Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Расширение класса интегрируемых динамических систем, связанных с полупростыми алгебрами 13
1. Система функциональных уравнений для элементов матриц Лакса 13
2 Потенциалы вполне интегрируемых систем 19
ГЛАВА II. Волновые функции основного состояния квантовых систем, связанных с полупростыми алгебрами 25
1 Волновые функции основного состояния квантовых систем Сазерленда-Калоджеро во внешнем поле 26
2. Волновые функции основного состояния для потенциала Морса 34
3. Факторизация волновой функции основного состояния в общем случае 37
ГЛАВА III. Классические интегрируемые системы частиц во -внжінем поле и нелинейное уравнение бюргерса-хопфа 48
1. Переход от уравнений движения к системе уравнений первого порядка 48
2. Переход от системы уравнений первого порядка к уравнению в частных производных 51
3. Явное интегрирование уравнений движения 55
ГЛАВА ІV. Нелинейные модели теории поля и метод квантования в окрестности классического решения 61
1, Ковариантное преобразование Боголюбова для комплексного поля 61
2. Модель двух взаимодействующих скалярных полей 65
3. Ковариантное преобразование Боголюбова и квантовые возбуждения действительных классических решений 78
Заключение 86
Литература
- Потенциалы вполне интегрируемых систем
- Волновые функции основного состояния для потенциала Морса
- Переход от системы уравнений первого порядка к уравнению в частных производных
- Модель двух взаимодействующих скалярных полей
Введение к работе
Хорошо известно, что как классическая, так и квантовая задачи трех и более частиц с реалистическим взаимодействием между ними (кулоновским или ядерным) не допускает точного решения. Этот факт объясняет устойчивый интерес к более простым, но допускающим точное решение многочастичным системам. Полученные явные решения можно использовать для проверки точности приближенных методов, используемых в ядерной физике. Кроме того, некоторые особенности таких систем могут сохраниться и в реалистических случаях.
В трехмерном случае была найдена только одна точно решаемая модель, в которой J/ частиц связаны осцилляторными силами. Од-нако, ее можно свести к модели (Л/-1 ) частицы, каждая из которых движется независимо в поле общей потенциальной ямы, и поэтому эта модель несущественно отличается от модели одной частицы '*'# В одномерном случае точные результаты были получены для гораздо более широкого класса систем. В последнее десятилетие появилось весьма большое число работ в этой области /1-9,13-18/ ^ В частности, для классических динамических систем J\f частиц с гамильтонианом вида it р* (1) были найдены различные классы потенциалов JJicti.,... aj) , для которых такие системы обладают J\f функционально независимыми интегралами движения, находящимися в инволюции (то есть класси -ческая скобка Пуассона любых двух интегралов равна нулю)/ ^' . Такие системы согласно теореме Лиувилля ' -*' являются вполне интегрируемыми. Дальнейший прогресс в этой области был связан с применением к системам типа (I) метода изоспектральной дефор- /то/ мации, предложенного Лакеом '. Суть метода состоит в отыскании пары эрмитовых матриц (часто называемых Х"Л -парой), элементы которых зависят от импульсов рк и координат ае системы так, что уравнения Гамильтона эквиваленты одному матричному уравнению dL гы т1 (2) [HL] где L , ~] означает коммутатор. Собственные значения матрицы L не зависят от времени и, следовательно, являются интегралами движения рассматриваемой системы ' . Впервые к системам с гамильтонианом (I) этот метод был применен в ' '.
В работе Ольшанецкого и Переломова ' ' была впервые установлена связь между классическими интегрируемыми системами с гамильтонианом (I) и полупростыми алгебрами Ли. Оказалось, что структура потенциала U определяется системой корней одной из классических алгебр Ли, обладающей подсистемами корней различной длины /1,6/ ^ дрИ этом в наИб0Лее общем случае потенциал интегрируемой системы имеет вид
2Г„, , ъ + hLvW + hL v(2^ j=l J=1
Здесь различный выбор констант а , <2і,$& соответствует корневым системам В^ , С^ , Djj- и^^ '*' % Там же '*&/ был предложен анзац для Ъ~Н пары Лакса: матрицы L и М должны быть построены по матричному неприводимому представлению алгебры, определяющей (3). Это позволило найти набор функций {Vj , соответствующих полной интегрируемости многочастичных систем с потенциалом (3) ' .
Дальнейшее обобщение этих результатов привело к существенному расширению класса потенциалов, определяющих вполне интегрируемые системы /Lj-ib/# оказалось, что структура такого потенциала может определяться двумя, вообще говоря, различными, функциями V" W" Общее выражение для потенциала имеет вид ' J/
Обобщение найденного в /(э/ анзаца для матриц Лакса L, И позво лило найти все возможные наборы функций {'V^'w] в (4) /-1-5,16,17/ Доказательство инволютивности интегралов движения, построенных из собственных значений матрицы L , сводится к доказательству того факта, что скобка Пуассона любых двух собственных значений равна нулю '*'. Такое доказательство для случая V(f) = с1/Жг(р>Т/2),ЪГ(0 = X±d(2pT+S) +Х2срї , где oL,fi, Уі Yz о - произвольные постоянные, было проведено
Первая глава настоящей диссертации посвящена дальнейшему расширению класса интегрируемых динамических систем, связанных с полупростыми алгебрами Ли в наиболее общем случае, когда по- „ 7 - тенциал имеет вид (4)#
Для некоторых многочастичных систем свойство полной ин тегрируемости было первоначально установлено в квантовом случае ' ' Ряд точных результатов о виде волновых функций основного состояния был получен Сазерлендом /^0-"/ и каЛ0дЖЄр0 ' ' . В частности, были найдены условия, при которых волновая функция основного состояния факторизуется и может быть построена в явном виде* Исследованию волновых функций основного состояния для квантовых систем, связанных с полупростыми алгебрами Ли, посвящена вторая глава настоящей диссертации.
Теорема Лиувилля, устанавливая критерий полной интегрируемости динамической системы, не дает практически приемлемого способа нахождения явного вида решений уравнений движения. Для мно- J CiZ ^~2#F ,а їіп 0-1 [ явное интегрирование уравнений движения удалось осуществить методом проектирования /^9,30/^ -gro сущность состоит в проектировании свободного движения (по геодезическим) в некотором симметрическом пространстве большего, чем Jv числа измерений, на подпространство меньшей размерности ' ', В' ' этим методом были получены явные решения для обобщенной модели /3?/ Тода, в '-"-' - для систем, содержащих частицы двух типов притягивающиеся и отталкивающиеся . Интегрирование уравнений движения в случае V(?) = a J (?\ г%е ?(?) - функция Вейерштрасса, удалось выполнить методами алгебраической геометрии '-*->/ .
В относительно небольшом числе случаев удалось установить связь многочастичных динамических систем с нелинейными эволюционными уравнениями: Кортевега-де-Вриза, Буссинеска, Бюргерса--Хопфа, Оказалось, что решения уравнений движения интегрируемой системы связаны с движением полюсов специальных сингулярных решений таких уравнений /33>3/Ь36/ ^ ц третьей главе диссертации устанавливается связь между одним классом интегрируемых многочастичных систем и уравнением Бюргерса-Хопфа, Эта связь позволяет свести задачу явного интегрирования уравнений движения к более простой задаче отыскания специальных решений эволюционного уравнения.
Эволюционные уравнения, помимо отмеченной полезной связи с конечномерными динамическими системами, сами по себе также представляют значительный интерес. Он обусловлен прежде всего наличием специальных решений таких уравнений, имеющих форму локализованных возмущений, или импульсов. Такие решения, получившие название "солитоны", не меняют своей формы в процессах взаимодействия, т,е, в определенной степени ведут себя подобно частицам, В конце 50-х годов несколькими авторами /38»39/ было высказано предположение, что с каждым солитонным решением в квантовой нелинейной модели связана элементарная частица, В 1975--1976 годах в нескольких работах практически одновременно было показано, что это действительно так, Фаддеев и Тахтаджан ' ' получили переменные типа действие - угол для модели ( Wi У ), что подтвердило наличие частицеподобных свойств у солитонных решений в этой модели, В '^3>W соответствие между квантовыми частицами и солитонами было продемонстрировано в рамках квази- /45/ классического метода, В ' ' это соответствие установлено на основе вариационного подхода.
Кроме того, все возрастающее количество элементарных частиц приводит к снижению ценности концепции фундаментального лагранжиана, в рамках которой каждой элементарной частице соответствует свое поле. Этот факт, в свою очередь, делает чрезвычайно привлекательной другую особенность нелинейных s - моделей, приводящих к эволюционным уравнениям: наличие богатого спектра частиц при ограниченном количестве исходных полей'^2{ Эти причины вызвали неослабевающий интерес к нелинейным полевым моделям /41"*5/# Отметим некоторые результаты, Коулмёг ^' показал, что при определенном соотношении между константами связи квантовая модель Q&*. V) эквивалентна массивной фермион-ной модели Тирринга* В '50' для модели fainV) получено точное выражение для матрицы рассеяния солитонов, В '5 ' рассмотрено квантование другой популярной нелинейной модели - (У 1
Построение теории возмущений в окрестности классического солитонного решения сталкивается с определенными трудностями. Дело в том, что выделение из поля классической составляющей нарушает исходную инвариантность системы, и строгий учет законов сохранения становится самостоятельной проблемой. Для преодоления этих трудностей Н.Н.Боголюбовым в начале 50-х годов был предложен метод, известный впоследствии как метод коллективных /53 54 55/ координат /-'-'»-'*>-'-'/ , в дальнейшем метод Боголюбова успешно применялся в теории сильной связи /56~59/# в содержится последовательное изложение метода коллективных координат в каноническом формализме, В ' / построена ковариантная схема метода Боголюбова, позволяющая явно учесть инвариантность системы относительно группы Пуанкаре. В четвертой главе диссертации с помощью метода Боголюбова рассматриваются нелинейные модели теории поля, приводящие к эволюционным уравнениям„
Таким образом, тема диссертации является актуальной в свете следующих задач:
I. Поиска новых классических многочастичных систем, обладающих парой Лакса и, как следствие этого, являющихся полностью интегрируемыми.
2. Доказательства полной интегрируемости таких систем в квантовом случае, получения информации о волновых функциях и исследования связанных состояний,
Установления связи таких систем с нелинейными эволюционными уравнениями в частных производных и явного интегрирования уравнений движения,
Исследования нелинейных моделей теории поля, приводящих к эволюционным уравнениям, и вычисления в рамках теории возмущений в окрестности классического солитонного решения различных квантовых поправок.
Настоящая диссертация посвящена изучению этих проблем. Она состоит из введения, четырех глав с приложениями и заключения,
В первой главе м, в основу которой положены работы /16>J-'/> осуществляется расширение класса интегрируемых динамических систем, связанных с полупростыми алгебрами Ли, В 1 введен анзац для матриц Лакса и получена система функциональных уравнений, которой должны удовлетворять элементы этих матриц. Все аналитические решения этой системы получены в приложении, В 2 с помощью этих решений построены потенциалы новых полностью интегрируемых систем и получены соотношения для констант, определяющих эти по те нциалы,
Вторая глават в основу которой положены работы /27>2/ f посвящена рассмотрению квантовых систем, связанных с полупростыми алгебрами Ли, В 1 рассмотрены квантовые системы Сазерленда-Калод-жеро, найден явный вид факторизованной волновой функции основного состояния. Обсуждается полная интегрируемость квантовых систем Сазерленда-Калоджеро, В приложении I доказана полная интегрируемость для случая двух частиц, В 2 рассмотрен предельный переход к случаю, когда потенциал внешнего поля есть потенциал Морса, - II -
Получено условие нормируемости волновой функции основного состояния, В 3 рассмотрена факторизация волновой функции основного состояния в общем случае, когда потенциал имеет вид (4)# В приложении П вычислен нормировочный интеграл для двух частиц, находящихся в потенциале Морса.
В третьей главе, в основу которой положена работа ' ' , устанавливается связь классических интегрируемых многочастичных систем с нелинейным уравнением Бюргерса^Хопфа, В 1 осуществляется переход от уравнений движения, определяемых гамильтонианом интегрируемой системы, к системе уравнений первого порядка. В 2 системе уравнений первого порядка сопоставляется эволюционное уравнение. Решения исходных уравнений движения оказываются связанными с движением полюсов специальных сингулярных решений эволюционного уравнения, В 3 эта связь используется для получения явных решений уравнений движения.
Четвертая^глава, в основу которой положены работы /66,67/^ посвящена рассмотрению нелинейных моделей теории поля, приводящих к эволюционным уравнениям, В 1 вводится ковариантное преобразование Боголюбова для случая комплексного скалярного поля в двумерном пространстве-времени, В 2 рассматривается нелинейная модель двух взаимодействующих скалярных полей в двумерном пространстве-времени. На основе ковариантного преобразования Боголюбова исследуется первый порядок теории возмущений в окрестности солитонного решения. Изучается вопрос о рассеянии солитона на квантовых возбуждениях, вычисляется однопетлевая поправка к массе солитона, В 3 рассматривается нелинейная модель комплексно» го скалярного поля в двумерном пространстве-времени, солитонные решения в которой действительны, С помощью ковариантного преобразования Боголюбова показано, что квантовые возбуждения - 12 -действительных классических решений не могут иметь заряда.
В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.
При вычислениях используется атомная система единиц ft = = С = 1.
Нумерация формул в каждой главе своя. При ссылке не формулу из другой главы сначала ставится номер главы, потом номер формулы, например: (I.2I). При ссыже на формулу ш введения вместо номера главы ставится В. - ІЗ -
Потенциалы вполне интегрируемых систем
При этом постоянные зависят от двух произвольных констант cL и у , присутствующих в решении (18) Исключая эти константы, получаем, что постоянные # не могут быть выбраны произвольными. Допустимые точки в 4-мерном пространстве {%А (У 4,--,4)принадлежат двумерной гиперповерхности, определяемой уравнениями: либо уравнениями, получающимися из (23) перестановками Эти перестановки соответствуют сдвигу всех координат Qt,---» на полупериоды Одним из частных решений (23) является набор
Поскольку для функции Вейерштраеса имеет место соотношение то (24) совпадает с результатом, получаемым в работе б/. Интегралы движения 1И — TVu. j ( п-±,...3tf) находятся в инволюции, что можно установить непосредственным вычислением скобок Пуассона любых двух собственных значений /ТА/ При вырождении функций Вейерштраеса, когда один или оба периода бесконечны, анзац (8)-(9) не приводит к результатам, /15/ отличающимся от полученных
В заключение отметим, что все рассматривавшиеся ранее /1,6,7,13/ интеГрИруемые системы с гамильтонианом вида (I), за исключением цепочек Тода и системы осцилляторов с нелинейным взаимодействием 10 могут быть получены предельными переходами из (22)-(23) и систем, определенных в работе 5 соотношением (22),
Получим решения системы функциональных уравнений (15) при -1 Заметим, что в этом случае (156) является следствием (15а), если oL и \) - нечетные, а Т - четная функция Отметим также, что система (15) является переопределенной: для определения всех че шрех функций Т К достаточно найти решения двух уравнений (156) и (15в) и выделить среди них ту часть, которая удовлетворяет уравнению (15г)
Удобно начать с поиска решений (15в), так как это уравнение содержит наименьшее число неизвестных функций, Заметим, что при J-+0 d(l) либо регулярна, либо имеет полюс первого порядка,
В данной главе мы рассмотрим квантовые интегрируемые системы, связанные с полупростыми алгебрами В 1 рассматриваются системы Сазерленда-Калоджеро. Показано, что волновая функция основного состояния факторизована и приведен ее явный вид» Рассмотрен вопрос о квантовой интегрируемости таких систем, В 2 рассмотрен частный случай систем Сазерленда-Калоджеро, когда потенциал внешнего поля есть потенциал Морса, получено ограничение на число возможных связанных состояний. В 3 рассмотрен вопрос о факторизации волновой функции основного состояния квантовых систем с потенциалом наиболее общего вида (В.4). В приложении I доказана квантовая интегрируемость систем Сазерленда--Калоджеро для J\f= 2. В приложении П вычислен нормировочный интеграл для двух частиц в потенциале Морса. Приведенные результаты опубликованы в /27,28/ Для того, чтобы функция То (x±,..-,Xjr) в виде (4) могла быть волновой функцией основного состояния, последние 2 слагаемых в (8) необходимо привести к сумме от комбинации двухчастичных и одно-частичных операторов. Эта задача для предпоследнего слагаемого была решена в . Именно, если Ю удовлетворяет функциональному уравнению Функция (25) не имеет неинтегрируемых особенностей при /Х;— Для отсутствия неинтегрируемой сингулярности при Х;=хк необхо димо положить Необходимым условием самосопряженности с потенциалом (24) является откуда окончательно Энергия основного состояния есть
Первое слагаемое в (27) есть следствие парного взаимодействия частиц, второе отвечает взаимодействию с внешним полем.
Полная интегрируемость классических систем с гамильтонианом (I) и W, V вида (24) была доказана в „ Анзац для матрицы Лакса X , по собственным значениям которой строятся интегралы движения, применительно к нашему случаю, имеет вид: где ,ol,p - матрицы размером l/xjf :
Функция jRjyj связана с потенциалом V(X;-Xn) соотношением Вместо интегралов движения (1,7) удобно использовать другие симметрические функции собственных значений матрицы JL . Возь мем, следуя , в качестве интегралов движения коэффициенты при различных степенях Я в выражении оШ (L 21) , где I единичная 2N 2Jv матрица» Можно показать, что коэффициенты при нечетных степенях Я как в классическом, так и в квантовом случае обращаются в нуль и разложение имеет вид:
Волновые функции основного состояния для потенциала Морса
Из условия (47) видно, что при фиксированной глубине потенциальной ямы А в ней может находиться ограниченное число отталкивающихся частиц.
Итак, при выполнении условия (47) волновая функция основного состояния для потенциала Морса имеет вид (42), При jf= 2 оказывается возможным вычислить нормировочную постоянную получаем энергию основного состояния в потенциале Морса:
Факторизация волновнх функций основного состояния в общем случае Рассмотрим квантовые системы с гамильтонианом наиболее общего вида
Такие гамильтонианы соответствуют системам корней / Ст, ЪС# Бее возможные наборы функций при которых классические системы с гамильтонианом (50) полностью интегрируемы, были най-дены
Можно убедиться, что решение (60) определяет волновую функцию основного состояния лишь когда Х -о или Я2 -о, А в этих случаях оно сводится к (61).
Рассмотрим решение (61). После длинных преобразований тройной суммы в (54) получаем: с точностью до произвольных постоянных:
Для самосопряженности гамильтониана с потенциалами (65) необхо /29/ димо выполнение условия - 1(3 При этом % 2 и в (бб) при Aj - к не возникает сингуляр-ностей. Выбрав \4.0 , получаем нормируемую 3fi(xit ...,AV) .
Б случае = = О классические системы с потенциалами бинарного взаимодействия и внешнего поля (65) являются полностью интегрируемыми 5/9 ирИ %о =z%±= Да = 2S -Хч = 0 получаем системы, рассматривавшиеся Калоджеро . При м - Д = А0 = Я -с приходим к рассмотренным в 1 системам Сазерленда-Калоджеро во внешнем поле.
Для нахождения Е0 и Y0 ( ,. х ) энергии и волновой функции основного состояния можно также использовать следующий прием. Гамильтониан (50) представим в виде следует, что функции л(7) и Q(1) должны удовлетворять функциональному уравнению (55), Поэтому волновая функция основного состояния может быть найдена как решение системы N дифференциальных уравнений первого порядка
В данной главе мы установим связь между уравнениями движе ния одного класса интегрируемых систем частиц во внешнем поле и нелинейным эволюционным уравнением Бюргерза-Хопфа. Эта связь позволяет в явном виде найти решения уравнений движения.
В 1 осуществляется переход от уравнений движения к системе уравнений первого порядка, В 2 системе уравнений первого порядка сопоставляется эволюционное уравнение. Движение полюсов специальных сингулярных решений этого уравнения связано с решениями уравнений движения, В 3 эта связь используется для явного интегрирования уравнений движения. Приведенные результаты опубликованы в 38 #
Продифференцируем (2А) и (2В) по времени, а появившиеся в правой части Х- выразим через Х- с помощью (2А) и (2В). В результате мы получаем систему уравнений второго порядка, в которую входят неизвестные функции Yft) Подставляя вместо "Y7f) различные функции, определяющие W(f) , получаем следующий результат. Решения уравнений движения, определяемые гамильтонианами (А) и (В), причем функции V и W определены равенствами (I), с начальными условиями удовлетворяют также и системе уравнений первого порядка (2; с соответствующими функциями Z(f) (3) - (4) при условиях:
Верно и обратное утверждение: любой набор решений системы (2), удовлетворяющих начальным условиям представляет также решение уравнений движения с гамильтонианами (А) и (В) при условиях (б) с начальными условиями (5).
Таким образом, при ограничениях (б) на константы, определяющие гамильтониан W -частичной системы, оказывается возможным вместо уравнений движения рассматривать систему уравнений первого порядка по времени.
Мы считаем, что в (7) /XjMj удовлетворяют системе первого порядка (2) с начальными условиями (5). Дифференцируя по х и по t , составляем комбинацию и+ +аиих Возникающие в этом выражении двойные суммы обращаются в нуль в силу антисимметрии по индексам суммирования, и в результате получаем:
Представим правую часть (8) в виде где функции cf} р, , зависят только от переменной X . Вычисляя соответствующие производные, приравниваем полученное выражение правой части (8), Из равенства коэффициентов при линейно независимых функциях X; получаем системы линейных уравнений для нахождения неизвестных функций О 9ptgb ъ . В случае (ПА) линейно независимых функций от X; с ненулевыми коэффициентами оказывается
Переход от системы уравнений первого порядка к уравнению в частных производных
Таким образом, искомые решения уравнений движения (X}(i)j определяемых гамильтонианами (А) и (В), однозначно определяются по начальным условиям (Xj(o)j . Именно г {Xj()j есть нули функций (18).
В заключение подчеркнем, что изложенный метод позволяет найти решения уравнений движения рассмотренных интегрируемых систем лишь при ограничениях (б) на константы, определяющие гамильтониан задачи.
В данной главе мы рассмотрим нелинейные модели теории поля. Уравнения движения в низшем порядке теории возмущений в таких теориях представляют собой нелинейные эволюционные уравнения. Мы используем метод квантования в окрестности классического решения. Для учета инвариантности относительно преобразований из гіуппн Пуанкаре применяется ковариантное преобразование Боголюбова. Его основные этапы применительно к случаю комплексного скалярного поля изложены в 1. В 2 рассмотрена модель двух взаимодействующих скалярных полей, изучен первый порядок теории возмущений. Вычислена однопеглевая поправка к массе солитонного решения. В 3 рассмотрены квантовые возбуждения действительных классических решений; показано, что они не могут иметь заряда. Приведенные результаты опубликованы
Ковариантное преобразование Боголюбова для комплексного поля Пусть имеется комплексное скалярное поле в двумерном пространстве-времени. Для учета пуанкаре-инвариант-ности воспользуемся ковариантным преобразованием Боголюбова, предложенным в Цель состоит в переходе от переменных X ІГ к новым ковариантным переменным . Для этого введем следующую алгебру операторов: Здесь постоянная аналогична константе Планка. После этого, определив коммутирующие элементы этой алгебры заметим, что если считать операторы генераторами преобразований из группы Пуанкаре и масштабных пре образований, то есть искомые ковариант ные переменные б2 :
Соотношения для совершенно аналогичны. После этого ко-вариантное преобразование Боголюбова запишем в виде и аналогичные соотношения для
Переменная введена для учета зарядовой инвариантности. Канонически споряженная ей величина есть оператор заряда системы.
Поскольку операторы алгебры (I) являются генераторами преобразований из группы Пуанкаре и масштабных преобразований, согласно постулату квантования имеем связи, которые необходимо рассматривать на векторе состояния / /59,62/ .
В (5) величины Н(Ф}Ф ) , ... Q (Ф Ф ) построены из полевых переменных по теореме Нетер. В случае конформно-инвариантных теорий необходимо учесть и связь С к , порождаемую оператором К , Кроме того, должны выполняться канонические коммутационные соотношения, которые, как и связи, необходимо рассматривать на векторе состояния
Квантовые уравнения движения в переменных f и -имеют вид В (7) и(Ф,Ф )" потенциал, входящий в плотность лагран жиана. Модель двух взаимодействующих скалярных полей Рассмотрим хорошо известную (см.,например) теорию со взаимодействием ф . Плотность лагранжиана для нее в двумерном пространстве-времени имеет вид
Далее для удобства перейдем к безразмерным переменным. Классическое решение уравнения движения, следующего из (I), имеет вид:
Соотношения (19а) и (196) позволяют заключить, что решения (18а) и (186) описывают составной объект, движущийся как единое целое с импульсом (196) и энергией (19а). Из (18-УО-9) видно, что при а —»2 yfe— О » и плотность лагранжиана (12) переходит в (8). При этом энергия и импульс равны удвоенной энергии и импульсу решения (9) в модели (8), Это естественно, так как решение Ф0( , ) оказалось действительным.
Обсуждение других возможных солитонных решений в моделях такого типа содержится в работе Отметим, что обратный знак массового члена у поля Ф , как и в модели (8), приводит к нарушению дискретной симметрии ф-+-Ф . Получающийся кинк (186) захватывает поле подобно тому, как кварковое поле захватывается скалярным в моделях невылетания 6-%
Перейдем к квантованию рассматриваемой модели в окрестности классического решения (18). Поскольку выделение классической составляющей нарушает пуанкаре-инвариантность системы, для ее учета воспользуемся ковариантным преобразованием Боголюбова. Именно, мы считаем, что введена алгебра операторов (I) и построены ковариантные переменные J (у і) и T(x,l) . Преобразование Боголюбова для поля ф(х,і) имеет вид (4) при Ф = Ф .
Переменной С\ в данном случае не возникает, так как нет дополнительной степени свободы, соответствующей заряду.
Будем считать, что поле % является чисто классическим. Преобразование Боголюбова для имеет вид (4), причем мы вновь не учитываем "зарядовую координату" о( , поскольку при квантовании нас не будет интересовать возможность переноса заряда от одного поля к другому. Такое приближение можно оправдать ссылкой на работу /6 , где показано, что соответствующие процессы возникают в порядке теории возмущений 0($) , что выходит за рамки нашего рассмотрения.
Модель двух взаимодействующих скалярных полей
Из (84) и (85) видно, что Qz явно зависит от времени. Таким образом, предположив, что квантовые возбуждения действительного классического решения могут иметь заряд, уже в первом порядке теории возмущений приходим к противоречию. Для его устранения необходимо положить ф_( /О»0 При этом в преобразовании ( 0 Ф (Х,І) - Ф(х,+) и переменной о( не возникает, так как нет степени свободы, описывающей заряд.
В случае комплексного классического решения UJ+(K) -ь)-(к) и из (84)-(85) получаем сохраняющуюся квантовую поправку к классическому заряду. Комплексные классичесические решения в двумерном пространстве-времени уже не будут представлять собой Л бегущие волны", так как добавится зависимость от переменной т Это сильно усложнит процедуру квантования. В частности, связи (70) уже не будут выглядеть столь просто. К настоящему моменту схема ковариантного квантования с учетом зависимости от времени пока не разработана.
Таким образом, квантовые возбуждения действительных классических решений могут приобрести заряд только в результате взаимодействия с другим полем. Сформулируем кратко основные результаты, полученные в диссертации.
I. Получены новые случаи полной интегрируемости классических динамических систем, связанных с полупростыми алгебрами Ли. Найден явный вид соответствующих потенциалов взаимодействия.
II. Получены точные результаты для квантовых систем, связанных с полупростыми алгебрами Ли. Показано, что волновая функция основного состояния систем Сазерленда-Калоджеро во внешнем поле факторизуется, найден ее явный вид. Доказана полная интегрируемость таких систем для случая двух частиц. В частном случае, когда потенциал внешнего поля есть потенциал Морса, получен явный вид волновой функции основного состояния, вычислен нормировочный интеграл для N = 2. Исследован вопрос о факторизации волновой функции основного состояния в общен случае потенциала (В.4), получен явный вид волновых функций.
I. Найдена связь между уравнениями движения одного класса интегрируемых систем и специальными сингулярными решениями нелинейных эволюционных уравнений Бюргерса-Хопфа. Эта связь, существующая лишь при определенных ограничениях на константы, определяющих потенциал интегрируемой системы, позволила впервые проинтегрировать уравнения движения для рассмотренных систем.
ІV. Рассмотрена модель двух взаимодействующих с нелинейностью Ф скалярных полей. На основе ковариантного преобразования Боголюбова проведено квантование в окрестности классического решения. Квантовое поле рассмотрено в первом приближении, вычислена однопетлевая поправка к массе солитона.
V. Показано, что квантовые возбуждения действительных классических решений в нелинейных полевых моделях не могут иметь заряда.
В заключение автор хотел бы горячо поблагодарить своего научного руководителя 0.А.Хрусталева за постоянное внимание к работе, многочисленные ценные советы и стимулирующие обсуждения.
Автор искренне признателен своему соавтору В.И.Иноземцеву за плодотворное сотрудничество. Мне приятно выразить благодарность Д.А.Славнову за постоянное внимание к работе и поддержку.
Автор признателен К.А.Свешникову и В.Б.Тверскому, с которыми обсуждались результаты, вошедшие в диссертацию, а также всему коллективу кафедры квантовой теории и физики высоких энергий за создание хороших условий для работы.
