Содержание к диссертации
ВВЕДЕНИЕ 4
ГЛАВА І.
§ I. Индекс и кратность векторных полей на множестве. Предварительные сведения 21
§ 2. Особые точки вещественных почти периодических векторных полей. Определения, формулировки результатов. 23
§ 3. Существование среднего индекса вещественного почти периодического векторного поля и оценка остаточного члена (доказательства теорем) 28
§ 4. Корни комплексно-аналитической почти периодической системы уравнений 34
§ 5. Оценка размерности аналитических подмножеств... 36
ГЛАВА 2.
§ I. Конечные суммы экспонент. Определения и формулировки 39
§ 2. Экспоненциальное отображение Веронезе 44
§ 3. Экспоненциальные вектор функции с набором одинаковых спектров нулевого ранга 49
§ 4. Среднее число нулей экспоненциального векторного поля с различными спектрами компонент 56
ГЛАВА 3.
§ I. Почти периодические функции на предварительные сведения
§ 2. Правильно запертые системы голоморфных почти периодических уравнений 72
§ 3. Среднее число корней правильно запертой системы. 82
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Введение к работе
Диссертация посвящена изучению распределения нулей вещественных почти периодических векторных полей и корней систем голоморфных почти периодических уравнений.
Исследование распределения нулей целых функций - хорошо разработанная область теории функций комплексного переменного. Классическим результатом по распределению нулей целой функции одного комплексного переменного является теорема о среднем числе корней голоморфной почти периодической функции класса Д .
Эта теорема может быть обобщена на голоморфные почти периодические вектор-функции многих комплексных переменных. При этом обобщении существенную роль играют геометрические свойства индикаторных диаграмм компонент вектор-функции. Ситуация здесь оказывается в значительной степени параллельной той, которая возникает в алгебраической геометрии, когда в основу изучения многочлена многих комплексных переменных кладется многогранник Ньютона.
Многоугольники Ньютона были введены и использовались И.Ньютоном для решения алгебраических уравнений, а позднее использовались рядом авторов для построения рядов Пюизо в теории дифференциальных уравнений. Многогранники Ньютона впервые появились, по-видимому, в работах Ходжа 1934 года.
В работах А.Д.Брюно многогранники Ньютона систематически использовались для вычисления степенных асимптотик решений нелинейных систем дифференциальных уравнений.
Начиная с 1974 года многогранники Ньютона начали интенсивно использоваться в алгебраической геометрии и теории особенностей дифференцируемых отображений. В терминах геометрии многогранников Ньютона вычислялись всевозможные локальные и глобальные дискретные инварианты многочленов и ростков аналитических функций и вектор-функций общего положения с заданными многогранниками. Этим вопросам посвящены работы В.И.Арнольда, А.Г.Кушни-ренко, Д.Н.Бернштейна, А.Г.Хованского, А.Н.Варченко, И.В.Долга-чева, В.А.Васильева, В.И.Данилова и др. (см. / 1-3 /,/8-15 /).
В частности, в этих работах несколькими способами доказана теорема о том, что число корней общей системы П алгебраических уравнений в (Ф\0 ) равно V-П» , где V - смешанный объем многогранников Ньютона уравнений системы.
Актуальным вопросом является построение аналогов многогранников Ньютона и перенесение связанных с ними результатов на более широкие классы функций.
Естественным обобщением полиномов являются конечные суммы экспонент с вещественными показаниями. Система из П уравнений такого вида от П переменных имеет, вообще говоря, бесконечное количество нулей и конечные инварианты можно получить, изучая распределение этих нулей. Изучение распределения нулей систем конечных сумм экспонент с вещественными и комплексными показателями проводилось в работах А.Г.Хованского / 19 /, Б.Я.Казарновского / 13 /.
В данной работе найдены достаточные условия существования среднего значения индекса вещественного почти периодического векторного поля и среднего числа корней системы комплексных аналитических уравнений. Получены оценки скорости сходимости усредняемых величин к пределам.
Описан класс систем голоморфных почти периодических уравнений с ограниченными спектрами, среднее число корней которых существует и вычисляется явно по индикаторным диаграммам уравнений. Эти системы названы правильно запертыми системами. Корни правильно запертых систем имеют ограниченные по модулю единой константой вещественные части. Класс правильно запертых систем достаточно широк и включает в себя, например, системы экспоненциальных полиномов общего положения.
Среднее число корней правильно запертой системы Г\ голоморфных почти периодических уравнений в С зависит лишь от индикаторных диаграмм уравнений системы и равно их смешанному объему, умноженному на пЦ2тс)
Полученная в главе 3 диссертации формула для среднего числа корней правильно запертой системы голоморфных почти периодических уравнений может рассматриваться как обобщение классической теоремы о среднем числе корней голоморфной почти периодической функции класса А (см., например / 16 /), результатов / 2 / о числе корней системы полиномиальных уравнений и результатов автора о среднем числе корней систем конечных экспоненциальных уравнений / 10,11 /.
Метод, которым в данной диссертации была получена формула для среднего числа корней правильно запертой системы голоморфных почти периодических уравнений состоит в следующем. Каждой правильно запертой системе становится в соответствие некоторая последовательность укороченных систем, спектры уравнений которых конечный и исчерпывают бесконечные спектры исходной системы. Среднее число корней каждой системы из этой последовательности совпадает со средним числом корней исходной системы. Для правильно запертых систем конечных экспоненциальных уравнений, удовлетворяющих некоторым дополнительным слабым ограничениям на спектры, среднее число корней вычислено во второй главе диссертации.
Отметим, что этот аналитический метод доказательства позволяет получить чисто геометрический результат: достаточное условие, при выполнении которых совместное монотонное возмущение набора вы - 7 -пуклых многогранников не меняет их смешанного объема (§ 3. гл.Ш).
Приведем теперь некоторые определения и утверждения, необходимые для точной формулировки основных результатов диссертации. Сначала определим смешанный объем выпуклых тел (см. / 7 /), фигурирующий в формулировках результатов.
Полосой ТГ в комплексном пространстве (D будем называть полосу в его овеществлении.
Мы будем рассматривать бесконечно дифференцируемые векторные поля в полосах и голоморфные векторные ПОЛЯ F :ТГ- € в полосах Т СП.
Введем пространство векторных полей, определенных и непрерывных в замыкании полосы Н и бесконечно дифференцируемых в самой полосе Н . Введем в УВС°°(ТЇ) следующую топологию: последовательность {, si J сходится к полю г , если F j сходятся к F равномерно на замыкании II и на любом контакте К ТГ любая производная Fj равномерно сходится к соответствующей производной Г .
Каждое из пространств инвариантно относительно действия группы IK , участвующей в определении соответствующей полосы.
Аналогично определяется почти периодическое векторное поле (сравни У 17 /).
Особой точкой векторного поля называется точка, в которой поле обращается в нуль? Приведем определение кратности особой точки OG. ([/комплексно-аналитического поля Г=(РАР •-- Fn) в Ш (см. / I /). В кольце ростков ${2-1,--- 2j в точке 0 голоморфных функций в Сп определим идеал 1р , порожденный ростками компонент г і.,..., Fn поля F . Если особая точка 0 поля р изолирована, то фактор-кольцо vkfe --- i/ -F имеет конечную размерность над С . Эта размерность и называется кратностью особой точки О поля F . Аналогично определяется кратность особой точки (X Є (L поля г .
Для неизолированных особых точек индекс не определен.
В данной работе найдены достаточные условия существования среднего значения индекса почти периодических векторных полей, из пространств
Величины индекса и кратности изолированной особой точки голоморфного векторного поля совпадают / І /. В силу этого, число изолированных особых точек, попавших в некоторую фиксированную область в (L и посчитанных с учетом кратностей, совпадает с суммарным индексом этих особых точек.
Для почти периодического в полосе И С (L векторного поля вводится понятие среднего числа нулей П(F). Среднее число нулей П V.F) векторного поля г Є An. у\\) равно среднему индексу этого поля.
В третьей главе настоящей диссертации будет изучаться распределение нулей голоморфных в (L векторных полей, почти периодических в каждой полосе вида (j +lfll (L , где(jr - ограниченная область в Re С Такие поля будут называться голоморфными в (J_ почти периодическими по мнимым частям векторными полями (или, короче, голоморфными почти периодическими).
Спектром Г называется множество точек из [К , для которых
- II среднее значение функции т ( • не равно нулю в некоторой точке б є Gr. Спектр функции не более чем счетное множество в [Rn и не зависит от выбора Овог . Индикаторной диаграммой почти периодической функции называется выпуклая оболочка спектра этой функции. Многогранником Ньютона экспоненциального многочлена называется индикаторная диаграмма этого многочлена.
Справедлива следующая теорема аппроксимации: всякая почти периодическая голоморфная в полосе функция может быть равномерно аппроксимирована в \\ последовательностью конечных экспоненциальных сумм, спектры которыз содержатся в спектре приближаемой функции (см. / 4 /, / 17 /).
Основные результаты диссертации касаются класса так называемых правильно запертых систем голоморфных почти периодических уравнений. Изучение таких систем проведено в главе Ш и опирается на исследование среднего индекса почти периодического векторного поля (глава I) и результаты главы П.
В первой главе показано, что если К, - связный компакт из пространства с. ("П") , состоящий из почти периодических полей, где , инвариантный относительно сдвигов вдоль, то при выполнении некоторых условий достаточно общего характера на поля из К» , средний индекс любого поля из К существует и его величина одинакова для всех полей из К. Показано, что существует равномерная для всех полей из компакта оценка скорости сходимости усредняемой величины к пределу. Для компакта К из An ("Ту, где їїс(Пп, доказано аналогичное утверждение.
Теорема 1.2.I. Пусть к - связный компакт из, инвариантный относительно действия группы нч . Пусть, кроме того, все особые точки всех векторных полей из к изолированы, не попадают на границу полосы U , конечнократны, и суммарная кратность корней каждого векторного поля из К , попавших в единичный брус Jl , ограничена сверху единой константой, не зависящей от поля.
