Содержание к диссертации
Введение
1. Получение аналитических выражений для координат орбит периода 2. Бифуркационная диаграмма вещественности координат орбит 26
1.Постановка задачи 26
2. Механические модели 30
3.Нахождение аналитических выражений для бистабильных состояний 32
4.Исследование бифуркационных свойств бистабильных состояний (построение бифуркационной диаграммы) 36
5. Регуляризация полученных решений 38
2. Исследование устойчивости орбит периода 2. Построение бифуркационной диаграммы топологических типов орбит 42
1 .Общие вопросы 42
2.Исследование топологических типов орбит периода 2 {бистабильных состояний) 43
3. Некоторые вспомогательные леммы геометрии многочленов 50
4.Нахождение бифуркационных поверхностей в пространстве параметров 52
5. Определение параметров, определяющих топологический тип фокус 61
6. Устойчивость бистабильных состояний 63
3. Модель перерассеяния частиц. Определение температуры и плотности потока частиц для квази равновесной системы в ангармоническом осцилляторе 64
1-Постановка задачи 64
2.Данные численного эксперимента 66
3.Оценка температуры 67
4.Оценка плотности 69
5.Дополнительные математические исследования 72
6. Применение методик изучения моделей с дискретным временем для модели лазера 79
7. Термодинамическая интерпретация численных данных для системы "Bogdanov-map" 86
Выводы 93
- Механические модели
- Некоторые вспомогательные леммы геометрии многочленов
- Устойчивость бистабильных состояний
- Применение методик изучения моделей с дискретным временем для модели лазера
Механические модели
Одной из известных моделей, к которым применимо уравнение (1.2) является ускорение Ферми (см. подробнее в [18]). Рассматривается взаимодействие микрочастицы и движущегося с постоянной скоростью облака частиц. Если пробная частица обгоняет облако, то из-за соударений частица замедляется, если же облако обгоняет частицу, то она ускоряется. Движение пробной частицы в слабо-диссипативном возмущении поля потенциальных сил описывается уравнением Ньютона: Мы вводим поле диссипативных сил с помощью вязкости в виде: Fduccun = /{є,ц,х)х, где для простоты2 полагаем: f(s,/i,x) = Є + fiX . В области, где f(s,/j,x) Q, пробная частица получает энергию(возбуждается). Преимуществом полуявной схемы является также следующая возможность ее содержательной физической интерпретации: она учитывает поток тепла в форме закона Фурье на свободном пробеге на шаге дискретизации [19] . Таким образом, мы рассматриваем движение частицы, которая через шаг дискретизации (постоянный в собственном времени) меняет направление движения , а на пути свободного пробега взаимодействует с окружающей средой по закону Фурье. Рассмотрим этот вопрос подробнее. В случае ан гармони1! ее кого потенциала выбор коэффициента вязкости в линейном по фазовой координате виде можно мотивировать и другими соображениями (см, например, [13]). В условиях модели (1.4) мы можем предполагать, что среда характеризуется температурой; поле температур U(к) предположим равным: Другими словами, распределение плотности в облаке пропорционально U(x), и распределение температур пропорционально плотности. Коэффициент вязкости в (1.4) можно представить в следующем виде [19] : Мы приходим к выводу, что силы вязкости распадаются на два слагаемых: - кинематическая вязкость є х, - обобщенная тепловая сила F = /л—гх . Действительно, F, умноженное на At = h, дает импульс обобщенной тепловой силы: Следовательно, импульс обобщенной тепловой силы пропорционален потоку тепла в форме Фурье вдоль траектории свободного пробега частицы. Отметим, что шаг дискретизации, упомянутый во введении, допускает простую интерпретацию - это ни что иное, как собственное время "свободного пробега" частицы в поле внешних сил U (к), причем во время "свободного пробега" учитывается радиационное взаимодействие с окружающей средой.
Можно сказать, что мы получаем модель движения частицы с перерассеянием, определяемым полем масс U(к), через постоянные интервалы времени. Таким образом, имеется возможность исследовать квазиравновесные состояния предложенной модели газа, выгодно отличающейся своей простотой от моделей, предложенных ранее [27,28], и восходящих еще к работам Больцмана. Ниже решено уравнение, соответствующее квадрату отображения (1.3), при условии замкнутости орбиты периода 2. Полученное аналитическое выражение для точек орбиты было проанализировано с помощью теории особенностей гладких отображений (см.[29]), построена бифуркационная диаграмма (см.рис.1). Простейший вид связанных состояний в системах с дискретным временем отвечает периодическим движениям с периодом 2 (или, что тоже самое, бистабильным состояниям, см.также [30]). Периодические движения периода 1 есть, по определению, неподвижные точки системы. 3. Нахождение аналитических выражений для бистабильных состояний (орбит периода 2). Рассмотрим отображение Богданова (1.3) : ґх\ дг+[у+- y+kx(x-i)+/i xyf где (x, у) є M ( , /л, к) є IR — вещественные параметры. Определение 1. Бистабильными состояниями называются решения уравнения g2(xu,yu) = {x0,yQ) при условии g{x0, у0) {xQ, у0) . Иными словами,вычисляются периодические орбиты "Bogdanov-map" периода 2, Лемма 1 [12]. Бистабильные состояния(орбиты периода 2) определяются формулами: с естественной областью определения. Доказательство. Удобно представить отображение (1.3) в виде : Тогда отображение (1.3), возведенное в квадрат, очевидно, дается формулами: Условие на неподвижные точки периода 2 примет вид: Подставляя во второе уравнение (1.8) выражение для у из первого уравнения (1.6), получим: Отсюда ордината точек периода 2 выражается через абсциссу в виде: Из второго уравнения (1.8) и уравнения (1.9) имеем: Подставив это выражение и (1.9) в первое уравнение (1.8), получим уравнение, зависящее только от переменной х: Сокращая это уравнение на кх(х-\) , получим после перегруппировки по степеням Л: : х2(к + рХк + 2р)+х(к + 2р)[2є + 4-к)+(2є + 4-к)(є + 2) = 0 . (1.10) Тогда решение квадратного уравнения (1.10) на периодические точки периода 2 запишется в виде: Перепишем это решение в виде: Выражение для у определяется формулой (1.9).Утверждение доказано. Обозначение. Решение (1.5) исследуется с помощью пяти линейных форм от параметров (є, /J, С учетом обозначений (1.11) перепишем решения (1.5) в виде: Определение 2. Бифуркационная диаграмма определяет разбиение пространства параметров {є, ц, к) на открытые, возможно односвязные, области общего положения, в которых интересующие нас характеристики орбиты не изменяются. Такими характеристиками могут быть: Обозначение Пересечения плоскостей /; =0, тп =0 (или /у = 0, /л = 0 , или /и, = 0, wft = 0 ) назовем двойными прямыми в (є, /і, к) є WL ИЛИ двойными точками на единичной сфере с началом координат в точке О (-2, 0, 0) и обозначим следующим образом: А[1у,тп) или, соответственно, A(ljJ„) и A(mj,mn). Замечание.
В общем случае (в случае общего положения) три плоскости пересекаются в (є, ju, к) є Mr по трем различным прямым. Легко проверить, что плоскости, определяемые нулями линейных форм (1.11) и (1.13), не общего положения. В частности, имеются прямые, лежащие в пересечении сразу трех плоскостей. Назовем их тройными прямыми, например, тройная прямая .5(/,,/,,/,,). Аналогично вводится и четверная прямая. Отметим также, что все эти плоскости имеют общую точку 0(-2, Несложно показать, что плоскости в (є, /J, к) є R имеют в пересечении 1 четверную прямую С(/3,/4 з тз)/ 6 тройных: разбивают пространство параметров на 40 бифуркационных областей. Поскольку разбиение симметрично относительно инверсии (s,ju,к)-»(-,-//,-к), где є=є + 2, эти области можно изобразить на полусфере единичного радиуса с центром в точке О ( 2, 0, 0 )-см.рис.5. Вещественным значениям координат бистабильных состояний соответствует 6 областей в пространстве параметров (є,ц,к), выделенных на рис.5 штриховкой (здесь рассматривается верхняя полусфера, всего областей на сфере шесть). Рассмотрим пределы решений (1.14) при формальном обнулении знаменателя (т.е. /4=0 или /s=0, и ту=0). Из (1.14) следует, что плоскости /,=0 делятся на три группы: 1. /2=0 или /3 = 0. При их пересечении в пространстве параметров дискриминант в {1.14) меняет знак, решения сливаются, а потом уходят в комплексную область. При слиянии решений они переходят в неподвижные точки (0,0) или (1,0). 2. /, = 0 или /4=0. Изменение знака дискриминанта сопровождается обращением х в 0 или 1 при у = 0, т.е. бистабильное состояние из двух точек вырождается в одну неподвижную точку. 3. /5 = 0. Решение (1.14) уходит на бесконечность (не имеет конечного предела на плоскости /5=0) . Плоскости т; = 0 можно разделить на две группы: 1. т,=0 или т2=0. Одно из решений для у формально содержит нуль в знаменателе, однако имеет конечный предел. Для m, = 0 это будут точки (0, —) и 2. Одновременно m3=0 и щ=0 . Оба решения (1.14) для у имеют конечные пределы (регуляризуются), эти пределы совпадают с неподвижными точками системы (1.3): точки (0,0) и (1,0). Для иллюстрации полученных результатов рассмотрим сечение бифуркационных плоскостей плоскостью к=1. Плоскости lj = 0, wij =0 в пространстве параметров разбивают плоскость к=\ на бифуркационные области (см.рис.7).
Некоторые вспомогательные леммы геометрии многочленов
Необходимо также учесть, что проекция на карту к=1 происходит как с положительного, так и с отрицательного (по переменной к) полупространства. Разделить ветви кривой на проекции с положительного и отрицательного полупространств можно с помощью кривых определения знака величины В/А. Таким образом, мы можем убедиться, что утверждение Леммы 4 верно. Что и требовалось доказать. Другим подходом к доказательству Леммы 4 является рассмотрение последовательных двумерных срезов трехмерной фигуры (2.11) и (2.12) с построением на этом же срезе соответствующих срезов бифуркационной диаграммы (рис. 15) . Четыре плоскости в пространстве параметров отделяют орбиты гиперболического типа, все плоскости отображены на диаграмме рис.5. Исследуем трехмерную поверхность (2.13) при помощи двумерных срезов, полученных фиксированием переменной к , и укажем на срезах следы бифуркационной диаграммы рис.5 (на рис.15 обозначено 16 областей). При изменении параметра к от нуля до бесконечности, двумерная диаграмма испытывает две топологические перестройки: сливаются области «2» и «14» , а потом «15» и «6». Поэтому в трехмерном положительном полупространстве имеется 14 односвязных областей. Аналогичные рассуждения верны и для отрицательного полупространства - там имеется также 14 односвязных областей. Бифуркационная диаграмма состоит из 28 областей в пространстве параметров. Что и требовалось доказать. Таким образом, полученные результаты позволяют определить топологический тип орбиты и соответственно, определить, является ли она топологически устойчивой [52] . При интерпретации модели как модели полупроводникового лазера, топологическая диаграмма {рис.15) позволяет узнать, при каких значениях параметров лазера {є,ц,к) возможна устойчивая генерация излучения; можно теоретически предсказать, какие использовать материалы и параметры лазера, чтобы получить устойчивую генерацию и требуемую частоту излучения. Важным вопросом исследования топологических типов орбиты является нахождение областей в пространстве параметров {є, к) f для которых квадрат отображения в окрестности точки орбиты периода 2 имеет тип фокус [50,51]. Нули дискриминанта определяют поверхность, которая отделяет в пространстве параметров орбиты с топологическим типом фокус от других орбит. Подстановкой (2.2) и (2.3) в (2.18), получаем: где (на данном этапе удобно сделать замену t=e+2)i Необходимо исследовать уравнение P7+P6+Ps=0 . Для этого запишем в виде суммы слагаемых 7-й, 6-й и 5-й степеней: причем z=t(k+ju)(/i+t)-(k-2t)(k+2pXk+2fi+2t).
Перейдем к сферическим координатам: После подстановки (2.20) в (2.19), сократим на г5 и из условия Р7+Р6+Р5=0 получим квадратное уравнение относительно г. Решение имеет вид: где В виду того, что решения (2.21) имеют топологически несложную структуру (т.к. г\ г2 при к 0 и г, г2 при к 0,причем при к = 0 rt=r2) , мы можем перейти от рассмотрения бифуркаций в пространстве параметров {e,fi,k) к бифуркационным кривым на плоскости { р,&). При этом надо учесть два вида критических параметров: - кривые "склейки" при » = 0; . - кривые "г-»оо" при обнулении знаменателя (2.21) (тут, возможно, имеется конечный предел). Необходимо также учесть решение г=0 уравнения Р7+Рь+Р5=0 ,т.е. рассмотреть кривые P7(g ,9)P5((p,3) = Q, и их пересечение с кривыми "склейки" и кривыми "г- оо". Построение вышеописанной бифуркационной диаграммы производится с помощью ЭВМ [64,65,66]. 6. Устойчивость бистабильных состояний. Важным для физических приложений является вопрос об устойчивости (по Ляпунову) периодической орбиты. Параметры, при которых орбиты устойчивы, определяются неравествами [67,70]: Совокупность данных данной главы и данные о вещественности орбит полностью определяют картину поведения бистабильных состояний (орбит периода 2) в "Bogdanov-map". Для этой трехпараметрической модели построенная бифуркационная диаграмма состоит из 28 областей в пространстве параметров. Развитие в последние десятилетия наукоемких технологий, связанных с широким внедрением высокопроизводительных микропроцессоров, настоятельно требует новых моделей нелинейных физических процессов [68,71,72]. Миниатюризация микропроцессоров требует снижения рабочих токов для уменьшения выделения тепла и, таким образом, с увеличением рабочей частоты требуется уменьшение потока электронов вплоть до нА [69]. Очевидно, что речь идет о моделях поведения, например, электронного газа в полупроводниковых средах {с числом частиц меньше числа Авогадро на 9-10 порядков), т.е., о моделировании соответствующих ансамблей частиц в квазиравновесных состояниях [73,74]. Классические модели электронного газа апеллируют к работам Лоренца, Больцмана, Власова и других авторов [36]. Известны трудности теоретического исследования динамики, описываемой такого ряда моделями. Речь идет о хаотическом поведении решений соответствующих уравнений математической физики и трудностями их аналитического получения и анализа [75,76,77]. Поэтому наряду с кинетическими непрерывными моделями с середины XX столетия используются дискретные аппроксимирующие модели, которые позволяют использовать в исследованиях современные ЭВМ [37,78]. В данной работе исследуется пример дискретизации динамики частицы по времени в простейшем нелинейном случае.
Рассматривается ансамбль частиц, для которых задано уравнение движения, движущихся в поле сил ангармонического осциллятора, слабодиссипативно возмущенного полем сил трения. Используется коэффициент трения, линейно зависящий от фазовой координаты в одномерном случае. Невзирая на большое количество работ, связанных с ангармоническим осциллятором [58,59,60], с помощью ЭВМ получены новые результаты о статистических свойствах динамики частицы в предложенной модели, известной в зарубежной литературе как «Bogdanov-map» [38] . В частности, в рамках рассматриваемой модели удается производить расчет явлений фокусировки пучков, характеризующихся определенной энергией, временем и длиной свободного пробега, температурой, давлением, и производить оценку плотностей соответствующих ансамблей, самоорганизующихся в регулярные структуры в фазовом пространстве [61,62,63]. Уместно подчеркнуть, что в рассматриваемой модели наряду с регулярными режимами динамики (фокусировка пучка частиц) в фазовом пространстве имеются области, отделяющие друг от друга регулярные структуры. Эти области отвечают стохастической диффузии частиц, известной в литературе под названием «паутины Арнольда», а также странных аттракторов в теории динамических систем [79,80] . В данной работе не анализируются свойства динамики, отвечающей области стохастической диффузии (где, в частности, могут всюду плотно лежать «рассеивающие» периодические орбиты), а рассматриваются только регулярные структуры. 2. Данные численного эксперимента Периодической орбитой периода v дискретного отображения называется совокупность v точек [х, , у) є JR. , / = 1,...,V фазового пространства, для которых ЯЧХІ Уі) = ( " Уі) и SJ {хпУі)ф{хпУ,)пРи J v Здесь g"(x„ у,) обозначает j-ю степень отображения g относительно композиции gJ = g о... о g . В [15] Arrowsmith с коллегами обнаружили существование периодических орбит у отображения (1.3) при є,(і 10 2 . В [13] это изучение продолжено независимо при є,ц 10 5 . Там же отмечено, что в слабодиссипативной дискретной динамике обнаруживаются асимптотически устойчивые (отвечают состояниям "out") и неустойчивые (соответственно , состояниям "in") периодические орбиты в количестве 103, а также 103 гиперболических (седловых) орбит. В частности, было установлено [21], что в окрестности асимптотически (не)устойчивой периодической орбиты существует гиперболическая орбита того же периода. В работах [13], [21] в ходе численного эксперимента обнаружены периодические орбиты со значением периода от 2 до 108.
Устойчивость бистабильных состояний
Каждой дискретной (вообще говоря, непериодической, или не строго периодической) орбите можно сопоставить набор адиабатически инвариантных величин, часть которых имеет физический смысл [56,57]. Исходя из системы (1.2), лежащей в основе (1.3), адиабатическими инвариантами являются, например, средняя длина пробега частицы, средняя энергия вдоль орбиты. Для периодических орбит эти величины являются инвариантами динамики [54,55]. Анализ числовой информации упрощается с учетом того, что как отмечено в [21], множество периодических орбит разделяется на так называемые «кортежи орбит» в соответствии со значением адиабатических инвариантов. Также показано, что с ростом периода происходит «насыщение» для некоторых адиабатических инвариантов, т.е., кривая зависимости «инвариант-период» выходит на плато. Величина такого адиабатического инварианта, как средняя энергия, отвечающая одной группе (кортежу), выходящая на плато, как показано в [20], отстоит от другой на расстояние Д, много большее дисперсии, вычисленной для каждой группы {k»D(E)r где Д 10"2, D(E) 10 5 ) - см.рис.2. В работе [13] приведены оценки площадей областей захвата в фазовом пространстве состояний типа "in" (или "out") т.е. их статистические веса (рис.3). Напомним, что областью захвата периодической асимптотически (не)устойчивой орбиты типа "out" ("in"), является множество точек в фазовом пространстве, итерации которых сходятся к периодической орбите при /-»+00 {f-»-Q0) . Будем определять абсолютную температуру как параметр канонического распределения Гиббса, считая систему микрочастиц находящейся в квазиравновесном состоянии [28] . В работе [20] замечено, что в кортеже статистические веса орбит связаны со средней энергией вдоль орбиты классическим распределением Больцмана - Гиббса [27,49]: где Q - площадь захвата одной точки асимптотически (не) устойчивой периодической орбиты, Е - среднее значение энергии вдоль периодической орбиты из набора: v - период орбиты в дискретном времени (распределение Больцмана-Гиббса придает смысл частоты этой величине). В силу малости параметров [є, fi) площади захвата разных точек асимптотически (не) устойчивой орбиты приблизительно равны. В [ 22 ] исследовано поведение абсолютной температуры Т, определяемой распределением (3.1). Отправляясь от (3.1), в [22] выполняется переход на плоскость с координатами — ,lng Точки на плоскости с указанными координатами, отвечающие кортежу орбит, можно аппроксимировать прямыми, причем тангенс угла наклона такой прямой обратно пропорционален средней температуре.
При расчете температуры кортеж орбит разделяется на низкопериодическую и высокопериодическую области. Высокопериодическая и низкопериодическая части кривой lnQ(v) аппроксимировались по методу наименьших квадратов, площади захвата были получены в ходе численного эксперимента [21] . В нормировке (1.2) абсолютные температуры оказались заключены в пределах 10 -НО4 . Здесь 10 -МО2 отвечает значениям v l -НО3 (низкопериодическая область), 103-И04-v 104-H07 (высокопериодическая область, рис.16). Низкопериод и ч еская область Вы сокопериод и ческая область Рис.16. Кривая зависимости логарифма площади захвата InQ от периода орбиты v, полученная при численном эксперименте на ЭВМ. Отрезки v l-i-103 и v 104т107 выделены аппроксимирующими прямыми. Для существующей точности численного эксперимента, температуры "разделяются хорошо". В работе [23] расчетные данные по "Bogdanov-map" были сопоставлены с экспериментальными в предположении, что х - координата электрона из низкоэнергетического пучка, у=х - его скорость. Такое классическое рассмотрение связано с тем, что скорости электронов далеки от релятивистских, а плотности пучка невелики [39]. В эксперименте рассматриваются слоеные плоскостные структуры, где чередуются слои «микрокристалл-диэлектрическая матрица», например, ZnSe/Si02, в электрическом ангармоническом потенциале вдоль перпендикуляра к слоям [81] . Непосредственным измерениям подвергается спектр пропускания образца в видимом диапазоне. В работе [23] объяснено, что можно определить глубину потенциальной ямы ангармонического потенциала как величину энергии зоны проводимости активированного микрокристалалла-полупроводника, а максимум потенциальной энергии - как величину энергии пробоя диэлектрического слоя (таким образом, высота потенциального кора для указанного выше образца -1.41 эВ [24]).
Энергетические уровни, приведенные в [21], лежат в пределах от 0.15 до 1.2 эВ [23]. Если предположить, что низкотемпературные орбиты (низкопериодический кортеж) находятся при температуре 300 К, то высокотемпературные орбиты {высокопериодический кортеж) соответствуют 103 104 В предположении разреженного газа кинетическая энергия оценивается как ЗкТ/2. [68] Замечание. В [13] , [21] отмечено, что средняя энергия Е с точностью до 10 процентов поровну распределяется между потенциальной и кинетической. Таким образом, ангармонический осциллятор данной модели является слабо- нелинейным (в гармоническом осцилляторе кинетическая и потенциальная энергии распределяются точно поровну). Значения величин средней энергии Е приведены в книге [21] . Таким образом, мы получаем возможность оценить плотность числа электронов с фиксированной средней энергией и периодом 104 -107 (высокопериодический кортеж) как (см. что позволяет с привлечением дополнительных соображений оценить потоки электронов [82,83]. Б эксперименте потоки электронов плотностью 101 частиц в секунду соответствует токам порядка 1А [84], поэтому при указанных выше предположениях модель слабодиссипативного осциллятора может сравниваться с экспериментальной динамикой, как показано в [13], при токах порядка 1-10 мкА. Автор выражает искреннюю благодарность профессору Богданову Р.И. за предоставленный материал численного эксперимента (см. [21]), послуживший основой для исследований данного параграфа.
Применение методик изучения моделей с дискретным временем для модели лазера
Роль лазерной техники в современной технике трудно переоценить. Литературы, посвященной лазерам, очень много, поэтому в диссертации цитируются лишь те работы, которые имеют непосредственное отношение к конкретному разбираемому вопросу. Рассмотрим балансовые уравнения одномодового лазера, в виде, известном как уравнения Статца-Демарса [40,41]: где N - инверсия заселенностей, М - число фотонов. Уравнения отражают тот факт, что число фотонов в резонаторе возрастает в результате индуцированных переходов со скоростью BMN {В - коэффициент Эйнштейна, определенный по отношению к полному числу фотонов в резонаторе) и убывает со скоростью 1к М из-за наличия потерь. На инверсию влияет индуцированное испускание, уменьшающее N, а также релаксационные процессы (уи скорость релаксации инверсии, За - коэффициент, равный единице для четырехуровневой среды и двум для трехуровневой) и накачка, под влиянием которых инверсия стремится достигнуть равновесного значения N(0 . Уравнения Статца-Демарса получены из более общих уравнений посредством т.н. адиабатического исключения переменных. То есть, мы считаем, что в более общем фазовом пространстве (с большим числом переменных) выделяется некое подпространство, в котором отсутствуют быстрые движения [42] . Стартуя с произвольной позиции, изображающая точка быстро оказывается в этом подпространстве, а затем движется по траектории, локализованной в его пределах. При соответствующей нормировке уравнения (3.19) выглядят следующим образом {см.рис.17): Таким образом, при определенных значениях параметров бистабильные состояния в модели одномодового лазера с дискретным временем существуют и определяются формулами (3.29). Немаловажным с точки зрения эксперимента является вопрос устойчивости обнаруженных орбит периода 2. Если параметры (а,Ь,с) таковы, что орбита является топологически неустойчивой, в эксперименте такая мода {колебательное состояние) наблюдаться не будет. Дискретизация времени в уравнении (3.20), с физической точки зрения мотивируется тем, что вынужденное испускание фотонов в лазере происходит в большинстве случаев импульсно, скачками. Соответственно, и параметры уравнения (3.20) изменяются не непрерывно, а дискретно. Шаг дискретизации необходимо связывать с периодом импульсного испускания. Однако, система уравнений (3.20а) и (3.20Ь) с физической точки зрения является упрощенной, т.к. в ней не учитывается нелинейность среды, заполняющей резонатор лазера. Для более полного описания динамики лазера, необходимо учитывать нелинейность сред, заполняющих резонатор лазера.
Нелинейностью объясняется, например, режим незатухающих пульсаций излучения лазера на неодимовом стекле, зависящий от спектрального состава накачки. В полупроводниковом лазере тепловые и механические нестабильности вообще не оказывают влияния на динамику, и нелинейность остается единственной причиной быстрых пуль саций. Зависимость потерь резонатора от мощности излучения удобно записать в виде к = c0[l + fl(m)\ fl(m) 0. Тогда обобщение уравнений Статца и Демарса на случай нелинейной среды имеет вид [4 6]: Таким образом простейшие уравнения с непрерывным временем, используемые для одномодовои модели лазера, при дискретизации могут давать решения, соответствующие межмодовым переходам (например, бистабильное состояние, орбита периода 2) . При этом представляется возможным получить аналитические решения для многомодовых состояний, или по крайней мере вычислить с необходимой точностью; кроме того, можно оценить устойчивость полученных решений при различных параметрах системы. Как следствие этого, эксперимент, поставленный для проверки соответствия модели реальности, можно будет с помощью полученных теоретических результатов четко направить в нужное русло. Периодические орбиты в дискретных динамических системах могут быть как устойчивыми (стационарные состояния), так и неустойчивыми (состояния рассеяния). В данной работе рассматриваются только асимптотически-устойчивые состояния. Для асимптотически-устойчивых орбит существует так называемая «область притяжения», или «область захвата» орбиты на фазовой плоскости. Попадая в область захвата, изображающая точка асимптотически стремится попасть на данную периодическую орбиту (см. рис.3). Рассмотрим термодинамическую систему, являющуюся равновесным статистическим ансамблем N одинаковых микрочастиц [27]. Периодическим орбитам отображения можно сопоставить величины (инварианты) , зависящие только от периода орбиты v: 1св.пр. 1св.пр(у) - средняя длина свободного пробега по орбите (т.е., усредненное расстояние, проходимое частицей, от одной точки орбиты до другой), Ё = Е(у) - средняя энергия на орбите, складывающаяся из кинетической и потенциальной энергий частицы. a = cr(v) - средняя площадь области захвата одной точки для асимптотически-устойчивых орбит (статистический вес одной точки орбиты). Связанные (квазиравновесные) состояния.
Будем называть асимптотически устойчивую периодическую орбиту периода v связанным (квазиравновесным) состоянием ансамбля [74] . Отметим, что дискретные связанные состояния имеют место лишь в нелинейных дискретных системах. С физической точки зрения, связанное состояние - это состояние системы, при котором ее макроскопические характеристики не изменяются (т.е., квазиравновесное состояние). Для квазиравновесного ансамбля частиц вводится [27] понятие статистического веса состояний с определенной энергией: где Еп - дискретные уровни энергии (в данном случае энергетичекому уровню соответствует средняя энергия периодической орбиты), а функция IE.SE E{) определяется как: бе - ширина энергетического слоя, определяемая реальной физической задачей. В описываемой модели имеется две возможности вводить бе - во-первых, как дисперсия энергии в области захвата одной орбиты, а во-вторых, как дисперсия энергии в пределах одного энергетического уровня («кортежа орбит»), о котором речь пойдет ниже. В дальнейшем будем считать, что ширина энергетического слоя бе совпадает с дисперсией энергии в области захвата одной орбиты. Считая среднюю кинетическую энергию на орбите энергией связанного состояния (точнее, уровнем энергии связанного состояния), будем считать, что статистический вес равен площади захвата асимптотически-устойчивой орбиты: где є (v) - удельная энергия орбиты в расчете на одну частицу, V(v) - удельный физический объем всей системы. Определим энергию и удельный объем (для одномерного случая) как: s{v) = E{v\ Кроме того, будем считать, что нахождение частицы в любой точке орбиты равновероятно. Мотивировкой этого предположения является «принудительный» обход частицей всех точек орбиты, отсутствие «выделенного» момента времени для наблюдателя. Это предположение объясняет использование в качестве физического инварианта средней энергии на орбите. Классическое рассмотрение процессов обусловлено тем, что скорости частиц далеки от релятивистских, а квантовыми эффектами взаимодействия можно пренебречь (используются классические уравнения).
