Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Обобщение преобразования Каратеодори 23
ГЛАВА II. Связь между квадратичными условиями оптимальности 40
ГЛАВА III. Необходимые условия Сд-локального минимума ...54
ГЛАВА ІV. Выпуклость по Каратеодори и квазивыпуклость Мор-ри в существовании решения задачи минимизации кратного интеграла .65
Литература 89
- Обобщение преобразования Каратеодори
- Связь между квадратичными условиями оптимальности
- Необходимые условия Сд-локального минимума
- Выпуклость по Каратеодори и квазивыпуклость Мор-ри в существовании решения задачи минимизации кратного интеграла
Обобщение преобразования Каратеодори
В данной работе будет изучаться главным образом задача (0.1 с заданными граничными условиями заданная на границе области G функция. Лишь в третьей главе, при изучении условия Якоби для кратных интегралов, будут рассмотрены некоторые необходимые условия в задаче (0,і) с произвольными граничными условиями на " (г и нефиксированной областью интегрирования G . Отметим, что в диссертации основное внимание уделено случаю: и л , и . Для этого наименее исследованного случая в вариационном исчислении кратных интегралов имеются существенные пробелы, главный из которых заключается в значительном разрыве менду необходимыми и достаточными условиями минимума.
Несмотря на то, что первые попытки изучения задачи минимизации кратного интеграла начали предприниматься еще во второй половине прошлого века / Клебш [2] , Кобб з] /, до сих пор для задачи (0.Ґ) не построена такая стройная теория, как это сделано для однократного интеграла. Это обусловлено, главным образом, тем, что теория уравнешш в частных производных не предоставляет нам таких широких технических возможностей, какие дает теория обыкновенных дифференциальных уравнений для задач одномерного вариационного исчисления / J =л /. Необходимость применения теории уравнений в частных производных неизменно возникала во всех работах, касающихся существования решения и достаточных условий минимума. После работы Адаыара [4j , в которой он сформулировал необходимые условия для задачи минимизации кратного интеграла и отметил специфику этой задачи, связанную с увеличением размерности им, первой наиболее детальной и систематической работой по минимизации кратных интегралов были исследования Кара-теодори, в наиболее полной форме опубликованные в 1929 году \j\»
Б этой работе Каратеодори развил теорию минимизации кратного интеграла, основанную на некотором предложенном им формализме. Формализм Каратеодори основан на введенном им преобразовании, которое обобщает преобразование Лежандра на случай матричного аргумента преобразуемой функции. Использовав это преобразование, Каратеодори нашел достаточные условия С -локального и ( -локального минимума, развив теорию, аналогичную теории Гамильтона-Яко-би для однократного интеграла. Теория Каратеодори использует понятие геодезического поля, существование которого несколько позднее было показано Х.Бернером \5j и Л.Ван-Ховом [б] . К сожалению, в этих работах, смысл которых состоит в доказательстве существования решения некоторой системы уравнений в частных производных, в общем случае доказывалось существование решения и геодезического поля лишь локально, и, как следствие, получались лишь локальные достаточные условия/ локальность здесь понимается в смысле малости области интегрирования/ .
Конструкция формализма Каратеодори использует инвариантный : интеграл, обобщающий инвариантный интеграл Гильберта, йнтегрант инвариантного интеграла Каратеодори есть определитель /ty»-матрицы: oitt С — / У 1 (0.2) , элементы которой - частные dtp производные функций ы(-,х) , Ы = ,...,/ , играющих в данном случае ту же роль, что и функция действия Гамильтона в одномерном случае. Заметим, что изучение свойств этого интеграла и привело к введению преобразования Каратеодори.
Несколько более простую теорию для задачи минимизации кратного интеграла предложил Г.Вейль в 1934 году [7j . Как и в теории Каратеодори, основным в теории Вейля было некоторое преобразование, обобщающее преобразование Лежандра, и применение в соответствии с этим преобразованием теории геодезического поля. Однако и в этом случае существование геодезического поля было показано Вейлем[7І , а затем другим методом Ван-Ховом 8] , лишь локально, что тоже ограничило применение достаточного условия Вейля на случай малых областей интегрирования.
В качестве инвариантного интеграла, обобщающего инвариантный интеграл Гильберта, Вейль использовал интеграл, где кнтегрант СО.З) - дивергенция функци , играющих в данном случае роль функций действия Гамильтона. Такой пнтегрант устроен значительно проще, чем определитель (0.2) , использованный Каратеодори, что и привело к более простому преобразованию.
Для случая л" = Л обе теории, естественно, совпадают, но в общем случае они радикально отличаются друг от друга. Действительно, они дают совершенно различные функции Вейерштрасса для задачи CO.l) / см. формулы (2.1) и (2.2)/ и совершенно разные соответственно достаточные условия. Это показано во второй главе настоящей диссертации. Татя же показано, что достаточное условие Каратеодори является в некотором смысле более общим, чем условие Вейля. Кроме того, как показано в книге Х.Рунда [V) , изучение задач с нефиксированной областью интегрирования необходимо ведет к использованию теории Каратеодори.
К сожалению, интересные результаты Каратеодори прошли в основном мимо вниманя математиков. Действительно, само преобразование Каратеодори позднее встречается лишь в работе Бернера Гб] , а его теория геодезического поля была использована только в нескольких работах: Бернера 15,1 , Ван-Хова Гб] , Рунда Гэ] и в видоизмененном виде у Мартина Гіі] . Такое отношение к результатам Каратеодори может быть объяснено не только некоторой громоздкостью его преобразования, но и отрицательной оценкой теории Каратеодори, которую ей дал Вейль в уже упомянутой работе \f\ . В 11 этой работы Бейль попытался продемонстрировать, что теория Каратеодори может быть рассмотрена как предельный случай его теорії, хотя нагл кажется, что приведенные им соображения скорее подтверждают обратное. Кроме того, он отметил, что теория Каратеодори неприменима для случая, когда рассматриваемый интеграл не зависит от параметризации. Но, как известно, и преобразование Леяандра /в случае однократного интеграла/ неприменимо в этом случае і! требует соответствующего изменения. Такое изменение для теории Каратеодори было предложено в работах Гэ} и иід.
Связь между квадратичными условиями оптимальности
Для изучения связи между условиями Каратеодори и Адамара были использованы работы, в которых делались попытки преодолеть разрыв между необходимыми и достаточными условиями чисто алгебраическим путем, используя некоторые свойства квадратичных форм. В работах Терпстра [l8J и Хестенса и Мак-Шейна Гі9] был предложен метод, позволяющий исследовать задачу (0.1) , если подинтег-ральная функция -fftj p) удовлетворяет лишь условию Адамара, в то время как форма Вейля WCf ) для нее не является определенной. Такой метод основан на том факте, что интеграл з ел,\ь Ел Гь при заданном граничном условии " М = Щ не зависит от поверхности интегрирования Xt-Ь) , если постоянные коэффициенты - UAJB кососимметричны по любой паре индексов L#J и Ы,а . Это свойство доказано, например, в книге Р.Клотцера [24 . Поэтому, если рассмотреть вместо задачи (0.1) задачу с подинтегральной функцией -fл 6t, = , р; = 6+, р)-ь -b out/ju PIUPJ B » то полУчится задача, эквивалентная исходной /в случае задачи (0.1) с заданными граничными условиями/. Терпстра, а затем другим способом Мак-Шейн, показали, что если к или м меньше трех, а для С-fp. р- ) выполнено условие Адамара, то существует такая квадратичная форма ъи,}ь fUd Pip » - положительно определенная форма, то есть достаточное условие Вейля выполнено для функции А . Однако если к и и больше или равны трем, то такой "исправляющей " формы -б :» р, р.р может, вообще говоря, не существовать / см. пример в работе [18}/
Квадратичная форма Вейля WCf/ отличается от форільї Карате-одорп СCf) на форму с коэффициентами, обладающими описанными выше свойствами кососимметричности, поэтому возникает вопрос, при каких условиях форма Каратеодори будет "исправляющей" для исходной функции. Этот вопрос эквивалентен вопросу об условиях, при которых из условия Адамара следует достаточное условие Каратеодори. С помощью результатов, полученных почти одновременно Фтшслером Г26д , Альбертом 27] и Рейдом Г28[ , а так же некоторого уточнения этих результатов, сформулированного в теореме 2. 3 настоящей диссертации, доказано, что условие Адамара при некоторых ограничениях типа неравенства на функцию f Ofca p) влечет за собой условие Каратеодори в случае и = и -z . Точнее, рассмотрим уравнение относительно Д :
Упорядочим решения этого уравнения Х в порядке их возрастания. Тогда имеет место следующий результат: и для "ffkpje) выполне но строгое условие Адамара / то есть строгое неравенство Q0.6) для всех ненулевых X up /. Тогда форма С Сі) положительно определена при условии выполнения неравенства: \ L \$
В третьей главе настоящей диссертации рассмотрены необходимые условия Сд-локального минимума как для задачи 0.1) с заданными граничными условиями и фиксированной областью интегрирования, так и для задач с более общими граничными условиями.
Основной результат главы III содержится в теореме 3.3, в которой сформулированы необходимые условия Сл- локального минимума для задачи (0.1) с заданными граничными условиями. Эта теорема аналогична нзвестнок теореме о необходимых условиях для однократного интеграла / см. например Г29] /. Новым в формулировке теоремы 3.3 по сравнению с известными ранее результатами является то, что роль условия Лежандра / для однократного интеграла / в данном случае играет строгое условие Адамара. Ранее при выводе необходимого условия Якоби предполагалось выполнение условия Веііля. Но предположение о положительной определенности формы W(f) не представляется естественным при выводе необходимых условий, так как из примера, принадлежащего Рейду и примера 2.3 данной работы следует, что условие Вейля не является необходимым для исследуемой задачи.
В случае кратного интеграла естественное обобщение условия Якоби формулируется следующим образом: Определение 0.3 . Скажем, что на экстремали ЭССЫ выполнено необходимое условие Якоби, если ни в какой подобласти И & , не совпадающей с ? не существует решения системы уравнений Якобп /системы Эйлера для функционала второй вариации исходного функционала в точке с условиями:
Условию Якоби в такой формулировке был посвящен целый ряд работ. Первое доказательство необходимого условия Якоби для случая Н = Л и I = 2 было дано Соммерфельдом. Более простое доказательство для того не случая было дано Куботой распространил это доказательство на случаи обобщенного уравнения Якоби, то есть когда рассматривается соответствующее пнтег-ралъноеравенство. Другие модификации этих доказательств были рассмотрены в работах Рейда 33] и Карсона [3 . Б этих доказательствах разница в использовании условия Адамара или Бейля не играла роли, так как при К. =1 эти условия совпадают. При условии положительной определенности формы Вейля Wf) необходимое условие Якоби в случае произвольных И и м доказал Рааб [35І
Необходимые условия Сд-локального минимума
Последнее неравенство показывает, что $ft)sO доставляет L -локальный минимум в задаче (4.4) , то есть условие В/ выполнено. Лемма 4.1 доказана полностью.
Итак, слабая квазивыпуклость в смысле определения 4.3 почти эквивалентна тому, что %(±)=0 доставляет ( -локальный минимум в задаче (4.4), а слабая квазивыпуклость в смысле определения 4.2 - что )(4 =-0 минимум в классе функций с достаточно малой константой Липшица. Эквивалентность определений 4.2 и 4.3 следует теперь из факта, отмеченного Боллом \_60j. Он показал, что если неравенство 4.1 выполнено для любой t-lr) &(-) -бесконечнодифференцируемой функции с носителем, ледащим внутри S1. , то это неравенство верно и для всех функций \U)bM(J})t таких что Vfty принадлежит некоторому компакту /С в пространстве /й для почти всех - . Это следует из того, что такую функцию }(&J $СЛ) модно приблизить в этом пространстве функциями l ftJe-QCJZ) , для которых неравенство 4.1,/ выполнено. Заметим, что функция fcfe) , ІШк - О , удовлетворяющая условию Липшица с константой меньше такое, что обеспечена С -локальная минимальность функции в задаче (4.4), принадлежит пространству Н СЦ) и принадлежит компакту К = ( pcv IPtWl tte/ .ypjj с $ почти для всех t , причем при приближении такой \. (4:) функциями \гШс ()(Л) в ИооС І) , начиная снекоторого Л/ для всех У_ у\/ Цф1(61//С %& , ;&) Но Для таких функций уМ в случае, если выполнено определение 4.3 и строгое условие Ада-мара, неравенство (4.1) выполнено, так как \Швъ доставляет -локальный минимум задаче С4.4), поэтому это неравенство выполнено и для функции {(t) /см. Болл j[60j /, а значит \Ш = о - минимум в классе лшшшцевых функций с константой меньше В(і0 хв/в) то есть выполнено определение 4.2 . Ыорри \ъъ\ удалось доказать существование решения " Щ задачи Со.1), принадлежащего пространству Соболева W (Q) , при условии сильной квазивыпуклости -f (Ь, ; р) по р Теорема Ml. Пусть -j-ffc p) непрерывна по ("Ь, аг, / ) , сильно квазивы пукла по р . Предположим, что существуют такие числа о , къо и УМ„ , что для -f-C-fc,: , р) выполняются следующие условия роста: Пусть F - множество вектор-функций, слабокомпактных в пространстве И$С) , a F о , F - слабозамкнуто в Н -) , такое, что для любой tcC-) - F существует хТ-Нё Р , что - a) g_ = Тогда iCtC.J) достигает минимума на множестве F Как уже отмечалось, с задачей CD.і) непосредственно связала система уравнений Эйлера: Системе (4.14) удовлетворяет решение задачи (0.1) , поэтому при г состоящем из единственной функции, которая задает краевое условие (3.1) , теорема ГЯ дает существование обобщенного решения системы (4.14), если функция -f("ttx,p) удовлетворяет неравенствам (4.II), (4.12) и (4.13) . Иначе говоря, при условии выполнения (4.11)-(4.13), сильная квазивыпуклость - это условие существования решения квазилинейной системы (4.14). Непосредственная проверка условия сильной квазивыпуклости с помощью определения 4.1 довольно затруднительна. Удобное достаточное условие дает следующая теорема Г58] . Теорема Ї/Ї2. Пусть существуют такие кососимыетрические по любой паре верхних или НИЕНИХ индексов полилинейные формы С ПОСТОЯННЫМ! коэффи шкиташ: А? &и , A?j iu А . . .1 ..і. С4-Ю . что для любой их/» -матрицы -ft. = (dct) справедливо следую щее неравенство: Тогда функция ( Ь,ж/р ) сильно квазивыпукла по Р Покажем, что теорема Ы2 остается верной, если предположить, что все коэсЫшцпенты Л " » =4,...,/ » могут за висеть от Т-,.эор , применив прием, предложенный Морри J58J . Леша 4.2 . Пусть 2-2. , сМ С №/ t С = л,..., . Тогда: Доказатель с тво. Доказательство проводится индукцией по . При } = 2 соотношение (4.17) означает: - ()4 ) = о Пусть теперь соотношение C4.I7) выполнено при любом V : $N/$ и пусть ЪЛу.., к - функции от ft . -b ,) rlitide Последний член в (4.19) равен согласно предположению индук-ции, а первые два члена - производная определителя T(t ) » причем в первом слагаемом со знаком (-)) , а во втором с о . Итак, выражение (4.19) есть тождественный ноль, что и требовалось доказать. Лемма 4.3 . ют равномерному условию Липшица в области AL И одна из них равна на , тогда /s s \ Доказательство. Для определенности будем считать, что $ = О на Л . Выберем шар В , содержащий внутри и продолжил все на все пространство \R- так, чтобы fc)=0 вне А2, и оставалась бы Липшицевой с той же константой. Рассмотрим усред нение %с- функций v , тогда Ь- " )« при f- , - 6) и л =с на и в окрестности " [72]. Так как по теореме Лебега , то при доказательстве (4.20) мы МОЕЄМ предположить: - пространство бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем в В . Раскладывая определитель по \? -oil строке, а затем пользуясь шормулой Грина, имеем:
Выпуклость по Каратеодори и квазивыпуклость Мор-ри в существовании решения задачи минимизации кратного интеграла
Учитывая только что доказанную теорему и теорему 2.1, получаем следующий результат: Теорема 4.5 . Пусть функция /(, / ) непрерывна по (, :, f ) , дважды непрерывно-дифференцируема по р , oU& о и квадратичная форма CC-f) положительно определена для всех (Ь, Ър ) . Тогда -p(.t,x l ) сильно квазивыпукла по р
Действительно, как показано в теореме 2.1 , если oUtK o Е форма Cf-f) положительно определена, то для функции Е (tjKP/Pfe н» согласно теореме 4.4 pf X/pJ сильно квазивыпукла по
В качестве примененя теорем 4.4 и 4.5 приведем пример, в котором сильная квазивыпуклость следует из положительной определенности квадратичної! формы С Of) , в то время как форма WTrJ не является определенной. С этой, целью рассмотрим функцию -(р) = из примера 2.1 . В виду того, что в данном ос функция -ffp) , а следовательно и В С/ ,) не зависят/ состоит из суммы членов, не зависящих от JC , линейных по H и квадратичных по і : уже было отмечено в главе II , для любой -f-(bt э?ур; ЕС(( ,о) = = Еь(а,о) = О , откуда следует, что f fp,) совпадает с значением квадратичной формы C(lf) на матрице -п. . Как показано в примере 2.1, матрица квадртичной формы CCf) в этом случае положительно определена, поэтому (р, ,0 да любого I , и согласно теореме 4.4 /или теореме 4.5/ -p(bt "Х,р) сильно квазивыпукла по Р . Отметим, что квазнвыпуклость -f(p) в этом случае следует также и из Т -выпуклости функции -ffpj , так как функция Р(\їгі гг) = Л г/г ;+2гвьшуіша по 2 .
Используя теорему 4.5 и терему Ml, мы можем сформулировать теорему о существовании решения задачи (.0.1 в случае, если под-интегральная функция выпукла по Каратеодори. Теорема 4.6 .
Пусть -fd p) непрерывна по fa, ,?) и дважды непрерывно-дифференцируема по р , оЬ& о и квадратичная форма положительно определена для всех Ь,х,р . Кроме того, пусть выполнены условия роста функции -ffijX p) (_4.II) - C4.I3) при некотором S j . Тогда существует решение задачи (Q.I) гсШ /S/.
Учитывая отмеченную выше связь решений задачи (.0.1) с решениями соответствующей системы уравнений Эйлера, теорема 4.6 может быть использована при доказательстве существования решения квазилинейной системы уравнений Эйлера, если /(t,v,р) гладкая и выпуклая по Каратеодори функция, удовлетворяющая условиям (4.II) -C4.I3} . Условие выпуклости по Каратеодори, как мы ул;е видели в главе II, отлично от обычно предполагаемого для существования решений, нелинейных эллиптических систем условия положительной определенности квадратичной формы WCf) [64-66J .
Заглотим, что к функции -fCp ) = — Мр +роРгГ Р Ри теорема 4.6 неприменима, так как для нее не выполнено условие (4.11 . Приведем пример применения теоремы 4.6 при отсутствии обычно предполагаемого условия эллиптичности \j/(-f) о , несколько видоизменив рассмотренный выше пример. Пример 4.1 .
Рассмотрим функцию. Покажем, что несмотря на присутствие знака модуля в fp), фун- кция -fit /р) по-прежнему сильно квазивыпукла по р Действительно, при р таком, что Д// -/ „./ о , совпадает с f(f ) , рассмотренной выше и ее функция Cfofijz-O поэтому в таких точках Р выполнено достаточное условие сильной квазивыпуклости (4.I6J » а с ним и условие, определяющее сильную квазивыпуклость - неравенство C4.I) . Если же ////"&/$ » то вычисления, аналогичные вычислениям примера 2.1, показывают, что и в этом случае ff ) 0 , а значит тоже выполнено неравенство (4.1). Осталось рассмотреть случаи, когда р,,р2i PnP3f Лежи. 4.6 .
Пусть для непрерывной функции f(t/X,f } неравенство C4.I) в определении сильной квазивыпуклости выполнено для всех точек , за исключением множества меры О . Тогда -fltftp) сильно квазивыпукла по р
Доказательство. Выберем произвольную точку р0 е Af . Так как Л/ - множество меры о , то существует такая последовательность [рЛ /V , что р„-ъ ро . Пусть \C-lr) - (\ Ш,. , )пШ)- произвольное лишгацево многообразие с условием До =& Очевидно, что У Ш+Рл, равномерно стремится к v)c-&)-f-p0 в области AZ. . Для любого , по предположению, верно: Переходя к пределу в этом неравенстве, по теореме Лебега и из непрерывности -р(-6,зг,р) по р , получаем: определение 4.1 сильной квазпвыпуклости выполнено при всех р Из леммы 4.6 вытекает, что -fiCf ) сильно квазивыпукла, так как А/ = Iр: р„Ргг-Рпри - J множество меры ноль в пространстве jfi / .
