Содержание к диссертации
Введение
1 Основные уравнения и метод генерирования точных решений 16
1.1 Метрика стационарного осесимметричного гравитационного поля и формализм Эрнста 17
1.2 Матричная запись уравнений поля и соответствующая линейная переопределенная система 22
1.3 Метод Сибгатуллина построения точных решений уравнений электровакуума 28
2 Равновесные состояния в солитонных решениях 40
2.1 Расширенное 2і\Г-солитонное решение электровакуума и осесимметричные конфигурации N черных дыр Керра-Ньюмена 41
2.2 Решения, симметричные и антисимметричные относительно экваториальной плоскости 53
2.3 Вакуумное солитонное решение: канонический вид, мультипольная структура и ее связь с данными на оси симметрии 57
2.4 Двойное решение Керра в аналитически расширенном виде и условия равновесия двух керровских частиц 70
2.5 Общее аналитическое решение задачи равновесия в двойном решении Керра. Комаровские массы и угловые моменты в равновесных конфигурациях 75
2.6 Невозможность равновесия двух керровских черных дыр. Общий закон равновесия, связывающий массы и угловые моменты с координатным расстоянием 85
3 Примеры равновесных конфигураций 90
3.1 Частные равновесные состояния в двойном решении Керра 90
3.2 Равновесие двух статических заряженных масс 93
3.3 Закон взаимодействия двух сферических заряженных масс в ОТО 102
3.4 Равновесные конфигурации двух вращающихся заряженных масс 106
3.5 Равновесие в бинарной системе, имеющей одну экстремальную компоненту 112
4 Сравнительный анализ точных и приближенных осесимметричных решений в ОТО 124
4.1 Трудности сравнения точных и приближенных решений. Возможные пути их преодоления 125
4.2 Построение точного аналога приближенного решения по данным на оси симметрии 127
4.3 Генерирование приближенных решений из точных на примере двойного решения Керра 136
4.4 Связь параметров приближенных решений с комаровскими величинами 156
5 Равновесные распределения массы в самогравитирующих галактических дисках 162
5.1 Задача восстановления распределения поверхностной плотности массы в тонком галактическом диске по известной кривой вращения 163
5.2 Самогравитирующие бесконечные диски с черной дырой в центре 167
5.3 Самогравитирующие конечные диски и обобщение интегральной формулы Томре 177
5.4 О верхнем пределе для массы и радиуса диска и об эффекте накопления вещества во внешней части диска при продолжении плоской кривой вращения 183
Заключение 194
- Матричная запись уравнений поля и соответствующая линейная переопределенная система
- Решения, симметричные и антисимметричные относительно экваториальной плоскости
- Общее аналитическое решение задачи равновесия в двойном решении Керра. Комаровские массы и угловые моменты в равновесных конфигурациях
- Закон взаимодействия двух сферических заряженных масс в ОТО
Введение к работе
Существенный прогресс в области точных стационарных осесим-метричных решений уравнений Эйнштейна-Максвелла, позволивший приступить к анализу сложных многокомпонентных систем и описанию полей реальных астрофизических объектов, связан с развитием в конце 70-х - начале 80-х годов прошлого столетия различных генерационных методов, основанных на результатах углубленного изучения внутренних симметрии полевых уравнений. Это современное направление точных решений развивалось разными исследовательскими коллективами, разрабатывавшими в основном четыре различных подхода. Теорико-групповой метод, с помощью которого можно генерировать метрики, содержащие произвольное число параметров, был разработан Киннерсли [125], а затем развит в работах Киннерсли и Читра [128, 129, 130, 131]. Главные достижения этого подхода связаны с отысканием группы преобразований симметрии для уравнения Эрнста [78], известных под названием преобразований Хоэнселарса-Киннерсли-Ксантопулоса (ХКК) [114]; с их помощью был построен ряд асимптотически плоских стационарных вакуумных метрик, не имеющих, правда, шварцшильдовского предела [75, 76, 115, 110, 113, 234], а также одно электростатическое решение [111], переходящее в метрику Шварц-шильда при равенстве нулю электрического поля. В работах [204, 205]
Кеведо и Машхун использовали преобразования ХКК для описания внешнего поля деформированной вращающейся массы, однако полученная ими метрика имеет в общем случае очень громоздкий вид из-за неудачного выбора статического "затравочного" решения (несколько более элегантные решения данного типа даны в [57, 58]).
Второе направление развивалось на пути применения к уравнениям Эйнштейна и Эйнштейна-Максвелла метода обратной задачи рассеяния. В основополагающих работах Белинского и Захарова [5, 6] данным методом было найдено получившее широкую известность статическое JV-солитонное решение, подробный анализ которого выполнен в [4]. Явная детерминантная форма вакуумных солитонных решений была получена Алексеевым [2], который успешно применил солитонную технику также и к уравнениям Эйнштейна-Максвелла, построив, в частности, метрику, описывающую нелинейную суперпозицию N суперэкстремальных источников Керра-Ныомена, расположенных на оси симметрии [1]. Метод обратной задачи рассеяния взят на вооружение представителями различных гравитационных школ [70, 90, 117, 219], а подробно его историю и новейшие достижения можно найти в монографии [36].
Третий подход использует для генерирования точных решений преобразования Бэклунда, существование которых для случая стационарных осесимметричных вакуумных полей было показано Харрисоном [100] и Нойгебауэром [185]. Преобразования Бэклунда, теория которых получила дальнейшее развитие в работах [141, 186, 188], позволяют генерировать новые стационарные вакуумные решения, содержащие произвольное число параметров [187]. Наиболее известный результат, полученный данным методом - решение Крамера-Нойгебауэра [139], описывающее нелинейную суперпозицию двух черных дыр Керра, разнесенных по оси симметрии. Это решение было обобщено Ямазаки на случай N субэкстремальных керрровских источников [235], который сумел также найти явный вид соответствующих метрических функций, что существенно облегчает анализ возможности равновесных конфигураций. В работах [133, 140, 190] данная техника генерирования была распространена на уравнения Эйнштейна-Максвелла. Особо стоит отметить статью Крамера [134], в которой получен вариант суперпозиции решения Керра [121] с решением, описывающим поле безмассового магнитного диполя; однако, в этом решении невозможен переход к статическому случаю, что существенно ограничивает его физическую значимость. Физически важным результатом, полученным в вакуумном случае Нойгебауэром и Майнелем, является глобальное решение для внутреннего и внешнего гравитационного поля бесконечно тонкого самогравитирующего диска с твердотельным вращением [191, 192, 193].
Важное место в теории и приложениях генерационных методов принадлежит формализму Хаузера и Эрнста, который был развит в ряде работ сначала для случая вакуумных полей [101, 103], а затем и для полей электровакуума [102, 104]. В этом четвертом направлении генерационная техника Киннерсли-Читра была записана на языке теории функций комплексной переменной, а само получение новых решений из старых сведено к решению или линейного матричного интегрального уравнения типа Коши, или эквивалентной ему краевой задачи Римана (в литературе последняя известна также под названием одно у родной проблемы Гильберта). Несмотря на то, что Хаузеру и Эрнсту с сотрудниками удалось в основном лишь повторить уже известные результаты, полученные другими методами, или построить суперэкстремальные электровакуумные поля [91, 65], очень важным достижением явилось доказательство гипотезы Героча [89] для вакуумного случая [105]. Отметим, что Герочем была обнаружена бесконечнопараметри-ческая группа преобразований симметрии [88] для стационарных осе-симмстричных гравитационных полей, и в [89] он высказал гипотезу о возможности получения произвольного асимптотически плоского решения из пространства Минковского путем надлежащего преобразования из группы. Работа Хаузера и Эрнста [105] дала строгое обоснование возможности построения решений с произвольной мультипольной структурой и стимулировала разработку конкретных способов реализации этой возможности.
Взаимозависимость всех четырех вышеперечисленных подходов к генерированию полей вакуума и электровакуума, а также их принципиальная математическая эквивалентность, была установлена и детально проанализирована в работах [66, 67, 68, 133].
Среди решений, представляющих несомненный физический интерес и построенных генерационными методами несколько позднее, когда конкретное приложение методов генерирования наполнилось большим физическим содержанием, можно отметить результаты применения простых суперпозиционных соотношений [93] к описанию асимптотически плоского поля массивного магнитного или электрического диполя, имеющего шварцшильдовский вакуумный предел [92, 94, 97, 10], [147, 150, 28, 11]; некоторые из этих решений были затем обобщены на случай произвольно деформированной осесимметричной намагниченной массы [195, 156]. К безусловным достижениям следует отнести также и построение новых стационарных обобщений решения Шварц-шильда как в чисто вакуумном случае [96, 59, 18, 63, 108], так и в случае электровакуума [95, 12, 13, 213, 73, 61, 17], которые отличаются соответственно от полей Керра [121] и Керра-Ньюмена [194]. Элегантные обобщения этих решений, включая метрики Керра и Керра-Ньюмена, на случай бесконечного набора массовых мультипольных моментов были получены в работах [148, 60, 151, 164, 49, 50], благодаря представлению общего статического асимптотически плоского вакуумного решения в виде [149]. Различные аспекты теории черных дыр, включая квантовые, подробно освещены в монографиях [20, 7].
Важно отметить, что среди перечисленных выше решений нет ни одного, которое бы содержало три произвольных параметра, описывающих массу, угловой момент вращения и магнитный дипольный момент, обладало псевдоевклидовой асимптотикой и переходило, скажем, в субэкстремальное решение Керра (т2 а2) при отсутствии магнитного поля (известны магнитные обобщения решений Керра и Керра-Ньюмена [83, 85], но они не являются асимптотическрі плоскими, а уже упоминавшееся решение Крамера [134] не допускает предельного перехода к случаю черной дыры). Впервые решение такого вида удалось построить только с помощью метода Сибгатуллина, который вполне справедливо можно назвать наиболее эффективным подходом к генерированию полей Эйнштейна-Максвелла.
Этот метод был разработан в статьях [22, 23] и подробно описан в монографии [24]. Н.Р.Сибгатуллин сумел творчески развить идеи Хаузера и Эрнста и пойти дальше: он нашел общий вид матричной функции, осуществляющей перевод известного решения в любое новое решение полевых уравнений, и сумел связать параметры группового преобразования с произвольными данными на оси симметрии (в форме комплексных потенциалов Эрнста [78, 79]). Взяв в качестве "затравочного" решения метрику Минковского, он свел задачу построения стационарных электровакуумных осесимметричных решений, регулярных на каком-нибудь участке оси симметрии, к решению линейного сингулярного (нематричного) интегрального уравнения, что позволило ему выписать формальное общее решение электровакуума в виде отношения определителей с бесконечным числом строк и столбцов [23].
В силу своей общности и рациональности, интегральный метод Си-бгатуллина позволил получить многочисленные принципиально новые результаты, которые в течение длительного времени не удавалось получить другими генерационными техниками. В первую очередь это касается описания внешнего поля вращающихся намагниченных компактных источников; в работах [179, 177, 178, 180] впервые были построены асимптотически плоские стационарные электровакуумные решения, содержащие произвольные параметры вращательного углового и магнитного дипольного моментов и допускающие предельный переход к метрике Шварцшильда [211]. Решения, включающие дополнительный массовый квадрупольный параметр и поэтому пригодные для описания внешних полей нейтронных звезд, получены в статьях [29, 157, 158, 163, 176]; их физическая интерпретация подтверждена недавними работами, в которых исследуется возможность сшивания внешних и внутренних решений для нейтронных звезд численными методами [27, 217, 37].
Интерес представляют и другие новые решения, например, вакуумная метрика для дифференциально вращающейся массы [109], простейшие асимптотически плоские магнитные обобщения решений Кер-ра и Керра-Ньюмена [152, 153], магнитные обобщения известного стационарного решения Томимацу-Сато с параметром деформации 6 = 2 [224] в рациональных функциях [165, 145, 146], переходящее в отсутствие вращения в метрику Боннора [42], решение для намагниченного вращающегося диска [214]. Некоторые важные аспекты метода Сиб-гатуллина, связанные с построением метрических функций, были развиты в обзорной статье [181], а отличительные особенности метода, особенно в части построения решений в аналитически расширенном виде, обсуждались в [154]. Формальное обобщение метода Сибгатул-лина на случай двух разрезов в плоскости аналитического параметра с целью построения решений для гравитационных и электромагнитных волн, полностью сингулярных на оси симметрии, было приведено Алексеевым [3] (см. также [31, 32]).
Построение с помощью интегральных уравнений Сибгатуллина 2N-солитонного решения в аналитически расширенном виде [208, 209] способствовало разрешению кризиса, имевшему место в области генерационных методов из-за вынужденного получения другими авторами электровакуумных солитонных решений исключительно в суперэкстремальном виде [1, 190]; кроме того, это решение позволило приступить к рассмотрению задачи равновесия в смешанных системах, состоящих из нескольких суб- и суперэкстремальных компонент, кото рые раньше были в принципе недоступны для анализа из-за ограниченных возможностей "несибгатуллинских" подходов к генерированию полей электровакуума.
Интерес исследователей к точным решениям уравнений Эйнштейна-Максвелла, описывающим системы нескольких тел, наблюдается с самого начала создания ОТО. В известной работе работе Вейля [232] был получен электростатический класс решений, который описывает систему заряженных массивных источников и представляет в частном случае равенства квадратов масс и квадратов зарядов равновесные конфигурации Маджумдара-Папапетру [144, 198], состоящие из экстремальных источников Райсснера-Нордстрема [207, 196]. В статическом вакуумном случае суперпозиция двух решений Шварцшильда была построена Бахом и Вейлем [34], которые в частности обратили внимание на существование подпорки между двумя источниками, компенсирующей силу гравитационного притяжения шварщнильдовских масс. Результат Баха и Вейля был обобщен в работе Израэля и Хана [119] на случай N источников; было показано, что независимо от знака массы две шварцшильдовские частицы не могут находиться в равновесии, а в случае трех частиц, расположенных на оси симметрии, равновесие возможно, когда по крайней мере одна компонента имеет отрицательную массу. Заметим, что решение Израэля-Хана является частным случаем статической солитонной метрики Белинского-Захарова [6]. Статические системы двух частиц Шази-Керзона [64, 69] были рассмотрены в [64], и в них также присутствует подпорка, физические особенности которой проанализированы в работе [118]. Как уже было сказано, в электростатическом вейлевском решении равновесные конфигурации возможны лишь в очень специальном случае, когда заряды по модулю равны массам частиц (\Qi\ = МІ). Вопрос же о существовании более общих условий равновесия заряженных частиц долгое время был доступен исследованию только приближенными методами, причем в трех известных таких работах, посвященных равновесию в бинарных электростатических системах [35, 123, 44], были получены различные условия равновесия: в первых двух работах, в которых применялись, соответственно, пост-ньютоновское и постпост-ньютоновское приближения, в качестве условий равновесия служили в каждом случае классическое условие (М1М2 = Q1Q2) и одно дополнительное соотношение между массами и зарядами, не зависящие от расстояния между частицами; в третьей же работе из рассмотрения уравнения движения пробной заряженной частицы в поле Райсснера-Нордстрема был сделан вывод о том, что условие равновесия, справедливое в классической теории, не является необходимым или достаточным в ОТО, а сами равновесные состояния могут зависеть от расстояния. Точное решенение для двух субэкстремальных заряженных источников было предложено Крамером [136], однако оно не описывает систему черных дыр Райсснера-Нордстрема, и из-за несферичности источников условие равновесия в нем не зависит от расстояния. Равновесные состояния в бинарной системе источников Райсснера-Нордстрема были изучены в работе [201] с помощью решения [62, 160], построенного методом Сибгатуллина, а также более подробно в статье [52], подтвердив правильность результатов Бопнора, полученных приближенным методом [44]. Равновесные состояния заряженных вращающихся частиц были получены в случае специального класса конформно-стационарных метрик [200, 120], представляющих собой суперпозицию N источников Керра-Ныомена, у которых заряды по модулю равны массам (Mi = \Qi\, і = l,iV), а угловые моменты параллельны или антипараллель-ны оси симметрии. Для анализа возможности равновесия произвольных масс Керра-Ныомена требуется аналитически расширенное 2N-солитонное электровакуумное решение [208, 209]; для двухчастичных систем с осевой симметрией можно использовать различные записи четырехсолитонного решения (двойное решение Керра-Ньюмена) [62, 160, 161], а также более специализированные решения [162, 51]. В работе [51] было доказано, что две антисимметричные частицы Керра-Ньюмена могут находиться в равновесии только в специальном (конформно-стационарном) случае равенства масс и квадратов зарядов источников. Две суперэкстремальные массы Керра-Ньюмена с параллельными угловыми моментами имеют больше возможностей находиться в равновесии, чем с произвольно направленными моментами, при этом соотношения между зарядами и массами источников могут быть произвольными [162]. Равновесные состояния между суб-и суперэкстремальной компонентами Керра-Ныомена впервые были найдены в работе [53]. О возможности равновесия двух черных дыр Керра-Ньюмена с положительными массами было объявлено Бича-ком и Хоэнселарсом [38], хотя эти авторы и сделали оговорку о том, что в таких равновесных конфигурациях присутствует кольцевая особенность. Решение Бичака-Хоэнселарса независимо (и несколько ранее) было получено Томимацу [222], который, в отличие от предыду щих авторов, сделал вывод о невозможности равновесия черных дыр Керра-Ньюмена. Эта конфликтная ситуация была проанализирована в работе [162], результаты которой согласуются с выводом Томимацу, а также указывают на возможную причину ошибки Бичака и Хоэнселар-са. Справедливости ради следует все же отметить, что строгого доказательства отсутствия равновесных конфигураций субэкстремальных источников Керра-Ньюмена до настоящего времени дано еще не было. В то время как равновесные состояния заряженных частиц в ОТО можно отнести к разряду явлений ожидаемых, т.к. они имеют аналогии в классической физике, равновесие незаряженных вращающихся источников, возможное из-за неныотоновской силы взаимодействия угловых моментов, которая при определенных условиях способна сбалансировать силу гравитационного притяжения - явление чисто релятивистское. Хотя гравимагнитное отталкивание и исследовалось с помощью приближения пробных частиц Уолдом [229], добиться равновесных состояний впервые удалось только в рамках точных решений. В известной работе Дитца и Хоэнселарса [75] с помощью преобразований ХКК было построено точное решение уравнения Эрнста [78], представляющее собой суперпозицию двух вращающихся источников Шази-Керзона; при определенных значениях параметров достигалось равновесие источников. Этот результат Дитца и Хоэнселарса был впоследствии обобщен на более сложный случай керзоновских частиц [107]. Больший интерес, тем не менее, представляют системы, состоящие из вращающих незаряженных черных дыр, и первое решение подобного типа, известное под названием двойного решения Керра, построили с помощью преобразований Бэклунда Крамер и Нойгебауэр [139]. Поиск равновесных состояний в двойном решении Керра велся многими авторами [197, 122, 223, 228, 220, 112, 77, 135, 159], но первая равновесная конфигурация была получена лишь после того, как Дитц и Хоэнселарс переписали субэкстремальное решение Крамера-Нойгебауэра для случая двух суперэкстремальных частиц с помощью простого математического приема - комплексного продолжения параметров - и перешли таким образом к рассмотрению равновесных суперэкстремальных систем. Высшим достижением Дитца и Хоэнсе-ларса является получение формулы равновесия двух одинаковых суперэкстремальных керровских источников [77], а также выдвижение гипотезы о невозможности равновесия двух черных дыр Керра, обладающих положительными массами [112].
Новый подход к двойному решению Керра стал возможен благодаря использованию метода Сибгатуллина, с помощью которого было построено 2і\Г-солитонное вакуумное решение, в частном случае N = 2 представляющее собой расширенное двойное решение Керра. Последнее решение применимо к любому набору суб- и суперэкстремальных керровских частиц, что позволило получить универсальные формулы равновесия [175, 168] и дать строгое доказательство гипотезы Хоэнселарса об отсутствии равновесных конфигураций двух черных дыр Керра [167]. Более того, в [169] был установлен общий закон равновесия двух керровских объектов, связывающий массы и угловые моменты источников с расстоянием, на котором достигается равновесие. Несмотря на то, что равновесные конфигурации двух черных дыр Керра не существуют, равновесия пары субэкстремальных источников все-таки можно добиться, помещая между ними суперэкстремальный источник или даже третью черную дыру [174]. Также было установлено [106], что равновесные конфигурации четырех керровских частиц (и, по-видимому, любого другого четного числа компонент) аналогичны равновесным состояниям в двойном решении Керра.
Попытки воспроизвести приближенными методами известные точные результаты, полученные для двойного решения Керра, долгое время оставались безрезультатными. В этом отношении показательна работа Боннора [45], в которой автор, известный английский специалист в области точных и приближенных решений уравнений ОТО, претендует на описание произвольных бинарных систем вращающихся частиц, хотя в его приближенной схеме оказываются невозможными равновесные состояния. Дискуссия с Боннором (см., например, [46, 170, 172]) в конечном итоге привела не только к обнаружению скрытых дефектов работы [45], но и к разработке нового, универсального подхода к сравнению точных и приближенных осесимметричных решений уравнений Эйнштейна-Максвелла, что позволило, в частности, получить корректные приближенные аналоги двойного решения Керра с наличием равновесных конфигураций [171].
Основной целью данной диссертационной работы является построение расширенного многосолитонного электровакуумного решения и его применение для нахождения и описания равновесных конфигураций в стационарных осесимметричных системах двух тел, в частности, получение общего аналитического решения задачи равновесия двух керровских частиц. В небольшой части, отведенной ньютоновской теории потенциала, также ставится задача разработки общих методов восстановления поверхностной плотности в тонких галактиче ских самогравитирующих дисках бесконечного и конечного радиусов. Большинство полученных оригинальных результатов является следствием творческого осмысления и дальнейшего развития интегрального метода Сибгатуллина. Важным составным элементом проводившихся математических выкладок было широкое использование современных компьютерных программ аналитических вычислений, таких как, например, Mathematica 4 [233].
Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. В первой главе в историческом контексте дается обзор развития методов генерации точных решений уравнений Эйнштейна-Максвелла, начиная с формализма Эрнста и заканчивая интегральным методом Сибгатуллина построения решений по данным на оси симметрии. Во второй главе методом Сибгатуллина строится расширенная 2ІУ-солитонная электровакуумная метрика, позволяющая в частности описывать систему N черных дыр Керра-Ньюмена, расположенных на оси симметрии. В случае отсутствия электромагнитного поля дается простая запись солитонного решения, а все входящие в него параметры выражаются через релятивистские мульти-польные моменты. Для бинарной системы керровских частиц находится общее решение равновесной задачи и в простом аналитическом виде выводится общий закон равновесия двух произвольных керровских компонент. Третья глава посвящена частным бинарным равновесным конфигурациям, составленным из керровских частиц, из частиц Райсснера-Нордстрема, из заряженных вращающихся источников Керра-Ныомена, а также из двух керровских частиц, одна из которых является экстремальным объектом. В четвертой главе разраба тывается общий подход к сравнению точных и приближенных стационарных осесимметричных решений, позволяющий, с одной стороны, находить точные аналоги приближенных решений и, с другой стороны, строить приближенные решения из известных точных путем разложения по малым параметрам. Последняя, пятая глава посвящена проблеме восстановления распределения плотности вещества в плоских самогравитирующих дисках по заданным кривым вращения.
Матричная запись уравнений поля и соответствующая линейная переопределенная система
Простой вид системы (1.12) позволил приступить к серьезному изучению внутренних симметрии уравнений Эйнштейна-Максвелла в стационарном осесимметричном случае, что привело первоначально к открытию инвариантных преобразований симметрии [99, 137, 189], с помощью которых стало возможным генерирование новых решений из уже известных [88, 89, 124], а затем и к обнаружению бесконечномерных групп симметрии путем введения переопределенных матричных линейных систем, условием интегрируемости которых служат полевые уравнения. В случае уравнений Эйнштейна с двумя коммутирующими векторами Киллинга такие переопределенные системы были построены несколькими авторами: Кипнерсли [125], Белинским и Захаровым [5, 6], Харрисоном [100], а в более общем случае полей Эйнштейна-Максвелла - Киннерсли и Читром [125, 128], Хаузером и Эрнстом [102, 104], Нойгебауэром и Крамером [190]. Математическая эквивалентность различных подходов в вакуумном случае была продемонстрирована Косгроувом [66, 67, 68], а в случае электровакуума - Крамером [133]. В свете последующего рассмотрения метода Сибгатулли-на особый интерес представляют работы Киннерсли [125] и Хаузера и Эрнста [102], в первой из которых был введен двумерный матричный потенциал и ряд других потенциалов, существование которых следует из уравнений поля, а во второй работе авторы элегантно переписали результаты Киннерсли на языке трехмерных потенциалов и сформу- лировали краевую задачу Римана для переопределенной системы. Для дальнейшего изложения удобно переписать метрику (1.1) в следующем виде: где дополнительно исходная сигнатура (+,+,+,-) изменена на (+,-, -,-). Здесь det(/Ae) = -Р2, х1 = t, х2 = р, = z + ър, a fAB, /, ш и 7, очевидно, зависят только от р и z. Тогда уравнения Эйнштейна (1.2) могут быть записаны в дивергентной форме [125] где через Лі и Аі обозначены соответственно электрическая и магнитная компоненты электромагнитного 4-потенциала, а поднятие и опускание индексов осуществляется с помощью антисимметричного тензора еАВ: Уравнения же Максвелла (1.3) принимают вид откуда следует существование потенциала В А, определяемого уравнениями.
Следовательно, можно ввести комплексную комбинацию Ф = АА + ІВА, которая удовлетворяет условиям Киннерсли причем компонента Фі совпадает с электромагнитным потенциалом Эрнста Ф из (1.9). С другой стороны, (1.15) можно рассматривать как условие интегрируемости для существования нового потенциала Нд, такого что для которого выполняются другие условия Киннерсли: (здесь компонента — И\ представляет собой потенциал Эрнста , введенный ранее посредством (1.9)). Из определения Нд может быть получено важное соотношение которое, как будет видно позднее, играет ключевую роль в построении метрической функции ш. Используя (1.19), (1.21), приходим к уравнениям которые могут быть переписаны в виде с помощью формулы, которая следует из соотношений (1.20): Из (1.19), (1.21) также следует существование потенциалов Кин-нерсли LB и К1 определяемых уравнениями Согласно Хаузеру и Эрнсту [102], эти потенциалы могут быть использованы вместе с ранее введенными потенциалами НАВ И ФА ДЛЯ построения матричного 3x3 потенциала Н% вида в терминах которого система (1.24) принимает изящный вид Компоненты (1,2) и (1,3) в (1.28) представляют собой систему уравнений Эрнста (1.12) для потенциалов и Ф; поэтому, решив (1.28), можно построить всю метрику и электромагнитный 4-потенциал согласно схеме, приведенной в предыдущем параграфе. Важным следствием, отражающим замечательные свойства симметрии уравнений (1.28), является существование бесконечной иерархии потенциалов Яп. Действительно, (1.28) может быть записано в дивергентной форме откуда следует существование потенциала Яг, определяемого уравнениями Выразим из (1.30) Нл и Нл: Тогда, вычитая из первого уравнения, продифференцированного по , второе, продифференцированное по , находим уравнение, которому удовлетворяет Н2 . Очевидно, уравнение (1.32) в свою очередь является условием интегрируемости для существования нового потенциала Щ, и т.д. После п-го шага будем иметь.
Для определенных таким образом потенциалов Яп можно ввести генерирующую функцию Тогда из (1.33) получаем для F переопределенную линейную систему условием интегрируемости которой является матричное уравнение (1.28). Краевая задача Римана для системы (1.35) может быть сформулирована следующим образом. Пусть L - это гладкий контур, который ограничивает односвязную область D, включающую в себя точку s — О, причем внутри D функ- ции F (неизвестная) и F (известная "затравочная") являются голоморфными. Тогда существует функция х, голоморфная вне области D, которая на контуре L связана с F линейно: где u(s) не зависит от координат р, z, а х F, F являются функциями р и z. Задачу Римана (1.36) можно рассматривать как преобразование "за- травочного" решения F \s) в новое решение F(s) под действием сдвига вдоль орбиты (однопараметрической подгруппы) группы внутренней симметрии. Анализ бесконечномерной группы внутренней симметрии, связанной со структурой рассматриваемых уравнений, показывает, что матрица u(s) должна удовлетворять условию Хаузера-Эрнста [102] Метод Сибгатуллина построения точных решений уравнений электровакуума Интересно отметить, что, связав с переопределенной системой (1.35) краевую задачу Римана, Хаузер и Эрнст стали решать последнюю как с помощью линейных матричных интегральных уравнений, так и с помощью более прямых подходов [65, 91]. Поэтому, что касается конкретных приложений, то они лишь повторяли результаты, полученные другими авторами; например, для случая электровакуума они сумели построить нелинейную суперпозицию исключительно суперэкстремальных решений Керра-Ныомена [91], так и не решив глобальную проблему, стоявшую перед всеми генерационными методами - построение субэкстремального решения Керра-Ныомена, исходя из метрики Минковского. Заслуга Н.Р.Сибгатуллина заключается в том, что он нашел общий вид матрицы u(s) и вывел с его помощью линейное (нематричное) сингулярное интегральное уравнение, которое в принципе позволяет строить любое решение стационарной осесимметричной электровакуумной задачи по произвольным данным на каком-либо регулярном участке оси симметрии. Решения, получаемые методом Сибгатуллина, описывают поля как суперэкстремальных, так и субэкстремальных источников, что разрешает вышеупомянутый кризис, имевший место в точных решениях.
Решения, симметричные и антисимметричные относительно экваториальной плоскости
Среди осесимметричных стационарных решений электровакуума особый интерес представляют два подкласса решений, обладающих симметрией и антисимметрией относительно экваториальной плоскости. Определение. Будем говорить, что стационарное осесимметричное решение, описываемое метрикой Папапетру (1.1), обладает экваториальной симметрией, если существует выбор начала координат такой, что при преобразовании все три метрических коэффициента /, ш и 7 являются четными функциями z. Решение обладает экваториальной антисимметрией, если существует выбор начала координат, а также константа U)Q такие, что при преобразовании (2.34) метрические коэффициенты / и у являются четными функциями z, а ш — UJQ является нечетной функцией Z. В работе Эрнста, Манько и Руиза [81] было показано, каким условиям удовлетворяют потенциалы Эрнста экваториально симметричных и антисимметричных решений, а также были найдены условия, которым удовлетворяют данные на оси симметрии этих решений в асимптотически плоском случае. Основные результаты работы [81] представлены следующими двумя теоремами: Теорема 1. Стационарное осесимметричное электровакуумное решение уравнений Эрнста (1.12) является экваториально симметричным, если и только если (5 - действительная постоянная), и экваториально антисимметричным, если и только если Теорема 2. Асимптотически плоское электровакуумное решение, строящееся по известным e(z) = 8(z,0) и f(z) = &(z, 0), которые задаются на положительной части оси 2, включающем точку z — +оо, будет экваториально симметричным, если и только если Решение будет экваториально антисимметричным, если и только если где e(—z) и f(—z) являются аналитическими продолжениями e{z) и f(z) в отрицательную область оси z. Доказательства этих теорем даны в [81], поэтому здесь они не приводятся.
Тем не менее, поскольку 2ІУ-солитонное электровакуумное решение, рассмотренное в предыдущем параграфе, содержит большое число астрофизически значимых частных случаев, покажем, каким образом экваториально симметричные и антисимметричные поля входят в общие данные на оси симметрии (2.1). Чтобы выделить из (2.1) подкласс экваториально симметричных решений, сначала подставим e(z) из (2.1) в первое из условий (2.37), получая Отсюда находим первое ограничение на параметры: Подставляя теперь e(z) и f(z) из (2.1) во второе из условий (2.37) и учитывая (2.39), приходим к уравнению которое накладывает ограничение на оставшиеся параметры: Переходя теперь к экваториально антисимметричному случаю, из (2.1) и (2.38) сначала получаем уравнения а затем из (2.43) находим следующие ограничения на параметры: Общие формулы (2.40), (2.42) и (2.44) существенно облегчают поиск конкретных примеров экваториально симметричных и антисимметричных данных на оси симметрии для построения потенциалов Эрнста с нужными физическими характеристиками. В качестве иллюстрации применения полученных выше соотношений, положим N — 2 в данных (2.1), определяющих общее солитонное решение. Тогда из (2.40) находим, что в экваториально симметричном случае функция e(z) имеет вид где q и с - действительные постоянные. С другой стороны, в экваториально антисимметричном случае из (2.44) находим, что в то время как для f(z) имеются две следующие возможности: (сі и C2 -комплексные постоянные). Потенциалы Эрнста, соответствующие данным на оси симметрии (2.45)-(2.49), были построены в [82]. канонический вид, мультипольная структура и ее связь с данными на оси симметрии В отсутствие электромагнитного поля (fi = 0) расширенное 2N-солитонное решение описывает стационарные осесимметричные конфигурации N керровских частиц, которые, как и в электровакуумном случае, могут быть произвольными сочетаниями черных дыр и суперэкстремальных объектов. В этом пределе Ф = 0, а вид потенциала Эрнста существенно упрощается: Эти формулы существенным образом улучшают известные результаты, полученные с помощью преобразований Бэклунда [187, 235] и НКК [74, 77], поскольку раньше стационарные вакуумные солитонные решения были получены для случая черных дыр, а переход к суперэкстремальным источникам осуществлялся исключительно с помощью специального "трюка" - комплексного продолжения параметров. Это объясняется тем, что в формулах (2.50), (2.51) выбор постоянных / независим от выбора ап, в то время как, например, в подходе Нойгеб-ауэра (см., например, (6.1)-(6.6) работы [141]) выбор Лт и qm зависит от того, принимают ли Кт (аналоги наших ап) действительные или комплексные значения.
На оси симметрии (при z max{Re(o;n)}) потенциал (2.50) имеет вид а связь коэффициентов ei с параметрами / и аП) как следует из (2.10), дается формулой причем ап удовлетворяют алгебраическому уравнению Кроме наборов параметров {an,/3i} и {е , /} можно также использовать параметры щ и bi, вводившиеся раньше в (2.1): которые, как будет видно ниже, наиболее простым образом могут быть связаны с мультипольными моментами вакуумного солитонного решения. Отметим, что уравнение (2.54) связывает параметры щ и bi с Таким образом, в зависимости от конкретной частной задачи можно пользоваться одной из трех эквивалентных параметризаций вакуумного солитонного решения: {an,0i}, {ei,fti} или {щ,Ьі}. Алгебраическое уравнение (2.54) играет важную роль в установлении взаимосвязей между различными параметризациями, при этом следует помнить, что когда произвольными параметрами являются а„ и й, это уравнение решать не нужно. Хотя запись солитонного решения в виде определителей является простой и компактной, для всех практических приложений требуется раскрывать определители. В связи с этим представляет интерес вычисление определителей в формулах (2.50) и (2.51) с последующим получением компактных выражений для , f, j и ш, которые можно было бы назвать каноническими. Раскладывая определители в (2.50) и (2.51) с помощью правила Лапласа по N строкам, содержащим функции гп и затем избавляясь в получающихся определителях меньшего порядка от знаменателей путем домножения на соответствующие множители, приходим к следующим шести различным определителям порядка JV и N + 1, которые нужно.
Общее аналитическое решение задачи равновесия в двойном решении Керра. Комаровские массы и угловые моменты в равновесных конфигурациях
Перепишем систему (2.88)-(2.90) в несколько преобразованном виде, более удобном для ее решения: Первое уравнение в (2.91) получается приравниванием нулю первого множителя в (2.89), так как хорошо известно [223, 77], что вторая возможность удовлетворить условию (2.89), связанная с приравниванием нулю второго множителя, несовместна с остальными двумя условиями (2.88) и (2.90). Кроме того, вместо уравнения (2.88) в систему (2.91) входит разность уравнений (2.90) и (2.88). Переходя в уравнениях (2.91) к величинам ап и Хп и используя первое уравнение для того, чтобы исключить Х\, Х2 (а также Х%, Х4) во втором (третьем) уравнении, приходим к системе чтобы можно было считать Х{ независимыми переменными. Умножая теперь второе уравнение в (2.92) на Х3Х4, третье - на Х\Х2 и полагая Х3Х4 = —ф (соответственно, XiX2 = ф), получаем квадратные уравнения относительно Хз иХі: Корни этих уравнений, а также двух других квадратных уравнений относительно Х4 и Х2, которые получаются из (2.92) аналогично уравнениям (2.94), могут быть представлены в следующей элегантной форме: где ф - произвольная комплексная постоянная, модуль которой равен единице: Последнее условие необходимо, чтобы выполнялись дополнительные уравнения (2.93). При получении формул (2.95) нужно воспользоваться тождествами Несложно убедиться, что (2.95) и (2.96) удовлетворяют всем уравнениям (2.92), (2.93). Таким образом, получено общее математическое решение задачи равновесия в двойном решении Керра, из которого следует, что для произвольного набора констант ап всегда существует набор параметров Хп, определяющий конкретную равновесную конфигурацию в одном из трех типов бинарных систем. Вопрос о том, является ли отдельно взятое положение равновесия физичным, требует дополнительного исследования положительности индивидуальных масс обеих компонент системы в каждом конкретном случае; к этому перейдем немного позже.
Сейчас же, для полноты рассмотрения, укажем, как в полученных формулах содержится интересный случай "экваториальной" симметрии, когда решение, помимо осевой симметрии, симметрично также и относительно ПЛОСКОСТИ Z = О (считается, что многие астрофизические объекты, такие как, например, звезды, обладают этой дополнительной симметрией). Хорошо известно [183], что мультипольные моменты решений, симметричных относительно экваториальной плоскости z — 0, имеют следующую общую характеристику: все четные моменты т2к, к = О,1,..., принимают действительные значения, а все нечетные моменты тъь+ъ к = 0,1,..., являются чисто мнимыми величинами. Из формул (2.73) для мультипольных моментов следует, что то будет действительной, а ті чисто мнимой величиной, если а.\ — —Ъ\ и а2 = Ъ2, т.е. в экваториально-симметричном случае потенциал Є двойного решения Керра на оси симметрии принимает вид Тогда алгебраическое условие (2.54) определяющее параметры ап, приводит к биквадратному уравнению откуда следует, что его решения ап должны быть связаны между собой Рассматривая, с другой стороны, величины Х\ и Х имеем: Таким образом, подкласс четырехсолитонных решений, обладающих экваториальной симметрией, выделяется из общего случая наложением на параметры следующих дополнительных условий: Выбирая комбинацию Є2, бз, є, S, удовлетворяющую условиям (2.102), и вводя новые обозначения 5в2 — 2, ез — бз, є = —б2бЗ) приходим к набору Хп, описывающему положения равновесия в экваториально-симметричном случае: где выражение для Х\ дано в (2.104). Для того, чтобы конкретное положение равновесия было физически значимым, прежде всего следует убедиться в положительности индивидуальной массы каждой из компонент системы. Эта задача в общем случае является нетривиальной, в отличие от определения полной массы М и полного углового момента J равновесной конфигурации, для которых получаются простые формулы (они следуют из выражений для мультипольных моментов (2.73) и вида функций Л и Г на верхней части оси симметрии). Массы и угловые моменты отдельных компонент считаются с помощью интегралов Комара [132] где г и rf - контравариантные компоненты векторов Киллинга и 77, а интегрирование ведется по замкнутой поверхности, охватывающей одну из двух компонент (а = 1,2).
Для случая стационарных осе-симметричных субэкстремальных источников общие формулы (2.107) упрощаются и сводятся к линейным интегралам по горизонту На а-ой черной дыры [220] С помощью точных формул (2.95) и комаровских интегралов (2.108), (2.109) в работе [175] были даны многочисленные примеры конкретных равновесных конфигураций всех трех типов, причем только в системах первого типа, состоящих из двух черных дыр, нельзя было добиться положительности обеих индивидуальных масс. Это, с одной стороны, доказывает существование физически значимых равновесных состояний между черной дырой и суперэкстремальным объектом, а также между двумя суперэкстремальными объектами благодаря равенству в таких конфигурациях сил гравитационного притяжения и гравимагнитного отталкивания (последняя сила возникает из-за взаимодействия угловых моментов источников); с другой стороны, это является указанием на невозможность в принципе равновесия двух черных дыр Керра с положительными массами. двух суперэкстремальных источников в двойном решении Керра предпринимались давно, впрочем - без решающего успеха. Дальше других в решении этого фундаментального вопроса (до наших исследований) продвинулись Дитц и Хоэнселарс [112, 77], которые анализировали численно общие выражения индивидуальных масс Комара в равновесных системах первого типа для широкого спектра параметров и выдвинули гипотезу о невозможности равновесия в случае, когда субэкстремальные компоненты имеют положительные массы. Формулы, полученные в этом параграфе и отражающие преимущества метода Сибгатуллина, в частности, возможность связать различные наборы параметров решения с данными на оси симметрии, позволяют дать строгое доказательство гипотезы Дитца-Хоэнселарса. Предваряя это доказательство, ниже будут получены необходимые точные формулы для масс и угловых моментов Комара равновесных субэкстремальных керровских частиц, которые допускают строгое аналитическое исследование. В субэкстремальном случае проще всего проводить вычисление масс и угловых моментов для равновесных конфигураций с помощью формул Томимацу (2.108).
Закон взаимодействия двух сферических заряженных масс в ОТО
Замечательно, что двойное решение Райсснера-Нордстрема, рассмотренное в предыдущем параграфе, удается переписать в физических параметрах Мг-, Qi и R (последний параметр обозначает расстояние между заряженными массами), используя результат работы Варзуги-на и Чистякова [227] для так называемых неприводимых масс 0\ и а2 в нелинейной суперпозиции двух статических заряженных черных дыр: Выбирая начало координат таким образом, чтобы сумма всех щ равнялась нулю, получаем следующее представление для констант af. С учетом (3.18), вид параметров е$, Д, / как функций М{, Qi, R находится путем несложных алгебраических вычислений из формул (3.4), Теперь остается только подставить (3.18) и (3.19) в формулы (3.10) и раскрыть определители. Практическая реализация этой процедуры требует, однако, использования компьютерных программ аналитических вычислений, т.к. промежуточные результаты являются сверхгромоздкими и не поддаются обработке вручную. Окончательные выражения для потенциалов Эрнста 5, Фи соответствующих метрических функций / и 7 приводятся к следующему простому виду [155]: Полученная запись двойного решения Райсснера-Нордстрема позволяет вычислить силу взаимодействия двух произвольных сферических заряженных источников по известной формуле [118, 231] где 7о _ значение метрической функции 7 на участке оси 2, разделяющем источники. Из (3.23) и (3.20) находим закон взаимодействия сферических заряженных масс в ОТО: Условие равновесия источников является простым следствием формулы (3.24) при обращении Т в ноль. Отметим, что уравнение Т — 0 совпадает с условием (3.15), полученным в предыдущем параграфе, а также, что последнее условие было впервые переписано в комаровских величинах в работе [30]. Задача равновесия двух заряженных частиц, рассмотренная в предыдущем параграфе, усложняется, если компоненты бинарной системы, кроме заряда, обладают еще и угловыми моментами.
В то же время, даже из самых общих соображений, учитывая появление нового вида взаимодействия частиц, можно предположить, что стационарный электровакуумный случай должен быть более разнообразен на равновесные конфигурации, чем случай электростатики, несмотря на возникающие дополнительные трудности технического характера по их поиску. Целью данного параграфа является получение конкретных примеров равновесия двух заряженных вращающихся частиц в случаях, когда бинарная система состоит из суб- и суперэкстремальной компонент, а также когда обе компоненты являются суперэкстремальными объектами. Воспользуемся четырехсолитонным электровакуумным решением, которое следует из общего 2ЛГ-солитонного случая при N — 2. Потенциалы Эрнста этого решения, которое в дальнейшем назовем "двойным решением Керра-Ньюмена", на оси симметрии имеют вид (ап принимают произвольные действительные значения или образуют комплексно-сопряженные пары). Раскрывая определители в двойном решении Керра-Ньюмена, приходим к следующим выражениям для потенциалов Эрнста ,Фи метрических функций /, 75 и: Полная масса М, полный угловой момент J, полный заряд Q и полный магнитный момент \± системы определяются формулами и при анализе равновесных состояний следует дополнительно установить, как эти величины распределяются между двумя компонентами системы. Для вычисления индивидуальных характеристик субэкстремальных компонент лучше всего пользоваться формулами Томимацу [222], а для суперэкстремальных компонент применять формулы, полученные в работе [175]. Интересно заметить, что интегральное выражение для массы источника в электровакуумном случае совпадает с соответствующей вакуумной формулой (2.109). Для заряда Qa а-ой компоненты имеет место формула Переходя к условиям равновесия двух частиц Керра-Ныомена, начнем с условия регулярности метрической функции 7 на участке оси z, разделяющем частицы. Из формул (3.27)-(3.30) следует, что условие обращения в нуль 7 при р = 0,11е(а:з) z Re(o:2) - такое же, как и в электростатическом случае, рассмотренном в предыдущем параграфе: (на внешних участках оси функция 7 равна нулю по построению).
Условие регулярности метрического коэффициента со на том же участке оси симметрии в случае, когда о \ и а2 действительны, а а3 и оі4 образуют комплексно-сопряженную пару, записывается следующим образом: Следует подчеркнуть, что если уравнение (3.34) расписать в явном виде, используя определение действительной части комплексного выражения, то приходим к уравнению, которое будет справедливым и для случая двух черных дыр, и для случая двух суперэкстремальных источников. Оставшиеся два условия - это требование асимптотической плоскостности метрики и условие отсутствия магнитного заряда: Корни системы алгебраических уравнений (3.33)-(3.35) определяют положения равновесия в стационарной бинарной системе заряженных вращающихся масс. Сложность этой системы естественным образом приводит к необходимости использования численных методов при ее разрешении. Получить численные решения уравнений (3.33)-(3.35) с положительными массами обеих компонент не удается, и этот результат совпадает с аналогичным выводом, сделанным ранее для двух черных дыр Керра. В то же время, возможны равновесные конфигурации в системах "черная дыра-суперэкстремальный объект" и "суперэкстремальный объект-суперэкстремальный объект". Первый вид равновесных состояний представляет особый интерес, поскольку ранее в литературе не рассматривался (из-за отсутствия необходимого точного решения). В таблице 3.6 приведены конкретные значения параметров, определяющие равновесные конфигурации данного типа, а также соответствующие индивидуальные характеристики каждой из компонент.
