 1.12, теорема 1.12.1], [140, гл. 1, 3, теорема 1]). Теорема 1.1. (Sierpinski) Наименьшая \-система, содержащая -к-системі} подмножеств множества Е, совпадает с наименьшей а-алгеброй, со-дероісащей данную тт-систему. Перейдём теперь к рассмотрению функций множества. Функция множества F: 21- [—оо,+оо], заданная на некоторой алгебре 21, называется аддитивной, если для всяких непересекающихся множеств А,Вє 21 справедливо равенство Функция множества F: А-ї [—сю, +оо], заданная на некоторой сг-алгебре А, называется счётио-полуаддитивной, если для всяких множеств А\, А2,.. .Є А справедливо неравенство ( Наконец, функция множества F: А — [—сю, +сю] называется а-аддитивной, если для всяких попарно непересекающихся множеств А\,А2,А$,... Є А справедливо равенство (

Очевидно, сг-аддитивность влечёт аддитивность. Кроме того, непосредственно из определения вытекает, что аддитивная функция, заданная на некоторой алгебре, необходимо может принимать только лишь одно из бесконечных значений —сю или +сю ([150, ч. 1, гл. 1, 3, п. 3.1], [169, гл. 6, 28, упражнение 4]). Неотрицательная аддитивная функция v. А — [0, +оо], заданная на некоторой сг-алгебре А и удовлетворяющая условию и(0) = О, называется мерой, а неотрицательная сг-аддитивная функция, удовлетворяющая тому же условию, — а-аддитивпой мерой. Среди всех мер, заданных на некоторой сг-алгебре А, выделяют следующие классы: конечные меры, т.е. меры, принимающие лишь конечные значения; а-конечные меры, т.е. меры и, допускающие представление Е = \J Хп, где множества ХпєА, v{Xn) +оо и Е — единица сг-алгебры Л; полуконечные меры, т.е. такие меры, что во всяком измеримом мно жестве бесконечной меры найдётся непустое измеримое подмножество конечной меры. Очевидно, что всякая конечная мера является сг-конечной мерой, а всякая (т-конечная мера — полуконечной. Данные включения строгие. Очевидным примером сг-конечной, но не конечной, меры является мера Лебега в Rm. Примеры полуконечных, но не (Т-конечных, мер приводятся ниже. Пример 1. а) Функция является сг-аддитивной полуконечной, но не сг-конечной, мерой, заданной на сг-алгебре всех подмножеств некоторого более чем счётного множества. б) Рассмотрим следующую сг-алгебру А подмножеств пространства Rm: множество будет называться измеримым, если оно либо его дополнение до Rm не более чем счётно. Нетрудно проверить, что система множеств Л действительно является сг-алгеброй. Более того, измеримые множества, дополнения до которых не более чем счётны, вместе с пустым множеством задают топологию в Ш.т, при этом сг-алгебра А в точности является борелевской сг-алгеброй относительно введённой топологии. Тогда мера Лебега, суженная на сг-алгебру Л, является сг-аддитивной полуконечной, но не сг-конечной, мерой ([139, том 1, гл. 1, 1.12, задача 1.12.68]). Следующее утверждение очевидно. Утверждение 1.5. Пусть па сг-алгебре А с единицей Е задана полукопечиая мера v. Тогда ({ж}) +оо для всякой точки хЄЕ, для которой множество {х}еА. Обратное утверждение, вообще говоря, не верно. Например, если рассмотреть множество " = {1,2,3}, в качестве сг-алгебры взять систему множеств А={0, {1,2}, {3}, Е] и задать на ней меру v следующим образом: v(0) = О, v({l,2})=v(E)=-\-oo, ІУ({3}) = 1, ТО ({3}) +оо, но v не является полуконечной мерой. Вместе с тем для большинства часто используемых сг-ал-гебр утверждение 1.5 выполнено в обе стороны. Утверждение 1.6. Пусть а-алгебра А с единицей Е такова, что миоэюе-ство {х} Є А для всякой точки х Є Е. Мера v, заданная на а-алгебре

А, полуконечпа тогда и только тогда, когда v({x}) +оо для всех хЄЕ. Доказательство. Необходимость вытекает из утверждения 1.5. Достаточ ность очевидна, поскольку во всяком измеримом множестве бесконечной меры ввиду его непустоты всегда найдётся точка, по условию являющаяся измеримым множеством и имеющая конечную меру. Утверждение доказа но. Утверждение 1.6 показывает, чтобы охарактеризовать все полуконечные меры, заданные на некоторой сг-алгебре, при помощи значений, принимаемых этими мерами на классе всех одноточечных множеств, соответствующая сг-алгебра должна быть достаточно богата, а именно включать в себя все одноточечные подмножества своей единицы. Таковыми, например, являются сг-алгебра всех подмножеств некоторого непустого множества, сг-алгебра всех измеримых по Лебегу подмножеств пространства Rm, борелевская сг-алгебра всякого топологического -пространства. Вместе с тем существуют плохие меры, не являющиеся даже полуконечными. Таковыми, например, являются сг-аддитивные меры где множество ВсЕ непусто, заданные на сг-алгебре всех подмножеств некоторого непустого множества Е. Важными примерами функций множества являются внешние меры, являющиеся также сг-аддитивными мерами на специальным образом определяемых 7-алгебрах. Счётно-полуаддитивная функция т, заданная на сг-алгебре А подмножеств множества Е, принимающая значения в множестве [0, +оо], такая, что т(0)=О и т(Л) т(Б) для всяких измеримых множеств АсВ, называется внешней мерой. Множество А СЕ называется измеримым по Ка

Абсолютно непрерывные вариационные меры

Всюду в данном параграфе под абсолютной непрерывностью вариационной меры будет пониматься её абсолютная непрерывность относительно меры Лебега в Rm. Абсолютная непрерывность, сг-конечность и дифференцируе-мость. В данном пункте будут изучены связи между абсолютной непрерывностью, cr-конечностыо вариационной меры V(B, F, ) и дифференциальными свойствами функции F. Прежде всего из следствия 2.2 и теорем 2.5, 2.7 вытекает ряд следствий, показывающих, что абсолютная непрерывность вариационной меры влечёт её сг-конечность, что, вообще говоря, не так для произвольных сг-аддитивных мер. Следствие 2.5. Пусть па непустом мнооїсестве ЕсМ задан дифференциальный базис макшейповского типа В, являющийся базисом Витали, и функция В-множества F: Ф — Ж. Тогда вариационная мера V(B, F, ), абсолютно непрерывная на (компактном) множестве Е, является уме--репной (конечной) борелевской мерой па Е, при этом, если множество Е измеримо по Лебегу, то V(B,F,-) является а-аддитивной мерой, заданной па а-алгебре всех измеримых по Лебегу подмпооїсеств мпооїсества Е. Следствие 2.6. Пусть на непустом измеримом по Лебегу множестве ЕсЖт задан дифференциальный базис В, удовлетворяющий условиям теоремы 2.6, и функция В-мпожества F : Ф — Ж. Тогда вариационная мера V(B,F, -); абсолютно непрерывная па мнооїсестве (Fa-множестве) Е, является а-конечпой (полуумереиной) сг-аддитивной мерой, заданной на а-алгебре всех измеримых по Лебегу подмпооїсеств мпооїсества Е, при этом справедливо представление E=\J Еп, где V(B,F,Еп) +оо, мпооїсества Еп (п — 2,3,...) компактны, а мпооїсество Е\ является Є$-множеством в Е меры ц(Е\) =0. Доказательство.

Если множество Е является і -множеством, то доказываемое следствие вытекает непосредственно из следствия 2.2 и теоремы 2.7. Пусть множество Е измеримо но Лебегу. Тогда существует і -множество РсЕ, такое, что мера ц(Е\Р) = 0. По теореме 2.7 вариационная мера V(В, + 00 F, ) полуумеренна на множестве Р. Это означает, что P=[j Еп, где V(B, п=2 F, Еп} +оо и множества Еп замкнуты. Поскольку всякое замкнутое множество в Жт представимо в виде счётного объединения компактных множеств, то без ограничения общности множества Еп можно предполагать компактными. Так как fi(E\P) = 0, то существует ( -множество GD(E\P) меры /i(G) = 0. Тогда множество Ei = E(lG является G -множеством в Е и имеет меру /І(-Е"І) = 0. В силу абсолютной непрерывности вариационной ме +00 ры V(B,F,Ei) =0. Так как Е= (J Еп, то вариационная мера V(B, F, ) n=l а-конечна на множестве Е. Утверждение о том, что V(B, F, ) является а аддитивной мерой, заданной на а-алгебре всех измеримых по Лебегу подмно жеств множества Е, следует непосредственно из следствия 2.2. Следствие доказано. Пример 8. Легко показать, что для произвольных сг-аддитивных мер следствия 2.5 и 2.6, вообще говоря, неверны. Пусть на отрезке [—2,2] задана функция Тогда функция множества и(А) = J f(x)dfi, где под интегралом понимает А ся интеграл Лебега, является, очевидно, абсолютно непрерывной, но не а конечной, (Т-аддитивиой мерой, заданной на сг-алгебре всех измеримых по Лебегу подмножеств отрезка [—2,2]. Следующая лемма устанавливает связь между дифференциальными свойствами функции -множества F и абсолютной непрерывностью вариационной меры, построенной по F. Лемма 2.5. Пусть на непустом измеримом по Лебегу миооїсестве ЕсШ"1 задан дифференциальный базис Витали В, у которого В-множества М измеримы по Лебегу и і(МПдМ) = 0, а также функция В-мнооїсества F: Ф - Ш, всюду на Е имеющая конечные верхнюю и ниоіснюю В-произ-водные DQF и D_ftF. Тогда вариационная мера V(B, F, ) абсолютно непрерывна на мнооїсестве Е. Доказательство. Множество Е можно представить в виде Е= (J Еп, где Еп = \хЄЕ\ DB\F\(X) 7I}.

Так как вариационная мера V(B, F, ) является внешней мерой, заданной на всевозможных подмножествах множества Е (теорема 2.1), то достаточно установить её абсолютную непрерывность на каждом из множеств Еп. Пусть А — произвольное подмножество множества Еп меры fi(A) = 0. Пусть также зафиксировано є 0. Тогда найдётся открытое множество GDA меры По построению множества Еп для любой его точки х найдётся 5(х) 0, такое, что для любой пары (х, М)єВ$[{х}] будет выполнено неравенство Положим 5{x) = mm(5(x),d(x,Rm\G)) для каждого хеЕп, где d обозначает евклидову метрику в Rm. Пусть {(а;г-,Мг-)}р_1 — произвольное разбиение на множестве А, согласованное с 6(-). Поскольку ц(МгПдМ{) = О, то попарные пересечения -множеств М\ имеют нулевую меру, поэтому Это означает, что В силу произвольности выбора е 0 отсюда следует, что V(B, F, А) = 0, т.е. вариационная мера V(B, F, -) абсолютно непрерывна на каждом множестве Еп. Лемма доказана. Лемма 2.5 позволяет охарактеризовать абсолютно непрерывные вариационные меры через их сг-конечность. Теорема 2.8. Пі)сть на непустом измеримом по Лебегу множестве ЕсМ.т задан дифференциальный базис В, удовлетворяющий условиям теоремы 2.6 и обладающий свойством Витали, а также функция В-множест-ea F : Ф - Е. Вариационная мера V(B,F,-) абсолютно непрерывна на множестве Е тогда и только тогда, когда: 1) V(J3, F, ) а-конечна на Е; 2) V(B, F, E\D) = 0, где D обозначает множество точек хЕЕ, в которых верхняя и нижняя В-производиые DQF и Дв-Р1 конечны. Доказательство. В силу следствия 2.6 из абсолютной непрерывности вариационной меры V(B, F, ) на множестве Е вытекает её сг-конечность на этом множестве. По лемме 2.2 верхняя Б-производная -DBF конечна почти всюду на Е. Так как для всех х Є Е, то верхняя и нижняя -производные DBF и DBF конечны почти всюду на множестве Е, т.е. fi(E\D) = 0. Тогда в силу абсолютной непрерывности V(B, F, E\D) = 0 И необходимость доказана. Докажем достаточность. Из условия теоремы вытекает, что 5-множества М измеримы по Лебегу и ц(МГ\дМ) = 0. Так как вариационная мера V(B, F, -) сг-конечна на множестве Е, то по лемме 2.2 верхняя -производная -Dtfl-F"! конечна почти всюду на Е.

По доказанному выше это равносильно тому, что [i(E\D) = Q. В силу условия 2) и того, что вариационная мера V [В, F, ) является внеш ней мерой, заданной на всевозможных подмножествах множества Е (теоре ма 2.1), . . для любого множества Ac (E\D). Так как n(E\D) = 0, то в силу полноты меры Лебега это означает абсолютную непрерывность вариационной меры V(B, F, ) на множестве E\D. Кроме того, по лемме 2.5 вариационная ме ра V(B, F, ) абсолютно непрерывна на множестве D, поэтому V(B, F, ) абсолютно непрерывна на всём множестве Е. Теорема доказана. Пример 9. Для дифференциальных базисов, не обладающих свойством Витали, теорема 2.8, вообще говоря, уже не верна. Прежде всего условие 2) перестаёт быть необходимым. Для этого на m-меріюм интервале /о рассмотрим полный базис ВР и суммируемую функцию / с неопределённым интегралом Лебега F(I) = J fdfi, верхняя сильная производная которого D F(x) = со для всех х Є /о ( существовании таких функций см. [118], [144, гл. 4, 2, теорема 2.1]). Тогда множество D из теоремы 2.8 пусто. В то же время в примере 5 а) отмечалось, что вариационная мера V(В "4, F, ) абсолютно непрерывна па 1о, поэтому теореме Радона-Никодима (теорема 2.15) т.е. условие 2) теоремы 2.8 не выполнено. То обстоятельство, что условие 2) теоремы 2.8 не является необходимым для абсолютной непрерывности вариационных мер V(B, F, ) относительно дифференциальных базисов В, не обладающих свойством Витали, связано с тем, что из абсолютной непрерывности таких мер на измеримом множестве Е, вообще говоря, не следует конечность верхней и нижней Б-производных функции F почти всюду на Е. Однако, если в условии 2) теоремы 2.8 вместо производных чисел DQF И DBF рассмотреть обычные производные числа FB и ҐБ, то из неравенств (5), леммы 1.2, теоремы 2.4 и следствия 2.6 вытекает, что таким образом изменённые условия 1) и 2) теоремы 2.8 будут уже необходимыми для абсолютной непрерывности вариационных мер V(B, F, ) относительно дифференциальных базисов В, удовлетворяющих условиям приведённых утверждений, но не обладающих свойством Витали. Вместе с тем эти условия, будучи необходимыми, не являются достаточными. Пример 10. Пусть -Е = [0,1]х[0,1].

Двоичные интервалы [ , г]х[ , 4±г] (і = 0,..., 2к-1; j = 0,..., 2П - 1; к, п = 0,1,2,...) будем обозначать Д$п). Квадраты А\ назовём двоичными квадратами ранга к. Определим аддитивную функцию двоичного интервала F следующим образом. Положим Тогда из соображений аддитивности необходимо положить На двоичных квадратах одинакового ранга, содержащихся в А{1 (i=0,1), соответственно в Д10 , значения функции F положим равными друг другу так, чтобы в сумме они давали (Д ) (i = 0,1), соответственно (Діо ) Пусть на к-и шаге (к= 1,2,3,...) уже определены значения функции F на всех двоичных квадратах, лежащих вне квадрата Д 0 , и F(AQQ ) — оо Внутри квадрата AQ0 рассмотрим двоичный интервал Дд0 ; регулярности 2Ш" и двоичный интервал Доо регулярности тр. Тогда на двоичном квадрате Д и на всех двоичных квадратах, лежащих вне Д но внутри А00 , зададим функцию F так,

Интегралы хенстоковского типа

Наконец, третьим объектом, связанным с понятием дифференциального базиса, является интеграл относительно выбранного базиса. Эти интегралы называются интегралами хенстоковского типа. Здесь ограничимся изложением лишь той части этой достаточно обширной теории, которая необходима для доказательства дескриптивных характеристик кратного и кратного Р-ичного интегралов Курцвейля-Хенстока. Необходимые факты будут изложены в достаточно абстрактной форме, предложенной в работах [108] и [131]. Определение 3.3. Пусть задан дифференциальный базис В, обладающий свойством разбиения, -множества которого измеримы по Лебегу. Функция /: MQ — R называется КМв-иптегрируемой па В-множестве MoCRm и действительное число А называется её ЮНв-иптегралом, если для любого 0 существует функция 5: Мо- (О, +оо), такая, что для любого разбиения {(ж;, Mi)Yi=1 множества MQ, согласованного с 5(-), справедливо неравенство Значение интеграла обозначим через ()СНв) / / Нетрудно заметить, что /С%#-интеграл является пределом римановских сумм. по базе $ = {$ 5} 5, элементы $j которой состоят из всех разбиений В-мио-жества MQ, согласованных с 5(-). Отсюда вытекает единственность /СН#-ин-теграла как предела по указанной базе.

Аналогично определённому интегралу Римана, непосредственно из определения вытекает /С"Н#-интегрируе-мость функции / на любом Н-множестве, содержащемся в MQ, а также линейность, аддитивность и однородность /С%-интеграла на -множествах MCMQ. Таким образом, для каждого из дифференциальных базисов, перечисленных в лемме 1.1, можно определить соответствующий интеграл хенстоковского типа. КМ.$кч-, КЖ кч-, ICHBV- и /СН р-интегралы называются, соответственно, интегралом Курцвейля-Хеистока, р-регулярпым интегралом Курцвейля-Хенстока, V-чиым интегралом Курцвейля-Хенстока и р-регулярным V-чным интегралом Курцвейля-Хеистока, а /С%#от-интеграл — интегралом Мак-Шейиа. Для краткости в дальнейшем ІСН кч-, КЛі кч-, JCHBV-, JCHBV-, КМвш-, JCH m-, KfK$m.v- и /С отр-интегралы будут обозначаться соответственно КЖ, JCHp, KM?, JCTi , 9Я, 9ЯР, ШТ и 9Я%, а KMB{MQ) будет обозначать множество всех /С%?-интегрируемых функций на -множестве MQ. Определение интеграла Курцвейля-Хенстока на отрезке впервые было сформулировано Я. Курцвейлем ([68]), а основные свойства этого интеграла были изучены Р. Хенстоком (см., [47], [48], [50]). Затем Мак-Шейн ввёл свой интеграл хенстоковского типа на отрезке, эквивалентный интегралу Лебега ([100, 13, теорема 13.6]). Двоичный интеграл Курцвейля-Хенстока на отрезке был введён А. Пакеманом ([109]). Наконец, интегралы хенстоковского типа относительно произвольного дифференциального базиса В были рассмотрены К. М. Осташевским и Б. Томсоном в работах [108] и [131]. Нетрудно заметить, что определение /С%-интеграла получено модификацией римановского определения интеграла путём замены положительного числа 5 на положительную функцию 5(-), при этом, как будет видно ниже, выбором конкретного дифференциального базиса В можно добиться того, чтобы соответствующий /С%#-интеграл являлся либо классическим интегралом Римана, либо интегралом Лебега, либо более общим интегралом Перрона. Непосредственно из определения 3.3, а также определений дифференциальных базисов В 71, ВрП, Bv, Bvp, Вш, В 1, ВШТ и B v вытекает следующее утверждение. Утверэюдение 3.1. Пусть задан т-мерный интервал IQ и функция f:Io-± - R.

Тогда справедливы следующие импликации: 1) если/є/С ([0,1]т), то /Є/С 2([0,1]т) , где0 р1 р2 1; при этом значения соответствующих интегралов совпадают. Каждое включение в утверждении 3.1 строгое. То, что интеграл Курцвейля-Хенстока существенно шире интеграла Мак-Шейна, вытекает, как из эквивалентности интегралов Мак-Шейна и Курцвейля-Хенстока соответствен-. но интегралу Лебега и интегралу Перрона (см. 3.3), так и из того факта, что интеграл Мак-Шейна абсолютный, а интеграл Курцвейля-Хенстока нет (см. [42], [76], [79], [ИЗ]). Примеры функций, показывающие, что включения 2) и 3) строгие, приведены в [35] и [58], а функции, интегрируемые Точным интегралом Курцвейля-Хенстока, но не интегрируемые по Курцвей-лю-Хенстоку, построены в работах [9] и [121]. Наконец, нетрудно заметить, что функция примера [35, пример 4.2], интегрируемая / регулярным Точным интегралом Курцвейля-Хенстока при любом рє(0,1], не интегрируема не только по Курцвейлю-Хенстоку, но и Р-ичным интегралом Курцвейля-Хенстока, а функция примера [35, пример 4.1], /СН -интегрируемая при любом р а, не является не только /СН -интегрируемой, но и /СНр-интегрируе-мой, при р а, где а — некоторое фиксированное число из полуинтервала (0,1]. Это означает, что включения 5) и 6) также строгие. Следующие 3 леммы являются ключевыми для дальнейшего изложения (см., например, [108], [131]). Лемма 3.4. Пусть заданы дифференциальный базис В, обладающий свойством разбиения, В-миооїсества которого измеримы по Лебегу, и функции /: MQ - R и g: MQ —» Ж, такие, что f(x) = д{х) почти всюду на MQ. Тогда КМ -интегрируемость функции f на В-множестве MQ влечёт КЯІ -интегрируемость функции g на MQ и Доказательство. Пусть Е = {# Є MQ : f(x) ф g(x)} и рассмотрим функцию h(x) = f(x) —g(x). Очевидно, что h(x) = 0 при х Є MQ\E, поэтому в силу линейности /С%5-интеграла достаточно доказать, что Нє)СНв{Мо) и её /С%?-интеграл равен нулю. Рассмотрим множества Еп= [хєЕ : п — 1 /І(Ж) П} (п = 1,2,3,...). Очевидно, что все они попарно не пересекают + 00 ся, Е— \JEn и р(Еп) = 0. Пусть зафиксировано є 0. Так как р(Еп) = 0, то 71=1 найдутся открытые множества GnDEn меры где d обозначает евклидову метрику в Жт. Тогда по определению функции 5(-) для любого разбиения {(#;, М;)}і=1 множества MQ, согласованного с 6(-), справедливо неравенство

В силу произвольности выбора є 0 это означает, что функция кЕ)С Нв(Мо) и (JCHB) Jh= 0. Лемма доказана. Мо Лемма 3.5 (слабая лемма Сакса-Хенстока). Пусть задан дифференциальный базис В, обладающий свойством разбиения, В-множества которого измеримы по Лебегу, и функция /: Мо — R, КЛів-интегрируемая па B-MuoQtcecmee MQ с неопределённым КМв-интегралом F. Тогда для любого 0 найдётся функция 5:MQ —)-(0, +оо), такая, что для любого разбиения {(ХІ, Mi)Y=l ш множестве Мо, согласованного с 5(-), справедливо неравенство г=1 Доказательство. Пусть зафиксировано є 0. По определению /СН -иите-грала существует функция & Мо - (0, +оо), такая, что для любого разбиения Р множества MQ, согласованного с 5(-), справедливо неравенство Пусть {(ХІ,МІ)УІ=1 — произвольное разбиение на -множестве Мо, согласованное с 5(-). Поскольку базис В обладает свойством разбиения, то множество Мо\ ((J М{) можно представить в виде конечного объединения по парно неперекрывающихся 5-множеств Lj (j = 1,...,s). Функция f КЖв интегрируема на каждом -множестве Lj, поэтому для любого 9 0 найдутся функции 5f.Lj—У (0, +оо), такие, что для любого разбиения Р, множества Lj, согласованного с 5j(-), справедливо неравенство Положим 5j(x) = mm(5(x),5j(x)) при x.Lj. В силу свойства разбиения существует разбиение {(xjk, Mjk)Yk=\ мпожества Lj, согласованное с 5j(-). Тог да множество 7г = {(xi, Mi)}p.=1 U {( jb jfc)} является разбиением В-множества MQ, согласованным с 5(-), поэтому в силу аддитивности F Лемма 3.6 (Сакса-Хенстока). Пусть задай дифференциальный базис В, обладающий свойством разбиения, В-множества которого измеримы по Лебегу. Функция /: MQ -» Ж КМ-в-иптегрируема па В-мпожестве MQ С неопределённым Юіц-иптегралом F тогда и только тогда, когда для любого є 0 существует функция 5: MQ —У (0, +оо), такая, что для любого разбиения {(жг-, Mj)}.=1 множества MQ, согласованного с 5(-), справедливо неравенство Доказательство. Пусть зафиксировано є 0. Согласно слабой лемме Сакса-Хенстока существует функция 5: MQ - (0, +оо), такая, что для любого разбиения Р на Б-множестве MQ, согласованного с 5(-), справедливо нера Пусть 7Г= {(ХІ, МІ)}.=1 — произвольное разбиение -множества MQ, согласованное с 5(-). Множества

Похожие диссертации на Вариационные меры в теории интеграла

Квазимеры, обобщенные интегралы и хаусдорфовы меры в теории рядов Хаара и УолшаПлотников, Михаил Геннадьевич

Спектральная теория операторов, интегралы типа Коши и меры КларкаКапустин, Владимир Владимирович

Теория интеграла многозначных комплексных функций абстрактного множества и ее некоторые приложенияГогуадзе, Дмитрий Филимонович

Теория дифференцирования интегралов над евклидовыми пространствами базисами из интервалов Стоколос А.М.

Обобщенные интегралы в теории рядов по мультипликативным системам и системам типа ХаараКоролева, Марина Павловна

Z-интеграл в теории рядов по обобщенным системам Уолша и ХаараКостин Валентин Викторович

Вопросы единственности представления функций рядами и интегралами в теории классических ортогональных системСворовска Татьяна Александровна

Многомерные классы функций ограниченной вариации и их применение в теории рядов и интегралов ФурьеБахвалов, Александр Николаевич

К теории минимизации кратного интеграла Супрун Дмитрий Георгиевич

Обобщенный вариант максимальной функции Харди-Литтлвуда и его применения к теории сингулярных и гиперсингулярных интеграловШафиев, Мамедали Фатулла оглы