Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Основные уравнения доплеровского зондирования для ППС 16
1.1. Уравнения для сигнала когерентного импульсного лидара 16
1.2. Оценка центральной частоты для метода подавления шума 19
1.3. МКД для определения оценки компонент скорости ветра 20
1.4. Уравнения для ППС 21
1.4.1. Уравнения гидродинамики 22
lA.2.DNS-,RANS-HLES-no№ w 25
1.4.3. Ш-модель и «е-/»-модель турбулентности 28
1.4.4. Ж№модель 31
1.4.5. Модели атмосферы, используемые в расчетах 32
Глава 2. Тестирование Ш-модели и «е-/»-модели турбулентности и KF-модели по данным натурных экспериментов CASES-99 и «Стратификация -2012-2013» 35
2.1. Описание натурного эксперимента CASES-99 35
2.2. Тестирование моделей прогноза по данным натурного эксперимента CASES-99 36
2.3. Описание натурного эксперимента «Стратификация - 2012-2013» 42
2.4. Тестирование моделей прогноза по данным натурного эксперимента «Стратификация -2012-2013» 43
Глава 3. Теоретическое обоснование негауссовой модели для оценок поля скорости ветра 53
3.1. Статистика сигнала когерентного лидара в турбулентной атмосфере 53
3.1.1. Условные статистические свойства сигнала 55
3.1.2. Абсолютные статистические свойства сигнала 56
3.1.3. Статистика сигнала для однородной турбулентности 57
3.1.4. Статистика сигнала в турбулентной атмосфере и центральная предельная теорема
3.2. Негауссова модель для оценки радиальной скорости ветра 62
3.2.1. Метод возмущений 62
3.2.2. Оценка радиальной скорости ветра для однородной турбулентности 67
3.2.3. Предельные случаи полученных результатов 69
3.2.4. Гауссова аппроксимация функции, определяющей форму рассеивающего объема 71
3.3. Оценки компонент скорости ветра для однородной турбулентности 73
Глава 4. Неопределенность измерений радиальной составляющей и компонент скорости ветра МКД в турбулентной атмосфере 77
4.1. Негауссова модель для оценок поля скорости ветра 77
4.2. Неопределенность измерений поля скорости ветра доплеровскими лидарамиМКД 78
4.2.1. Неопределенность измерений радиальной скорости ветра 81
4.2.2. Неопределенность измерений компонент скорости ветра для схемы зондирования с одним доплеровским лидаром 86
4.2.3. Неопределенность измерений компонент скорости ветра доплеровскими лидарами, включенными в локальную сеть 92
Заключение 98
Список сокращений и условных обозначений 100
Сокращенные названия 100
Латинские символы 100
Греческие символы 106
Специальные символы 108
Список использованной литературы
- МКД для определения оценки компонент скорости ветра
- Тестирование моделей прогноза по данным натурного эксперимента CASES-99
- Статистика сигнала для однородной турбулентности
- Неопределенность измерений компонент скорости ветра для схемы зондирования с одним доплеровским лидаром
МКД для определения оценки компонент скорости ветра
Уравнения для сигнала когерентного импульсного лидара На рисунке 1.1.1 показана схема доплеровского дистанционного зондирования скорости ветра. Нами используется правая система координат, которая принята в метеорологии и при численном моделировании атмосферных полей [45-48], поэтому ее применение при доплеровском зондировании поля скорости ветра в атмосфере является естественной выбором [24, 29, 49]. Ось х направлена на восток (Е), ось у - на север (N), z - вверх и перпендикулярно поверхности истинного горизонта. Вращение вектора R, который определяет направление п = -—г и дальность R зондирования, по углу азимута ф по ходу часовой стрелки при фиксированном угле места 0 образует конус зондирования. Координаты поля скорости ветра, которые обозначены на рисунке 1.1.1 через {w,v,w}.
Известно [17, 29, 50], что сигнал доплеровского лидара j\t) можно представить как сумму двух статистически независимых частей в виде j\t) = js\t) + jn\t), где js\t) и jn\t) - аэрозольная и шумовая составляющие сигнала. Относительно шумов приемника доплеровского лидара jn{t) предполагается, что он представляет собой гауссов белый шум, поэтому поведение статистики j\t) будет целиком определяться аэрозольной составляющей сигнала js(t).
В приближении однократного рассеяния [29, 51] аэрозольная составляющая сигнала может быть записана в виде частиц; P\t,Rm) - пересечение диаграмм направленности лазера и приемника доплеровского лидара; tQ и t - отчеты времени, которые соответствуют началу и концу измерений радиальной скорости ветра одиночным импульсом; пересечение диаграмм направленности лазера и приемника доплеровского лидара в направлении зондирования п определяется формой зондирующего импульса, а по поперечной координате rmj_ это пересечение имеет вид 5-функции: импульса, 2т0 - длительность импульса, которая определяется на уровне е от максимального значения функции \Po\tJ [23, 29]. Отметим, что в коэффициент PQ включены величины, которые связаны с убыванием сигнала в зависимости от дальности зондирования, поглощением оптического излучения, квантовой эффективности фотодетектора, амплитуды полей опорного гетеродина и зондирующего излучения и других параметров. 1.2. Оценка центральной частоты для метода подавления шума
Оценка центральной частоты сигнала доплеровского ветрового лидара определяется как первый спектральный момент Метод подавления шума [18, 19] основан на простом вычитании из оценки спектра мощности самого сигнала s[fa) и спектра мощности шума N\fi). Выражение для оценки спектра для данного метода имеет вид где фо - первый азимутальный угол большой дуги, иг - кривая наилучшей подгонки для радиальной скорости ветра, N = (фдг_і -фо)/Аф, фдг_і - последний азимутальный угол большой дуги. Угол, образующий большую дугу сканирования равен фдг_і - Фо Предположим, что перенос воздушных масс определяется горизонтальным ветром, т.е. вертикальная координата скорости ветра равна нулю. В этом случае кривая наилучшей подгонки может быть записана в виде:
Уравнения для ППС Система уравнений (1.1.1)-(1.1.3), (1.2.5), (1.2.6), (1.3.3) и (1.3.4) является неполной, так как включает в себя неизвестные величины, а именно компоненты скорости ветра щ = w(i?m,ф,&), =v(Rm,,&), щ = w(Rm,,8), которые требуют дополнительного определения. 1.4.1. Уравнения гидродинамики
Неизвестные величины щ, / = 1,2,3 можно определить на основе уравнений гидродинамики [46, 53-55]. Уравнения гидродинамики включают в себя уравнение неразрывности, основные динамические уравнения, уравнение состояния и уравнение на потенциальную температуру: в 7-м в направлении. Согласно [55] слагаемым пренебречь. В гидродинамике важную роль играет приближение, которое соответствует случаю несжимаемой жидкости. Уравнения (1.4.1), (1.4.2) и (1.4.4) в этом случае перепишутся в виде [46, 53-55] (1.4.13) где Vg - молекулярная диффузия для водяного пара; р - плотность влажного воздуха; S„ = Sg+Sg - источник суммарной влажности; Ут =Я + С1ь Я водяная фракция, qi - неводяная фракция; Е - масса водяного пара в единицу
объема и в единицу времени, созданная при фазовом переходе из жидкого или твердого состояний.
Уравнения (1.1.1)-(1.1.3), (1.2.5), (1.2.6), (1.3.3) и (1.3.4) совместно с уравнениями гидродинамики для сжимаемой или несжимаемой жидкости являются замкнутой системой уравнений. Дальнейшие упрощения данных уравнений являются предметом исследований настоящей диссертации и рассмотрены в последующих главах. Что касается уравнений (1.4.1)-(1.4.4), то в настоящее время созданы эффективные алгоритмы для численной реализации уравнений гидродинамики, основанные с RANS- либо с LES-шдходах.
При моделировании турбулентных течений атмосфере наибольшее распространение получили подходы, которые имеют названия DNS, RANS и LES.
DNS-шдход основан на прямом численном решении уравнений гидродинамики, он не требует специальных замыканий и разрешает все масштабы движения жидкости. Основная принципиальная трудность данного подхода заключается в том, что для больших чисел Рейнольдса количество степеней свободы турбулентного движения велико и минимальное количество узлов на численной сетке должно быть столь большим, что ограничивает применение прямого численного моделирования. Поэтому DNS-шдход не используется численном решении уравнений гидродинамики при анализе атмосферных процессов.
RANS-шдход основан на решении осредненных уравнений гидродинамики [55]. Все параметры движения разлагаются на среднюю и турбулентную составляющие. Для скорости ветра и потенциальной температуры данное разложение имеет где URANS=(u), VRANS={v), WRANS={w) и RANS=(Q) " средние no ансамблю значения компонент скорости ветра и потенциальной температуры; U RANS V RANS W RANS И RANS - их флуктуационные компоненты; (...) -оператор усреднения случайной величины по ансамблю.
При усреднении уравнений гидродинамики появляются величины, например (wV), (vV), (g w ), (6V) и т.п., которые являются неизвестными функциями и подлежат дополнительному определению. Для их определения используются различные замыкания и модельные представления [46, 55]. /.ДО-подход является промежуточным между DNS- и RANS-шдходши. При формулировке данного подхода крупномасштабная часть турбулентности вычисляется непосредственно, а мелкомасштабная - моделируется [55]. В /.ДО-подходе используется операция фильтрации для разложения характеристик турбулентного движения на крупномасштабную и мелкомасштабную части
Тестирование моделей прогноза по данным натурного эксперимента CASES-99
Статистика сигнала когерентного лидара в турбулентной атмосфере Необходимость детального изучения статистических свойств сигнала в турбулентной атмосфере обусловлена следующими обстоятельствами. Во-первых, статистика сигнала полностью определяет поведение оценки центральной частоты сигнала как случайной величины. Следовательно, анализ статистических свойств сигнала допплеровского ветрового лидара в турбулентной атмосфере есть первый и закономерный шаг в исследованиях, необходимый для правильной постановки задачи и выбора методов исследований.
Во-вторых, аэрозольная составляющая сигнала импульсного допплеровского лидара представляет собой сумму большого числа случайных величин, которые зависят от положения частиц в рассеивающем объеме. Общеизвестно, что турбулентность приводит к хаосу, поэтому, казалось бы, логично предположить, что частицы распределены в рассеивающем объеме равномерно и статистически независимо друг от друга. При такой логике рассуждений возникает желание воспользоваться центральной предельной теоремой и считать статистику сигнала гауссовой. Вместе с тем, в турбулентных потоках в задачах спектроскопии флуктуации интенсивности статистика рассеянного света является негауссовой [15, 66]. Подобное поведение статистики может наблюдаться в задачах доплеровского лидарного зондирования. В связи с этим возникает вопрос о влиянии негауссовых свойств на работу импульсного допплеровского лидара в турбулентной атмосфере. В-третьих, спектроскопия флуктуации интенсивности [15, 66] и допплеровское лидарное зондирование, как два раздела оптики, тесно связаны друг с другом, но коренным образом отличаются постановкой задач. Задача спектроскопии флуктуации интенсивности ограничивается исследованием абсолютных статистических характеристик рассеянного поля [15, 66]. В задаче допплеровского зондирования интерес представляет сдвиг частоты, а не интенсивность, что с теоретической точки зрения требует проведения более детального статистического анализа сигнала. В работе [84] показано, что выбор абсолютных статистических характеристик в качестве нулевого приближения при анализе оценки центральной частоты сигнала допплеровского ветрового лидара в турбулентной атмосфере приводит к появлению вековых членов, т.е. к неравномерной аппроксимации ряда теории возмущений. Последовательное применение методов перенормировки показывает, что равномерная аппроксимация достигается в том случае, если нулевое приближение зависит от случайного поля скорости ветра. Это означает, что при изучении проблем допплеровского лидарного зондирования возникает необходимость в более детальном исследовании: изучении не только абсолютных, но и условных статистических характеристик. Определим условные корреляционные функции второго и четвертого порядков как результат усреднения величины js{t\)js{f2) и UsVl) U v2) n0 случайным параметрам rm и Np, исключая флуктуации скорости турбулентного потока и(і?ш,ф,&). Будем предполагать, что частицы по составу однородны и имеют одинаковое сечение рассеяния \Ат\ =\А\ . При данных предположениях условные корреляционные функции второго и четвертого порядков аэрозольной составляющий сигнала, полученные как результат усреднения величин Л( І)Л( 2) и Usvl) Us v2) п0 законам распределения случайных координат и числа частиц с использованием выражения (1.1.1), имеют вид направленности лидара; (ur{Rm,,Sj) - средняя радиальная скорость ветра; ur(Rm,,&) - флуктуации радиальной скорость ветра; ґ = ( + )/2; т = - ; ... - оператор усреднения по случайным координатам гт и флуктуациям числа частиц Nр, усреднение по флуктуациям скорости ветра не производится. Из выражений (3.1.1) и (3.1.2) следует, что условная корреляционная функция четвертого порядка факторизуется по закону гауссовой статистики [15, 66].
Абсолютные корреляционные функции второго и четвертого порядков есть результат усреднения величины js(ti)js(t2) и y5vl) [/Л .2JI п0 всем случайным параметрам: положение в начальный момент времени rm, скорость u(Rm,,Q) и число частиц N . Применение методики усреднения, изложенной в работах [15,29, 66, 67], к выражениям js(t\)js(t2) и ./svl) ІЛ(.2) с использованием формулы (1.1.1) приводит к следующему виду где ur(Rm, \ ,S ) - флуктуационная часть радиальной скорости ветра. Из выражений (3.1.3) и (3.1.4) следует, что абсолютная корреляционная функция четвертого порядка не факторизуется по закону гауссовой статистики, поэтому статистика сигнала является негауссовой. Из данных выражений, а также из формул (3.1.1) и (3.1.2) видно, что абсолютные и условные корреляционные функции зависят как от суммарной, так и от разностной переменных /их, что означает, что сигнал импульсного доплеровского лидара является нестационарным.
Таким образом, сигнал импульсного доплеровского лидара представляет собой нестационарный негауссов случайный процесс с гауссовыми условными статистическими характеристиками. отклонение статистики сигнала доплеровского лидара от гауссовой статистики, 2 1/2 = СТ0 минимальная длина рассеивающего объема. Из выражений (3.1.5) и (3.1.6) следует, что корреляционная функция четвертого порядка факторизуется по закону гауссовой статистики только при NG = 1. На рисунке 3.1.1, а представлены результаты расчета фактора NG как функции параметра х = Ikx JleJb для различных значений отношения l/dy2
Расчет турбулентных характеристик проведен с использованием данных натурного эксперимента CASES-99 на 6 октября 1999 г. Из выражений (3.1.5) и (3.1.6), а также из рисунка 3.1.1, а следует, что гауссова статистика сигнала доплеровского лидара наблюдается в предельном случае, когда размеры рассеивающего объема 2 /2 неограниченно возрастают и начинают превосходить масштаб турбулентности /, т.е. при l/2dy2 «1. При конечных
Статистика сигнала для однородной турбулентности
Неопределенность измерений компонент скорости ветра доплеровскими лидарами, включенными в локальную сеть Рассмотрим схему зондирования компонент скорости ветра двумя доплеровскими лидарами 1 и 2, которые находятся в противоположных углах выделенной области по диагонали (см. рисунок 4.2.1). Доплеровские лидары измеряют компоненты средней скорости ветра внутри каждой ячейки сетки в выбранной области х 0 и 3; 0. В результате такой схемы измерений
получается два набора данных компонент скорости ветра для каждой ячейки сетки. Численное моделирование стандартных отклонений компонент U и V осуществлялось для местности экспериментов CASES-99 на 6 октября 1999 г., 23 ч (UTC) и «Стратификация - 2012-2013» на 18 августа 2012 г., 11 ч (UTC) на высоте 400 м. Расчеты стандартных отклонений проводились для области размером 5x5 км с пространственным разрешением 1x1 км и для высоты 400 м, которая, как следует из рисунков 2.2.5 и 2.4.5, соответствует сильной турбулентности.
Дальность зондирования, угол места, угол сканирования, которые входят в формулы (3.3.6) и (3.3.7) для дисперсий компонент скорости ветра, зависят от номера и размеров ячейки сетки и являются различными для первого и второго лидаров. В таблицах 4.2.1 и 4.2.2, в качестве примеров, показаны результаты расчета дальности зондирования, углов места и сканирования для ячеек сетки с номерами [іх =\,...,5;іу = \) и [ix =\;iy = 1,...,5j, где ix и iy - это номера ячеек соответственно на осях х и у для первого лидара. Номера ячеек [ix = 1,... ,5; і у = 1 j соответствуют направлению зондирования на восток, а
Результаты расчета стандартных отклонений для двух лидаров для эксперимента CASES-99 приведены в таблицах 4.2.3 для компоненты U и 4.2.4 для V, и в таблицах 4.2.5 и 4.2.6 для эксперимента «Стратификация-2012-2013». В таблицах 4.2.3-4.2.6 стандартные отклонения компоненты U соответственно для первого и второго лидаров обозначены через (5и \ и GJJ 2, а стандартные отклонения компоненты V - а у \ и зу 2. Минимальные значения стандартных отклонений выделены жирным шрифтом.
Из таблиц 4.2.3-4.2.6 видно, что рассматриваемые лидары измеряют компоненты скорости ветра с различной точностью. Например, в ячейке с номером (ix=3; iy=2) 3тт минимально для первого лидара, а 3у минимально для второго лидара. Таким образом, выбор показаний компонент скорости ветра, соответствующих минимальным значениям стандартных отклонений, с лидаров, расположенных в противоположных углах выделенной области по диагонали, приводит к существенному увеличению точности измерений поля скорости ветра в турбулентной атмосфере.
Основные выводы по четвертой главе. Предложена негауссова модель для оценок поля скорости ветра, измеренного доплеровскими лидарами по МКД. Основными блоками данной модели являются блок расчета стандартных отклонений и принятых опорных значений средних радиальной составляющей и компонент скорости ветра, Ш-модель и «е /»-модель турбулентности, KF-модель и блок визуализации результатов расчета.
Для 2-мкм лидара с длительностью импульса 0.24 мкс неопределенность измерений радиальной скорости ветра уменьшается при увеличении числа интервалов дискретизации. С ростом энергии турбулентности, который наблюдался в эксперименте CASES-99 в дневное время, стандартное отклонение радиальной составляющей скорости ветра значительно увеличивается по сравнению с ночным временем суток.
Неопределенность измерений компонент скорости ветра растет при увеличении горизонтального пространственного разрешения. С ростом номера ячейки сетки неопределенность измерений компоненты скорости ветра в направлении ее зондирования уменьшается при пространственном разрешении измерений 1x1 км вследствие уменьшения угла места, а при разрешении 3x3 км увеличивается из-за уменьшения угла сканирования и падения отношения сигнал-шум при любом направлении зондирования.
Условная негауссова составляющая неопределенности измерений компонент скорости ветра возрастает с увеличением энергии турбулентности, а условная гауссова составляющая слабо зависит от состояния атмосферной турбулентности. В случае сильной турбулентности вклад негауссовой составляющей в неопределенность измерений сопоставим с вкладом гауссовой компоненты.
Неопределенность измерений компонент скорости ветра для схемы зондирования с одним доплеровским лидаром
В случае условного усреднения, как это видно из выражения (3.1.7), положения частиц вдоль оси зондирования не коррелированы, т.е. Rm\t)Rn\t) =Rm\t)-Rn\t) , и, следовательно, они распределены в рассеивающем объеме статистически независимо друг от друга. Таким образом, в случае условного усреднения выполняются все требования центральной предельной теоремы, и условные статистические характеристики сигнала являются гауссовыми.
При абсолютном усреднении, как следует из выражения (3.1.7), положения частиц коррелированы (Rm \t)Rn (/1)) Ф (Rm (/1)) (Rn (/1)), и они статистически зависимы друг от друга в рассеивающем объеме. На этом основании можно сделать вывод, что центральная предельная теорема не применима для статистического анализа сигнала импульсного доплеровского лидара (1.1.1) в турбулентной атмосфере. Сама статистика сигнала в абсолютном смысле этого слова являются негауссовой, что согласуется с результатами, полученными в предыдущих разделах статьи.
Причиной статистической зависимости положений частиц в рассеивающем объеме и, следовательно, причиной негауссовой статистики сигнала доплеровского лидара, является корреляция турбулентных флуктуации поля скорости ветра в пределах рассеивающего объема. Для однородной и изотропной турбулентности и экспоненциальной модели корреляция турбулентных флуктуации поля радиальной скорости имеет вид (ur\Rm,ф, ) ur\Rn,ф, )) = — е-ехр{-\Rm -Rn\/l). Видно, что при выполнении условия / «\Rm -Rn\ \ur(Rm,ф,S) ur(Rn,ф,S)\ = 0 и положения частиц вдоль оси зондирования статистически независимы. Если учесть, что \Rm - Rn\ 2dy2, то условие l«\Rm-Rn\ соответствует предельному случаю больших размеров рассеивающего объема (l/2dy2 «1) и гауссовой статистике сигнала.
По мере увеличения отношения Il2dij2 , что соответствует малым размерам рассеивающего объема, корреляция турбулентных флуктуации поля радиальной скорости ветра существенным образом возрастает, что приводит к статистической зависимости положения частиц и к негауссовым свойствам сигнала импульсного доплеровского лидара. С физической точки зрения условие ll2d /2 »1 означает, что частицы, которые находятся в пределах рассеивающего объема, увлекаться одним и тем же вихрем атмосферной турбулентности. Положения частиц становятся коррелированными, т.е. согласованными, в результате движения в пределах одного и того же вихря. Что касается членов суммы (1.1.1), то они становятся статистически зависимыми в результате согласованного движения частиц в пределах одного и того же вихря. Таким образом, условия центральной предельной теоремы не выполняется для модели аэрозольного сигнала (1.1.1) и (1.1.2) в приближении однократного рассеяния, который представляет собой сумму большого числа случайных величин.
Анализ выражений (3.1.3)-(3.1.6) позволяет сделать заключение о статистике сигнала импульсного доплеровского лидара в ламинарном потоке. Если кинетическая энергия турбулентности стремиться к нулю е —» 0, то lur{Rm, , )-ur{Rn, , Yj = 0 и турбулентный поток вырождается в ламинарный.
Из выражений (3.1.3)-(3.1.6) видно, что при е—»0 абсолютные корреляционные функции факторизуется по закону гауссовой статистики, поэтому статистика сигнала является гауссовой. Такой же вывод можно сделать из анализа выражений (3.1.7) и (3.1.8). Видно, что положения частиц вдоль оси зондирования становятся статистически независимыми и условия центральной предельной теоремы выполняются, и статистика сигнала импульсного доплеровского лидара в ламинарном потоке является гауссовой. Поведение статистики сигнала доплеровского лидара в ламинарном потоке находятся в полном согласии с результатами исследований [15].
Негауссова модель для оценки радиальной скорости ветра При построении негауссовой модели для оценки радиальной скорости ветра используется теоретический подход, который включает метод теории возмущений, развитый в теории вероятности и математической статистики и результаты статистического анализа сигнала.
Метод возмущений Применение метода возмущений для исследования оценки центральной частоты доплеровского ветрового лидара, которая является отношением двух случайных величин, основано итерационной процедуре [18-20]
Для сигнала с негауссовой статистикой выбор нулевого порядка теории возмущений нетривиален. В работе [84] показано, что выбор в качестве нулевого приближения абсолютных значений среднего спектра мощности и среднего коэффициента нормировки, которые являются абсолютными статистическими характеристиками, приводит к неравномерной аппроксимации рядов теории возмущений. В результате такого выбора для малых размеров рассеивающего объема дисперсия флуктуации центральной частоты неограниченно возрастает, что противоречит физическому смыслу.
Избежать проблем, которые связаны с неравномерной аппроксимацией, и дать правильную физическую интерпретацию полученных результатов можно используя метод перенормировки рядов теории возмущений [84]. В данной статье обоснование выбора нулевого порядка теории возмущений основано на анализе статистических характеристик сигнал доплеровского лидара.
Анализ статистических характеристик, изложенный в 3.1, показал, что при когерентном приеме оптических полей, рассеянных большим количеством частиц, сигнал доплеровского лидара представляет собой нестационарный негауссов случайный процесс с гауссовыми условными статистическими характеристиками. Такое поведение условной статистики означает, что можно использовать методы теории возмущений, которые развиты для гауссова случайного процесса в работах [18-20], если в качестве нулевого приближения выбрать условные статистические характеристики. Следовательно, нулевой порядок итерационной процедуры для рассматриваемого нестационарного негауссова случайного процесса имеет вид
Из выражения (3.2.3) видно, что спектр S\f) и коэффициент нормировки SQ являются, с одной стороны условными статистическими характеристиками, которые характеризуют статистические свойства S(f) я SQ. С другой стороны величиной, сложным образом зависящий от скорости турбулентного потока, а переход к среднему спектру и среднему коэффициенту нормировки требует дополнительного усреднения по флуктуациям скорости турбулентного потока.
Таким образом, величины s(f) = S(f) и SQ = SQ МОЖНО интерпретировать как частично усредненные случайные величины, что дает нам основание в дальнейшем называть их частично усредненными спектром и частично усредненным коэффициентом нормировки.
