Содержание к диссертации
стр.
ПРЕДИСЛОВИЕ . 5
ВВЕДЕНИЕ 7
Часть первая ПЕРЕХОД МЕВДУ СИСТЕМАМИ КООРДИНАТ В ОТО
ГЛАВА I. СВЯЗЬ СОПУТСТВУЮЩЕЙ И ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ
КООРДИНАТ В ПРОБЛЕМЕ ШВАРЦШИЛЬДА 15
I, Центрально-симметричное поле в различных
системах координат 15
2. Принцип соответствия и формулы перехода к
сопутствующей системе координат (ССК) 21
3. Принципы преобразования координат и движение
частиц 28
4. Переход в метрике с евклидовой пространст
венной частью. 35
5. Исследование уравнений геодезических в
метрике с перекрестным членом. 42
ГЛАВА П. МИР ФРВДМАНА В ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ
КООРДШАТ 48
I. Основные формулы перехода к центральной
системе координат 48
2. Замкнутая космологическая модель 52
3. Решение Фридмана для квазиевклидовой модели. . 59
4. Открытая модель Вселенной с точки зрения
центрального наблюдателя 64
ГЛАВА Ш. ДИНАМИКА МАТЕРИИ В КОСМОЛОГИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ . . 68
I. Эволюция масштабного фактора для уравнения
СОСТОЯНИЯ р= (>-4_) 68
2. О связи метрики со скоростью вещества 73
стр.
3. Изотропная модель с линейным законом рас
ширения 80
4. Картина движения вещества в системе
центрального наблюдателя ............. 84
5. Гравитирующий центр, погруженный в однородно
распределенное вещество. ... .... 93
Часть вторая
ЗАДАЧИ МОДИФИЦИРОВАННОЙ ГРАВИТАЦИОННОЙ
ТЕОРИИ (МГТ)
ГЛАВА ІУ. УРАШЕНИЯ ТЯГОТЕНИЯ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ .... 99
I. Модели обобщенных лагранжионов гравитационного
поля 99
2. Уравнения МГТ (Вариационный метод) 112
3. Уравнения МГТ, описываемые тензором Вейля 121
4. Уравнения движения (Законы сохранения) 124
ГЛАВА У. ПРОБЛЕМА ШВАРЦШИЛЬДА В МГТ 129
I. Центрально-симметричное поле в вакууме ...... 129
2. Вакуумное поле в случае поляризационной
добавки с оіф і. 138
3. Сферически симметричное вакуумное решение в
МГТ с поляризационной добавкой J(R\ 140
4. О переходе между различными системами координат
в обобщенных решениях Шварцшильда 144
5. Различные случаи движения системы Толмана. .... 148
б. Трехскорость и энергия пробной частицы ...... 153
7. Движение частицы в обобщенном поле Шварц
шильда 156
ГЛАВА УІ. МОДЕЛИ МЕТАГАЛАКТИКИ В МГТ 165
I. Уравнения для замкнутой космологической модели . . 166
2. Уравнения для открытой модели Вселенной 170
_ 4 -
стр.
3. Модель с плоским сопутствующим пространством ... 172
4. Исследование моделей Вселенной Фридмана
(случай <А*1 ) 173
% 5. Исследование замкнутой модели Фридмана при
cL~*fx 176
6. Открытая модель Фридмана при oL^iU 183
7. Плоская модель Фридмана при J.= if\i ...... 188
8. Деситтеровские решения в космологических
моделях с поляризационными поправками. 190
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 194
ЛИТЕРАТУРА 199
ПРЕДИСЛОВИЕ
В последние десятилетия теория тяготения Эйнштейна из обособленной области исследования превратилась в интенсивно развиваемую часть теоретической физики, тесным образом связанную с другими исследованиями. Имеются две причины такой эволюции.
Одна из них обусловлена достижениями (и в первую очередь наблюдательными) релятивистской астрофизики: квазаров, нейтронных звезд и реликтового электромагнитного излучения Вселенной превратило теорию относительности в рабочий инструмент астрофизики.
Другая причина состоит в новой тенденции развития физики элементарных частиц, где наиболее выдающиеся результаты получены на пути объединения слабых электромагнитных и сильных взаимодействий. Нет сомнений в том, что следующий шаг должен привести к включению в рассматриваемую схему в том или ином виде гравитации [ 3J.
Исследование квантового испарения черных дыр, предложенное Хокингом и космологические модели вблизи сингулярности с другой стороны подошли к проблеме объединения гравитации с квантовой теорией.
Основная цель данной работы заключалась:
в систематическом исследовании проблемы перехода между системами координат в центрально-симметричных решениях общей теории относительности. Этот вопрос возникает как при выяснении физической картины явления, так и при формулировке начальных условий для рассмотрения задачи о квантовом испарении черной дыры;
в исследовании проблемы Шварцшильда в модифицированной гравитационной теории, диктуемой квантовой природой вещества
вблизи сингулярности;
- в исследовании космологических моделей с квантово-грави-
тационннми поправками, обусловленных квантовой теорией матери
альных полей на фоне сильно искривленного пространства-времени.
Актуальность темы обусловлена тем, что
в центре внимания нового этапа развития гравитации оказались как известные ранее проблемы, к ним можно отнести задачу Шварцшильда, вновь оказавшейся в центре внимания в связи с исследованием коллапса;
детальное исследование космологических моделей, необходимое для сопоставления с наблюдательными данными; к новым проблемам можно отнести исследования сингулярности в общей теории относительности и учет квантовых эффектов вблизи ее.
Диссертация состоит из двух частей, первая относится к первой группе указанных проблем, вторая - посвящена обобщениям ОТО в сильных полях. Оба направления принадлежат к современным аспектам развития общей теории относительности и относятся к числу вопросов науки сегодняшнего дня.
Апробация диссертации. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались на Ш Советской гравитационной конференции (Ереван, 1972), ІУ Советской гравитационной конференции (Минск, 1976), У Советской гравитационной конференции (Москва, 1981), а также в различное время докладывались и обсуждались с участниками семинаров под руководством Ю.С.Владимирова, А.Л.Зельма-нова, Д.Д.Иваненко, Н.В.Мицкевича, А.А.Соколова, К.П.Станюковича и вошли в монографии [2J и обзор [II8J.
Введение к работе
В настоящее время теоретическое исследование гравитационного поля является одной из актуальных задач, выдвинутых современным развитием теоретической физики и астрономии.
Новейшие открытия в астрономии, как, например, "черные дыры", реликтовое электромагнитное излучение, квазары, пульсары, рентгеновские источники [і, 2J , а также настойчивы попытки открытия гравитационных волн изменили отношение к одной из самых фундаментальных физических теорий двадцатого столетия - общей теории относительности (ОТО). Происхождение этих явлений и их свойства не могут быть поняты без использования релятивистской теории тяготения. Эта теория, сформулированная еще в 1916 г., долгое время оставалась теоретической наукой. Но исследования последних пятнадцати-двадцати лет принципиально изменили ситуацию. ОТО превратилась в одну из наиболее оживленных и плодотворных областей экспериментально-наблюдательной физики.
Анализ новых проблем и сторон теории привел к лучше пониманию ее математической структуры и физического содержания. Кроме того, интенсивные экспериментальные исследования в сочетании с астрофизическими обеспечили более надежное измерение классических релятивистских эффектов и открыли возможности применения теории в космологии. А.Эйнштейн писал: "С моей точки зрения, без использования принципов общей теории относительности невозможно достичь теоретическим путем каких-либо, хоть в какой-то мере надежных, результатов в области космологии". Таким образом, плодотворный контакт между астрофизикой и релятивистской теорией тяготения существует и успешно развивается.
Проблемы релятивистской астрофизики повысили интерес к известным ранее точным решениям эйнштейновских уравнений и поста- - 8 -вили целый ряд новых физических проблем. К ним в первую очередь относится проблема Шварцшильда. Решение Шварцшильда является одним из немногих точных решений уравнений гравитационного поля, нашедшего широкое применение в астрофизике. На основе которого было объяснено движение перигелия Меркурия и предсказано отклонение луча света в поле Солнца и гравитационное красное смещение. Уточнение эволюции звезд, предсказание существования сверхплотных конфигураций, открытие пульсаров и, в особенности, проблема коллапса потребовали всестороннего дальнейшего изучения задачи Шварцшильда для сильного поля.
Таким образом, в центре внимания нового этапа развития гравитации оказались как известные ранее проблемы, к ним можно отнести задачу Шварцшильда, вновь оказавшейся в центре внимания в связи с исследованием коллапса и детальное исследование космологических моделей, необходимое для сопоставления с наблюдательными данными. К новым проблемам можно отнести исследование сингулярности в ОТО и учет квантовых эффектов вблизи ее.
Диссертация состоит из двух частей, первая относится к первой группе указанных проблем, вторая - посвящена обобщениям ОТО в сильных полях. Оба направления принадлежат к современным аспектам развития общей теории относительности и относятся к числу вопросов науки сегодняшнего дня.
Вентильный характер сферы Шварцшильда и различие физической картины явлений для внешнего и сопутствующего наблюдателей потребовал развития общей теории перехода из одной системы координат в другую и ее применение к проблеме коллапса. Этой задаче посвящена первая глава. Ключевым положением в этом подходе является широкое использование принципа соответствия. Последний требует, чтобы в любой системе координат при выключении гравитационного поля получался четырех-интервал специальной - 9 -теории относительности (СТО), а при переходе к медленным движениям - соотношения классической физики. Указанный принцип дает наиболее полные и однозначные соотношения между различными системами координат и не допускает появления "лишних* пространственно-временных областей, либо сужение физической картины явлений. В математическом плане он позволяет воспользоваться хорошо разработанной теорией якобианов. Обращение последнего в нуль в предельных переходах к СТО, либо классической физике свидетельствует о вырождении используемой системы координат и недопустимости ее применения для описания явлений.
Найдено соотношение,определяющее энергию пробной частицы для неподвижного локального наблюдателя в постоянном гравитационном поле, что и позволяет в явном виде найти закон движения частицы в поле Шварцшильда. Из полученного соотношения наиболее просто следуют все типы движения в зависимости от знака произвольной функции.
В указанной главе рассмотрена задача перехода к метрике с чисто эвклидовой пространственной частью, обладающей рядом преимуществ по сравнению с другими координатами. Метрика получена двумя способами: непосредственно путем решения уравнений поля (задаваясь достаточно общим видом метрических тензоров) и путем преобразования координат из обычного вида метрики Шварцшильда. Полученная метрика более удобна для квантования в сильном поле. Далее исследуется также динамика частиц в центрально-симметричном поле, представляющая интерес для задачи аккреции вещества на тяготеющий центр, вызывающей свечение объекта. В предположении, что на достаточно большом расстоянии скорость частицы стремится к нулю, получена зависимость между расстоянием, пройденным частицей,и ее временем центрального наблюдателя. В такой системе координат гравитационный радиус частицы достигает за - 10 -конечное время. Этот результат существенно отличается от картины движения во времени Шварцшильда.
Одной из наиболее важных проблем теории тяготения и астрофизики является изучение наблюдаемой Метагалактики, выделяемое в особый отдел - космологию. Наиболее удобной при решении соответствующих уравнений теории тяготения оказывается сопутствующая система координат, движущаяся вместе с веществом. Такие системы координат широко использовались ранее в классической гидродинамике в форме лагранжевых координат. Сопоставление соответствующих результатов с наблюдениями требует перехода к системе координат центрального наблюдателя, который видит хаббловское расширение Вселенной.
В связи с этим в главе П на основе разработанных в главе I принципов впервые получены общие соотношения между указанными системами координат для открытой, замкнутой и квазиевклидовой фридмановских космологических моделей. Полученные наиболее полные результаты отмечены в монографии [" 2J.
В главе Ш в явном виде получены формулы для скоростей движения вещества и плотности энергии в трех моделях Вселенной. Впервые в обоих системах координат получена картина движения вещества при уравнении состояния, заданном в виде P-(k*-- Проблема космологических сингулярностей родилась вместе с космологическим решением Фридмана. Но постановка вопроса космологической проблемы, в частности, в какой мере возникновение сингулярной по времени является общим свойством релятивистской теории тяготения и каков общий характер поведения гравитационного поля и материи вблизи сингулярности, была сделана лишь около двадцати лет назад fl02j. С этого времени космологическая проблема является одной из актуальных задач современной теоретической физики. Согласно наиболее распространенному в настоящее время мнению наличие истинных сингулярностей, несомненно свидетельствуют о границах применимости общей теории относительности - конкретной классической теории гравитационного поля. Такое заключение со всей убедительностью вытекает из анализа самой ОТО с учетом основ квантовой теории. Действительно, с квантовой точки зрения неизбежно существование нулевых колебаний гравитационного поля. Классической теорией можно пользоваться лишь при условии, что все эти флуктуации достаточно малы, т.е. квантовые флуктуации самой метрики Д,к должны быть малы по сравнению с классическими значениями ev_ 21, 40j. Исследование пространственно-временной области вблизи сингулярности, появляющихся в ОТО, создание квантовой теории гравитации и квантовой космологии, связь этих вопросов с микрофизикой - все это проблемы первостепенного значения, привлекающие к себе в настоящее время пристальное внимание. В этом можно видеть и одно из свидетельств того, как ОТО и теория гравитации - 12 -в целом после многих лет вышли на широкий простор, занимают в физике все более видное место. В связи с этим вторая часть диссертации посвящена модификации теории гравитации е учетом поляризационной добавки. Таким образом многолетние исследования проблемы сингулярности в ОТО как в нашей стране [8, 9, 10], так и за рубежом [її] (вслед за указанными исследованиями последовали многочисленные другие, которые также рассматривали проблемы сингулярности) показали неизбежность особенности в общем космологическом решении. Грубые оценки квантово-гравитационных эффектов показывают, что остановку коллапса можно ожидать лишь при временах і ~А (-р - планковское время). Учет квантовых эффектов в феноменологическом и строгом подходе оживил интерес к модификациям ОТО, изучение которых проводилось с момента возникновения теории тяготения Эйнштейна. Из широкого класса модификаций в настоящей диссертации исследуются модели теории гравитации, содержащие нелинейные добавки по кривизне в лагранжевой плотности поля. Некоторые виды таких добавок получены при учете квантовой природы материального поля, либо слабых гравитационных волн на фоне классической метрики [б, 12, ІЗ] и описывают поляризацию вакуума. Для выяснения общей структуры уравнений, а также возможности ликвидации сингулярности и асимптотического выхода на решения классических уравнений ОТО представляет интерес рассмотреть более широкий по сравнению с указанными выше, класс добавок (из инварианта тензора Вейля). Последние во второй части диссертации условно называются также поляризационными. Возможность появления таких добавок предсказывает квантовая теория, что делает весьма важными полученные результаты. Отличительной чертой соответствующих уравнений модифици- - ІЗ -рованной гравитационной теории (МГТ) является повышение порядка уравнений по сравнению с ОТО. Соответствующие уравнения являются четвертого порядка по отношению к <&к . В четвертой главе модифицированы уравнения гравитации с тем, чтобы они содержали конформно-инвариантный тензор Вейля. Исходя из лагранжиана, являющегося определенной функцией от скалярной конформной кривизны, вариационным методом выведены уравнения гравитационного поля. Указанный тензор наиболее полно описывает структуру пространства-времени и, как показано в работе [12J определяет рождение частиц в сильном переменном гравитационном поле. Обобщенные уравнения тяготения, как и ОТО, должны содержать в себе уравнения движения (законы сохранения). В последнем параграфе указанной главы показано, что из новых уравнений по-прежнему следуют уравнения движения. Модификация уравнений тяготения должна сказываться на пороге квантовой области и не противоречить известным экспериментальным данным для слабых полей. С этой целью в главе У в рамках модифицированных уравнений поля рассмотрена задача Шварцшильда. В этом случае существенно используется метрика Шварцшильда, и полученное решение можно рассматривать как обобщение решения Шварцшильда. Для квантово-гравитационных объектов типа планкеонов [іб], либо максимонов [іб] найдены дополнительные эффекты к известным ранее в ОТО. Обобщенная метрика Шварцшильда записывается в сопутствующей системе координат. Далее получены преобразования координат между сопутствующей системой отсчета и системой отсчета, связанной с центральным телом. Исследуя связь между обобщенной метрикой Шварцшильда и метрикой Толмана, рассматривается вопрос о типах движений пробных частиц в таких полях. Получено выражение для энергии пробной частицы в поле обобщенной метрики Шварцшильда. Следующей не менее важной задачей является исследование в модифицированной теории гравитации космологических моделей. Указанное направление исследований является новым в проблеме космологии, показывающее, что не может быть никакой сингулярности, этому вопросу посвящена глава шестая. Показано, что учет поляризационной добавки, зависящий от тензора четвертого ранга, может существенно изменить эволюцию , масштабного фактора. Приведен пример регулярного решения для замкнутой модели, описывающий сжатие мира с последующим расширением. При этом роль нелинейной добавки существенна на всех этапах эволюции, вследствие чего отсутствует фридмановская асимптотика. Исследуются замкнутая, открытая и плоская модели Вселенной в модифицированной теории гравитации в разных значениях показателя степени четырехтензора кривизны. При этом показано, что если показатель степени в добавке к лагранжиану равен единице, то решение сразу выходит в фридмановскую асимптотику. Если указанная степень равна 1/2, то для замкнутой модели получается регулярное решение, описывающее сжатие мира с последующим расширением. Роль нелинейной добавки существенна на всех этапах эволюции, вследствие чего отсутствует фридмановская асимптотика. Для открытой модели тоже исключается сингулярность. Зависимость масштабного фактора от времени выражается линейно. Плотность энергии с течением времени монотонно убывает от конечного значения. Часть первая ПЕРЕХОД МЕВДУ СИСТЕМАМИ КООРДИНАТ В ОТОПохожие диссертации на Модели метагалактики, поля Шварцшильда в ОТО и в модифицированной теории тяготения
