Дзета-функции монодромии и диаграммы Ньютона Гусев Глеб Геннадьевич

Торические разрешения и компактификации

Для вычисления таких инвариантов алгебраических многообразий и функций на них как эйлерова характеристика и дзета-функция моно-дромии мы используем метод, разработанный А. Хованским ([10], [11]). Для многообразия, заданного в комплексном торе как множество нулей системы многочленов общего положения, строится подходящая ториче-ская компактификация, в которой замыкание многообразия неособо и трансверсально орбитам компактификации. Соответственно, для ростка невырожденного полного пересечения строится торическая модификация, разрешающая особенности ростка. Благодаря этим конструкциям задачу вычисления инвариантов зачастую удается свести к рассмотрению стратов замыкания меньшей размерности, пополняющих исходное многообразие или, соответственно, к рассмотрению исключительного дивизора. Мы вкратце опишем основные построения и теоремы. Доказательства описаны в [17]. Рассмотрим мультипликативную группу С = С \ {0} поля комплексных чисел. Пусть z = (zi, z2 ..., zn) —- координаты на стандартном комплексном торе (С )п. Зафиксируем изоморфизм между группой Gn алгебраических характеров ф: (С )" — С комплексного тора и группой целочисленных векторов Z" Є Шп. А именно, каждый характер является мономом вида ф(г) = ПГ=гг? - Мы сопоставляем ему вектор k = (ki, fc2,..., kn) Є Z". Далее будем использовать упрощенную запись П"=1 zi — zk- Группа автоморфизмов тора ip: (С )п —» (С )" изоморфна группе обратимых целочисленных матриц А Є Gh(n, Z). А именно, целочисленной матрице A = (oij), для которой det(ajj) = ±1, сопоставляется автоморфизм 11-4 z(t), где t = (і1? t2, ,„), Zj(t) = П"=і T j

При этом индуцированный автоморфизм группы характеров тр А: Zn — Z задается той же матрицей А. Группа Jn алгебраических гомоморфизмов («однопараметрических») 9: С — (С )п естественно изоморфна группе целочисленных ковекто-ров (Z71) в двойственном пространстве (К71) . Этот изоморфизм задается спариванием (6, ф) = deg((fi о 9) и сопоставляет гомоморфизму 9(t) = {tk\tk\ ... ,tkn) ковектор k = (k1}k2,...,kn) Є (Zn) Автоморфизму тора фд: (С )" — (С )п соответствует индуцированный автоморфизм ФА : (Zn) — (Zn) группы «однопараметрических». Он задается сопряженной матрицей Ат. Столбцы матрицы Ат образуют целочисленный базис cxi, a2, , an в пространстве (Rn) . Эти базисные ковекторы порождают симплициаль-ный конус А = { 2ііаі І 7І 0} в пространстве (R") . Этот конус однозначно задает автоморфизм фА с точностью до перестановки координат в прообразе. Действительно, рассмотрим вложение /j: С с- (С )", і = 1, 2,..., п, которое отождествляет группу С с i-ым сомножителем произведения (С )п, а остальные координаты приравнивает единице. Тогда «базисному» гомоморфизму ФА h соответствует ковектор а . Конусы вида ХА, где А — обратимая целочисленная матрица, называются простыми. В частности, образующие О І простого конуса являются примитивными ковекторами, т. е. ковекторами в (Z") , не кратными никакому другому целочисленному ковектору. Для простого конуса А с заданным порядком ковекторов обозначим через ф\ автоморфизм (С )п, соответствующий конусу. Рассмотрим подмножество (Кп)+ С (Шп) ковекторов, все координаты которых неотрицательны. Кроме конусов максимальной размерности мы будем также рассматривать Z-мерные простые конусы {%2i=i7iai I Ъ 0}, порожденные набором целочисленных ковекторов («J,а2,... ,ац), образующих базис целочисленной ПОДрешетКИ В ЛИНеЙНОМ ПОДПрОСТранСТВе {Yli=l7iai І 1і Є Ш} С (R") . Определение.

Конечный набор Л простых конусов различной размерности называется правильным разбиением пространства (К) ((R) ) или веером, если 2. для любого конуса Аі Є Л пересечение его замыкания с замыканием любого другого конуса Аг Є Л является гранью Аі. Легко видеть, что в правильном разбиении Л любой конус Аі Є Л размерности меньше п является гранью некоторого конуса А Є Л максимальной размерности. Комплексно-аналитическое многообразие М" Э (С )" назовем пополнением тора, соответствующим правильному разбиению Л пространства (К") (или пространства (R") ), если 1. автоморфизмы фХ - (С )п —» (С )", Л Є Л, dim Л = п, продолжаются до регулярных вложений -фх: Сд — М", 2. образы карт С", Л Є Л, dim Л = п, покрывают многообразие Мп. Предложение 10 Для любого правильного разбиения Л пространства (R") (или пространства (Шп)+) существует (единственное) пополнение Мд, соответствующее этому разбиению. Это пополнение гладко, и в случае разбиения (К") компактно. Если конус Л размерности п полностью содержится в (Rn)+, соответствующий автоморфизм ф\ продолжается до регулярного отображения фх- Сд — Сп. Для правильного разбиения Л пространства (Rn)+ отображения трх-і А Є Л, задают морфизм ф : Мд — С", который называется торической модификацией пространства Сп, соответствующей разбиению Л. Отображение ф является собственным, а его ограничение ФХ\(С )П) - (С )" - изоморфизм. Нам понадобится следующий важный факт. Пусть даны 2 правильных разбиения Л, Л пространства (Rn) (или пространства (Rn) ). Пусть разбиение Л является подразбиением разбиения Л в том смысле, что каждый конус Л разбиения Л , dim Л = п, полностью содержится в одном из конусов Л разбиения Л. Тогда естественные отображения Фх Х- С/ — С" задают морфизм торических многообразий Мд, - Мд. Опишем некоторые свойства пополнения Мд. Действие тора (С )" на себе продолжается до действия на многообразии Мд. Орбиты этого действия — комплексные торы различной размерности — взаимнооднозначно соответствуют конусам разбиения Л. А именно, рассмотрим произвольный конус Лі Є Л размерности I.

Он лежит на границе некоторого конуса Лг Є Л размерности п. Пусть (щ,и2,... ,ип) - система координат карты С"2, соответствующей конусу Л2, причем координаты ui,U2,... uh соответствуют ковекторам, порождающим конус Лі. Тогда конусу Лі сопоставляется тор Т\ Є С"2 размерности п — 1, заданный как множество {(щ,и2,... ,ип) щ = 0,г I; щ ф 0,г I}. В этой подсекции описано построение торического пополнения комплексного тора в глобальном случае и торической модификации ростка про странства (Сп,0) в локальном случае, которые разрешают невырожденную систему многочленов и невырожденную систему ростков функций соответственно. Рассмотрим произвольный многочлен Лорана от п комплексных переменных, то есть конечную линейную комбинацию вида Р = X kez» akzk где z = (зі, 2, , zn), k = (fcb k2,...,kn), zk = ПГ=і zi Определение. Многогранником Ньютона многочлена Лорана Р называется выпуклая оболочка в I" D Z" множества целочисленных точек, для которых коэффициенты при соответствующих мономах не равны нулю: Д(Р) = ({к Є Ъп ак ф 0} . Для каждого из индексных множеств / С {1,2,...,7} мы будем рассматривать координатное подпространство Ж.1 — {k kt = 0, і . 1} С Шп. Для многогранника Ньютона А(Р) Є К" некоторого многочлена Р будем рассматривать его часть в этом подпространстве: Д7(Р) = Д(Р) П К7. Обозначим через Z1 множество примитивных целочисленных ковек-торов в двойственном пространстве (К7) . Для краткости: = Z 1,2 - nK Пусть а Є Z1. Будем обозначать через Д/,а(Р) грань многогранника АХ(Р), на которой ковектор ад/ достигает минимального значения: Д -" = {х Д а(х) = тіп(ад;)} (если Д7 = 0, полагаем Д7 а = 0). Для многочлена Лорана Р — Yl-keznn& Pk%k с многогранником Ньютона Д будем рассматривать многочлены Р/,а = ке2пПд7,а PkZk, I С {1,2,,.., п},. а Є Z1. Рассмотрим произвольный ковектор aeZ. Определение. Будем говорить, что система многочленов Лорана Pi, Р2, Рк от п комплексных переменных является а-невырожденной относительно своих многогранников Ньютона, если 1-формы dPf, і = 1,2,..., к, линейно независимы во всех точках множества {z Є (С )" P1a(z) = P2a(z) = ... = Pg(z) = 0}. Будем говорить, что система многочленов Лорана Pi,P2,...,Pfc является невырожденной в торе относительно своих многогранников Ньютона, если для любого ковектора а Є Z система является а-невырожденной. Определение. Рассмотрим теперь произвольную систему многочленов Pi,P2,... ,Pt от п комплексных переменных. Для каждого множества / С {1, 2,..., п} определим множество Р(7) = {j Є {1,2,..., k} Pj Ф 0}. Пусть для любого / с {1,2,...,тг} система многочленов Лорана PL PL PLW от lJl переменных, где {ji,J2i---,jk{i)} = Р(1), является невырожденной в торе относительно своих многогранников Ньютона. Тогда система многочленов Pi,P2,...,Pfc называется невырожденной относительно своих многогранников Ньютона.

Эйлерова характеристика полного пересечения

В этой подсекции мы приводим формулу для эйлеровой характеристики невырожденного полного пересечения в комплексном торе. Задача вычисления инвариантов алгебраических многообразий или ростков аналитических пространств в терминах многогранников Ньютона определяющих их уравнений была поставлена В. И. Арнольдом в начале 70-ых годов. Первый общий результат в этом направлении был получен А. Кушниренко ([6]). Он вычислил эйлерову характеристику слоя ростка функции. Кроме этого он получил формулу для числа решений п полиномиальных уравнений от п неизвестных при условии, что многогранники Ньютона всех многочленов системы совпадают ([7]). Д. Бернштейн получил обобщение этого результата, которое не требует последнего уело вия ([2]). Вскоре Д. Бернштейном, А. Кушниренко и А. Хованским была получена формула для эйлеровой характеристики невырожденного полного пересечения в комплексном торе, обобщающая предыдущие результаты ([3]). А. Хованский предложил наиболее эффективный метод решения подобных задач, использующий торические пополнения ([10], [И]) На множестве О! выпуклых тел в Шп (то есть непустых выпуклых компактов) есть структура полугруппы относительно сложения Мин-ковского. Для выпуклых тел Si,S2 Є СІ их сумма Минковского определяется следующим образом: Si + S2 = {х + у х Є Si, у Є S2}. В полугруппе П есть сокращение, то есть для любых тел Si,S2,S3 Є & соотношение Si + S3 = S2 + S3 влечет Si = S2. Для доказательства достаточно рассмотреть опорные функции этих тел (см. с. 23): mSl + ms3 = mSl+s3 = ms2+s3 = rnS2 + т5з, а значит, mSl = mS2 и Si = S2. Рассмотрим группу Cl формальных разностей элементов полугруппы П . Она является также действительным линейным пространством (aS — {ах х Є S} при a 0). Ha этом пространстве существует симметрическая полилинейная га-форма Vn, удовлетворяющая условию: Vn(S, S,... ,S) = Voln(S) (S повторено n раз, Voln — n-мерный объем). Значение формы на наборе тел Si, S2,..., S„ называется смешанным объемом Минковского этих тел (подробнее см. в [4, 6]). Его можно найти по формуле имеющей место — как нетрудно показать — для любой симметрической полилинейной функции на произвольном линейном пространстве. Далее мы будем использовать следующее упрощенное обозначение: Ki(Si, S2,... ,Sn) = SiS2 --S„. В частности, S" означает га-мерный объем множества Si-

Для однородного многочлена T(xi,x2,... ,Xk) = J2 &ІІІ2...ІП xhXi2" хіп степени п выражение T(Si, S2)..., S ) будем использовать для ]Г)aiii2-in Зг1Б12 Sin. Пусть Si, S2,..., Si С L С R", — набор выпуклых тел в /-мерном рациональном аффинном подпространстве L С Шп . Выражение SiS2 Si будет оббзначать /-мерный целочисленный смешанный объем, т. е. смешанный объем Минковского в аффинном подпространстве L, нормированный таким образом, что /-мерный объем минимального параллелепипеда с целочисленными вершинами равен единице. Пусть Pi, P2,... Pk — набор многочленов Лорана от п комплексных переменных. Обозначим W = {z Є (С )п Pi(z) = P2(z) = ... = ВД - 0}. Теорема 1 (Бернштейн, Кушниренко, Хованский, [3]) Если система многочленов Лорана Pi, г = 1,2,...,к, невырождена в торе относительно своих многогранников Ньютона Ді; г = 1,2,...,к (см. с. 22), имеет место следующая формула: X(W) = п\ к А г=1 + АІ где []„ — однородная часть степени п рассматриваемого ряда. В частности, при к = 1,2,3,4 получаем соответственно: X(W) =(-1)-41 АГ, x(W) = (-l)"n! Q5(Ai, Д2), X(W) =(-1) 41 QS(Ai, Д2 A3), (2.3) X(W) =(-l)»n! й(Ді,Д2 A3jA4), где Q»(x,y) = ЕГ У , Q?(x,y,z) = Е и+ =пжУ Q z, У, z, t) = Ylij,k,i i,i+j+k+i=n У3 Н1 — однородные многочлены. Значение однородного многочлена степени п на наборе многогранников в n-мерном пространстве определено выше. Здесь мы приводим формулы, полученные в [25], [15], [21], для дзета-функций ростков в различных постановках.

Первый результат был получен А. Варченко. Пусть / — росток функции на (Сп, 0), принадлежащий квадрату максимального идеала в кольце ростков. Рассмотрим его диаграмму Ньютона Г(/) и ее части Г/(/), лежащие на координатных подпространствах, / С {1,2,..., п} (см. с. 23). Обозначим: где I = \1\ — 1, (TI,a(f))1 — /-мерный целочисленный объем грани Г/,а(/) (объем пустого множества считается равным нулю), тпгі — опорная функция диаграммы Г7(/), обозначения 2/ _+,Г/,а(/) вводятся на с. 23. Теорема 2 (Варченко, [25]) Для ростка функции f невырожденного относительно своей диаграммы Ньютона С. М. Гусейн-Заде, И. Луенго и А. Мелле-Эрнандес получили обобщение этой формулы на случай ростка мероморфной функции f/g на пространстве (С",0). Обозначим: Теорема 3 (Гусейн-Заде, Луенго, Мелле-Эрнандес, [15]) Для ростков функций f,g общего положения с фиксированными диаграммами Ньютона М. Ока получил обобщение теоремы Варченко на случай ростка функции на невырожденном полном пересечении. А именно, рассмотрим систему ростков функций /о, /i,..., fk на (С", 0). Рассмотрим множество нулей V = {z Є С" /i(z) = /2(z) = - = /fc(z) = 0}. Для каждого подмножества I {1,2,... ,п} рассмотрим множество /(-О = ІЗ Є {1,2,..., k} I Г7(/,-) ф 0} и рациональную функцию: uw«o rWO = П (і -r j" » » - . "-" «», [П?=0 1 ОДНОРОДНЫЙ МНОГОЧЛеН СТепеНИ І, {ji,J2i ,3k(I)} = f{I), обозначения ZI++,rI a(fi) вводятся на с. 23. Теорема 4 (Ока, [21], [22]) Для ростков функций /о,/i,---,/ невырожденных относительно своих диаграмм Ньютона, таких что rW(/j) ф 0, г = 1,2, ...,n, j = 0,1,..., А; (условие «удобства» — «convenience»), В этой подсекции мы приводим формулу для дзета-функции монодромии на бесконечности для многочлена на невырожденном полном пересечении ([19], [20]). Пусть PQ, PI, ..., Pfe — набор многочленов от п переменных. Рассмотрим множество нулей V = {z Є С" Pi(z) = - 2(2) = = fc(z) = 0}. Для каждого подмножества / Є {1,2,.,.,п} рассмотрим множество -Р(-0 = ІЗ Є {1, 2,..., fc} j A7(JR,) ф 0} и рациональную функцию: Сд (А,);Д (Рі),-,Д («.)( ) = = П (і-гт5(а))"5 « д/,0(і%),дЛв /,л),-,А/ в{Р: №)), аєг-д(я0) где Z = / — 1, TUQ = тд/(у0), 2/д,р, С Z/ — подмножество таких ковекторов ск, для которых тпд(а) 0 (при Д7(Ро) = 0 имеем Z{_A,Ps = 0), 0 l,i2,...,Jfc(/)} = -P(/). Теорема 5 ДЛЯ многочленов PQ,PI,. .. ,/ невырожденных относительно своих многогранников Ньютона Cftv( ) = П Сд (Л )-,Д (Л) A (ft ( ) /С{1,2,...,п}:/#0 В случае k = 0 теорема была получена Либгобером и Спербером ([19]). Обобщение на общий случай получили Ю. Матсуи и К. Такеучи ([20]). где

Доказательство теоремы

По диаграмме T(F) ростка F на пространстве (Сп+1,0) строится достаточно мелкое разбиение Л множества ковекторов с неотрицательными координатами (Е"+1) (см. с. 23). Рассмотрим торическую модификацию р : (Xh,D) —» (Сп+1,0), соответствующую разбиению Л. Пусть U С Cn+1 — достаточно малый шар с центром в начале координат, X — P l{U) — его прообраз, 7г = р\х- Пусть гиперповерхность Y = \z\ii zn = 0} С С является объединением координатных гиперплоскостей в С. Тогда S = (YxCa)U{cr = 0} — объединение координатных гиперплоскостей в пространстве С"+1. Поскольку росток функции F является невырожденным по отношению к своей диаграмме Ньютона T(F), отображение 7г является разрешением ростка гиперповерхности S U {F — 0} (Предложение 12). Наконец, отображение 7Г является изоморфизмом вне дивизора 5, поэтому разрешение (X, 7г) удовлетворяет условию Теоремы 7. Вычислим правую часть равенства (3.3). пусть х Є D П W — произвольная точка (п — I + 1)-мерного тора Гд, соответствующего Z-мерному конусу Л Є Л. Пусть конус Л порожден целочисленными ковекторами «1,0:2,... ,сц и пусть Л лежит на границе конуса Л Є Л, порожденного ковекторами аг,... ,щ,.. .an+i. Пусть (мі,«2 - ,«„+і) — система координат, соответствующая набору ковекторов (ai,a2 ,an+i). В окрестности U точки х существует координатная система («і,... ,щ,гиі+і,... ,гип+1), такая что Wj(x) = 0, г = l + l,...,n + l и F = F о тг = аи\1Ли21-2 щ" ш 1 (где а(0) ф 0). Множество нулей { = 0} является дивизором с нормальными пересечениями и содержится в {щи2 щ = 0}. Таким образом, Е = а о 7Г = и?Аи22а ---щ2-1. Имеем: W П U = {wn+1 = 0}, {Z U { = О}) П U = {щи2 щ = 0}, поэтому CsW4Zi:E(i) = Сд{ 0,г 1}( ) ГДе 9 обозначает росток следующей функции от п переменных: #(«1,..., щ, wi+i,. , wn) = &2,1 &2,2 &2.I щ U2 -Щ . Пусть один из показателей &2д, А;2)2 ... , &г,г (для определенности, k2ii) равен нулю. Тогда д не зависит от щ. Можно считать, что преобразование монодромии слоя Милнора функции д тоже не зависит от щ. Обозначим: h = g\{Ul=oy Преобразования монодромии слоя функции g\{u2u3-urfo} и слоя функции /i{U2u3-u, o} гомотопически эквивалентны, поэтому Cff{uaU3...„ o}( ) = Cfc{uaus...« o}( )- С ДРУГ0Й стороны, из мультипликативности дзета-функции вытекает, что э{и і } (і) х CM{„9U3...UJ/O}( ) = Сэ1{иаИз-« о}( )

И значит Csiw Ci) = Сэ{„ о ,}( ) = L Пусть теперь все показатели &2,i, /:2,2 ) &2,г строго положитель-ны. Тогда ненулевой слой функции g не пересекается с множеством {щщ.. .щ — 0}, и поэтому Cg{u 0 i (}{t) = CgCO- В случае I 1 имеем Cff( ) = 1. В случае Z = 1 имеем: g = u\2 \ Cswxz,x(i) = ,( ) = 1 - 2Д Теперь мы видим, что функция под интегралом в формуле (3.3) отличается от 1 только в точках х, лежащих в стратах размерности п. Поэтому с этого места будем считать, что / = 1. Если все компоненты ковектора a — a.i положительны, то Т\ С D. В противном случае, Т\ П D — 0. Поэтому с этого места будем считать, что а Є Р 0,1,.«} (смотри определения перед Теоремой б). Рассматривая систему координат («2, Из,... ,un+i) на торе Т\ = {щ = 0}, получаем: Т\ П W = {Qa = 0}, где для степенного ряда -F = ]С JPICCT -ZI1 z„n мы обозначаем: Qa — Skert0.1. -."}.«(F) -2 из3 ип+1 Таким образом, пересечение Тд П 1У является множеством нулей многочлена Лорана Qa. Применяя формулы (2.3) к многочлену Лорана Qa, получаем: ХС А П W) — (—l)n_1n! Vn(A(Qa)), где Д(-) обозначает многогранник Ньютона рассматриваемого многочлена Лорана. Поскольку многогранники A(Qa) и Га = r{0,1 - "} a(.F) изоморфны как подмножества аффинных пространств со структурой целочисленной решетки, их целочисленные объемы совпадают: Vn(A(Qa)) = V (ra). В окрестности точки х Є 2л П W имеем: Е = аир \ где а(х) ф 0. Таким образом, Cz\w\z,x{t) = 1 — ta{-d/dk\ Из этого заключаем, что: В этой секции мы приводим обобщение Теоремы 6 и обобщаем формулу Ока, отказываясь от условия «удобства» (см. Теорему 4). Пусть Fi, F2,..., Ffc — ростки голоморфных функций на Cn+1 = Сст х С в начале координат. Они задают деформацию Да(г) := Fi(a,z), і = 1,2,...,k ростков функций fi := Д0 в точке О Є С. Для каждого подмножества 7 є {0,1,.., ,п}, содержащего число 0, рассмотрим множество F(I) = {j Є {1,2,... ,fc} r7(Fj) = 0} и рациональную функцию 2,..., ( )1 определенную следующим образом. Для / т {0} положим: где / = / — 1, д вектор в R1 с единственной ненулевой координатой однородная часть степени I рассматриваемого ряда. Пусть CF F F (і) = (1-ї), если rW(F0 = 0 при всех і = 1,2,..., fc, и Ffc( j = 1 в остальных случаях. Теорема 8 Пусть система ростков F\, Fi,..., Fk невырождена относительно своих диаграмм Ньютона T(Fi), r(F2),..., T(Ffc). Тогда имеют место следующие формулы: Формула (3.7) следует из формулы (3.6) в силу мультипликативности дзета-функции. Доказательство формулы (3.6) полностью повторяет доказательство формулы (3.1) и использует следующее несложное обобщение

Теоремы 7. Пусть ростки функций Fi, F2,..., Ft определены в окрестности U Є Cn+1 начала координат. Пусть Y — гиперплоскость в Сп. Обозначим: S = (Са х У) U {а = 0}. Рассмотрим разрешение 7г: (X, D) — (U,0) ростка гиперповерхности {FiF2 Fk — 0} U S в начале координат, где D — 7г-1(0) — исключительный дивизор. Теорема 9 Пусть разрешение тг является изоморфизмом вне множества TT l(Ur\S). Тогда где W — собственный прообраз множества нулей {і \ = F2 == ... = F = 0} (т. е. замыкание множества 7Г-1(У), где V = {({F = 0} П U) \ S)), Е = а о тг, Z = тг- Со- х У). Пример. Рассмотрим набор ростков функций F0, Fi,..., Fk на (Cn+1,0) вида где fi — ростки функций на (Cn,0). Утверждение. Для системы ростков /о, /і, , Д, невырожденной относительно своих диаграмм Ньютона, система ростков Fo, Fi,..., Fk также невырождена относительно своих диаграмм Ньютона. Доказательство Утверждения аналогично доказательству Предложения 16 (см. с. 54). Легко видеть, что Сл.„с«( ) = С/ыЛ ) гДе v = ih = fi = ... = fk = 0} С (Cn, 0) — росток множества нулей. Таким образом, имеет место следующее утверждение. Теорема 10 Для системы ростков fo, fi, , fk невырожденной относительно своих диаграмм Ньютона дзета-функцию ростка /о на ростке множества V можно найти по формуле: Тот факт, что в «удобном» случае формула (3.9) эквивалентна формуле Ока (см. Теорему 4), не очевиден: нам не известно комбинаторно-геометрическое доказательство возникающих тождеств. Однако для их выполнения условие «удобства» не обязательно (см. Предложение 17), и в силу этого обстоятельства получаем Предложение 14 Утверждение Теоремы 4 (Ока) останется верным, если отказаться от условия «удобства»: Пусть коэффициенты многочлена Pz() = po(z)tk + pi(z)tfc-1 + + Pfc(z) есть многочлены Лорана от п комплексных переменных (zi, 22,..., zn) = z. Пространство параметров (С )", где С = С \ 0, разбивается на страты, соответствующие различным степеням degPz к многочлена Pz и различным комбинациям совпадения его корней. Для многочленов PQ,PI, ,Рк общего положения с фиксированными многогранниками Ньютона 60,5i,... ,6k эйлеровы характеристики этих стра-тов также фиксированы. В работе получены формулы, выражающие их в терминах многогранников 5; для случаев к = 2,3. Обозначим через Р многочлен (Лорана) от (n + 1) переменной, заданный формулой P(z, t) — Px{t). Многогранник Ньютона многочлена Лорана Р обозначим Д. При к = 2 множество (С )" параметров разбивается на 5 стратов — К: deg(Pz) = 2, корни многочлена Рх различны; L: deg(Pz) = 2, корни совпадают; М: deg(Pz) = 1; iV: deg(Pz) = 0; О: Pz = 0.

Комбинаторно-геометрические следствия

При к = 3 множество (С )" параметров разбивается на 8 стратов. Кроме 5-ти стратов К, L, М, N, О, описанных в предыдущем параграфе, появляется еще 3-Я: deg(Pz) = 3, корни многочлена Pz различны; /: deg(.Pz) = 3, два корня из трех совпадают; J: deg(Pz) = 3, все три корня совпадают. Рассмотрим вложения Шп С Шп+1 С Шп+2, где первое пространство снабжено координатами k = (&i, k2 ..., kn), второе — дополнительной координатой kt (см. предыдущий параграф), а третье — еще одной координатой ka, отвечающей вспомогательной переменной а. Обозначим через vt,va векторы в Шп+2 с единственной ненулевой координатой fc( = 1 и единственной ненулевой координатой ka = 1 соответственно. Обозначим через Аі,2,з многогранник Ньютона многочлена Лорана Pit2+p2t+ps- Обозначим через І многогранник Ньютона многочлена Лорана от п + 2 переменных т-\-р 3 \ г = 0,1,2,3. Легко видеть, что Д1і2,з = (( + 2vt) U (и + vt) U 63), Эг = {va U (6i + (3- і)щ)). Теорема 12 Для многочленов Лорана pi общего положения с фиксированными многогранниками Ньютона 5І} і = 0,1, 2,3, имеем: Общность положения означает выполнение следующих условий. Системы многочленов Лорана от п переменных невырождены в торе относительно своих многогранников Ньютона соответственно. Системы многочленов Лорана от n + 1 переменной относительно своих многогранников Ньютона соответственно. Наконец, система многочленов Лорана от п + 2 переменных {а — 3pot3, a + pit2, о — p2t, а + Зрз} невырождена в торе относительно своих многогранников Ньютона {2)о, ъ 2, 2)з}. Доказательство. Формулы Теоремы 11 получаются как решения системы 8-ми линейных уравнений относительно эйлеровых характеристик 8-ми стратов.

Первое уравнение справедливо в силу того, что левая часть есть эйлерова характеристика комплексного тора (С )". Многообразия О, NUO, MUNUO, KULUMUNUO являются множествами нулей систем многочленов {ро,Рі,Р2,Рз}, {ра,Рі,Р2}, {PO-iPl} и {ро} соответственно. Применяя к ним формулы (2.3), получаем 4 уравнения: Еще 2 уравнения получаются при вычислении следующих интегралов по эйлеровой характеристике (см. с. 17). Рассмотрим подмножества Y,Z с (С )" х С, где Y = {(z,t) degPz 2, Pz(t) = 0}, Z = {(z,t) Pz(t) = 0}. Пусть тгі: Y -+ (C )n, тг2: Z - (C )n - ограничения на подмножества Y,Z проекции к: (С )" х С —» (С )п на первый сомножитель. Вычислим интегралы по эйлеровой характеристике: При z Є Я U I U J имеем: 7rf (z) = 0. При z Є Я прообраз 7r2"1(z) состоит из трех точек, при z Є / — из двух точек, при z Є J — из одной. При z Є ЛГ прообразы при обоих отображениях состоят из двух точек, при z L U М — из одной, при z Є N прообразы пусты, и наконец, при z Є О прообразы гомеоморфны С, т.е. х ГЧ55)) = 1, і — 1,2. Таким образом, получаем: Х(У) = х(О) + Х(М) + х(Ь) + 2Х(К), X(Z) = х(0) + х(М) + x(L) + 2Х{К) + X(J) + 2Х(1) + 3 (Я). Имеют место разбиения Y — Y\ U Y2, Z = Z\ U Z2, где УІ = У П (C )n+1, Z1 = Zn (C )n+1, Y2 = {(z, t) Є Y і = 0}, Z2 = {(z, і) Є Z і = 0}. Страты Yi,Zi являются множествами нулей систем многочленов {pQ = pii2 +Р2 + Рз = 0}, {Р} соответственно. Будем считать, что (С )п вложено в (С )71 х С. Тогда страты Y2, Z2 являются множествами нулей систем {ро,рз} и {рз} соответственно. Применяя формулы (2.3), находим эйлеровы характеристики пространств У, Z. Подставляем их в уравнения (4.14) и получаем искомые 2 линейных уравнения: x(0) + x(M) + x(L) + 2X(K) = = (-l)"-:n! ((n + 1)QZ+1(S0,A123) - Q2(50,63)), (4.15) Х(0) + х(М) + x(L) + 2Х(К) + X(J) + Ы1) + ЫН) = = (-1)пп! ((п + 1)ДП+1 - 8%). (4.16) Уравнения (4.13), (4.15) позволяют найти эйлеровы характеристики стратов К, L, М, N, О. Характеристики стратов Н, I, J вычисляются с использованием (4.12), (4.16) и еще одного, восьмого, уравнения. Рассмотрим множество W = {(z, t0) Є (C )n x С Pz{t0) — (dPz/dt)(t0) = (d2Px/dt2)(t0) = 0}. Рассуждения, аналогичные вычислению xQO и x(Z) показывают, что

Имеем: W = Wx U W2, где W1 = WC\ (C )"+1, W2 = {(z, t)eW\t = 0}. Страт W2 является множеством нулей системы {ръР2 Рз}- Таким образом, Теперь найдем x( i)- Страт Wi задается в торе (C )"+1 системой {Р — дР/dt = d2P/dt2 = 0}. Эта система многочленов Лорана, вообще говоря, вырождена относительно своих многогранников Ньютона, поэтому формула (2.3) к ней неприменима. Нетрудно видеть, что указанная система уравнений равносильна следующей: {3pot3 + Зрз = Spot3 — p2t = Зро 3 + Pit2 = 0}- Эта система по-прежнему вырождается. Теперь рассмотрим систему многочленов Лорана от n + 2 переменных Обозначим множество нулей этой системы в торе (С )п+2 через W. Проекция s: (C )n+1 xCff4 (C )n+1 на координатную гиперплоскость координат (z,t) вкладывает множество W в страт W\. А именно, рассмотрим несвязное объединение: W\ = W[ U W", где W[ = {(z, t) Є Wi p0(z) ф 0} и W{ = {(z,t) Є Wi p0(z) = 0}. Тогда s(W) = W{. Множество W" задается в (C )n+1 системой уравнений от п переменных: {ро = р\ = Р2 = Рз = 0}. Таким образом, W" расслаивается со слоем С и x(W") = 0. Далее, имеем: Утверждение. Для многочленов Лорана pi общего положения с данными многогранниками Ньютона Si} і = 0,1,2,3, система многочленов Лорана (4.19) невырождена в торе относительно своих многогранников Ньютона 2)0, 1,3)2, з Доказательство. Рассмотрим линейное пространство 1 всех многочленов Лорана, многогранник которого является подмножеством многогранника SDi, г = 0,1,2,3. Системам многочленов Лорана, невырожденным в торе относительно своих многогранников Ньютона 5)і; і = 0,1,2,3, отвечает открытое всюду плотное подмножество U\ в произведении проективизаций линейных пространств П =о- (- )

Множество систем вида (4.19), где pi — произвольный многочлен Лорана с многогранником Ньютона Д(рі) = ,-, представляет собой открытое всюду плотное множество ІІ2 в произведении аффинных частей ПІ=О (- ») - -(А) С P(Li), соответствующих фиксации коэффициента при мономе о. Подмножество невырожденных в торе систем вида (4.19) равно U\ Л U? П П =о A(Li), и значит, открыто и всюду плотно в ІІ2- Применяя формулу (2.3) к системе (4.19), и учитывая (4.17), (4.18), (4.20), получаем искомое (восьмое) линейное уравнение: Х(0) + X(J) = (-l)nn! [(n + l)(n + 2)Q2+2(2)o,S)b2 2,2 3) -ДОьйЛ)]- (4.21) Пусть F0, FI, ..,, Fk — набор функций на С", заданных как многочлены от п комплексных переменных z = (zi,Z2,. ,zn). Рассмотрим множество нулей V = {z Є Cn I Fi = 0, і = 1,2,..., к}. В параграфе 5.1 мы получаем формулы для дзета-функций GnlvCO.C CO при Fi,F2,...,Ffc, находящихся в общем положении, в терминах целочисленных смешанных объемов (см. с. 25) граней многогранников Ньютона Ді, Аг,..., Ajt, соответствующих многочленам Fi,F2,--.,Fk- Если переменную zn рассматривать как параметр, указанная формула считает дзета-функцию деформации VC = VD {zn — с} полного пересечения Vo С Сп-1 и является глобальным аналогом Теоремы 6. В параграфе 5.2 мы получаем аналогичную формулу в общем случае, то есть для дзета-функции CFOV(0 многочлена F0 на полном пресечении V при F0, Fi,..., Fk, находящихся в общем положении. Эта формула является аналогом Теоремы 5.

Похожие диссертации на Дзета-функции монодромии и диаграммы Ньютона

Распределение нулей аналитических почти периодических векторных полей и диаграммы Ньютона Гельфонд Ольга Александровна

Дзета-функции алгебраических поверхностей и якобианы кривых рода 3 над конечными полямиРыбаков Сергей Юрьевич

Вероятностные методы в теории чисел и приложения в теории аргумента дзета-функции РиманаБояринов, Роман Николаевич

Расстояние между соседними нулями дзета-функции Римана, лежащими на критической прямойХайруллоев Шамсулло Амруллоевич

Об оценках плотности нетривиальных нулей дзета-функции РиманаАвдеев Иван Федорович

Поведение аргумента дзета - функции Римана на критической прямой Королёв Максим Александрович

Закон Грама в теории дзета - функции РиманаКоролёв, Максим Александрович

Теорема Апери и задачи для значений дзета-функции Римана и их q-аналоговЗудилин Вадим Валентинович

Неопубликованные материалы Эйлера по аналитической теории чисел : Элементы теории дзета - функции в его записных книжкахГорлова, Виктория Дмитриевна

Методы обращения дискретных функций с применением двоичных решающих диаграммИгнатьев Алексей Сергеевич