Поля Эйнштейна-Максвелла с заряженной идеальной жидкостью при равенстве нулю силы Лоренца Цалаку, Георгиос Андреа

Введение к работе

Актуальность темы. В общей теории относительности одним из способов изучения явлений, связанных с неинерциальностью системы отсчёта, является получение точных решений уравнений теории (уравнений Эйнштейна) для конкретного источника гравитационного поля и анализ свойств этих решений в неинерци-альной системе отсчёта.

Точные решения уравнений Эйнштейна (которые представляют собой самостоятельное направление исследований в современной теории гравитации) для заряженной пыли с бессиловым электромагнитным полем были получены во многих работах (см. [I] ). Но, до сих пор не была систематически рассмотрена проблема нахождения точных решений уравнений Эйнштейна для заряженной идеальной жидкости при равенстве нулю силы Лоренца. Кроме того, условие равенства нули силы Лоренца рассматривалось как упрощающее предположение, не имеющее физического смысла. Возможно, это обстоятельство и явилось причиной того, что упомянутые решения не были включены в известную книгу по точным решениям уравнений Эйнштейна [2] .

В диссертации рассматривается проблема нахождения точных решений уравнений Эйнштейна-Максвелла с заряженной идеальной жидкостью при равенстве нулю силы Лоренца. Одновременно, условие равенства нулю силы Лоренца исследуется с помощью у-равнений Максвелла, записанных в произвольной системе отсчёта и в произвольном гравитационном поле в терминах векторов электрической и магнитной напряжённостей. Такой анализ позволяет снять сомнения относительно непротиворечивости подобных результатов, а также дать физическую интерпретацию для условия равенства нулю силы Лоренца.

Цель работы. Главной целью работы является получение новых точных решений уравнений Эйнштейна-Максвелла для заряженной идеальной жидкости при равенстве нулю силы Лоренца и исследование свойств новых решений. Целью работы является также демонстрация работы сравнительно нового метода генерирования точных решений, предложенного Мицкевичем и Хорским.

Научная новизна и научно-практическая значимость. Научная новизна работы состоит в получении ряда новых точных решений уравнений Эйнштейна-Максвелла для заряженной идеальной

жидкости с бессиловым электромагнитным полем и в предложении метода генерирования таких решений с помощью известных решений уравнений Эйнштейна.

Научно-практическая значимость полученных результатов состоит в том, что эти результаты могут быть использованы для анализа поведения заряженной жидкости, находящейся в собственном электромагнитном и гравитационном полях.

Апробация работы. Основные результаты диссертации проходили апробацию на научных семинарах кафедры теоретической физики РУДН, на научном семинаре "Физика и Геометрия" физического факультета МГУ, на научном семинаре НИЦІШ, на научном семинаре Астрономического Института МГУ и на научных конференциях факультета физико-математических и естественных наук РУДН.

Публикации. Результаты проведённых исследований опубликованы в четырёх печатных работах, списрк которых приведён в конце автореферата.

Объём работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, трёх приложений и списка литературы. Полный объём диссертации - 12.2 страниц машинописного текста. Библиография - 128 наименований.

Во Введении сформулированы основные цели исследования, дан краткий обзор предыдущих результатов по теме диссертации и приведены основные определения и соотношения общей теории относительности, теории дифференциальных форм и монадного формализма, используемые в диссертации. Приведена также монад ная запись уравнений Максвелла. Используя определения ъе~ кторов электрической и магнитной напряжённостей

E = F^_vT^v< > E-*(rA*F) . Сі)

B = -F,aT^vcLx.H- < > B = *(TAF) (2)

где x - монада, определяющая систему отсчёта, F^Fjiycbcfydx" - тензор электромагнитного поля, # - звёздочка Ходка, уравнения Максвелла F^rW_;V --HXZ^ и V^і*yj = О могут быть записаны в произвольной системе отсчёта и произвольном гра-

витационном поле [з] :

otivE = ЧЖ(Г + 2 60 а В , (За)

ro4B + GxB =('!-2^OC^^v+D|lE)+^' > ^(3б)

ctlvB = - 2Ll)*E , (Зв)

rclE + GxE =-(|S-26^Dv^% DB), (Зг)

где (Г и j - плотности заряда и 3-тока, соответственно-, G , oJ и D^v - вектор ускорения, вектор угловой скорости вращения и тензор скоростей деформации системы отсчёта, соответственно-, А*В -.трёхмерное скалярное произведение, А*8 -трёхмерное векторное произведение, * - производная Ли.

В Главе I получены цилиндрически-симметричные решения уравнений Эйнштейна-Максвелла для заряженной материи с бессиловым электромагнитным полем.

В 1 получена система уравнений Эйнштейна-Максвелла для заряженной идеальной жидкости в случае цилиндрической симметричности пространства-времени. Метрический элемент стационарного, цилиндрически-симметричного пространства-времени записывается следующим образом:

сЬ^г- 4(Al--wa₄.)^l-rⁱD4a-e^v(iz^z4 dip¹) ., СО

где ? , W , D и V зависят лишь от о . Ч-скорость жидкости U , вектор-потенциал электромагнитного поля А и плотность '*-тока 3 задаются выражениями

а- Г¹'² \ , (5)

А^ Фси + УсЦ> , (б)

а ^ ста , (?)

где Ф , Ч* и (Г - также зависят лишь от р . Условие равенства нули силы Лоренца

F^a^v = o (в)

приводит к тому, что

Ф z: cowsl . (9)

Далее, строятся тензоры энергии-импульса идеальной жидкости и электромагнитного поля. Компоненты тензора Риччи находятся с помощью результатов Приложения I. Уравнения Эйнштейна и уравнения Максвелла приводят к системе из семи уравнений для нахождения восьми неизвестных ? і w , О , V , |Х , р ,

с и , где р- и р - плотность энергии и давление жидкости, соответственно. Преобразуя данную систему мы получаем такую систему уравнений, в которой все неизвестные функции выражаются через т и D и их производных, а функции т и

О связаны между собой одним дифференциальным уравнением. Уравнения движения сводятся к выражению Г ? (.р.4р) +2р'= О , где штрих означает дифференцирование по р .

В 2 решается система уравнений Эйнштейна-Максвелла для случаев пыли и идеальной жидкости с постоянным давлением. В случае пыли ( р = о) мы получаем решение Сома-Райчаудури [ч]. В случае жидкости с постоянным давлением показано, что проблема сводится к решению следующего нелинейного дифференциального уравнения второго порядка:

D"-kDD'-^D = 0 , (io)

где п и 0 - константы. При h-О (что соответствует постоянству v ) мы приходим к решению Банержи-Банержи [5]. При Ц-0 (что соответствует конкретному отношению между W и ) первое интегрирование уравнения (10) даёт D'= = !; ^(D^z+/А) , где І - константа интегрирования. В зависимости от знака отношения Ilk мы получаем три решения данного уравнения и системы в целом. Два из этих решений удовлетворяют условию регулярности на оси вращения ([2], с.173). Третье решение не удовлетворяет этому условию. Два регулярных цилиндрически-симметричных решения имеют вид:

(і). Кк>о

ds^z= (d-t + ^A-²^lcos(Ap)lclij))²- A'42-

х^-І-Л-ЛА?) -ЗА² _г ^ = ^, _(ІІ)

W^lCxi%4\u) , V=-»/2VFwA"²^|cos(Ap)l-_> (2). l(k<0

dsS Ca-t +m А'^сМАр) cL

А'^гУ>^г(Ар) df -

x.jx = -J-nrWAp) -3A^z _} xp = A² ,

і/Т<Г = /2?7з?м^гсІ)²(Ар) ,=-/2ет*тА~²6лсМАр) ,

где ул и A, - постоянные, А в A/2 . Решение (II) является частным случаем семейства решений (25), полученного в Главе III. Решение (12) является новым.

В 3 исследуется некоторые свойства решений (II) и (12). Показано, что они относятся к типу I по Петрову и допускает трёхпараметрическую группу изометрий, соответствуете стационарности и цилиндрической симметричности задачи. Показано, также, что при больших значениях р в решении (12) допускается замкнутые временно-подобные линии. В решении (II) такие линии отсутствует. Найдены выражения для G , и) и Duv . В общем случае они задаются выражениями

G^-^-df , LO^-j-W^'cb > D^^O . (ІЗ)

С помощью определений (I) и (2) найдены выражения для Є и В в сопутствуйщей зарядам системе отсчёта ( T-Ul ):

Е = о , B = f^/2D~Vc(.2. (14)

Показано, что отсутствие электрического поля в сопутствующей зарядам системе отсчёта связано с тем, что во врацащеи ся системе отсчёта электрическое поле, производимое реальными зарядами с плотностью (У , может быть полностью компенсировано электрическим полем, производимым эффективными зарядами 2и)*Ь (см. (За)). Можно легко проверить, что в полученных решениях

выполняется соотношение ctivE = W6"+ ZU)*B~0

В Главе II получены аксиально-симметричные решения уравнений Эйнштейна-Максвелла для заряженной идеальной жидкости при равенстве нулю силы Лоренца.

В 1 используя снова соотношения (4)-(9) (где теперь все функции зависят не только от р , но и от z ) строится система уравнений Эйнштейна-Максвелла. Уравнения движения сводятся к соотношениям

П(р.₊р) + 2р_г=о , Г%(^+рЬ2р_? = о , (15)

где индексы р и 2. означают дифференцирование по соответствующей координате.

В 2 рассматривается случай пыли ( р = 0 ), который приводит к общему решению, зависящему от двух гармонических функций и полученному Боннором в 1980 г. [6І . Приводится частный случай этого решения, переходящий в решение Сома-Райчаудури, когда исключается зависимость от 2. .

В 3 рассматривается случай идеальной жидкости с постоянным давлением ( р = cons!^0 ). С помощью предположений D=p/\(s), 'Wsvnp'¹ и Ч-Гіф^г (то и vi - константы), обеспечивающих выполнение условия регулярности на оси симметрии, совпадение оси вращения с осью симметрии Oz и параллельность векторов со и Б , решение системы уравнений Эйнштейна-Максвелла сводится к решению уравнения

(e-^vA)«-2ae-*^vA =

О , (16)

где сс= -^(\т²-хи /2Я") , С - константа. Получено общее решение уравнения (16), а также решение при CL- О , которое не является частным случаем общего решения, так как константа а входит в знаменателе замены переменной, необходимой для решения уравнения (16). Таким образом, получено два новых аксиально-симметричных решения, имеющих следующий вид: (1).сс*о

ки ₌ ьК-У/УГ⁵^ - Си-Юсцуу _₃] эф= ь _{t (17)}

^ l^-wVaTr[srtS+U-+42)cYVcJ J

ht %^тЬ Г ЬЩ - Li±{I)aiS.1⁴ Ц>-юр² ,

^ЧТ *«^z- wVztL sy^ + (ії fir) cn_S J ' ^Г ^ '

где ^ = (г-/2")""ⁱ(ab) (zt2_c) , h и He - константы интегрирования, SYitx}_ эллиптическая функция Якоби, сп^г= i-.SW²J . (2). a = o

с15^г=(^-тр^г^)^г-(Б2+АГ²(^² ₊ с^²4с^²),

э^гЛьг+АУ-зб² , *р^&^г (18)

чъ<г-чм^г&Шх(ьг+ь)⁴_} У- /zr/эс то¹ ,

где А и & - константы интегрирования. Отметим, что решение (17) переходит в однородное решение Сома-Райчаудури при a^b^o . Решение (18) также переходит в однородное решение Сома-Райчаудури при В = 0 .

В 4 рассматривается случай идеальной жидкости с непостоянным давлением ( р Фccwsi). В этом случае -?^ccns4 . С помощью предположений D^pACi), w=wp^z, V=tf/>* и ef- і получено следующее решение уравнений Эйнштейна-Максвелла:

ds^^ 6с^гШ)Ш-мр^г*р)^г-p²df -dz¹- dp²

ччг(Г~ 'i-Tzlv угіґ)^гь ск ^l(m) , tyznp¹ ,

где b ~^-/іт^г . Решение (19) представляет собой единственно известное аксиально-симметричное решение уравнений Эйнштейна-Максвелла для заряженной идеальной жидкости с непостоянным давлением и с бессиловым электромагнитным полем. Отметим, что при yy)-Yi = Ь^_1= О решение (19) переходит в плоское пространство-время.

В 5 исследуются свойства полученных в 3 и 4 новых решений. Показано, что все решения относятся к типу D по Петрову. Используя результаты Приложения 2 доказано, что решения (17)-(19) допускает следующие четыре вектора Киплинга:

I=\ , %-\, '

1 TL ' 7

^ - - rv\j) costy 3j. + p""¹ costt 3. -t sirt Эр , (20)

3 -wps\rt(j>Q_t -p-isirttj? 9^ 4a?sy) dp .

Определены области пространства-времени в каждом решении, в которых существуют замкнутые временноподобные линии. Найдены выражения для векторов & , uj и тензора Du\> '

Отсюда следует, что в решениях (17) и (18) жидкость движется без ускорения, сдвига и расширения, но с вращением. В решении (19) жидкость движется с ускорением (связанным с непостоянным видом давления) и с вращением, но без сдвига и расширения. Электрическое и магнитное поля в сопутствующей системе отсчёта равны

Е^О , Ъ= ^1)-4%dl-%dp) . (2D

Здесь также выполняется соотношение cLw Е= ЧЫГ+2и)*Е>-0

В Главе III с помощью метода Мицкевича-Хорского получено два семейства точных решений, обобщающих известное решение Гёделя.

В 1 излагаются основные положения метода генерирования точных, самосогласованных решений уравнений Эйнштейна-Максвелла, предложенного Мицкевичем и Хорским в работе [7] . Согласно этому методу ковектор Киллинга заданного исходного пространства-времени представляет собой (с точностью до постоянного множителя) І- форму 4-потенциала электромагнитного поля, принадлежащего новой самосогласованной системе гравитационного и электромагнитного полей.

В 2 метод Мицкевича-Хорского применяется для обобщения решения Гёделя [8] . Решение Гёделя имеет вид

cts4a²[(dU^2otx)²-Z^x*-c^- Z'^zdZ²] ,

(22)

где & - константа. Ковектор Киллинга имеет вид |=a(d.-t+/2 2dbc). Взяв 4-потекциал электромагнитного поля в виде A = k| , где 8

к - константа, мы получаем следующее выражение для ковариан-тных компонент тензора электромагнитного поля:

Выбирая метрику искомого решения в виде

ds¹- e^Ui^d^^Z-e^dx^z-^df-e^zSd.2^z (23)

где Ы~ , р , # , 5 и W _ функции Ъ , можно с её помощью получить контравариантные компоненты тензора электромагнитного поля F^^v для самосогласованной задачи. Система уравнений Эйнштейна-Максвелла сводится к следуищей системе уравнений:

[(у-рУе²^-^- ^bV^W, (24)

Чтг<Г--4ТаЬкег²*-*-*-* _;

где b - константа интегрирования-, и. , р и <Т также зависят лишь от 2 . Система (2*0 содержит семь уравнений для нахождения восьми неизвестных: ^-,^ , у , сГ , W , у. , Р и (Г . Получено два решения системы (2'О при дополнительных предположениях (I) <*= cons-t и (2) y = cov»s-fc . Соответствующие решения имеет вид:

Ла'е^е^ , W^z+H , ₍₂₅₎

6-= -({ЇЬк/чІґаЧе²**-⁰ ,

где Ц = іха^гк²/т-Ь²/а.^г)/гб , V =.(Я+0)/28 8 , С , О , Ей И - константы интегрирования.

(2). е^= е^26а+с ,а^г*= г e^-'-v&i г\гог₊Е,

jJL = (2*F^arV^2M"^C[>B0 + ^-^Z (i-Z&z)], (26)

' 2T

~~4tF^z

где & , С , О , E , F иН- константы интегрирования.

В 3 рассмотрена проблема связи решений (25) и (26) с другими решениями. Показано, что семейство (25) содержит в качестве частных случаев ремения Гёделя, Сома-Райчаудури, Ван Стокума [9J , а такке решение (II) Главы I. Семейство (26) содержит в качестве частных случаев решения Гёделя, Банержи-Банержи, Сеновиллы [і О J и однородное решение Сома-Райчаудури.

В 4 исследуются свойства решений семейств (25) и (26). Показано, что решения (25) принадлежат типу I по Петрову повсюду, кроме гиперповерхностей, определяемых условиями

на которых эти решения относятся к типу D , и гиперповерх-

на которой решения относятся к типу II. Решения (26) принадлежат типу D повссду, кроме гиперповерхности 9са^гк^Вї-і) = --ЧіїйО , на которой пространство-время этих решений является конформно-плоским (тип 0). Показано, что решения обоих семейств допускают лишь три вектора Киллинга: \- 3_t , f-2^ , ?-Эл . Получены выражения для G , и) и D^v :

Кроме того, определены области выполнения энергетических у-10

словий в новых решениях. Исследованы свойства электромагнитного поля. Показано, что Е-0 , Ь-ГяакеґУик 2и*В+ьїїР=0 . Отметим, что отсутствие силы Лоренца не постулировалось при постановке задачи ( как это делалось в предыдущих Главах), а получилось автоматически.

В 5 обсуждается проблема интерпретации электромагнитного поля в полученных решениях. Согласно интерпретации, предложенной в работе [її], бессиловое электромагнитное поле можно рассматривать как нелинейную суперпозицию электромагнитного поля самых зарядов жидкости и однородного магнитного поля без источников. При подстановке задачи задаётся именно результирующее поле. В диссертации отмечается, что такая интерпретация электромагнитного поля позволяет снять характер парадоксальности, который присущей другой интерпретации электромагнитного поля, и согласно которой бессиловое электромагнитное поле генерируется полностью самыми зарядами. Вместе с тем, в диссертации отечается, что обе интерпретации физически возможны, так как они не противоречат уравнениям Максвелла. Они могут соответствовать различным физическим явлениям.

В Главе IV сформулируется и доказывается теорема о генерировании точных решений уравнений Эйнштейна-Максвелла с разной нулю силой Лоренца.

В 1 применяется метод Мицкевича-Хорского для обобщения решений Ван Стокума и Сеновиллы. Показано, что в обоих случаях системы, следующие из уравнений Эйнштейна-Максвелла, эквивалентны системе (24), полученной при обобщении решения Гё-деля.

В 2 сформулируется и доказывается следующая теорема. Решение уравнений Эйнштейна для нейтральной идеальной жидкости, метрика которого имеет вид

JLs^-e^U-t-vVdx)'-e^cbS-e^dif -є²*сІг² , (27)

где w- , f , j , g и V - функции координаты 2 , допускает обобщение на случай заряженной идеальной жидкости с бессиловым электромагнитным полем и с вектором-потенциалом электромагнитного поля А пропорциональным временноподобно-му вектору Киллинга метрики (27) %-\ или пространственно-

подобному вектору Киллинга метрики (27) %= Э._х , если выполняется одно из следующих условий: (I) е.^ы-со<\*4 , если

A=k , (2) Ve^SzccMS-fc , если A-k?i , где к - постоянный множитель. Кроме того, система уравнений Эйнштейна-Максвелла может быть трансформирована к системе (24).

В Заключении приводятся основные результаты диссертации.

В Приложении I вычисляется с помощью уравнений структуры Картана компоненты тензоров Римана, Риччи и Вейля для метрики вида

cLsMcU + Wdyf-e^cy-e^cte² - e^tSdf >

где функции <х- , р , й , о и W зависят от р и Z

В Приложении 2 показывается, что пространство-время с метрикой

допускает четыре вектора Киллинга, задаваемых выражениями (20), если функции |Сг) и 5(2) удовлетворяют условиям

Ъ^Ф(Ъ'/&²)' *cmsi , Hch , c^consi.

В Приложении 3 приводится подробный вывод уравнений Максвелла в произвольно движущейся системе отсчёта и произвольном гравитационном поле

Похожие диссертации на Поля Эйнштейна-Максвелла с заряженной идеальной жидкостью при равенстве нулю силы Лоренца

Перерассеяние частиц в поле сил ангармонического осциллятора со слабо-диссипативным возмущениемСухаревский Владимир Владимирович

Негамильтонова динамика тонкого стержня в поле внешних силРабаданов Рамазан Газимагомедович

Проблема пондеромоторной силы высокочастотного электромагнитного поля в диспергирующих средахБеспалов, Сергей Вячеславович

Взаимодействие электромагнитных полей с диспергирующими неоднородными средами. Расчет пондеромоторных сил Худяков Игорь Иванович

Точные решения вакуумных уравнений Эйнштейна для алгебраически специальных полей тяготения с космологической постояннойТимофеев, Владимир Николаевич

Точно интегрируемые модели с неминимально связанным скалярным полем в теории гравитации Эйнштейна–КартанаГалиахметов Алмаз Мансурович

Макроскопические уравнения Эйнштейна и МаксвеллаМухарлямов Руслан Камилевич

Устойчивость равновесия и движения неупругих систем в неконсервативном поле силЯнварева, Тамара Ивановна

Исследование влияния свч поля на одиночную каплю в водонефтяной эмульсии в поле сил тяжестиФатхуллина Юлия Ильдаровна

Численное моделирование пространственных течений в полях массовых сил в трубах с криволинейной границейКим Василий Юрьевич