Введение к работе
Актуальность темы. Предмет исследования. Одно из центральних мест в теории целых функции одного 'и многих комплексных переменных занимает исследование взаимосвязи между распределением нулей функции и ее поведением. В эту тематику включаются проблеми описания нулевых множеств и множеств (н9-)единст.венности для целих функций из определенных классов и пространств. Актуальность этом проблематики, наряду с тем, что она продиктована внутренней логикой теории целых функций, естественным образом инициируется вопросами, свя -данными с полнотой систем функций, интерполяцией, аналитическим продолжение'.), представлением рядами, уравнениями свертки, со спектральным синтезом и другими проблемами.
В диссертации основные исследова-чл вопросов, прямо или кос -венно отражающих взаимосвязи мекду распределением нулей и поведе -ниєм целой функции, сконцентрированы на следующих, темах.
-
Условия вполне регулярного роста (вп.р.р.) целой в (П функции конечного порядка на системе лучей.
-
Множества (не-)единстеенности для ейсовых пространств це -лых функций одной, переменней.
-
Аналитические'множества (не-)единственности чистой кораз -мерности I (дивизоры (не-)единственности) для весовых алгебр це -лых функций многих переменных.
А) Экстремальные оценки типа (круголого индикатора) цеяых п п , Н ^ / , функций порядка р , дел;іщ:іхся на эпданнуэ пі -лую. фуккиию.
-
Полнота систем з депонент в пространствах функций, голоморфных в области.
-
Представление меромор'ных функций я
гкде частного целых фунтний минимального роста. -
Теоремі.! единственности плч целых функций ;ссне«!-!^!'о поряди" с ограничениями на радиальный индикатор в * 'х .
Методика псследоланий в диссертации сцементирована воедино планомерным применением фундаментального' в теории потелциагн по.чя -тия П'метания и его рззгития.
'Гг.'-'атика, страшенная в п.Т, берет свое нгиоио в работах S.Я.Лесина и Л. ПІ'лпгерч [ іj , 1936-1939 гг. Основная теорема о целых функция*, в1'.р.р., полученная я-'И, дает полное описание последовательности iiy.vufi целой функции вп.р.р. ИЗ ШШ плоскссти.
Эта теорема обч^-.але.сь в работах ЗЛ'.Лзаршп. С.К.Балашова,
_ 4 -
А.Ф.Гришина, в цикле работ А.А.Кондратюка и др.(обзор в [2] ) как для класса (в целых функций конечного типа при порядке /> , так и для более общих классов функций. Однако до недавнего времени речь, как правило, тла о вп.р.р. на множествах, с^щпвдакщих с плоскостью Ч, . Определенная информация о вп.р.р. целой функции в угле может быть получена из результатов Н.В.Говорова о голоморфных функциях вп.р.р. в угле. Условия более слабые, чем вп.р.р. целой функции на одном луче (слабая регулярность, у-регулярность) исследовались А,Ф.Гришиным и М.Л.Содиныи /} . Эти условия можно рассматривать и как первое приближение к условиям вп.р.р. на одном луче. В общей постановке очерченную тематику можно сформулировать как следующий вопрос: каковы условия на последовательность нулей функции /Єі:^, , при которых функция / вп.р.р. на замкнутом множестве С (Р .состоящем из лучей с началом в нуле (далее такое множество называем системой лучей)? Такие условия для произвольной системы лучей и даже для одного угла или одного луча неизвестны в общем случае и поныне. Актуальность исследования этого вопроса вызвана еще и те.ч, что после работ О.В.Епифанова и В.А.Ткаченкс, 1973-1974 гг., о разрешимости уравнений свертки в выпуклых и />-выпуклых областях точные условия разрешимости их в терминах спектра характеристической функции сводятся к описанию распределения нулей целой функции вп.р.р. і іЕа на о -допустимой системе лучей S При этом система лучей р-допустима, если раствор любого дополнительно-II- 1 SУЕМ, т.е. связной компоненты дополнения ( V ,у мень -ста їс/р . Полученный в диссертации критерий вп.р.р. /(:' на для широкого класса систем лучей , охватывающего и р~допустн-мые системы лучей »S , потребовал нового подхода, основанного на конструктивной технике выметания субгармонической функции и ее распределения масс на систему лучей $ . При этом классические методы выметания меры и потенциала, разработанные Валле-Пуссеиом, М.Брело, А.Картаном, М.Риссом, Н.С.Ландкофом и др., а также аксиоматические теории потенциала в силу ряда прк'зм неприемлемы непосредственно для рассматриваемой ситуации.
Одна из классических задач, вкладывающаяся в п.2, состоит в
следующем. Каковы условия на последовательность комплексных чисел
А ~ {Ац} і при которых существует целая функция экспоненци -
ального типа (ц.ф.э.т.) f Ф О , т.е. f Є Е- j . такая, что
обращается в нуль на последовательности /[ (пишем /(/{)- О )
и "
iof\ f(iy)\ ^ р(ір, У //?, (I)
где p - субгармоническая функция конечного типа при порядке I V
Изучение этой задачи началось с теоремы Ф.Карлсона, получен -ной в начале века: при
ра> - п(>-\Ь*А (г)
м /{ =Д существование ц.ф.э.т. j :Ф Q , f (
тогда и только тогда, когда 6^1 . Этот результат неоднократно
уточнялся и обобщатся в работах Т.Карлемана, А.Ф.Леонтьева, Б.Я.Ле
вина, Ж.Кахана, Л.А.Рубеля, В.Фукса и др. для случая (2) прежде
всего в связи с вопросами полноты системы экспонент в прострапст -
вах функций, голоморфных в областях типа полосы, при этом на пссле^-
довательность Л накладывались жесткие условия близости к положи
тельной полуоси /К+ и определенной регулярности распределении то -
чек из /1 .
В случае, когда /1 - произвольная последовательность положи ~ тельных чисел и функция р имеет вид (2) или р(^>- Ь&4 1<)(г)\ , где а - ц.ф.э.т., имеющая нули в правой полуплоскости только на
IR'+ і полное решение сформулированной задачи было дано в сов -местной работе П.Мальявена и Л.А.Рубеля [4] .
Другая крайняя ситуация относительно результата П.Мальявена и Л.А.Рубеля была рассмотрена в работе И.Ф.Красичнова-Терновского [b] в связи с задачей спектрального синтеза. В [5.1 показано, что для последовательности /] d if^+ существование прилюбом >д ц.ф.э.т. /сфО , такой, что /(/])-0 и 6(i.y){-
« \ц\ , и ЄІ{( t эквивалентно соотношению Ait) ~ O(t) ,
/->і-м, где - число точек последовательности Л в круге
\г[& t .
Актуальность распространения этих результатов на последовательности комплексных чисел А становится очевидной, если учесть, что, в частности, исследование полноты системы экспонент (Л)?
— {&zp л г: /\ < /[} в пространстве функций, голоморф-
ных в неограниченной выпуклой области С С {, , сводится к решв -нию сформулированной выше задачи. Такое распространение в дшессер т тации достигается с помощью новой конструкции выметания субгарноки« ческой.функции на прямую в (' . При этом результат выметания --субгармоническая функция, т.е. разность субгармонических функций, с распределением зарядов (заряд = вацестроннсзначнаї мора) на svqfl
прямой, что существенно отличается от классического выметания.
Проблематика пункта 2 в общей формулировке состоит в следующем. Пусть Е .- некоторое пространство целых функций в if? . При каких условиях на последовательность /1 ^ она является множеством единственности для Е , т.е. всякая целая функция f Є. Е , обращающаяся В нуль на Л , тождественно равна нулю (в противном случае Л - множество неединственности для
)? ,->
Необходимость исследования этого вопроса для различных прост- ранств Е . в частности, для весовых пространств, задаваемых ог -раничениями на рост в. бесконечности, возникает в самих разнообразных: задачах, например, в связи с вопросами полноты и интерполяции. Поэтому круг известных необходимых или достаточных условий, при которых последовательность А, является множеством (не-)единствен -ности для различных пространств Е трудно обозрим. В то же время результаты законченного характера, когда не накладывается никаких специальных ограничений на расположение или определенную ре -гулнрность распределения точек из А » редки. Известно два нетри -виальных основных результата, в которых описание множеств (не-) единственности для весового пространства Ь. дается в завершенной форме и множества неединственности для не совпадают, вообще говоря, с последовательностью кулей функций из Е .
Первый из них относится-я алгебре функций конечного Д -типа Е(А), где /){ {} , t > & , - непрерывная неотрицательная возрастающая функция (функция роста). Алгебра Е(ЛJ состоит из целых функций I , удовлетворяющих оценке
Uf І /(НІ ^ Ар A ( А^ \г\) rAf/ (3)
А/ - постоянная. В совместной работе Л.А.Рубеля и Б.А.Тейлора f6J при некоторых ограничениях на функцию роста, а затем через несколько лет в статье Д.Майлза [?\ , 1972 г., без каких-либо огра -ничений установлено, что последовательность Д - множество неединственности для ЕС Л) тогда и только тогда, когда существует постоянная А такая, что Л^ (?).- А,\(Аг) + A , Z &0 , где
о История доказательств*" этого результата показывает, что точное описание распределения нулей целых функций ил заданного пространства .
( для С- С Л) в 19 СИ г., [и]) ОТНЮДЬ НО обєСПЄЧИВІ.0'1' полной ин-формацли о множествах (че)-е,цинетвеннооти.
Один из глубоких результатов теории целых функций - это теорема Берлинга - Мальявена [0] о радиусе полноты системы экспонент
[&хр с'/\пх/ -Л= { Л«/ і который можно трактовать и как описания множеств единственности для пространства, состоящего из ц.ф-з.т. f , ограниченных на Ik и таких, что n^C^^/l) <" Я ,
где п./ - индикатор роста ф .
Важнейший тин весового пространства целых функций - простран
ство Elf/'1) , СОСТОЯЩеР ИЗ ЦеЛЫХ фуНКЦПЙ f (-" "". с
индикатором Н/{$}<: к(0),&№, где { - ^-тригонометрически выпуклая з ж -периодическая строго положительная функция. Пол -ное описание множеств единственности для пространств . lfi/ 10 при у7 — I позволило бы получить критерий полноты системы пкспонент
$ С А) в пространстве Н ( G ) функций, голо -
морфных и ограниченной выпуклой области С (Е с опорной
функцией к(-Є) , в терминах распределения точек из /1 .
Законченное описание множеств единственности для (t.lA«J в
настоящее время неизвестно ни для каких Р > (? и А "^ * ,
Конструктивный подход к получении, например, достаточных условий, при которых У\ - множество неединственности для ЕLJ> /і) , основанный ия дополнении последовательности /і до множества чулеГ функции f ф О из ЕІА k ) затруднителен. Прежде всего ото связано со сложной структурой рас - тете;).-я н\ло') ф\икцнй из
El/>,h).
В-г';о!ізло::'.ен!!ое делает актуальной проблему разработки новых Не-КОПСТруКТИВНЬХ ЧСТОД і Г. ; ГС'-' 'И/ i"i 'W« iHC- V-V'.HHCTBC'flH'.C'i і: Один
из таких ,l.:eTo;;jB интенсивно развевается в настока-ео «ре і'; і'.-....Аза -. ртпш v. В.Б.Гкнєром применительно к пространству L < ' 'і- .'Этот метод опирается на теорию предельннх множеств я> сп-..,- П.С.Лспспна, Б наглей работе избран дугой пода од, оског:,: чмй п.і тс„г^';с П.-''ус:'.са о наименьшей супертарімнической мажоранте [9] , позмл;--> ,: кыр-i -сить значения этой мажоранты в точгчх 2 г.~: <С '-Т^з зк'-'ст-іги^. --^-носитолі.ііс конуса супсрга.рмони«сских в (Е функций) мер:; ^.ір.іка &2 , т.е. единичной пассы в точке і . При переходе к цэлнгт фуіпчш.чм в (J^'1 , К>/ , одним из воз -- и есте твенных аналогов последовательностей точек и (Ц не имеющих и Е предельных точек, прл«чтсг аналитические множества /! С. (Е- "истоіі коразмерности I, потерь:?* совпадает с нулеим множеством ип^зтпрой целой функции /-/, . Zvi.wt о;,;'Сс;М'я ала." я -
- в -
тических множеств неединственности чистой коразмерности (см.11.3) для алгебр цетьис функций можно придать следующую более общую формулировку. Через I (F) обозначаем класс всех целых функций, доля -щнхея на целую функцию /- в кольце И (п) всех целых функций в
С Каковы условия на функцию / или на распределение ее нулей і при которых идеал J ( F) О Е > где Е - заданная подал -гебра в НСЄ") , нетривиален, т.е. содержит ненулевую функцию9
Ряд результатов об оценках роста целой функции при заданных оценках роста характеристик нулевого множества этой функции'можно рассматривать как условия нетривиальное идеалов 1(F) Л с. . , где - весовая алгебра (В.Штолль, Л.И.Ронкин, P.O.Кукла, В.А.Тейлор, Г.Скода, Л.Лелон и Л.Груман и др., обзор в flOj ). При этом, как правило, ненулевая функция / = Fк _ \(F) [\Е такова, что либо целая функция к не обращается в нуль на ,п , либо п довольно просто конструируется из самой функции h . Новый метод, основанный на принадлежащем Г.Бауэру и Г.Мокободзки (см.П.-А.Мейер fll] ) понятии абстрактного выметания и на многомерном обобщении теоремы П.Кусиса о наименьшей мажоранте (подробнее ниже), позволяет охватить ситуации, когда конструкция мультипликатора А отмеченны -ми способами не улавливается. Более того, метод применим к оценкам (см. п.4) тина (кругового индикатора) при порядке J) ненулевюс це-лілс функций минимального роста из 1(h) , точным при, j) s' I, и мокгт быть использован для получения новых достаточных условий для множеств единственности целых функцийконечного порядка с ограниче -ниями на родиипы.ий индикатор, что отражает тематику, отмеченную в п.7. В важном чьстном случае f> - I эти результаты, по существу, теоремы о (не-) полноте системы &( Л) ~ { &%f) < гх/' > '. А ё /1 }
< ?/ ,\> -- гг Ау + ?г'!2 + ... f г« Лл , в пространствах функции, голо -морфных в областях из п .
Тематика л.6 относится к задаче о представлении кероморфне,'! функции f в С1-,' ifzf , в виде частного f ~
Т{(г) ^ Alt), А - функция роста, (5)
где 1 / - характеристика Неваилиннн для / , Л.Л.Рубель и Б.А.Тейлор fo] при некоторых ограничениях на Л , а затем Д.Майлз [7] без каких-либо условий на А указали построение а и А такое, что
йа ( If2)1 + ' Ьш\) < А \ (81)+0, г = уг, ^ (6)
где. A t В, С - постоянные.
Для л>/ первые .результаты по задаче представления при
условии (5) и для Л (І) — COtti - принадлежа? П.Лелону
и В.Штоллю. Дальнейшее продвижение для функций многих переменных
при условии медленного роста или весьма специальном условии "Щ5а- '
лансировакности" функции .Д осуществлено Б.А.Тейлором и P.O.
Куялой f13], получившими представление с оценкой (б). Наконец,
при условии плюриаубгармоничности функции Сол A (III), ? Сп >
Г.Скода получил в [14] представление с несколько худшей оценкой,
чем в (6), а именно: перед функцией А стоит степенной мно-
житель \ * , где К зависит от размерности /г . Важно от -метить, что функция Іщ Г/ (til) , вообще говоря, не ПЛЮрИ -еубгармонична, т.е. нельзя полагать /\( Z) = I/ It) .
Аналог задачи о представлении для S-субгармонических функций был рассмотрен О.В.Веселовской, 1984 г..
Анализ перечисленных результатов по задаче представления
указывает на определенный разрыв между случаями медленного роста
мажоранты /1 как в методах (метод Эд -задачи у Г.. С к оди и
метод рядов Фурье у Р.О.Куялы), так и силе оценок и условий на
функцию роста А . Таким образом, возникает необходимость еди
ного подхода к задаче ггредставления мероморфной функции f ,
который давал'бы возможность оценивать целые функции
минимального роста а и /і в представлении Ґ-0/ А не
через мажоранту Д из (Б) со'специальными свойствами, а через саму характеристику Неванлинны "7"у функции / и другие ее характеристики.
В соответствии с изложенным цели диссертаций состоит в полу » чении критерия вп.р.р. целых функций на возможно более широком классе систем лучей в Tepf/MHax распределения нулей этих функций; описании множеств единственности для классов ц.ф.э.т. я (J2 , выделяемых ограничением на рост вдоль фиксированной прямой; в раэ^
работке общего неконструктивного метода описания множеств (не-)
единственности для широкого класса весовых пространств целых функ
ций одной переменной и его применений, в частности, к вопросам,
связанным с полнотой систем экспонент в пространствах голо.".-);-^ннх
функций; распространении этого метода и его применений на целые
функции многих переменных, включая приложения к задаче представле
ния ыероморфных функшй многих переменных в виде частного целых
функций минимапыюго роста. ,-..
Научная новизна и практическая ценность.работы. Разработан новый подход к исследовании расгфеделения нулей целых функций вп.р. р. на системе лучей и для широкого класса систем лучей С Є получен критерий цп.р.р. функции / 6Ґ hо на S .
Установлены условии окончательного характера на последовательности комплекснім чисел А , при которых существует ц.ф.э.т. /#
/(/))-0 і с заданными ограничениями на рост вдоль прямой. Последнее позволило получить критерий полноты системы экспонент ЬСЛ) в пространстве Н (G) в терминах распределения показателей у\ , когда От - произвольная неограниченная выпуклая область в (l- . Этот критерий, в котором не накладывается никаких специальных ограничений на последовательность -Л - первый результат такого рода для пространств ч'О Для получения перечисленных результатов разработаны новые конструктивные техники выметания суб -гармонической функции и меры на систецу лучей в (, , которые могут быть полезны и в других вопросах, связашынх с исследованием поведения целых и субгармонических функций на лучах в .
Разработан новый общий подход к описанию множеств (не-)единственности для широкого класса весовых пространств целых функций од - , ной переменной. С помощью этого метода удается дать новые неконст -руктивные доказательства известных результатов об описании множеств единственности и получить новые теоремы (не-)единственности для целых функций, о полноте систем экспонент С Л) и об устойчивости полноты при сдвигах показателей Л в пространствах голоморфных функций. В целях распространения этого подхода на функции многих переменных получена теорема о наименьшей мажоранте, позволяющая, в частности, дать через посредство абстрактного выметания двойствен -нов определение наименьшей плюрисубгармонической мажоранты для функции в области ' Q CZ ( п , новое при С * С .
С помощью теоремы о мультипликаторе, опирающейся на теорему о нгїименьшей нагорайте, установлены критерии для аналитических мно -жесте еданстьенчзста коразмерности I для.весовых алгебр целнх функ-
- It -
ций в . ; получены оценки наименьшего возможного типа и кругового индикатора целых функций, делящихся на заданную целую функцию (точные при порядке ,0*1); даны результаты законченного харак -тера о представлении мероморфной функции в < в виде частного целых функций минимального роста, среди которых есть и учитывающие тип (круговой индикатор) целых функций, участвующих в представлении; предложен общий подход к получению теорем единственности для целых функций многих переменных и намечены перспективы распространения этого подхода на голоморфные функции многих переменных в области
из «.
Апробация работы и публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [2.2 - 36 !
Результаты диссертации докладывались на семинарах в Башгосуни-верситете, в Институте математики в г. Уфе, в Харьковском государ -ственном университете, на XI Всесоюзной школе по теории операторов (Челябинск, 1986 г.), на Всесоюзном симпозиуме по теории приближе -' ния функций (Уфа, 1987 г.), на УЛ Всесоюзной конференции по комп -лексному анализу и дифференциальным уравнениям (Черноголовка,1989 г.), на Республиканской школе-семинаре в Харькове (1990 г.).
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, вводного 0 и тести глав. Общий объем работы 298 страниц. Список литературы - 126 названий.
